練案68二項分布與超幾何分布

A組基礎鞏固9

一、單選題

1.(2025?四川內(nèi)江模擬)已知離散型隨機變量X服從二項分布X?B

則尸(X=2)=()

4070

A.243B.243

80160

C.243D.243

A

40

［解析］因為X?5,所以尸(X=2)=C先2*3=243.故選A.

2.(2025?浙江名校協(xié)作體適應性考試)設隨機變量X服從二項分布B

若P(論1)=0.9984,則。(㈤=()

A.0.16B.0.32

C.0.64D.0.84

C

［解析］P(A>l)=l-P(X=O)=l-C0xox?=i-“=0.9984,

4116

得〃=4,所以X?8,則。⑶=〃夕(1—0=4x5x5=25=0.64.故選C.

3.(2024?陜西漢中聯(lián)考)某實驗室有6只小白鼠，其中有3只測量過某項指

標.若從這6只小白鼠中隨機取出4只，則恰好有2只測量過該指標的概率為()

22

A.3B.5

33

C.5D.4

C

93

［解析］由題意，恰好有2只測量過該指標的概率為=15=5.故選c.

1/13

4.（2025?廣西示范性高中質(zhì)檢）甲同學每次投籃命中的概率為p,在投籃6

次的實驗中，命中次數(shù)X的均值為2.4,則X的方差為（）

A.1.24B.1.44

C.1.2D.0.96

B

［解析］由題意得X服從二項分布，為X?P（6,p）,E（X）=6p=2A,則

P=0.4,所以。（X）=62（1—p）=1.44.故選B.

5.（2024?安徽合肥質(zhì)檢）甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7

1

局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束）.已知每局比賽甲獲勝的概率均為5,則甲

以4比2獲勝的概率為（）

13

A.64B.32

515

C.32D.64

C

［解析］根據(jù)題意，甲運動員前5場內(nèi)需要贏3場，第6場甲勝，則甲以

15

4比2獲勝的概率為B3.2x5=32.故選c.

6.（2023?四川統(tǒng)測）某班在一次以“弘揚偉大的抗疫精神，在抗疫中磨煉成

長”為主題的班團活動中，擬在2名男生和4名女生這六名志愿者中隨機選取3

名志愿者分享在參加抗疫志愿者活動中的感悟，則所選取的3人中女生人數(shù)的

均值為（）

3

A.1B.2

5

C.2D.2

C

［解析］記所選取的3人中女生人數(shù)為X,則X的可能值為1,2,3,且

131

尸（X=l）==5,p（x=2）==5,p（x=3）==5,則X均值E（X）

2/13

131

=1X5+2X5+3X5=2.

4

秒殺解法：E(&=3x4+2=2.故選C.

7.(2024?廣西北海模擬)端午佳節(jié)，小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只

蜜棗粽子.現(xiàn)在兩人每次隨機交換一只粽子給對方，則兩次交換后，小明擁有

兩只蜜棗粽子的概率為()

11

A.3B.4

11

C.6D.8

D

［解析］由題意，只能第一次兩人交換相同的粽子，第二次小明用肉粽子

1

換小華的蜜棗粽子，所以尸=C?x2義2=8,故選D.

二、多選題

5

8.(2025?廣東部分學校質(zhì)檢)若隨機變量X?8(6,p),且尸(X=3)=16,則()

1

A.p=2B.E(X)=2

C.E(2X+1)=7D.。⑶=3

AC

5

［解析］因為X?8(6,p),所以尸(X=3)=C623(1—夕)3=16,整理得p(l—p)

111113

=4,解得夕=2,則E(&=6X2=3,E(2X+1)=2E(X)+1=7,Q(X)=6X2X2=2.

故選AC.

9.(2025?陜西渭南測試)某學校有甲、乙、丙三個社團，人數(shù)分別為

14、21、14,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行某項興趣調(diào)查.已知

抽出的7人中有5人對此感興趣，有2人不感興趣，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3

人做進一步的深入訪談，用X表示抽取的3人中感興趣的學生人數(shù)，則()

3/13

A.從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人

B.隨機變量X?8

15

C.隨機變量X的數(shù)學期望為7

2

D.若事件Z="抽取的3人都感興趣”，則P(Z)=7

ACD

土2L工

［解析］設甲、乙、丙三個社團分別需抽取x,?2人，則14=21=14=

7

14+21+14,所以戶2,尸3,z=2,所以從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)

分別為2人、3人、2人，所以A正確；隨機變量X的取值有1,2,3,P(X=1)=

142

=7,p(x=2)==7,p(X=3)==7,

所以隨機變量X的分布列為

X123

142

P———

777

所以B錯誤;

由期望公式可得隨機變量X的數(shù)學期望

14215

￡⑶=1X7+2X7+3X7=7,所以C正確；

2

因為P(N)=尸(X=3)=7,所以D正確.故選ACD.

三、填空題

10.(2024?陜西西安模擬)9粒種子分別種在3個坑內(nèi)，每個坑種3粒，每

粒種子發(fā)芽的概率為05若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補

種，若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種.假設每個坑至多補種一

次，每補種1個坑需10元，用X表示補種費用，則X的數(shù)學期望為.

15

4

4/13

1

［解析］每個坑需要補種的概率是相等的，都是3=8,所以此為3次

1

獨立重復試驗模型，每次試驗發(fā)生的概率都是8,所以需要補種的坑的個數(shù)的數(shù)

13315

學期望為3義&=&,補種費用X的數(shù)學期望為10x1=4.

11.（2025?廣東八校檢測）盒中有3個紅球、機個黃球、〃個綠球，所有球

除顏色不同外其他沒有任何區(qū)別.從盒中任抽兩球，抽到兩球均為紅球的概率

1

為5.從盒中任抽3個球，記其中紅球的個數(shù)為X,貝!］￡（&=.

3

2

1

［解析］設盒中共有左個球，則=5,解得左=6,依題意X滿足超幾何

33

分布X?//（6,3,3）,故￡（兇=3'6=2.

12.（2025?湖北部分地區(qū)開學考試）某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進行多

21

輪射擊對決.每輪射擊中，甲命中目標的概率為3,乙命中目標的概率為5.若每

輪射擊中，命中目標的選手得1分，未命中目標的選手得0分，且各輪射擊結

果相互獨立.則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為.

64

81

［解析］進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3包括命中目標3次或4次

164

或5次，所以概率尸=C33義2+c34X3+C5占81.

四、解答題

13.（2024?安徽三模）甲、乙兩人進行知識答題比賽，每答對一題加20分，

答錯一題減20分，且賽前兩人初始積分均為60分，兩人答題相互獨立.已知

甲答對每題的概率均為p,乙答對每題的概率均為q（0<"<q<l）,且某道題兩人

31

都答對的概率為10,都答錯的概率為§

5/13

(1)求p,q的值；

(2)乙回答3題后，記乙的積分為X,求X的分布列和期望E(X).

［解析］(1)由題意可得

解得

(2)X的可能取值為0,40,80,120,

8

P(X=O)=C0x3=125,

336

P(X=40)=C3X5X2=125,

54

P(X=80)=C3X2X=125,

27

P(X=120)=C3X3=125,

則其分布列為

X04080120

8365427

P

125125125125

8365427

E⑶=0x125+40x125+80x125+120x125=72.

14.(2025?廣東部分名校摸底)在一個密閉不透明的箱子中有五個淺色球，

其中一個球的標號為1,另一個密閉不透明的箱子中有五個深色球，其中兩個

球的標號為2,3.

(1)若在兩個箱子中各抽取兩個球，求抽取的四個球中，標號為1,2,3的三

個球中至少有兩個的概率；

(2)若在兩個箱子中共隨機抽取四個球，記其中淺色球的個數(shù)為X,求X的

分布列.

［解析］(1)由題意可得共有C3C先=100(種)不同的抽法，抽取的四個球中，

標號為1,2,或1,3的種數(shù)有C4c2c3,標號為2,3的種數(shù)有C@,抽到1,2,3的

種數(shù)有C4,合計C4c2c3+〃+C4=34(種)不同的抽法，所以抽取的四個球中,

6/13

3417

標號為1,2,3的三個球中至少有兩個的概率為100=50.

(2)由題意知，X的可能取值為0,1,2,3,4.

15

P(X=0)==42,p(x=l)==21,

105

P(X=2)==21,P(X=3)==21,

1

尸(X=4)==42,

所以X的分布列為

X01234

151051

P

4221212142

/B組能力提升9

1.(多選題)(2024?云南、廣西、貴州診斷性聯(lián)考)袋子中有2個黑球，1個

白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記0分，

黑球記1分，記4次取球的總分數(shù)為X,則()

A.X?B

8

B.P(X=2)=81

8

C.X的期望EQ0=3

8

D.X的方差。⑶=9

ACD

［解析］從袋子中有放回的隨機取球4次，則每次取球互不影響，并且每

次取到黑球的概率相等，又取到黑球記1分，取4次球的總分數(shù)，即為取到黑

球的個數(shù)，所以隨機變量X服從二項分布X?5,故A正確；又尸(X=2)

828

=C3x2x2=21,故B錯誤；因為X?8,所以E(&=4X3=3,故

7/13

218

C正確；因為X?8,所以。(X)=4X3X3=9,故D正確.故選ACD.

2.(2025?福建莆田一中測試)如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘

著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲?/p>

為通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰

到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到

右分別編號為0,123,4,5用X表示小球落入格子的號碼，則下面計算錯誤的是()

11

A.P(X=0)=32B.尸(X=5)=64

55

C.E(X)=2D.D(X)=4

B

1

［解析］設4="向右下落"，貝咽=“向左下落”，P(Z)=P回=2,因為小球

最后落入格子的號碼X等于事件Z發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過程中共碰撞小

1

木釘5次，所以X?8,0(X=0)=5=32,故A正確；P(X=5)

11515

=5=32,故B錯誤；￡(&=5X2=2,故C正確；。田=5義2=4,故

D正確.故選B.

3.(2025?湖南部分學校質(zhì)檢)下列說法錯誤的是()

A.若隨機變量6〃滿足〃=24—1且。?=3,則。(〃)=12

1

B.已知隨機變量X?8(〃，p),若E(X)=2,D(X)=1,則P=2

C.若事件2、8相互獨立，則尸(卻8)=尸(Z)

D.若/、8兩組成對數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分別為以=0.95、3=—0.98,則幺

組數(shù)據(jù)的相關性更強

8/13

D

［解析］因為〃=24—1且。(0=3,所以。(〃)=。(24—1)=22乂。(。=12,

故A正確；隨機變量X?5(〃，p),則E(㈤=〃夕=2,D(X)=np(l-p)=l,解得

1

p=2,故B正確；若事件2、8相互獨立，則尸(45)=尸(Z)尸(5),所以尸(卻5)=

PDABDPnADPOBn

尸口3口=PUBD=尸睇)，故C正確；若Z、5兩組成對數(shù)據(jù)的相關系數(shù)

分別為以=0.95、砧=—0.98,因為|明習■，所以8組數(shù)據(jù)的相關性更強，故

D錯誤.故選D.

4.(2024?福建永春一中等四校聯(lián)考)為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程,

某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動.競賽共有Z和8兩類試題，

每類試題各10題，其中每答對1道Z類試題得10分；每答對1道8類試題得

20分，答錯都不得分.每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽出3道題回答

(每道題抽后不放回).已知某同學Z類試題中有7道題能答對，而他答對各道

2

5類試題的概率均為I

(1)若該同學只抽取3道Z類試題作答，設X表示該同學答這3道試題的總

得分，求X的分布列和期望；

(2)若該同學在Z類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道

題的概率.

［解析］(1)X的所有可能取值為0,10,20,30,

1217

尸(X=0)==120,P(X=1O)==120=40,p(x=20)

6321357

=120=40,尸底=30）==120=24

所以X的分布列為

X0102030

17217

P

120404024

17217

所以E（》）=0xl20+10x40+20x40+30x24=21.

9/13

(2)記“該同學僅答對1道題”為事件

731219

尸(M)=10x2+10xC2x3.3=90,

19

???這次競賽中該同學僅答對1道題的概率為90.

5.(2025?遼寧七校協(xié)作體聯(lián)考)某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分

兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從Z類7道題中任選4道進行答題，

答完后正確數(shù)超過兩道(否則終止比賽)才能進行第二輪答題；第二輪答題從3

類5道題中任選3道進行答題，直到答完為止./類題每答對一道得10分，B

類題每答對一道得20分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝.總分70分或

80分為三等獎，90分為二等獎，100分為一等獎.某班小張同學Z類題中有5

3

道會做，8類5題中，每題答對的概率均為5,且各題答對與否互不影響.

(1)求小張同學被終止比賽的概率；

(2)現(xiàn)已知小張同學第一輪中回答的Z類題全部正確，求小張同學第二輪答

完題后總得分X的分布列及期望；

(3)求小張同學獲得三等獎的概率.

［解析］(1)從2類7道題中任選4道，其中2道會做，2道不會做，則被

終止比賽，

2

所以小張同學被終止比賽的概率為=7.

(2)由題意可知，X的所有可能取值為40,60,80,100,

8

貝I]P(X=40)=3=125,

36

產(chǎn)(X=60)=C3Xx2=125,

54

P(X=80)=C3X2x=125,

27

P(X=100)=C3x3=125,

所以X的分布列為

10/13

X406080100

8365427

P

125125125125

8365427

所以E（X）=40xl25+60xl25+80xl25+100x125=76.

（3）小張獲得三等獎，共有兩種情況，

①第一輪得30分（答對3道），則第二輪得40分（對2道），概率為-C3-

2

2x5.

②第一輪得40分（答對4道），則第二輪得40分（對2道），概率為<3-

2

2x5,

22

所以小張同學獲得三等獎的概率為<3-2義5+C3-2x5=

54

175.

組拓展應用（選作）；?

（2025?河南五育聯(lián)盟綜合測試）某公司舉行年終聯(lián)歡活動，每位員工可從下

表所示兩種方案中選擇一種抽取紅包.

4個紅包內(nèi)分別裝有現(xiàn)金200元、400元、600元、800元，參與抽紅

方案一

包的員工可從中隨機抽取2個；

員工通過手機掃描公司提供的二維碼進入活動頁面抽取紅包，每位員

方案二工可抽4次，每次抽中紅包的概率均為0.5,每個紅包的金額均為。元.

已知員工甲通過方案一抽取紅包，員工乙通過方案二抽取紅包，記甲、乙

抽取的紅包總金額分別為x