專題22.4解一元二次方程—直接開(kāi)平方法和因式分解法（拓展提高）一、單選題1．方程的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方根的定義直接開(kāi)平方求x的值即可.【詳解】解：，直接開(kāi)平方可得：x=，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直接開(kāi)平方解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握直接開(kāi)平方法解方程.2．若（a2+b2﹣3）2＝25，則a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【答案】C【分析】先直接開(kāi)平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整體求出a2+b2即可．【詳解】解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，∴a2+b2﹣3＝±5，∴a2+b2＝3±5，∴a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2＝8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法和代數(shù)式求值，掌握運(yùn)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程和整體思想是解答本題的關(guān)鍵．3．已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個(gè)根是菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，則這個(gè)菱形的面積為（）A．6 B．10 C．12 D．24【答案】C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解確定出菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而求出菱形面積即可．【詳解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)為4和6，則這個(gè)菱形的面積為×4×6＝12．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了求解一元二次方程和菱形的面積公式，難度一般．4．對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，先定義一種新運(yùn)算“?”如下：m?n＝，若x?（﹣2）＝10，則實(shí)數(shù)x等于（）A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8【答案】A【分析】分和兩種情況，分別可得一個(gè)關(guān)于的方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，則，即，解得或（舍去）；（2）當(dāng)時(shí)，則，即，解得（舍去）；綜上，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正確理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，則的值為（）

A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與函數(shù)有交點(diǎn)，解方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再使用待定系數(shù)法求出k．【詳解】解：與相交，∴k＞0，設(shè)A坐標(biāo)為，B坐標(biāo)為，代入得∴∴（舍去）或，故答案選：D【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．6．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，連接，若線段與的夾角為，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)B作BKEF交AD于K，作BMGH交CD于M，則BK＝EF，BM＝GH，作∠KBN＝45°交DA的延長(zhǎng)線于N，得到∠ABN＝∠CBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BN＝BM，AN＝CM，根據(jù)勾股定理得到CM，過(guò)點(diǎn)K作KP⊥BN于P，設(shè)EF＝BK＝x，則BP可求，再列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BKEF交AD于K，作BMGH交CD于M，則BK＝EF，BM＝GH＝，∵線段GH與EF的夾角為45°，∴∠KBM＝45°，∴∠ABK＋∠CBM＝90°?45°＝45°，作∠KBN＝45°交DA的延長(zhǎng)線于N，則∠ABN＋∠ABK＝45°，∴∠ABN＝∠CBM，在△ABN和△CBM中，，∴△ABN≌△CBM（ASA），∴BN＝BM，AN＝CM，在Rt△BCM中，CM＝，過(guò)點(diǎn)K作KP⊥BN于P，∵∠KBN＝45°，∴△BKP是等腰直角三角形，設(shè)EF＝BK＝x，則BP＝KP＝BK＝x，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝是原方程的根，是增根，舍去，所以EF＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．若分式的值為零，則的值為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)分式值為的條件：分子為0，分母不為0，列式即可．【詳解】解：∵分式的值為零，∴=0且，解方程得，；解不等式得，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為零的條件，包含一元二次方程和一元一次不等式，解題關(guān)鍵是明確分式值為0，分子為0分母不為0，列出方程和不等式求解．8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知，則的長(zhǎng)度是_________．【答案】2【分析】設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程即可，進(jìn)而全等三角形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，由題意得：BE=BD=3，CE=CF=10，∴BC=BE+CE=BD+CF=13，在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，即（10+x）2+（x+3）2=132，整理得，x2+13x=0，解得：x=2，或x=15（舍去），即正方形ADOF的邊長(zhǎng)是2，∴DO=FO=2，∵△BOD≌△BOE，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．9．已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是零，則=______．【答案】【分析】由一元二次方程可知二次項(xiàng)系數(shù)不為0，得到關(guān)于k的一個(gè)不等式，由它有一個(gè)根是0，將0代入后又得到關(guān)于k的一個(gè)一元二次方程，綜合這兩個(gè)式子即可求解．【詳解】解：由題可得故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和一元二次方程根的的概念，解題過(guò)程中涉及到了解不等式和一元二次方程，因此牢記相關(guān)定義和計(jì)算步驟是解題關(guān)鍵．10．已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是2和3，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－4x＋3＝0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】8【分析】將方程左邊進(jìn)行因式分解后求出方程的兩個(gè)根，利用三角形的三邊關(guān)系可以判斷出三角形的第三邊長(zhǎng)是3，由此即可求出周長(zhǎng)．【詳解】解：由題可知：．不成立，由三角形的三邊關(guān)系可知它的第三邊長(zhǎng)為3，三角形周長(zhǎng)為2+3+3=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和解一元二次方程的內(nèi)容，學(xué)生需要掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論，題中方程用因式分解法解更為簡(jiǎn)便，該題考查了考生對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解與應(yīng)用以及靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠痰哪芰Γ?1．定義：如果兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，我們稱這兩個(gè)方程為“友好方程”，如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x＝0與x2＋3x＋m﹣1＝0為“友好方程”，則m的值_____．【答案】1或-9【分析】通過(guò)解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0為兩方程相同的實(shí)數(shù)根或x=2為兩方程相同的實(shí)數(shù)根兩種情況考慮：①若x=0是兩個(gè)方程相同的實(shí)數(shù)根，將x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，將m的值代入原方程解之可得出方程的解，對(duì)照后可得出m=1符合題意；②若x=2是兩個(gè)方程相同的實(shí)數(shù)根，將x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，將m的值代入原方程解之可得出方程的解，對(duì)照后可得出m=2符合題意．綜上此題得解．【詳解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是兩個(gè)方程相同的實(shí)數(shù)根．將x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，∴m=1，此時(shí)原方程為x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合題意，∴m=1；②若x=2是兩個(gè)方程相同的實(shí)數(shù)根．將x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，∴m=-9，此時(shí)原方程為x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合題意，∴m=-9．綜上所述：m的值為1或-9．故答案為：1或-9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解題的關(guān)鍵．12．對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”：．例如，因?yàn)?，所以．若是一元二次方程的兩個(gè)根，則_________．【答案】或【分析】首先解出一元二次方程的兩個(gè)解，然后根據(jù)定義新運(yùn)算分情況討論即可．【詳解】∵是一元二次方程的兩個(gè)根，，∴或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，分情況討論是關(guān)鍵．13．已知等邊，，連接，交于點(diǎn)，連接，，，若時(shí)，則__________．【答案】7【分析】延長(zhǎng)AD至G點(diǎn)，使得FG=FC，連接BG，CG，作BH⊥DG于H點(diǎn)，通過(guò)條件證明△ABD≌△CAE，得到△FGC為等邊三角形，再分別在Rt△BHG，Rt△BFH，和Rt△ABH中運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)AD至G點(diǎn)，使得FG=FC，連接BG，CG，作BH⊥DG于H點(diǎn)，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠ABD=∠CAE=60°，∵AE=BD，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，∴∠DFC=∠CAF+∠ACE=∠CAF+∠BAD=∠BAC=60°，∴△FGC為等邊三角形，∴∠FCG=60°，F(xiàn)C=GC，∵∠ACB=60°，AC=BC，∴△ACF≌△BCG，∴AF=BG，∠AFC=∠BGC=120°，∴∠BGH=60°，在Rt△BHG中，設(shè)GH=x，則BG=2x，BH=x，∴FH=FG-GH=5-x，則在Rt△BFH中，，解得：，（不符合題意，舍去）∴GH=，BG=AF=2GH=3，F(xiàn)H=，BH=，∴AH=AF+FH=，在Rt△ABH中，，∴AC=AB=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理解三角形等，靈活結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及常見(jiàn)證明全等的模型構(gòu)造出輔助線是解題關(guān)鍵．14．閱讀理解：對(duì)于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：理解運(yùn)用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0的解．解決問(wèn)題：求方程的解為_(kāi)__________．【答案】【分析】通過(guò)因式分解的方法把方程左邊分解因式，這樣把原方程轉(zhuǎn)化為x?3＝0或x2＋3x?1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【詳解】解：∵x3?10x＋3＝0，

∴x3?9x?x＋3＝0，

x（x2?9）?（x?3）＝0，

（x?3）（x2＋3x?1）＝0，

∴x?3＝0或x2＋3x?1＝0，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程：通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過(guò)因式分解來(lái)解．也考查了公式法解一元二次方程．三、解答題15．解方程：（1）x2﹣7x﹣18＝0（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣2；（2）x1＝3，x2＝1【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）把（2x﹣3）看成整體，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，（x﹣9）（x+2）＝0，∴x﹣9＝0或x+2＝0，∴x1＝9，x2＝﹣2；（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，∴x1＝3，x2＝1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a是方程x2＋2x﹣3＝0的一個(gè)根．【答案】；【分析】原式除數(shù)括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，再利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，求出方程的解得到a的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，∵a是方程x2＋2x﹣3＝0的一個(gè)根．∴或1，當(dāng)a=1時(shí)，原式無(wú)意義，舍去；當(dāng)a=-3時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求a的取值范圍；（2）請(qǐng)你給出一個(gè)符合條件的a的值，并求出此時(shí)方程的解．【答案】（1）；（2）此題答案不唯一，，，【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解；（2）令，利用因式分解法求解方程即可．【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程一般式為，∴，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．，；（2）此題答案不唯一．如，∴一元二次方程為，因式分解得，，．∴當(dāng)時(shí)，方程的根為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．已知是方程組的解．（1）求的值；（2）若已知一個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)為4，它的另外兩條邊的長(zhǎng)是方程的解，試判斷這個(gè)三角形的形狀并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）該三角形是直角三角形．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）將x與y的值代入原方程組即可求出a、b的值；（2）將（1）中求得a，b值代入，列出方程x2-8x+15=0，利用因式分解法求得該方程的兩根．然后判斷該三角形的形狀．【詳解】解：（1）把代入方程組，得，解得：．所以；（2）該三角形是直角三角形．理由如下：由（1）知，，則，．由題意知，．整理，得．解得，，所以該三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5．因?yàn)椋栽撊切问侵苯侨切危军c(diǎn)睛】本題綜合考查了二元一次方程組的解，三角形的三邊關(guān)系，因式分解法解一元二次方程，還考查了勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．19．對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算：．（1）求的值：（2）如果關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算“△”的運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)新運(yùn)算“△”的運(yùn)算公式將方程進(jìn)行變形，再根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解:（1）（2），整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0．∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴a＝0．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)新運(yùn)算“△”的運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算；（2）由原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，找出關(guān)于a的一元一次不等式及一元二次方程．20．閱讀理解：對(duì)于線段MN和點(diǎn)Q，定義：若QM＝QN，則稱點(diǎn)Q為線段MN的“等距點(diǎn)”；特別地，若∠MQN＝90°，則稱點(diǎn)Q是線段MN的“完美等距點(diǎn)”．解決問(wèn)題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)P(m，n)是直線y＝﹣x上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）已知4個(gè)點(diǎn)：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，則線段OA的“等距點(diǎn)”是，線段OA的“完美等距點(diǎn)”是．（2）若OP＝，點(diǎn)H在y軸上，且H是線段AP的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m＞0，是否存在這樣的點(diǎn)N，使點(diǎn)N是線段OA的“等距點(diǎn)”且為線段OP的“完美等距點(diǎn)”，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）B，C，E為等距點(diǎn)，C為完美等距點(diǎn)；（2）(0，)或(0，