考點28正弦定理、余弦定理（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．【知識點】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝變形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝____________cosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝＝＝；(3)S＝(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).【核心題型】題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．(2)如果平移前后兩個圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負時應(yīng)先變成正值【例題1】（2024·廣東江門·二模）是內(nèi)一點，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則.【變式2】（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．(1)求角；(2)若，，求．【變式3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若為銳角三角形，點F為的垂心，，求的取值范圍.題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形的形狀判斷判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．【例題2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式1】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為.【變式2】（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長的最大值.【變式3】（2024·內(nèi)蒙古·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，證明：為直角三角形.命題點2三角形的面積三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．【例題3】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，則的面積等于（

）A．3 B． C．5 D．【變式1】（2024·安徽·三模）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足,，則的面積是．【變式2】（2024·浙江紹興·二模）在三角形中，內(nèi)角對應(yīng)邊分別為且.(1)求的大??；(2)如圖所示，為外一點，，，，，求及的面積.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，已知.(1)求證：；(2)若D為AB的中點，且，，求的面積.命題點3與平面幾何有關(guān)的問題在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想【例題4】（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【變式1】（22-23高三上·江蘇揚州·期末）如圖，在中，，，、分別在邊、上，，且.則值是；的面積是.【變式2】（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，(1)求A的大小：(2)點D在BC上，（Ⅰ）當(dāng)，且時，求AC的長；（Ⅱ）當(dāng)，且時，求的面積．【變式3】（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）如圖所示，圓的半徑為2，直線與圓相切于點，圓上的點從點處逆時針轉(zhuǎn)動到最高點處，記.(1)當(dāng)時，求的面積；(2)試確定的值，使得的面積等于的面積的2倍.【課后強化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A．為銳角三角形 B．為直角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對邊分別為，D為的中點，已知，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，的平分線交邊AC于點D，且，則（

）A． B． C．6 D．4．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）在中，，為內(nèi)一點，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·江西·二模）已知中，為的角平分線，交于點為中點，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的面積為D．在的外接圓上，則的最大值為6．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則為鈍角三角形 D．若，則為銳角三角形三、填空題7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，則．8．（2024·江蘇·二模）設(shè)鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則.9．（2024·河南·三模）如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則；.

四、解答題10．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.11．（2024·江西·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．(1)求角；(2)若的角平分線交于點，點在線段上，，求的面積．【綜合提升練】一、單選題1．（2024·浙江金華·三模）在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或32．（2024·青海西寧·二模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·山東·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別是，且，則（

）A． B． C． D．4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出以下4個命題：（1）若，則；（2）若，則一定為直角三角形；（3）若，，，則外接圓半徑為；（4）若，則一定是等邊三角形.則其中真命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．頂角為的等腰三角形C．頂角為的等腰三角形 D．等腰直角三角形6．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）的內(nèi)角所對的邊分別為，則（

）A．2 B． C． D．17．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定8．（2024·重慶·三模）若圓內(nèi)接四邊形滿足，，則四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）若的三個內(nèi)角為，則下列說法正確的有（

）A．一定能構(gòu)成三角形的三條邊B．一定能構(gòu)成三角形的三條邊C．一定能構(gòu)成三角形的三條邊D．一定能構(gòu)成三角形的三條邊10．（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（

）A． B． C． D．11．（2024·浙江·三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當(dāng)時，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是三、填空題12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在中，點在線段上，且，則．13．（2024·湖南長沙·二模）在中，若，，，則.14．（2024·福建廈門·三模）記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的取值范圍是.四、解答題15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別是且向量滿足.(1)求A；(2)若，求BC邊上的高.16．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點，且.(1)求的大??；(2)求的值.17．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）某校高中“數(shù)學(xué)建?！睂嵺`小組欲測量某景區(qū)位于：“觀光湖”內(nèi)兩處景點A，C之間的距離，如圖，B處為碼頭入口，D處為碼頭，BD為通往碼頭的棧道，且，在B處測得，在D處測得．（A，B，C，D均處于同一測量的水平面內(nèi)）(1)求A，C兩處景點之間的距離；(2)棧道BD所在直線與A，C兩處景點的連線是否垂直？請說明理由．18．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)證明：是銳角三角形；(2)若，求的面積．19．（2023·遼寧鞍山·二模）請從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請?zhí)顚懙酱痤}卡對應(yīng)位置上）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________，(1)求角B的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·山東·二模）在中，設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)甲：，設(shè)乙：是直角三角形，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，是半徑上的動點，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）三棱錐P﹣ABC所有棱長都等于2，動點M在三棱錐P﹣ABC的外接球上，且的最大值為s，最小值為t，則（

）A．2 B． C． D．3二、多選題5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在中，所對的邊為，設(shè)邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為6．（23-24高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是（

）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則一定是等邊三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是鈍角三角形三、填空題7．（2024·全國·三模）在中，，.若，則的面積為.8．（2024·陜西銅川·