2024.2025學(xué)年甘肅省甘南州夏河縣藏族中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(%)=爐+Q為2+力無+C,下列結(jié)論中錯誤的是()

A.3x0eR,/(a)=0

B.函數(shù)y=/(x)的圖象是中心對稱圖形

C.若工。是f(x)的極小值點，則/1(%)在區(qū)間(-8,&)單調(diào)遞減

D.若&是/(%)的極值點，則/'(沏)=0

2.已知正四棱柱人員?。一48￡。］中,44=245,￡為441中點,則異面直線8/與。。1所成角的余弦值為()

3/10

?^0-

3.設(shè)廠(乃是奇函數(shù)fQOa6R)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)%>。時，xf(x)-/(X)<0,則使得/(x)>0

成立的工的取俏范圍是()

A.I-co,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)C.(-co,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+oo)

4.己知萬=區(qū)AC=b,麗=5正，■+麗+而=6,則同=()

5.記動點P是棱長為1的正方體的對角線BO1上一點，記=X.當(dāng)41PC為鈍角H寸，則;I

的取值范圍為()

A.(0,1)B.("C.(04)D.(1,3)

6.若定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/''(x),且滿足(x)>/(X),/(2022)=e2022,則不等式/6伉工)V

海的解集為()

inP6066B.(O,e2022C.(e2022,+8)

7.已知直角梯形A8CD中，AB//DC,乙43c=90。，P是邊8C上一點(不包括8、。兩點).若兩二2,|近|=4,

R\CD\=\AB\+\BP\,則瓦？?麗的最小值為()

8.已知函數(shù)/(%)=表,g(x)=-+2x+Q-1,若V》1，x2e(0,+oo),都有/(勺)Ng(M)恒成立，則實數(shù)

Q的取值范圍為()

A.(—co,e)B.(-8,e]D.(一喈)

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/"(%)=與工，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)存在兩個不同的零點

B.函數(shù)/?(、)既存在極大值又存在極小值

C.當(dāng)一e<kV0時，方程/'(%)=k有且只有兩個實根

D.若“￡匕+8)時，fMmax=4,則￡的最小值為2

10.已知在正三棱錐P-4BC中，PA=3,48=2,點。為BC的中點，下面結(jié)論正確的有()

A.PC1ABB.平面PAD1平面尸8c

C.PA與平面PBC所成的角的余弦值為JD.三棱錐P-48c的外接球的半徑為，5

11.設(shè)函數(shù)/(%)=e2x-8ex+6x,若曲線y=/'(x)在點尸(々，/(勺))處的切線與該曲線恰有一個公共點P，則

詵項中滿足條件的均有()

A.-In2B.In2C.In4D.InS

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(?是(上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為廣Q),且/⑴=0,當(dāng)％>0時，/-/(x)>

0,則不等式/?(》)>0的解集為.

13.若向量五=(%,-4,-5),了=[1,一2,2),且五與石的夾角的余弦值為一今，則實數(shù)％的值為___.

14.已知側(cè)棱長為C的正四棱錐S-4BC0的所有頂點都在球。的球面上，當(dāng)該棱錐體積最大時，底面718CD

的邊長為,此時球。的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1.

(1)若Q=1,求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)若函數(shù)/(》)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+oo),求實數(shù)Q的值.

16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD-AiBiCiQ中，E為BBi的中點.

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。求證:8Ci〃平面4JE：

?！?求直線"1與平面所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(%)=x3+ax2+b在%=2處有極值-2.

(1)求/(%)的解析式;

(2)求f(x)在［-2,3］上的最值.

18.(本小題15分)

如圖，已知矩形力BCD所在平面垂直于直角梯形力8PE所在平面于直線48,且4B=8P=2,AD=AE=1,

AELAB,RAE//BP.

(I)設(shè)點M為棱P。中點，求證：EM〃平面ABC。：

(II)線段PD上是否存在?點N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于￡?若存在，試確定點N的位置;

若不存在，請說明理由.

19.(本小題17分)

如圖1,在梯形A8CD中，AB//CD,AELCD,垂足為E,AB=AE=^CE=1,OE=JI.將△ADE沿力E

翻折到△「｛心如圖2所示.M為線段P8的中點，且ME_LPC.

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答案解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、單調(diào)性與極值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與方法，考查了分類討論的思想方法等基本

方法.屬于中檔題.

由函數(shù)/"(%)的值域為R判斷A項正確;假設(shè)函數(shù)是中心對稱圖形，利用待定系數(shù)法求出對稱中心，，判斷8項

正確;求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而判斷。項錯誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義判斷。項正確.

【解答】

解：由函數(shù)/(無)的值域為R知/(無)=0有解，所以4項正確；

由/(%)—c=x3+ax2+bx.

假設(shè)函數(shù)g(x)=必+ax2+以是中心對稱圖形，其對稱中心為(皿九)，

則g(m+X)+g(m—x)=2n?

???(m+x)3+a(m+x)2+b(m4-x)+(m—x)3+a(m—x)2+b(m-x)=2n

整理得(6?n+2a)x2+2m3+2am2+2bm=2n

,對任意的％WR恒成立，

(6m+2a=0

"<2m34-2am2+2bm=2n

???匡數(shù)g(x)=x3+ax2+bx的對稱中心為(一Ja,總a?

32

???/(x)=x+ax+bx+c的對稱中心為(一Ja,總涼-Lab+c),即8正確；

若/(乃有極小值點，貝"'(%)=0有兩個不等實根修，X2(X!＜町)，

f'(%)=3X2+2QX+b=3(%-%1)(%-％2)，則/'(X)在(-8,匕)上為增函數(shù)，在(%1，%2)上為減函數(shù)，在

。2，+8)上為增函數(shù)，則％2是函數(shù)f(x)的極小值點，但是/(%)在區(qū)間(一8,小)不具有單調(diào)性，故。項錯誤;

若看是/'(為的極值點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則/'(&)=0,。項正確.

故選C.

2.【答案】C

【解析】【分析】

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本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

由知上&BE是異面直線BE與CDi所形成角(或其補角)，由此能求出異面直線BE與CD1所形成角

的余弦值.

【解答】

???正四棱柱工88-43佟1。1中,AAi=2AB,E為力建中點,

?:RAJ〃7\,.?.乙41BE是異面有線BE與CDi所形成角(或其補給,

設(shè)A%=2AB=2,

則AE=1,BE=Vl2+12=y/1^

=VI24-22=75，

222

A^+BE-AyE

ACOSZ^E=2.A}B.BE

5+2-1

-2x>/5x/2

3/1(5

10

.?.異面直線8E與。。1所成角的余弦值為嚼.

故選：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題.

由已知當(dāng)%>0時總有%/'(%)_/(%)<0成立，可判斷函數(shù)g(x)=§為減函數(shù)，由已知/(乃是定義在R

上的奇函數(shù)，可證明9(%)為(-oo,O)U(0,+8)上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性和奇偶性,

模擬g(x)的圖象，而不等式/(%)>0等價于％?g(x)>0,數(shù)形結(jié)合解不等式組即可.

【解答】

第6頁，共19頁

解：設(shè)g(%)=苧,則g(%)的導(dǎo)數(shù)為：

g/)=筆盤，

-=X>0時總有(x)</?(%)成立，

即當(dāng)%>0時，g'(%)恒小于O

???當(dāng)>>0時，函數(shù)。(無)=與為減函數(shù)，

叉;g(-x)=粵=當(dāng)=與=9Q),

??展數(shù)9。)為定義域上的偶函數(shù)

又"(T)=尊=0.

.?展數(shù)g(x)的圖象性質(zhì)類似如圖：

數(shù)形結(jié)合可得，不等式/(X)>0Q無?g(x)>0

(x>0<0

=1g(x)>0或lg(%)<0'

<=>D<%<1或％<-1.

故選：A.

4.【答案】C

【解析】解：因為而=!前,而=方，AC=b>

所以而=而+前=荏+白(近一而)=,通+J前,

因為￡5+麗+元=G，所以G為△4NC的重心，

所以刀=|x；函+而)

1一2一1一

=(AC+-^AB+q力。)

。OO

=翔+翔=2孤

第7頁，共19頁

故選:c.

根據(jù)向量的線性運算得到而=，南+J而，根據(jù)出+而+而=6得出G為△4NC的重心，利用三角形重

心的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運算，用而，m表示布即可.

本題考查平面向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-秒z,

則有力(1,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),5(001)

由麗=(1,1,-1)，得用=4用=(尢尢一冷，

所以可=西+對=(一尢一兒入)+(1,0,—1)=(1一尢-1,1-1)，

卮=呵+庠=(一九一九入)+(0,1,-1)=(-2,1-A,A-1)

因為N/PC不是平角，

所以乙APC為鈍角等價于cosz/lPC=cos<PA，PC>=篇篇<0,

則等價于可?定VO

即(1-1)(-1)+(-1)(1-1)+(1-I)2=(A-1)(32-1)<0,得:<A<1

因此，入的取值范圍是1).

故選&

由"PC不可能為平角，則4APC為鈍角等價于N/1PC為鈍角等價于可?~PC<0,用關(guān)于入的字母表示西?PC<

0,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可.

本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

6?【答案】/1

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【解析】解：設(shè)g(x)=竽，???/'(%)>/(%)，

?W㈤)紇

二函數(shù)g(%)在R上是增函數(shù),①

??"(2022)=e2022,y/x=四娟

，溫松)<也。窄<1=警,

e3

即g(]nx)Vg(2022),

2022,解得0<%</°66,

不等式/弓仇》)<好的解集為(。,。6。66).

故選：A.

設(shè)。。)=與，求導(dǎo)后判斷單調(diào)性，根據(jù)/(2022)=/。22,誑=即(版)=*弋可將f(基心)<遮等價轉(zhuǎn)

cD

化為g*仇x)vg(2022),再利用g(x)的單調(diào)性脫“g”，解不等式即可.

本題考資利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考直等價轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯思維能力與運算求解能力，屬于中檔

題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，以C為原點，C。為X軸，為y軸建立直角坐標(biāo)系，Ay

如圖所示：8匕7^

因為麗[=2，瓦|=4，所以C(0,0),8(0,4),4(2,4),0卜、\

設(shè)P(0,m)(0<mV4),|\

C-------------------

\CD\=\AB\+\BP\，所以CD=2+(4-機)=6-/n,

所以D(6-m,0),

所以方=(2,4_?n)，~PD=(6-m,-m)，

所以兩?PD=2(6—zn)—m(4—m')=m2—6m+12?

因為0Vm<4,所以當(dāng)m=3的，而?而有最小值為3.

故選：C.

以C為原點，CO為%軸，CB為y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

解.

本題主要考查平面向量數(shù)量積運算，考直轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想與運算求解能力，屬于中檔題.

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8.【答案】C

I解析]解:/(x)=%g(x)=-x2+2x+a-1,

若V/，X2e(0,+oo),都有/Oi)之。。2)恒成立，則f(X)mENgQ)max(X￡(0，+8))?

/'(%)=學(xué)聲，當(dāng)0<XV1時，/z(X)<0,八為單調(diào)遞減；

當(dāng)X>1時，/'(X)>0,/(%)單調(diào)遞增，故/(X)的最小值為/(X)=

乂9(X)max=。，

所以a4.

故實數(shù)a的取值范闈為(-8,]].

故選：C.

根據(jù)題意，fwmin>gwmaxt求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/()的最小值,利用二次函數(shù)的關(guān)系，求得9(%)

的最大值，即可求得Q的取值范圍.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值與最值，函數(shù)“任意”與“存在”問題，考查轉(zhuǎn)化思想，計算

能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象的可能情況.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：廣(乃=券+2,令/‘(約=0,解得％=-1或%=2,

當(dāng)XV—1或x>2時，ff(x)<0，故函數(shù)/■(%)在(一8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)一IV%V2時，

/(%)>0,故函數(shù)在(-1,2)上單調(diào)遞增,

且函數(shù)/■(%)有極小值/(-1)=-e,有極大值/(2)=也當(dāng)％8時，/(x)T+8,當(dāng)％->+8時，/(X)T0,

故作函數(shù)大致圖象如圖所示，

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10.【答案】AB

【解析】解：對于.如圖，連接P。，AD,易得PD18C,AD1BC,

7ADC\PD=D,???BC_L平面AP。，

vBCu平面P3C,平面4PO_L平面PBC,

APA1BC,同理PCJ.48,故選項力，8正確；

對于為P4與平面PBC所成的角，在△力PD中，PD=73^7=2y/2

AD=V22—1=，^，

根據(jù)余弦定理得COS41PD=32+：?：縝）2=等,故選項C錯誤；

/X3X/V/

對于D.取△力8c的重心為01，連接POi，設(shè)外接球的球心為0,半徑為R，連接力0,在R￡Z\/400i中，可得髀=

（再一R>+（苧）2,解得R=甯，故選項。錯誤，

故選：AB.

對丁48.如圖，連接PD,AD,可得PDJ.BC,AD1BC,利用線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷出

正誤；

對尸C.4/1P。為P4與平面P8C所成的角，在中，根據(jù)余弦定理可得cos44P。，即可判斷出正誤；

對于。.取△48C的重心為。1，連接POi，設(shè)外接球的球心為0,半徑為R,連接A。，在RtA/lOOi中，可得產(chǎn)=

（舊_R）2+（弓2）2,解得R,即可判斷出正誤.

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本題考查了空間中線面的位置關(guān)系、線線垂直、面面垂直的判定定理、線面角及三棱錐的外接球體積，考

查空間想象能力及推理論證能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，求曲線上一點的切線方程，屬于較難題.

函數(shù)/(%)=e2x-8^4-6x,代入4個選項分別計算.

對于A選項，求出切點為(-ln2,一羊一61n2),切線的方程為％="一夕"2-半設(shè)g(x)=/(%)-%，求

出g(x)在(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)，可每y=與切線的交點個數(shù)；

對于B選項，求出切點為(In2,61n2-12),切線的方程為力=-2x+8ln2-12；設(shè)于x)=/(x)-y2,求出h(x)

在R上的零點個數(shù)，可得y=/(x)與切線的交點個數(shù)；

對干C選項，求出切點為(In4,61n4—16),切線的方程為為=6%-16；設(shè)zn(x)=f(x)-力，求出mQ)在R

上的零點個數(shù)，口」得y=f(x)與切線的交點個數(shù)；

對于。選項,求出切點為(In5,61n5-15),切線的方程為=16%-15-10仇5：設(shè)“x)=/(x)-力，求出

九。)在R上的零點個數(shù)，可得y=f(%)與切線的交點個數(shù)；

由此可以分別判斷4個選項的止誤，即可得到答案.

【解答】

解：因為/(%)=e2x—8ex+6x,所以f'(%)=2e2x—8ex+6.

對于A選項,切點為P(—ln2,—竽-61n2),則切線的斜率為廣(-ln2)=/切線的方程為％=紅-"n2-

學(xué):設(shè)9(%)=f(x)-月,則g(-ln2)=0,g(0)=1ln2-^<0,g⑴=e2-8e+6+1+^ln2>0,故g(x)

在(0,1)內(nèi)必有1個零點，則y=/(x)與切線有2個交點，故力選項錯誤.

對于B選項,切點為P(ln2,61n2-12),則切線的斜率為廣(02)=-2,切線的方程為力=-2x+8ln2-12,

2xx

設(shè)九(%)=f(x)—y2?則八(m2)=0,h，(x)=2e-8e+6+2=(p(x),

<'(%)=^ex(ex—2),令“(%)=0,得%=ln2,則h'(x)在無=ln2處取得最小值h'(m2)=0,所以h(x)

單調(diào)遞增，故h(x)只有1個零點，則y=f(x)與切線只有1個交點，故3選項正確.

對于C選項，切點為P(ln4,61n4-16),則切線的斜率為廣(①4)=6,切線的方程為力=6x-16；設(shè)m(%)=

f(x)—乃，則TH("4)=0,m，(x)=2e2x—8ex=2ex(ex—4),令m(%)=0?得%=仇4,則m(x)在

(-oo』n4)上單調(diào)遞減，在(ln4,+?>)上單調(diào)遞增,故zn(%)>m(ln4)=0恒成立，故?n(x)只有1個零點,則

y=/(%)與切線只畬1個交點，故。選項正確.

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對于。選項，切點為P(ln5,61n5-15),切線的斜率為f'(m5)=16,切線的方程為=16%-15-10仇5：

z2xx

設(shè)九(%)=/(%)—y4?則九(伍5)=0,n(x)=2e-Qe-10,令7'(x)=0,得%=InS,則九(%)在(-8,ln5)

上單調(diào)遞減，在(ln5,+8)上單調(diào)遞增，所以以為工71(/5)=0恒成立，故九(%)只有1個零點.則y=/(x)

與切線只有1個交點，故。選項王確.

故選：BCD.

12.【答案】(15)u(—l,0)

【解析1解：???/'(%)是(一53)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),且/'(1)=0,

令9(%)=晶,-/v%v1且工工0,

又當(dāng)工￡(04兀)時，cosx>0,

由廣(x'jtanx—f(x)>0可得f'(%)sinx—f(x)cosx>0,

..g'(無)=/⑺%*">0,即g(x)在(o[外單調(diào)遞增，且g(l)=/(I)=o,

又/(%)為奇函數(shù),即/'(一x)=-/(x),

所以9(一、)=兼當(dāng)=9(乃，即g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x￡(l』7T)時，g(x)>0,/(%)>0,

當(dāng)〉￡(-1,0)時，g(x)<0,f(x)>0,

綜上可得，不等式的解集為(ijzr),U(-l,0).

構(gòu)造函數(shù)。(%)=然，結(jié)合已知可得，g,(x)>0,即g。)在(Oj/r)單調(diào)遞增，然后結(jié)合其奇偶性即可求解

OlllX乙

不等式.

本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，難點在于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，著重考查奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔

題.

13.【答案】-3

【脩析】解：向量々=(%,—4,一5),石=(1,一2,2),

[a\=Vx2+16+25=Vx2+41,

\b\=Vl+4+4=3；a-b=x4-8-10=x-2,且五與了的夾角余弦值為一?，

6

,一W、五5A+8-10/2

???COS<afb>=—=/=-N，

同網(wǎng)”+16+25XJ12+(_2)2+226

解得：%=11(舍)或％=-3.

第13頁，共19頁

故答案為：—3.

利用向量夾角余弦公式求解.

本題考查向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】2；97r

【解析】【分析】

本題考查正四棱錐體積最大時，底面邊長和外接球的表面積的求法，考查正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

設(shè)四棱錐的高為九，則U=：x、x(2V3—尼)2h=2M3；層),求出V'=2(l+/i)(l-/i),從而當(dāng)/i=l時，

V最大，由此能求出該棱錐體積最大時，底面力8C0的邊長；設(shè)球半徑為/?,則2+(/?-1)2=*，由此能求

出球。的表面積.

【解答】

解：設(shè)四棱錐的高為比

則昨*x(25//=筆也

V'=2(l+/i)(l-/i),

當(dāng)OVh<l時，V'>0,卜單調(diào)遞增，

當(dāng)人>1時，V，<0,，單調(diào)遞減，

.??當(dāng)h=1時，V最大，此時底面A8CD的邊長為2,

設(shè)球半徑為R,則2+(R-l)2=R2,

解得R=|,

.??球。的表面積為S=4TTX(|)2=97r.

故答案為：2；97r.

15.【答案】0：

【解析】(1)當(dāng)Q=1時，fM=ex-x-l,定義域為R,

則/'(%)=1一1,由/'(久)=0得％=0,

由/，(》)<：0,得XV0;由/'(x)>0,得x>0.

/(%)單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+00).

.?展數(shù)/(%)的最小值為/'(0)=0.

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(2)由題意，函數(shù)的定義域為R,ffW=ex-a,

①當(dāng)aW0時，/z(x)>0在R上恒成立，???/(%)在R上單調(diào)遞增，不合題意；

②當(dāng)a>0時，由f'(無)>0,即e*—a>0得力>Ina,

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[出a,4-oo)?由已知得=2,

a=e2.

(1)根據(jù)題意將a=1代入函數(shù)解析式，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，從而求出最小值；

(2)利用導(dǎo)函數(shù)，分類討論a40和Q>0時函數(shù)/(%)的單調(diào)性，從而求出實數(shù)Q的值.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：⑴由正方體的性質(zhì)可知，AB//G5中，月弘8=%。1，

???匹邊形A8GD1是平行四邊形，.?.8Ci/IAD1，

又BCi仁平面Al%u平面力D]E,二BCJ/平面

(II)解法一:以4為法點,AD.AE、A。分別為八y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長為Q，則力(0,0,0),A(0,0,a),Di(a,0,a),E(0,a,|a),

AA[=(0,0,a)?ADi=(a,0,a)，AE=(0,a,|a),

‘沅?空7=0,即a(x+z)=0

設(shè)平面<。出的法向量為沆=(%y,z),則

(沆?荏=og(y+gz)=o'

令z=2,則x=-2,y=-1,rn=(-2,-1,2),

設(shè)直線與平面/。山所成角為仇則sizi。=|cosV沅，1>|=|二I=勺=京

故直線441與平面所成角的正弦值為今

解法二：設(shè)正方體的棱長為2a,則=2，Ia，AE=y[5a，EQ=3a,S^AAD=^-2a-=2a2,

皿+AC-E5_8a2+5a2-9q2_/10

由余弦定理知，cos4E45=2-2>/2aV5a=-10-

2ADrAE

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3/10

:，s.nZ.EADx

10

2

S^EADl=.AE's\nZ-EADx=3a,

設(shè)點4到平面44。1的距離為h,

E

'JAX-EAD\=V_7M］D，

二23a2=1.2Q?2Q2,h=^a,

設(shè)直線/!4與平面4)1E所成角為仇貝bind==里=2.

AAi2a3

故直線站與平面所成角的正弦值為:.

【解析】本題考查空間中線面平行的判定，直線與平面夾角的向量求法，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得BC"/A%,再利用線面平行的判定定理即可得證；

(2)以力為原點，AD.AB.71%分別為小y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線力&與平面4。速所成角為仇

先求出平面力〃￡的法向量而，再利用sE6=|cosV沅，麗>>|=|粵零|以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運

I時四i|

算即可得解.

17.【答案】解：⑴函數(shù)/(%)=X3+g2+b,則廣(%)=3f+2ax,

(/(2)=-2

因為/"(%)在％=2處有極值一2,所以:，'、_△，

J⑷—。

即gjj：：//一?’解得［二彳,經(jīng)檢驗，Q=一3,b=2符合題意，

所以f(%)=%3-3%2+2；

(2)因為/■(%)=x3-3x2+2所以1(%)=3x2-6x=0,解得x=0或％=2,

當(dāng)-2VxV0時，ff(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0VJV2時,/z(x)<0,則〃%)單調(diào)遞減,

當(dāng)2Vx<3時，f'(%)>0,則/'(%)單調(diào)遞增，

又/(-2)=-18,/(0)=2,/(2)=-2,/(3)=2,

所以當(dāng)％=0或x=3時，f(x)取得最大值2,當(dāng)％=-2時，fQ)取得最小值一18.

【解析】本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)極值的理解與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的

最值，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

(1)求出/■'(%),利用極值的定義，列出關(guān)于。和b的方程組，求解即可；

(2)求出/'(%)=0的根，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間［-2,3］上的單調(diào)性，求出區(qū)間端點的函數(shù)，直以及極值,

比較即可得到答案.

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18.【答案】(I)證明：?.?二『面/BC。1平面A8EP,平面ABCDn平面48EP=48,

BPLAB,

.??BP1平面A8CD,又A818C,/?\/

^I7A\'//B

???直線BA,BP,8c兩兩垂直，Zz\/

以B為原點，分別以84BP,8C為工軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.一

y

則。(，，二

P(0,2,0),5(0,0,0),2,0,1),E(2,l,0)C(0,0,l)乙

.??麗=(-1,0,力BP=(0,2,0).

???BP_L平面48CD,二喬為平面/BCD的一個法向量，

v麗-SP=-lx0+0x2+|x0=0,

EML而又EM9平面力8c0,

EM//平面/18C0.

(II)解：當(dāng)點N與點。重合時，直線8N與平面PCD所成角的正弦值為名

理由如下：

?麗=(2,-2,1),CD=(2,0,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為元=(%,y,z),則巧,邁=￡

tn-PD=0

???￡：：2+z=o?令y=i，得元=(°，1，2)?

假設(shè)線段PD上存在一點N,使得直線BN與平面PCD所成角a的正弦值等于|.

設(shè)