專題10一次函數(shù)中的四邊形問題

知識對接

考點一、怎樣解一次函數(shù)中的四邊形問題

1、四邊形面積常轉(zhuǎn)化為若干個三角形面積之和（或差）.

2、畫出草圖，把要求的圖形構(gòu)建出來，根據(jù)面積公式，把直線與坐標(biāo)軸的交點計算出來，把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線

段，代入面積公式求解。

3、規(guī)則圖形（公式法）；不規(guī)則圖形（切割法）不含參數(shù)問題；含參數(shù)問題（用參數(shù)表示點坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化

成線段）

注意：坐標(biāo)的正負、線段的非負性。

求面積時，盡量使底或高中的一者確定下來（通過對圖像的觀察，確定底和高），然后根據(jù)面積公式，建立

等式。

專項訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線,=履+左與大軸，V軸分別交于點8、A,將線段沿某個方向平移，

點A、B對應(yīng)的點A/、N恰好在直線y=2x-2和直線x=2上，則當(dāng)四邊形AACVB為菱形時N點坐標(biāo)為

（）

A.（2,1）B,（2,2）C,（2,3）D,（2,4）

【答案】A

【分析】

求出4（0,幻和8（-1,0）,8的對應(yīng)點N的橫坐標(biāo)為2,由此知道往右平移了3個單位，得到A的對應(yīng)點M

的橫坐標(biāo)為3,將M點橫坐標(biāo)代入y=2x-2中即可求出M坐標(biāo)，進而求解.

【詳解】

解:令丁=丘+左中y=0,得到2(-1,0),令x=0,得到A(0,k)

的對應(yīng)點N在x=2上

點橫坐標(biāo)為2,故AB往右平移了3個單位

點橫坐標(biāo)為3,將％=3代入y=2x-2中

解得y=4

故M點的坐標(biāo)為(3,4)

又四邊形MW7VB為菱形

J.A^AMP-

...1+/=32+(4/)2,解得k=3

4(0,3)

即AB往右平移3個單位，往上平移了1個單位

故N坐標(biāo)為(2,1)

故選：A.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的平移、菱形的性質(zhì)等知識點，屬于基礎(chǔ)題，計算過程中細心即可.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，AB/左軸，點5的坐標(biāo)為(4,1),44￡>=60。，垂直

于X軸的直線/從'軸出發(fā)，沿X軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，設(shè)直線/與菱形相。的兩

邊分別交于點AZ,N(點N在點A1的上方)，連接。加，ON,若AOMW的面積為S,直線/的運動時間為

t秒(0<?<6),則S與f的函數(shù)圖象大致是()

2

【分析】

當(dāng)直線/從A開始運動,WN逐漸增大，到經(jīng)過點達到最大值，此時40=2,故運動時間為2,此時0W2;

當(dāng)直線/從。開始運動，MN保持不變，到經(jīng)過點8,此時AB=4,故運動時間為2,此時2yM4;當(dāng)直線/從

經(jīng)過B的位置向右開始運動,開始減小，到經(jīng)過點C,MN為0,此時BG=2,故運動時間為2,此時4<t<6

三種情形，確定面積S與/的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式確定圖像即可.

【詳解】

解：由題意知AB=Ar)=CD=2C=4

ZBAD=60°

.,.當(dāng)直線/經(jīng)過點。時，運動時間為2

；.C的橫坐標(biāo)為6

如圖1,當(dāng)0V/V2時

圖1

3

;〃/y軸

…S\AMN=S&OMN=S，

AM=t,ZBAD=60°,

MN=島

S=—x/xs/3t=12;

22

圖像是經(jīng)過原點，開口向_上的一段拋物線；

如圖2,當(dāng)2v"4時，MN是定長

圖2

AD=4,ZBAD=60°,

MN=2A/3,

S=—xrx2A/3=V3?;

2

圖像是經(jīng)過原點，正比例函數(shù)上的一段;

y=2x的比例系數(shù)2大于g

..?面積線段的傾斜度要比y=2x的陡；

如圖3,當(dāng)4vrv6時，

4

???BC=4,ZCBG=60°,

BG=2,CG=26

/.3(4,1),0(6,20+1),

'4k+b=l

.<

―6兀+6=2四+1'

k=y/3

解得l

b—1—4-y3

直線的解析式為y=瓜+1-40，

二N坐標(biāo)為(f,2石+1),M坐標(biāo)為(?,?+1-4石),

:.MN=2垂+”(#t+1-4垂)

——\f3t+6\fi,

，S=gxfx(-"+6折

圖像是開口向下的一段拋物線；

故選：C.

【點睛】

本題主要考查對動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，三角形的面積，二次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象，

含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進行計算是解此題的

關(guān)鍵，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想.

5

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。4,耳弓，443^，44/1.一都是菱形，點4，4，4…都在x軸

上，點CCC，…都在直線＞=走X+走上，且NGOA=NG44=NC34A=...=6000A=1，則點G

一33一一

的橫坐標(biāo)是（）

A.3X2^2-1B.3X2,,-2+1C.3X2,,-1-1D.3X2"-1+1

【答案】A

【分析】

分別過點G，C2,c,.??作x軸的垂線,交于分3，2，…,再連接cxDx,c2D2,c3D.

,利用勾股定理及根據(jù)菱形的邊長求得A、4、A…的坐標(biāo)然后分別表示出。、G、G…的坐標(biāo)找出規(guī)律

進而求得G,的坐標(biāo).

【詳解】

解:分別過點GCC，...作x軸的垂線,交于分,3,與…,再連接GRGACA，...

如下圖：

=1

OC]=1

NCQ4=NC2A4=NG44=…=60°,

6

在RMOG2中，OR=；oq=:

根據(jù)勾股定理得：OD；=0G2-CQ：

即O^2=12-(i)2

解得：01=立

12

的縱坐標(biāo)為：立，橫坐標(biāo)為;

22

???G(g，0

???四邊形。414cI，A4B2c2，4483c3，…都是菱形

4。2=2,4c3=4,4G=8,

.1C2的縱坐標(biāo)為：C2D2==\/4-1=A/3,代入y=^~x+,求得橫坐標(biāo)為2

.?C(2,我

C2D2

C3的縱坐標(biāo)為：C3D3=7A3-A3=V16-4=2^3,代入y=*x+*,求得橫坐標(biāo)為5

.'.C3(5,2也)

.,.C4(ll,46)

C5(23,8A/3)

.??Q(47,16國；

，???

C,(3X2"-2-1,2"-2百)

則點Cn的橫坐標(biāo)是：3X2""_1

故選：A.

【點睛】

本題是對點的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，主要利用了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)已知點的變化規(guī)律求出

菱形的邊長，得出系列C點的坐標(biāo)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+4與無軸、y軸分別相交于點A,B,四邊形A8CD是正方形,

7

曲線y=幺在第一象限經(jīng)過點。.將正方形A8CO沿x軸向左平移（）個單位長度時，點C的對應(yīng)點恰

X

好落在曲線上.

2?2

【答案】D

【分析】

先求解。4,。8的長度，如圖，過C作軸于“，交反比例函數(shù)于M,證明絲AABO,利用全等三

角形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的解析式分別求解C,DM的坐標(biāo)，從而可得答案.

【詳解】

解：直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于點A,B

令x=0,y=4,令y=0,貝卜2x+4=0,

x-2,

..08=4,04=2,

如圖，過c作CHly軸于交反比例函數(shù)于

:.NCHB=ZAOB=90°,

NCBH+NBCH=90。,

四邊形ABC。是正方形

BC=BA,ZABC=90°,

:.ZCBH+ZABO=90°,

:"BCH=ZABO,

.^BCH=^ABO,

：.BH=AO=2,CH=BO=4,

8

.-.C（4,6）,則y“=6,

同理：。（6,2）,

k

把。（6,2）代入y=—,

x

712

k=12,y=—

x

1?

把均=6代入y=—

X

..x—2,

■-■M（2,6）,

,-.CM=4-2=2,

所以將正方形ABCD沿x軸向左平移2個單位長度時，點C的對應(yīng)點恰好落在曲線上.

故選：D

【點睛】

本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)

與圖形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，點O為平面直角坐標(biāo)系的原點，點A在X軸正半軸上，四邊形Q4BC是菱形.已知點8坐標(biāo)為卜，火「

則直線AC的函數(shù)解析式為（）.

A.「冬+百

B.y=——x+小

5

9

C.y=—A/5X+3A/5D.y=y/5x+3A/5

【答案】C

【分析】

過B點作BHLx軸于H點，菱形的對角線的交點為尸,如圖，設(shè)菱形的邊長為t,則04=A2=f,在RtAABH

中利用勾股定理得到3再利用P為的中點得到P,然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可.

【詳解】

解：過2點作軸于H點，菱形的對角線的交點為尸，如圖

:四邊形A8C0為菱形

：.0P=BP,OA^AB

設(shè)菱形的邊長為f，則。

:點8坐標(biāo)為(5,身

AH=5-t

在RtAABH中，(5-力2+(山)』巴解得尸3

/.A(3,0)

為OB的中點

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

3k+b=Q

把A(3,0),P|g，幻代入得<k=-45

5,非,解得‘

—k+b=——b=3#

,直線AC的解析式為>=-石/36.

故選：C.

【點睛】

10

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y=fcv+6；

將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；然后解

方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式.也考查了菱形的性質(zhì).

6.如圖，點0為平面直角坐標(biāo)系的原點，點A在x軸正半軸上，四邊形OABC是菱形.已知點B坐標(biāo)為

【答案】D

【分析】

過B點作BH±x軸于H點，菱形的對角線的交點為P,如圖，設(shè)菱形的邊長為t,則OA=AB=t,在RtAABH

中利用勾股定理得到（3-t）2+（V3）』t2,解方程求出t,得到A（2,0）,再利用P為OB的中點得到P

（：,且），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可.

22

【詳解】

解：過B點作BHLx軸于H點，菱形的對角線的交點為P,如圖

:四邊形ABCO為菱形

；.OP=BP,OA=AB

設(shè)菱形的邊長為t,貝|OA=AB=t

:點B坐標(biāo)為（3,6

.*.BH=g,AH=3-t,

11

在R3ABH中，(3-t)2+(行)2=t2,解得t=2

；.A(2,0)

：P為OB的中點

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

2k+b=0

把A(2,0),P(之，0k=—V3

),代入得：3,,V3，解得：＜

22—k+b=6=2百

一12

直線AC的解析式為y=-V3X+2V3.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理以及一次函數(shù)的待定系數(shù)法，熟練掌握菱形的性質(zhì)和待定系數(shù)法，是

解題的關(guān)鍵.

7

7.如圖，點C、。分別在兩條直線＞=依和y=上，點A(0,2),B點在x軸正半軸上.已知四邊形ABCD

是正方形，則左=()

BD

-I7-I

【答案】C

【分析】

如圖(見解析)，設(shè)點B的坐標(biāo)為8(40),則。8=6,先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)

7

得出。4=09=2,OB=AF=＞，再根據(jù)線段的和差可得。尸=2+"從而可得點D的坐標(biāo)，代入直線y=

可求出b的值，同理可得出點C的坐標(biāo)，將其代入直線y=履即可得.

【詳解】

如圖，過點D作。歹1》軸于點F,過點C作軸于點E

設(shè)點B的坐標(biāo)為3(40),則。8=6,且6＞0

."(0,2)

12

.\OA=2.

,/四邊形ABCD是正方形

:.AB=DA,ZBAD=90°

NBAO+NDAF=ZADF+4DAF=90°

..XBAO=XADF,

ZAOB=ZDFA=90°

在八ABO和/\DAF中，＜ZBAO=ZADF

AB=DA

:^AB0=JJAF(AAS)

，0A=DF=2,0B=AF=b

.\OF=OA-^AF=2+b

??.點D的坐標(biāo)為。(2,2+。)

77

將。(2,2+b)代入直線y=得：］x2=2+6,解得b=5

同理可得：^ABO=^BCE

:.OA=BE=2,OB=CE=b=5

:.OE=OB+BE=5+2=1

???點C的坐標(biāo)為。(7,5)

將C(7,5)代入直線產(chǎn)h得:7左=5,解得左q

故選：C.

【點睛】

本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，

構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

8.如圖，四邊形"CD的頂點坐標(biāo)分別為a（T0）,8（-2,-1）,。（3,0）,。（0,3）,當(dāng)過點8的直線,將四邊形

分成面積相等的兩部分時，直線/所表示的函數(shù)表達式為（）

13

A.k口》9

105

53

C.y=x+lD.—x+—

42

【答案】D

【分析】

由已知點可求四邊形ABCD分成面積=gxACx（|%|+3）=；x7x4=14；求出CD的直線解析式為y=-x+3,

設(shè)過B的直線1為y=kx+b,并求出兩條直線的交點，直線1與x軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)面積有

7=1義門一［汨+11，即可求k.

2Vk）\k+1）

【詳解】

解：由A（T,0）,B（-2,-l）,C（3,0）,D（0,3）

AC=1,DO=3

四邊形"CD分成面積=gxACx（|%|+3）=gx7x4=14

可求CD的直線解析式為y=-X+3

設(shè)過8的直線/為y=Ax+b

將點5代入解析式得y=履+2左-1

4-2左5k-l

直線8與該直線的交點為

k+1'k+1

直線》=配+24-1與X軸的交點為

7=/x13—l-2/c汩+1

X

kZ+1

：或左=。

:?k=2

4

???直線解析式為尸5%+13;

故選D.

【點睛】

14

本題考查一次函數(shù)的解析式求法；掌握平面內(nèi)點的坐標(biāo)與四邊形面積的關(guān)系，熟練待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式的方法是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，一正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)>=:化>0)的圖象交于A,。兩點(點A在

第一象限)，點2,C在反比例函數(shù)>&<0,x>0)的圖象上，軸，CD〃x軸，若，=2,\ABC=6,

X左2

則四邊形ABC。的面積為()

A.30B.24C.18D.12

【答案】A

【分析】

設(shè)A(a,b),則D(-a,-b),根據(jù)題意8(a,—),C(-?,-b),進而可求得A3、CD,

ab

根據(jù)三角形面積公式和已知求得左1、的值，由S四邊形=SvAC"+SvABC求解即可.

【詳解I

解：設(shè)A(a,b)

:正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)y=B(%>0)的圖象交于A,。兩點

/.ab=k\,A、。關(guān)于原點對稱

?'?0(-4,-Z?)

???點3,C在反比例函數(shù)>=<O,X>O)的圖象上，軸，CD//%軸

B(4,),C(—>-/?)

ab

又...*=2,5〃=6

K2

：?ki=-2kz,且7x(6--)(?+-y-)=6,又ab=k\

2ab

解得：女產(chǎn)16,ki=-8,

15

S四邊形A5GD=SvAC。+^VABC=X+a)(b+6)+6=：(-2K+28)+6=30

故選：A.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、三角形的面積公式，解二元一次方

程組，綜合性強，有一定難度，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征，會利用坐標(biāo)與圖形間的關(guān)系

解決三角形面積問題是解答的關(guān)鍵.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，點A、B、C的坐標(biāo)分別為（0,3）、（f,3）、（r,0）,點。是

直線y=kx+l與y軸的交點，若點A關(guān)于直線y=kx+\的對稱點A恰好落在四邊形OABC內(nèi)部（不包括正好

落在邊上），貝卜的取值范圍為（）

A.-Kt<2B.-2^/3<f<273C.-273<f《2或2<f<26D.以上答案都不對

【答案】C

【分析】

根據(jù)條件，可以求得點A關(guān)于直線2。的對稱點E的坐標(biāo)，再根據(jù)E在圖形中的位置，得到關(guān)于f的方程組.

【詳解】

解：???點刖,3）在直線）=履+1上

.--3=^+1,得到％=±2,于是直線8。的表達式是y=23x+l.

tt

于是過點A（0,3）與直線即垂直的直線解析式為y=-：x+3.

2?4r

y=—x+1x—―----

r+4mi弁上今1+12、

聯(lián)立方程組I,解得-「+12'人「父八"(再

y=——％+3

2y=7T4

根據(jù)中點坐標(biāo)公式可以得到點

..,點E在長方形ABCO的內(nèi)部

16

8f

\<\t\

產(chǎn)+4

，解得-2檔</<-2或者2</<26.

0<K

<3

產(chǎn)+4

本題答案：-2有</<-2或者2<f<2G.

故選：c.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明白該題涉及直線垂直時“左”之間的關(guān)系；直線的交點坐

標(biāo)與對應(yīng)方程組的解之間的關(guān)系；中點坐標(biāo)公式需要熟悉.

二、填空題

11.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，點A在x軸的負半軸上，直線y=-石x+|?百與x軸、

y軸分別交于2、C兩點.四邊形A8C。為菱形，連接AC,點尸為△AC。內(nèi)一點，且/APB=60。，點E在

線段AP上，點/在線段8P上，且連接AF,EF,若/AEE=30。，則A尸+E產(chǎn)的值為一.

【答案】25

【分析】

連接CE、CF.證明△CE/是等邊三角形以及APLCP,然后利用勾股定理得出答案.

【詳解】

解：如圖，連接CE、CF.

17

D

y=一gx+|■石

在RtAOBC中，BC=yj0C2+OB2=5

???四邊形A68是菱形

..AB=BC=5

：.OA=5--=-=OB

22

CO±AB

:.AC=BC=5

.\AB=BC=AC

**?AASC是等邊三角形

.\XACB=60°

-.?XAPB=60°

/.ZAPB=ZACB

ZPAG+ZAPB=ZAGB=ACBG+ZACB

.\ZPAG=ACBG

在AACE■和ABCF中

AE=BF

<ZEAC=ZFBC

AC=BC

:.AACE=ABCF(SAS)

..CE=CF,XACE=XBCF

ZECF=ZACF+ZACE=ZACF+ZBCF=ZACB=6Q0

AC￡F是等邊三角形，

18

ZCFE=60°,EF=FC

■.■ZAFE=30°

ZAFC=ZAFE+NCFE=90°

在RtAACF中，AF2+CF2=AC2=25

:.AF2+EF2=25.

故答案為：25.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中

考壓軸題.

12.如圖，矩形的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y=■的圖象在第一象限的分支交A8于點P,交BC

X

于點E,直線尸E交V軸于點。，交X軸于點尸，連接AC.則下列結(jié)論：

①四邊形AOEC為平行四邊形；②S四邊形人皿=2后；③若&cm=l,S△.=4,則左=6；④若3Ap=3尸，則

4DA=DO.其中正確的是.

【答案】①③

【分析】

設(shè)點5的坐標(biāo)為仍,4),利用矩形的性質(zhì)可得到A和C的坐標(biāo)，代入反比例中可表示出P和E的坐標(biāo)，再求

出四所在直線的解析式，進而求出尸的坐標(biāo)，進而判斷四邊形A3是平行四邊形，利用平行四邊形的性

質(zhì)可證出四邊形皿為平行四邊形，判斷出①；利用四邊形面積公式運算可判斷出②；利用三角形面積公

式列式運算可判斷出③；由3AF=B?，可推斷出防=4左，再求出點Q的坐標(biāo)，即可判斷出④.

【詳解】

解：設(shè)點8的坐標(biāo)為S,。)

?.?四邊形。4BC為矩形

AA(0,a),C0,O)

19

???點尸,E在反比例函數(shù)上

:.P4),E(bg

ab

ak

，直線PE的解析式為y=-fx+：+“

bb

令y=o,貝！］一旦％+幺+〃=0

bb

._k

??x=—卜b

a

k

：.F(-+Z?,O)

a

：.CF=-+b-b=-

aa

AP=-

a

：.AP=CF

??,四邊形。4BC是矩形

:.OA//BC=DA//EC,AB//OC=>AP//CF

???四邊形ACFP是平行四邊形

AC//PF=AC//DE

???四邊形ADEC為平行四邊形，故①正確

k

???S四邊形AbP=B><°A=zxa=3故②錯誤

?qi

124CEF=A，S=4

,e1\kk、

?Q&CEF=_2xCFxCE-—x—x—=1,S4PBE=_XPBxBE=—x(b)x(?----)=4

2ab22ab

2

-2ko

?-----/，ab—k—k+----二o

abab

1

：.-k29-2k-6=0

2

解得：左=—2(舍去)，k=6,故③正確

,/3AP=BP

：.AB=4AP

k

Z?=4x—=QZ?=4左

a

akk

把x=0代入y=_/x+/+”可得：y=^+a

bbb

20

k

Z)(0,—Fa)

b

DO=—+a,DA=—+a—a=—

bbb

k

.DAbkk1

DOkk+abk+4k5

一-Fa

b

：.5DA=DO,故④錯誤

故答案為：①③

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判斷及性質(zhì)，

幾何圖形的面積公式等知識點，利用代數(shù)式求出各點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，直線y=X+3與X軸交于點A,與V軸交于點。，將線段AD沿X軸向右平移4個單位長度得到

線段BC,若直線)=任-4與四邊形ABCD有兩個交點，則上的取值范圍是.

74

【答案］k>^k<-

【分析】

由丁=丘-4得，直線過定點(0,7),與四邊形ABCD有一個交點時，直線分別過點A、C,求得直線過點A、

C時后的取值，結(jié)合圖像以及一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

解：由y=得，直線過定點(0,7)

將產(chǎn)。代入y=X+3得，x=-3,即A(-3,0)

將x=o代入y=X+3得，v=3,即D(0,3)

將線段AD沿X軸向右平移4個單位長度得到線段BC

則8(1,0)、C(4,3)

由圖像可得，當(dāng)直線丁="-4與四邊形ABCD有一個交點時，有兩種情況

一是直線過點A,一是直線過點C,如下圖：

21

將點A(—3,0)代入)=依一4得：一3左一4=0,解得上=—g

7

將點C(4,3)代入＞=去-4得：4左一4=3,解得左=；

由圖像得直線)=依-4與四邊形ABCD有兩個交點時，直線應(yīng)該在尸C、E4之間

74

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得，此時或左

74

故答案為：/＞i或左＜一§

【點睛】

此題考查了一次函數(shù)與幾何的綜合問題，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解題的關(guān)鍵.

14.已知平面上四點A(0,0),8(10,0),C(10,6),。(0,6),直線-3%+2將四邊形ABC。分成面

積相等的兩部分，則m的值為

【答案】|

【分析】

根據(jù)矩形中心對稱的性質(zhì)，也就是過對角線交點的直線把矩形分成的兩個部分的面積相等幾何知識可求得

矩形中心的坐標(biāo)為(5,3),把它代入直線解析式，可得加=；.

【詳解】

解：；直線》=3m+2將四邊形ABC。分成面積相等的兩部分

..?直線必經(jīng)過矩形的中心對稱點。

22

...根據(jù)矩形中心對稱，可知。（5,3）,將它代入》=mx-3m+2中得:

3=5m—3m+2,即m=—.

【點睛】

本題考查矩形中心對稱的性質(zhì)，也就是過對角線交點的直線把矩形分成的兩個部分的面積相等.

15.如圖，點C、8分別在兩條直線＞=-3工和〉=日上，點A、〃是x軸上兩點，若四邊形是正方

形，則k的值為.

【答案】|3

【分析】

設(shè)C(a,-3a),B(b,kb'),由正方形的性質(zhì)AB=BC,BC//AD,可得-3a=劭，b-a—kb,求出b=-

2a,即可求人的值.

【詳解】

解：設(shè)C(G,-3a),B(6,kb)

:四邊形ABC。是正方形

...BC〃x軸

-3a=kb

?；BC=AB

'.b-a—kb

?tb-ci=L—3。

:.b=-2a

-3。=-2ak,

23

故填3(

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)及一次函數(shù)的綜合運用，根據(jù)題意設(shè)出點坐標(biāo)、再根據(jù)正方形的性質(zhì)明確線段

間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.如圖，已知函數(shù)y=x+l的圖象與'軸交于點A,一次函數(shù)y="+6的圖象經(jīng)過點3(0,-1),與x軸以

及y=x+l的圖象分別交于點C、D,且點。的坐標(biāo)為(1,“)

(1)求”的值及一次函數(shù)》=配+匕的表達式.

(2)求四邊形AOCE>的面積；

(3)在y軸上找一點P,使得以點P,B,。為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的

點P的坐標(biāo).

【答案】(1)n=1,y=3x—1；(2)—；(3)(0,5),(0,-1+^/10),(0,-1—VlO)(0,—)

63

【分析】

(1)由>=尤+1的圖象過點D,且點。的坐標(biāo)為(1,〃)，〃的值；由一次函數(shù)丫=履+匕的圖象經(jīng)過點2

(0,-1)與。(1,2),即可求出鼠6的值，進而即可求解；

(2)先求出點D的坐標(biāo)，再求出BD的解析式，然后根據(jù)S四邊形AOCD=SAAO?+SAcoo；

(3)如圖所示，設(shè)P(0,p)分三種情況考慮：當(dāng)BD=PiD；當(dāng)BO=BP2時；當(dāng)BP4=DP4時，分別求出

P的值，確定出所求即可.

24

【詳解】

解：(1)把(1,")代入丫=尤+1得，"=1+1=2；

:一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點8(0,-1)與。(1,2)

b=-\jk=3

，解得

k+b=2[b=-l

???一次函數(shù)的表達式為y=3x-l；

(2)連接。。

y=kx+b

,：D(1,2)

...直線BD的解析式為y=3x-l

：.A(0,1),C(1,0)

?'?S四邊形4OCD=SAAOZ)+SACOD=；xlxl+；X：X2=—;

zz3o

(3)如圖所示，設(shè)尸(0,p)分三種情況考慮：

當(dāng)5D=尸1。時，可得(0-1)2+(-1-2)2=(0-1)2+(p-2)2

解得：〃=5或,=一1(舍去)，此時Pi(0,5)；

當(dāng)50=5尸2時，可得(0—1)2+(―1~2)2=(夕+1)2

解得：p=-i±VIo

此時尸2(0,—1+^/io),尸3(o,—1—-\/To)；

當(dāng)5P4=。。4時，可得(p+1)2=(0-1)2+(p-2)2,

25

解得：p=2g即%(0,2

9

綜上，尸的坐標(biāo)為(0,5),(0,-1+),(0,—1—A/10)(0,—).

2

故答案是：(0,5),(0,-1+y/lQ),(0,-1—Vl())(0,—).

【點睛】

此題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法，四邊形的面積公式，等解本題的關(guān)鍵掌握分類討論和

數(shù)形結(jié)合的思想方法.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線v=r+4與x軸、y軸分別交于點。、C,直線AB與y軸交于點A

(0,-2),與直線CD交于點8(祖，1).

(1)求直線的解析式；

(2)點尸沿A-8-C的折線運動，當(dāng)△APC的面積等于△A8C面積的g時，求點P的坐標(biāo)；

(3)點E是射線CD上一動點，過點E作斯〃y軸，交直線AB于點E若以。、C、E、尸為頂點的四邊

形是平行四邊形，直接寫出點E的坐標(biāo).

26

【答案】（1）j=x-2；（2）點P的坐標(biāo)為（1,3）或（1,-1）；（3）點E的坐標(biāo)為（1,3）或（5,-1）

【分析】

（1）把3（機，1）代入y=-x+4求出血，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；

（2）先求出△ABC的面積，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為。，根據(jù)三角形面積公式列出關(guān)于。的方程，求出m分情

況討論即可求解；

（3）設(shè)E的橫坐標(biāo)為x,分別表示出E、尸的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CO=EF列出方程求出尤，

故可求解.

【詳解】

解：（1）?.?點B在直線y=-x+4上

/.-zn+4=l,解得"2=3

.??點8的坐標(biāo)為（3,1）.

設(shè)直線的解析式為：y=kx+b

f3k+b=l{k—1

把A（0,-2）,B（3,1）代入解析式得八",解得「一.

[。=-2[b=—2

直線AB的解析式為y=x-2.

（2）由題意得：點C的坐標(biāo)為（0,4）,：,AC=OC+OA=4+2=6

ABC=-X3X6=9,S^APC=—S^ABC=3

設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為a,S4Ape=gx6a=3,.*.a=l.

①當(dāng)點尸在線段BC上時，-a+4=3,

點尸的坐標(biāo)為（1,3）.

②當(dāng)點尸在線段A2上時，小2=-1

???點P的坐標(biāo)為（1,-1）

27

綜上：點尸的坐標(biāo)為(1,3)或(1,-1).

(3)設(shè)后的橫坐標(biāo)為工

:?E(.x,-x+4),F(x,x-2)

：.EF=|(-x+4)-(x-2)|=|-2x+6|

?.?以0、C、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形

C0=EF

.**|—2x+6|=4

解得產(chǎn)1或x=5

...點E的坐標(biāo)為(1,3)或(5,-1).

【點睛】

此題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法、三角形的面積公式、一元一次方程的

求解及平行四邊形的性質(zhì).

2

18.如圖，矩形O48C的頂點A、C分別在x、'軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為(6,8),一次函數(shù)y=-,x+6

的圖象與邊OC、AB分別交于點。、E,并且滿足。D=8E,點〃是線段。E上的一個動點.

(1)求〃的值；

(2)連結(jié)0M,若△OOM的面積與四邊形0AEN的面積之比為1：2,求點/的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點N是x軸上方平面內(nèi)的一點，以。、M、。、N為頂點的四邊形為菱形時，請求出點N的坐標(biāo).

【分析】

(1)根據(jù)0￡>=BE,可得點E(6,8-6),將E代入解析式，即可求解；

2

(2)由(1)知：一次函數(shù)的解析式為：y=--x+6,0D=6,AE=2,根據(jù)△的面積與四邊形。4EM

28

的面積之比為1:2,可得以削=:場邊形抽，可得到以皿=8,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為匹則S.削=：ODxm

O乙

即可求解；

（3）分兩種情況：若以。。為對角線，得到菱形OMDN；若以0M為對角線，得到菱形。0NM,討論，即

可求解.

【詳解】

解：（1）??,四邊形0A3C是矩形

AB_Lx軸，BC_Ly軸

2

???一次函數(shù)y=-g%+b的圖象與邊0。、A3分別交于點。、E,并且滿足0￡>=8￡

???0D=BE=b

???點3的坐標(biāo)為（6,8）

：.AB=S,點E的橫坐標(biāo)為6

：.AE=AB-BE=8-b

工點E（6,8/）

2

將點石1代入y=-§x+b,得：

9

8—b=—x6+/?，解得：b=6；

3

2

（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：y=--x+6,0D=6,AE=2

,?.△OOM的面積與四邊形。的面積之比為1：2

?c_J_c

??AODM_3J四邊形以切

,*eS四邊形麗=~{AE+x2=］（2+6）x6=24

S皿"=JS四邊形勿或=§x24=8

設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,則S^UL）M=-2ODxm

即1x6x%=8

2

Q

解得：m=-

期83、2N，曰28?38

將機=§代入y=-§x+6,得：y-——x-+6=——

29

（3）如圖（1）,若以。。為對角線，得到菱形OMDN,則垂直平分0,M和N關(guān)于y軸對稱

?.*OD=6

二點M的縱坐標(biāo)均是^=3

2

將y=3代入y=-§%+6,得:

2,9

3=~-x+6,解得：A：=-