2024-2025學年湖南省岳陽市岳陽縣第一中學高一下學期7月月考

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復數(shù)z滿足(l-i)z=l—3i,則復數(shù)[z|=()

A.0B.<5C.2A<2

2,已知向量0=(1,5),b=(0,3),M|a—6|=()

A.V"3B.<5C.3

3.函數(shù)f(2x)的定義域為[0,1),則/(I—3x)的定義域是()

A.(-2,1]D.(-2,4]

4.已知點4(1,-1,2)在平面a上，其法向量元=(2,-1,2),則下列點不在平面a上的是()

A.(2,3,3)B.(3,7,4)C.D.(-2,0,1)

5.在回ABC中，a=2,〃=會M=居，則c=()

A.苧B.A<2C.孚D.V6

6.已知x為正實數(shù)，y為非負實數(shù)，且比+2y=2,則學+篝的最小值為()

A.J3B，97C.[3D.《9

4422

7.如圖，在回2BC中，AB=AC=^3,BC=2/2.。是棱BC的中點，以力。為折痕把回4CD折疊，使點C

到達點的位置，則當三棱錐L-4BD體積最大時，其外接球的表面積為()

8.已知隨機事件力和8互斥，4和C對立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,則PQ4UB)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知zn,九是異面直線，a,3是兩個不重合的平面，mua,nc/?,那么()

A.當m1B,或九1a時，alp

B.當a1夕時,nt工S,或n1a

C.當m〃S，且7i〃a時，a〃B

D.當a,/?不平行時，？n與/?不平行，且71與a不平行

10.在直角坐標系汽。y中，已知點4(一1,1),8(-2,3),。(一3,2),且赤=m荏+九前(磯九€R),則下列說

法正確的是()

A.若91前,則m=n

B.若且5+而+麗=6,貝！］2租+幾=1

C.若點P在直線上，貝IJ3TH+3TI=5

D.若Q在前方向上的投影向量的坐標是(2,-1),則m-n=-3

11.將函數(shù)f(x)=2sin(2x-勻的圖像向左平移0(8>0)個單位長度，得到函數(shù)。(久)的圖像，下列說法正

確的是()

A.當"剃寸，g(x)為偶函數(shù)

B.當8=軻，g(x)在區(qū)間卜另］上單調遞增

C.當8=押，。(久)在區(qū)間卜?||上的值域為［0,4司

D.當0=押，函數(shù)y=g(x)—看在區(qū)間［―晨］上有2個零點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如圖，四邊形4BCD是邊長為2的正方形，EDI平面力BCD,FC_L平面2BCD,

ED=2FC=2,則異面直線4E與BF所成角的余弦值為.

-TTC

13.在團ABC中，44=5，a=l，若回力BC存在且唯一，貝柏(6eZ)的一個取值

為.

14.如圖，點P是棱長為1的正方體4BCD-&B1GD1上底面的一個動點，直線4P與平

面4BCD所成的角為60。，則點P的軌跡長度為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知點4(一2,1),8(2,3),C(-l,-3)：

(1)若BC中點為D,求過點力與。的直線方程；

(2)求過點B且在x軸和y軸上截距相等的直線方程.

16.(本小題12分)

我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，

獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9組，制

成了如圖所示的頻率直方圖.

|頻率

礪

0.50------------

0.42------------

16

12

O8

O4

00.511.522.533.544.陰均用水量/噸

(1)求直方圖中a的值；

(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)；

(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).

17.(本小題12分)

對于函數(shù)/(X),若在定義域內存在實數(shù)X,滿足/(-%)=-/O),則稱/(X)為“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù)f(x)=a/+2x—4a,aER,試判斷f(x)是否為“局部奇函數(shù)”，并說明理由；

(2)若/(x)=4*-爪?2*+1+zu?一1為定義在R上的“局部奇函數(shù)”，求函數(shù)/(%)在久e的最小值.

18.(本小題12分)

如圖，圓臺。1。2的軸截面為等腰梯形44CG，4C=2441=2&G=4,B為底面圓周上異于4C的點.

(1)在平面BCG內，過G作一條直線與平面414B平行，并說明理由；

(2)設平面C平面GC8=1,QeZ,BG與平面Q4C所成角為a,當四棱錐B—44CQ的體積最大時,

求sina的取值范圍.

19.(本小題12分)

設數(shù)列｛廝｝是1,2,…,n(neN*)的一個排列.由｛aj中連續(xù)r項組成的集合稱作“｛an｝的長為r的子列集”，

其中1<r<九任取不大于n的正整數(shù)s,3當st>n時,若數(shù)列的任意長為s的子列集B=｛瓦也，…也｝

和數(shù)列1,2的任意長為t的子列集。=｛4。2,…,cj,都有BCC不。，則稱數(shù)列｛an｝為“好數(shù)列”.

(1)判斷下列數(shù)列是否為“好數(shù)列”：

①1,3,5,2,4；②1,4,6,2,5,3.

(2)證明：由1,2,…,n的排列構成的所有“好數(shù)列”中，存在首項不超過［殍］的“好數(shù)列"(［%］表示不超過

x的最大整數(shù))；

(3)若數(shù)列｛斯｝為“好數(shù)列”，求n的最大值.

答案解析

1.【答案】B

【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算結合模長公式進行求解.

【詳解】由題意得z=F=左等含=2—i，

1-1(1-1)(1+1)

所以|z|=J22+(—1)2=VT,

故選:B.

2.【答案】B

【解析】【分析】利用向量線性運算的坐標表示，再利用坐標計算模即得.

【詳解】向量2=(1,5),b=(0,3),則方_石=(1,2),

所以|五一3|=,12+22=/5.

故選：B

3.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)題意先求出f(x)的定義域，即可求出“1-3久)的定義域.

【詳解】因為/(2久)的定義域為［0,1),則在f(2x)中，0Wx<l,所以0W2久<2,

所以/(%)的定義域為［0,2),

11

則在/(I-3%)中，由0<1—3x<2解得一豆<%

所以「(I—3為的定義域是(―：身.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.

【詳解】4(1,—1,2)

對于4記4(2,3,3),則標=(1,4,1).

因為磯-n=(1,4,1)-(2,-1,2)=2-4+2=0,所以點4(2,3,3)在平面a上

對于8：記B(3,7,4),則說=(2,8,2).

因為西-n=(2,8,2)-(2,-1,2)=4-8+4=0,所以點8(3,7,4)在平面a上

對于C：記C(—1,—7,1),則AC=(—2,—6,—1).

因為前?n=(-2,-6,-1)-(2,-1,2)=-4+6-2=0,所以點C(-l,—7,1)在平面a上

對于。：iHD(-2,0,1),則而=(一3,1,—1).

因為而?n=(-3,1,-1)-(2,-1,2)=-6-1-20,所以點D(—2,0,1)不在平面a上.

故選：D

5.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.

【詳解】在回ABC中，由乙4=］乙8=秒，得"=

31Z4

由正弦定理告=嶗，得。=萼=竽.

sinesin力sin^-3

故選：C

6.【答案】B

【解析】【分析】變形式子業(yè)+冬，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

xy+1

【詳解】由％為正實數(shù)，y為非負實數(shù)，得%>0,y+lNl,由X+2y=2,得久+2(y+l)=4,

于是包+空=x+」+^^=x+2y—2+工+三

xy+1xy+1"xy+1

1211212(y+l)2x

xy+141xy+14Lxy+1

2^5+2/乎焉］=3,當且僅當考生=金，即久=y+1=々時取等號，

所以當％=口=上寸，包+冬取得最小值也

3,3xy+14

故選：B

7.【答案】D

【解析】【分析】C'D，平面48。時，三棱錐L-4BD體積最大，把三棱錐補形為一個長方體，求出外接

球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.

【詳解】在回ABC中，AB^AC,。是8c的中點，則有4。1BC,

CD=DB=yT2,AD=7AB2-BD2=1,

當C'D_LBD,即C'。_L平面48。時，三棱錐L體積最大，此時C'D,DB,兩兩垂直，

可把三棱錐C'-ABD補形為一個長方體，且長方體長、寬、高分別為：

所以三棱錐的外接球半徑為R=」BD2+A}+CD2=矛+吁+―)2=苧，

2

所以外接球的表面積為S=4TIR2=4冗X(")=5K.

故選：D.

8.【答案】D

【解析】【分析】利用對立事件概率公式和互斥事件加法公式計算即可.

【詳解】由4和C對立，P(C)=0.8,可得PQ4)+P(C)=L解得P(2)=0.2,

又由隨機事件力和B互斥可知PQ4B)=0,

由P(4UB)=PQ4)+P⑻-P(4B),

將PQ4)=02P(B)=0.3代入計算可得P(4UB)=0.5.

故選：D.

9.【答案】AC

【解析】【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關系，結合選項依次判斷即可.

【詳解】對于4：當zn1￡,mua時，a_L0；

當Ti1a,TIUS時，al。，故A正確；

對于B：當a1￡時，由mua,得或ni與￡相交；

當a10時，由nu。，得zi〃a或ri與a相交，故B錯誤；

對于C：當m〃°,n〃a時，又為異面直線，所以a〃夕，故C正確；

對于。：當a,0不平行時，可能n?//0或小與￡相交，幾〃a或n與a相交，故。錯誤.

故選：AC

10.【答案】AC

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標運算求出而，再結合數(shù)量積、共線向量、投影向量的意

義依次判斷得解.

【詳解】依題意，AB=(一1,2),前二(一2,1),就=(-1,-1),

則3少=mAB+nAC=m(-1,2)+n(-2,1)=(—m—2n,2m+n),

對于4由3?1月乙則麗?月T=m+2九一2/n—ri=幾一TH=0,A正確；

對于8,TA=(-1+m+2n,1—2m—TI),TB=(-2+zn+2n,3—2m—n),TC=(-3+m+2n,2—

2m—ri),

由方+而+近=6,得［一?+刎+?，—］，解得m=71=|,即2m+幾=2,5錯誤；

(6—6m—3n=03

對于C,依題意，麗=(-2+6+2%3—26一幾),后？=(—1,一1)共線，貝歸血+3荏=5,C正確；

對于。，由Q在前方向上的投影向量是(2,-1),得而?前二前,(2,-1),

則一2(1—m—2n)+2m+n—1=—5,BP4m+5n=-2,Q錯誤.

故選：AC

11.【答案】AD

【解析】【分析】由平移變換以及正弦函數(shù)的性質逐一判斷即可.

【詳解】當6=、時,g(x)=2sin(2x+亨)=-2cos2x,g(—x)=-2cos2x=gQ)是偶函數(shù)，A正確；

當”軻，g(x)=2sin(2x+*因為輔],2%+G[-^^],所以g(X)=2sin(2x+在區(qū)間

[-9當上不單調，8錯誤；

當0=押，g(x)=2sin9％+占)，因為刀6卜屋],2%+e[o,y],所以g(x)=2sin(2x+§e[0,2],

C錯誤；

當e=；時,y=g(x)=)=2sin(2x+g)一看,令2sin(2x+g)=看=0,即sin(2x+,=’,由圖可知,

函數(shù)y=sin(2%+勻在卜黑]上的圖像與直線y=卷有2個交點，D正確.

故選：AD

12.【答案】

【解析】【分析】取ED的中點為G,連接4G,FG,由已知條件可證得四邊形ABFG為平行四邊形，所以

BF//AG,所以NE4G是4E與BF所成的角，在△AEG中，利用余弦定理可求得結果

【詳解】因為ED平面ABCD,FC_L平面4BCD,所以ED〃FC.

取ED的中點為G,連接4G,FG,如圖，

因為ED=2FC,所以DG=FC,S.DG//FC,

所以四邊形CDGF為平行四邊形，則FG〃C。且FG=CD.

又四邊形2BCD為正方形，所以CD〃4B,CD=AB,

所以FG//71B且FG=AB,

所以四邊形4BFG為平行四邊形，貝UBF〃4G,

所以NR4G是4E與BF所成的角.

由正方形ABC。的邊長為2,ED=2FC=2,可得AE=AG=A,EG=1,

AG2+AE2-EG25+8—1_3/l0

在44EG中,由余弦定理得cosz■瓦4G=

2AE-AG2x275x7?—10

故答案為：得

13.【答案】5（答案不唯一）

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.

【詳解】在回ABC中，乙4=]a*,由正弦定理工=號，得sinB=X=S

62smBsm力a5

由13aBe存在且唯一，知sinB=1或sinB<1且6<a,解得6=5或0<6W?，而beZ,

所以6的一個取值為5.

故答案為：5

14.【答案】粵

【解析】【分析】先利用直線2P與平面48CD所成的角為60。，求得點P的軌跡，進而求得點P的軌跡長

度.

【詳解】因為直線4P與平面ABCD所成的角為60。，

所以點P的軌跡在以4為頂點，底面圓的半徑為苧，高為1的圓錐的側面上，

又因為點P是正方體ABCD-4當?shù)膮采仙系囊粋€動點，

所以點P的軌跡為圓弧，如圖所示，

則點P的軌跡長闿X2"梟等

故答案為：詈

15?【答案】【詳解】(1)由題意，B,C的中點。(qi,早)，即由兩點式直線方程得直線的方

程為：y—1=j~~(x+2),即2久+5y—1=0；

(2)當過B點，且在x,y軸上的截距為。時，直線方程為y=^x,即3x-2y=0；

設當在X,y上截距小不等于0時直線方程為三+上=1,

將B點坐標代入得2+—=1".TH=5,即％+y-5=0；

綜上，(1)/。直線方程為2%+5y-1=0,(2)過8點并且在久，y軸上截距相等的直線方程為3%-2y=0或

%+y—5=0.

【解析】【分析】(1)先求出。點的坐標，再根據(jù)兩點式方程求出直線4。的方程；

(2)根據(jù)截距等于0和不等于0,運用截距式方程求解.

16.【答案】【詳解】(1)由頻率直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08x0.5=0.04.

同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,

0.02.

由1—(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5xa+0.5xa,角星得a=0.30.

(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000x0.12=36000.

(3)設中位數(shù)為x,

因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5.

而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,

所以2<x<2.5,由0.5x—2)=0.5—0.48,解得x=2.04,

故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04.

【解析】【分析】(1)利用頻率之和為1可求a的值；

(2)先求解月均用水量不低于3噸的頻率，然后可得人數(shù);

(3)設出中位數(shù)，根據(jù)頻率為0.5建立方程，可求中位數(shù).

17.【答案】【詳解】(1)當/(%)=。%2+2%—4磯。€陽時，萬程門；%)+/(—%)=0,即2磯%2-4)=。有

解，

解得％=±2,

所以/(%)為“局部奇函數(shù)”.

(2)當/(%)=4X—m-2X+1+TH?—i時，f(x)+/(—%)=0可化為

4X+4r-2m(2x+2-x)+2m2-2=0,

令t=2%+2—%6[2,+oo),貝Ij4'+4T=/一2,

從而關于t的方程/一2mt+2m2-4=0在[2,+8)上有解即可保證/(%)為“局部奇函數(shù)”，

令F(t)=t2-2mt+2m2—4,

①當F(2)<0時，t2-2mt+2m2-4=0在[2,+8)上有解，

由F(2)W0,BP2m2-4m<0,解得04瓶<2；

②當F(2)>0時，t2-2mt+2m2-4=0在[2,+8)上有解等價于

'△=4m2—4(2m2—4)>0,

m>2,此時無解.

、F(2)>0,

則所求實數(shù)機的取值范圍是｛m[0<m<2].

令2%=s,因為％€[—1,1],所以sC[義,2小

則/(%)=4X—m-2X+1+m2—1=s2—2ms+m2—1,

令g(s)=s2-2ms+m2-1,對稱軸為s=m,

當時，g(s)在sE七而]單調遞增，所以s=g時，g(s)取得最小值，,g(5)min=g(^=rn2-m-

*即％=-1時/(%)min=瓶2-加一彌

當2Vm<2時，s=m時，g(s)取得最小值，g(s)min=?9(租)=-1，

即2K=TH時，f(x)min=一L

1o

綜上，當0<血<5時，f(x)min=m2-m--；

1

2-

【解析】【分析】(1)直接解方程/(%)+/(—X)=0,方程有解即得；

(2)由方程f(x)+/(—)=0有解，設t=2,+2T換元后轉化為關于t的二次方程在[2,+8)上有解，可結合

二次函數(shù)的性質或二次方程根的分布知識可得｛m|0<m<2],然后通過分類討論求函數(shù)的最小值.

18.【答案】【詳解】（1）取BC中點P,作直線C1P,則直線QP即為所求,

取力8中點連接則有=*C,如圖，

在等腰梯形&2CC1中，&Ci=；4C,有HP〃&Ci，HP=&C「則四邊形為C1PH為平行四邊形,

即有C】P〃a"，又4"U平面力MB,GPC平面414B,

所以GP〃平面

（2）延長44,CCi交于點。，作直線B0,則直線B。即為直線如圖，

過點B作B。'14C于。'，因為平面力lACCi1平面4BC,平面n平面ABC=AC,BO'u平面力BC,

因此B。'1平面AiACCi，即B。'為四棱錐8—AiACCi的高，在RtElABC中，^ABC=90°,

B0,=絲蘆="c,當且僅當84=8。時取等號，此時點。'與。2重合，

梯形a/CG的面積S為定值，四棱錐B—的體積/-4遇“1=廣?BO',

于是當BO,最大，即點。'與。2重合時四棱錐8-&4CC1的體積最大，BO21AC,BO2=2,

以。2為原點，射線。24。2昆。2。1分別為居％z軸的非負半軸建立空間直角坐標系，

在等腰梯形4/1CC1中，AC=2441=2&C1=4,此梯形的高h=J二街一（"券1）2=，耳,

顯然41cl為團的中位線，則。(0,0,2門),4(2,0,0),8(0,2,0),Ci(—l,O,C),

西=(-1,-2,<3),^45=(-2,2,0),BO=(0,-2,2<3),0^4=(2,0,0),

設的=ABO.A.GR,則而=AB+^Q=AB+ABO=(-2,2-22,2/3A)

行.A2y=Q_

一,2L,令y=V~3A,得元=

｛n-AQ=-2x+(2-2A)y+2/3Az=0

(0,AA3A,A-1),

則有sina=|cos(n,BG)|=球=11小丁5=T”，

|n|111J(/3A)2+(A-1)2XJ(-l)2+(-2)2+(<3)22/2XJ4A2-2A+1

令t=4+1,則sina=-------產㈤=,當t=0時，sincr=0,

2V-2xj4t2-10t+7

當t力。時，0<sina=——^==——廣/字,當且僅當t=(，即4=|時取等號，

2g4-v+4r~15?3455

7t2t2<2X7(衿)+y

綜上得

0<sina<q

所以sina的取值范圍是［0,孚］.

【點睛】思路點睛：求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個三角函數(shù)建立起選定

變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可.

【解析】【分析】(1)取8C中點P,作直線GP,再利用線面平行的判定推理作答.

(2)延長4&,CCi交于點。，作直線BO,再確定四棱錐體積最大時，點B的位置，然后建立空間直角坐標

系，利用空間向量建立線面角正弦的函數(shù)關系，求出其范圍作答.

19.【答案】【詳解】(1)對于①：檢驗可知①是“好數(shù)列”；

對于②：例如s=2,t=3,取長為2的子列集8={6,2}和長為3的子列集。={3,4,5},

此時8nC=0,所以②不是“好數(shù)列”.

(2)若a】,a?…，廝是"好數(shù)列"，可知存在仇=q(lWiWs,1WjWt).

令B'={n+1一瓦,？1+1—,n+1一/>s}與C'={n+1-c1,n+1—c2,…,n+l-c1},

于是集合B'和C'也分別是數(shù)列7?+1—a],n+1—a2,■■■,n+1—a”和數(shù)列1,2,…，n的子列集，

又存在d=g(l<i<s,l<j<t),得ri+l-bi-n+l-Cj(l<i<s,l<j<t).

因此B'CC'大。.

所以，數(shù)列71+1-的,n+1-。2,…,n+1-即也是“好數(shù)列”.

設aI與n+1