北師大版高中數(shù)學(xué)（選修2-3）第一章計(jì)數(shù)原理5二項(xiàng)式定理聽(tīng)評(píng)課記錄一.基本信息

2023年10月26日，上午第二節(jié)課，由王老師執(zhí)教北師大版高中數(shù)學(xué)（選修2-3）第一章“計(jì)數(shù)原理”中的“二項(xiàng)式定理”第一課時(shí)，授課對(duì)象為高二（7）班學(xué)生。本節(jié)課旨在通過(guò)實(shí)例引入二項(xiàng)式定理，使學(xué)生理解其結(jié)構(gòu)特征和通項(xiàng)公式，并能初步應(yīng)用于簡(jiǎn)單問(wèn)題的求解。聽(tīng)課人為李老師，擔(dān)任高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，本次聽(tīng)課旨在研究新課標(biāo)下計(jì)數(shù)原理的教學(xué)方法，特別是二項(xiàng)式定理的引入與拓展策略。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞“從特殊到一般”的思路展開(kāi)，分為概念引入、公式推導(dǎo)、應(yīng)用舉例三個(gè)層次。教材使用為主教材配套練習(xí)，教具為黑板和粉筆，多媒體僅用于展示動(dòng)畫(huà)演示二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)規(guī)律。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，但缺乏預(yù)習(xí)學(xué)案，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)組合數(shù)公式掌握不牢固，影響后續(xù)學(xué)習(xí)。

2.教學(xué)過(guò)程

（1）開(kāi)始階段

導(dǎo)入以“楊輝三角與多項(xiàng)式展開(kāi)”的類比方式展開(kāi)，通過(guò)（a+b）2和（a+b）3的展開(kāi)式對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)系數(shù)規(guī)律。效果較好，約80%學(xué)生能主動(dòng)回憶組合數(shù)知識(shí)，但少數(shù)學(xué)生因未預(yù)習(xí)而跟不上節(jié)奏。

（2）展開(kāi)階段

教學(xué)方法以講授為主，輔以小組討論。教師從（a+b）?的展開(kāi)式入手，通過(guò)提問(wèn)“系數(shù)如何得到？”逐步推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理（a+b）?=C(n,k)a???b?。推導(dǎo)過(guò)程詳細(xì)，但缺乏變式訓(xùn)練，如用二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)系數(shù)時(shí)，僅展示例題未讓學(xué)生自主探究。小組討論環(huán)節(jié)僅安排驗(yàn)證系數(shù)規(guī)律，未涉及定理應(yīng)用，參與度不足。

（3）結(jié)束階段

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較低，主要集中在前1/3課堂時(shí)間內(nèi)。教師提問(wèn)多為封閉性問(wèn)題，如“C(n,0)等于多少？”，學(xué)生回答以舉手為主，缺乏差異性。當(dāng)討論（a+b）?的展開(kāi)時(shí)，僅2組主動(dòng)分享結(jié)論，其他小組參與度低。反應(yīng)較好的學(xué)生能獨(dú)立推導(dǎo)公式，但中等生需教師提示。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)習(xí)積極性呈現(xiàn)兩極分化，前排學(xué)生專注度高，后排有3人使用手機(jī)。當(dāng)教師用動(dòng)畫(huà)演示系數(shù)對(duì)稱性時(shí)，約60%學(xué)生抬頭觀察，但未結(jié)合實(shí)際計(jì)算展開(kāi)。合作學(xué)習(xí)僅停留在形式，如驗(yàn)證系數(shù)和時(shí)，未明確分工（一人算組合數(shù)，一人寫(xiě)展開(kāi)式）。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，但時(shí)間分配不合理。新課講授占40分鐘，練習(xí)環(huán)節(jié)僅10分鐘，導(dǎo)致作業(yè)布置倉(cāng)促。節(jié)奏控制上，前半段過(guò)快，后半段因個(gè)別學(xué)生提問(wèn)拖沓，二項(xiàng)式定理應(yīng)用部分未展開(kāi)。

6.教學(xué)技術(shù)使用

僅用PPT展示楊輝三角動(dòng)畫(huà)，未利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示系數(shù)生成過(guò)程，技術(shù)支持作用有限。若增加在線互動(dòng)平臺(tái)，可實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生掌握情況，但教師操作不熟練。

改進(jìn)建議：建議補(bǔ)充預(yù)習(xí)學(xué)案，強(qiáng)化組合數(shù)基礎(chǔ)；采用分層教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)置基礎(chǔ)題與拓展題；利用技術(shù)工具如GeoGebra可視化二項(xiàng)式定理，增強(qiáng)直觀性。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：理解二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程，掌握通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，能運(yùn)用定理解決簡(jiǎn)單的系數(shù)或特定項(xiàng)問(wèn)題。目標(biāo)明確且適切，符合高二學(xué)生的認(rèn)知水平，特別是選修2-3對(duì)計(jì)數(shù)原理的要求。從課堂表現(xiàn)看，約70%的學(xué)生能夠記憶并復(fù)述二項(xiàng)式定理，但應(yīng)用層面目標(biāo)達(dá)成率較低。具體表現(xiàn)為：在推導(dǎo)環(huán)節(jié)，多數(shù)學(xué)生能跟隨教師完成（a+b）?的公式推導(dǎo)，但獨(dú)立推導(dǎo)（a+b）?時(shí)，約30%學(xué)生出現(xiàn)組合數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤或符號(hào)混淆。應(yīng)用環(huán)節(jié)僅約40%學(xué)生能正確解答“求（x+1）?展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)”，其余學(xué)生或遺漏組合數(shù)公式，或?qū)Α皀-1”指數(shù)理解不清。這說(shuō)明知識(shí)遷移能力是本節(jié)課的薄弱點(diǎn)，部分學(xué)生仍停留在記憶層面。

2.知識(shí)掌握

（1）理解層面：學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)特征掌握較好，特別是系數(shù)規(guī)律（對(duì)稱性、中間項(xiàng)最大）的直觀認(rèn)知。教師通過(guò)楊輝三角的類比，使約80%學(xué)生能聯(lián)系組合數(shù)公式理解系數(shù)來(lái)源，但理論深度不足。例如，當(dāng)追問(wèn)“為何系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同”時(shí)，僅2名學(xué)生能解釋為組合數(shù)定義，其余以“老師說(shuō)的”為主。這反映出對(duì)組合數(shù)本質(zhì)的關(guān)聯(lián)理解不足。

（2）記憶層面：通項(xiàng)公式C(n,k)a???b?的記憶效果分化明顯。前排及中等偏上學(xué)生能默寫(xiě)公式，但后排及基礎(chǔ)薄弱生?；煜齨、k的順序，或漏寫(xiě)a、b的冪次。教師雖通過(guò)板書(shū)強(qiáng)調(diào)，但未配套即時(shí)檢測(cè)手段，導(dǎo)致記憶效果滯后。

（3）技能掌握：技能層面表現(xiàn)不均衡。基礎(chǔ)題如求系數(shù)和（利用定理展開(kāi)式相加）掌握較好，但復(fù)雜問(wèn)題如“求（x+2y）?展開(kāi)式中x2y3項(xiàng)系數(shù)”時(shí)，僅約25%學(xué)生能正確轉(zhuǎn)化成組合數(shù)計(jì)算，其余錯(cuò)誤集中在指數(shù)分配或符號(hào)判斷上。這說(shuō)明技能訓(xùn)練的梯度設(shè)計(jì)不足，缺乏從基礎(chǔ)到綜合的過(guò)渡性例題。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

（1）學(xué)習(xí)興趣：課堂通過(guò)動(dòng)畫(huà)和類比激發(fā)興趣，約60%學(xué)生表現(xiàn)出探究欲望，但討論環(huán)節(jié)的參與感不足反映部分學(xué)生被動(dòng)接受。當(dāng)教師提出“生活中二項(xiàng)式定理應(yīng)用”時(shí)，僅1名學(xué)生能聯(lián)想到二項(xiàng)式近似計(jì)算，其余學(xué)生反饋空白，說(shuō)明知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值未充分滲透。

（2）思維發(fā)展：定理推導(dǎo)過(guò)程滲透了歸納思想，但學(xué)生自主探究機(jī)會(huì)有限。若增加“猜想（a+b）?展開(kāi)式”的開(kāi)放活動(dòng)，可能促進(jìn)更高階的數(shù)學(xué)思維能力，但當(dāng)前設(shè)計(jì)更側(cè)重模仿記憶。合作學(xué)習(xí)中，因任務(wù)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單（僅驗(yàn)證），未能有效培養(yǎng)協(xié)作解決問(wèn)題的能力。

（3）價(jià)值觀：教師強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美”，通過(guò)公式統(tǒng)一多項(xiàng)式展開(kāi)規(guī)律，約40%學(xué)生表示認(rèn)同。但未結(jié)合歷史背景（巴斯卡與楊輝三角），部分學(xué)生未體會(huì)到數(shù)學(xué)文化的熏陶。作業(yè)布置僅要求基礎(chǔ)題，未能體現(xiàn)分層，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生激勵(lì)作用有限。

總體評(píng)價(jià)：本節(jié)課達(dá)成基礎(chǔ)目標(biāo)但應(yīng)用能力短板明顯，需強(qiáng)化技能訓(xùn)練與思維拓展。建議后續(xù)課增加“錯(cuò)題分析”環(huán)節(jié)，并設(shè)計(jì)更豐富的應(yīng)用情境（如二項(xiàng)式近似、概率模型），以促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化與全面發(fā)展。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象為“結(jié)構(gòu)清晰，基礎(chǔ)扎實(shí)，但拓展不足”。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師對(duì)二項(xiàng)式定理的引入設(shè)計(jì)較為巧妙，通過(guò)楊輝三角的類比和多項(xiàng)式展開(kāi)式的對(duì)比，成功激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知興趣，并直觀展示了定理的系數(shù)規(guī)律。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)效果顯著，約80%的學(xué)生能夠初步建立二項(xiàng)式定理的感性認(rèn)識(shí)，并跟隨教師完成了公式的基本推導(dǎo)過(guò)程。此外，教師對(duì)定理推導(dǎo)的邏輯鏈條把握準(zhǔn)確，能夠按照“特殊（n=2,3,4）→一般→驗(yàn)證”的順序展開(kāi)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了較強(qiáng)的教學(xué)設(shè)計(jì)能力。課堂節(jié)奏的前半段控制較好，內(nèi)容講解詳實(shí)，對(duì)組合數(shù)與系數(shù)關(guān)系的聯(lián)系解釋到位，為后續(xù)應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

然而，本節(jié)課也存在若干明顯短板。首先，教學(xué)深度與廣度不足，過(guò)于聚焦定理的推導(dǎo)與記憶，對(duì)定理的內(nèi)涵理解（如組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、系數(shù)分布的數(shù)學(xué)原理）挖掘不夠。其次，學(xué)生參與度存在顯著差異，合作學(xué)習(xí)流于形式，探究性活動(dòng)缺失，導(dǎo)致部分學(xué)生未能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。再次，技術(shù)應(yīng)用較為單一，僅依賴PPT動(dòng)畫(huà)，未能充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)提升復(fù)雜問(wèn)題的可視化效果。最后，教學(xué)評(píng)價(jià)手段單一，缺乏對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的動(dòng)態(tài)反饋，導(dǎo)致技能訓(xùn)練效果不理想?？傮w而言，這是一節(jié)有亮點(diǎn)但需優(yōu)化的家常課，優(yōu)點(diǎn)在于概念引入的成功，短板在于能力培養(yǎng)與個(gè)性化關(guān)注的缺失。

2.改進(jìn)建議

（1）強(qiáng)化知識(shí)聯(lián)系，深化定理內(nèi)涵

建議在推導(dǎo)后增加“定理的本質(zhì)”探究環(huán)節(jié)。例如，設(shè)置問(wèn)題：“為何系數(shù)與組合數(shù)相同？這反映了組合數(shù)怎樣的性質(zhì)？”引導(dǎo)學(xué)生從“分配方式”角度理解，或通過(guò)幾何解釋（如球體分堆問(wèn)題）強(qiáng)化組合數(shù)的直觀意義。同時(shí)，補(bǔ)充“二項(xiàng)式定理的變形應(yīng)用”，如“求（1+x）?展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和”，以展現(xiàn)定理的多樣性，避免學(xué)生將其視為孤立公式。

（2）優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提升參與層次

針對(duì)技能短板，建議采用“基礎(chǔ)題-變式題-拓展題”的三層遞進(jìn)設(shè)計(jì)。例如，在應(yīng)用環(huán)節(jié)，先設(shè)計(jì)“求系數(shù)和”等基礎(chǔ)題（約5分鐘），再設(shè)置“求特定項(xiàng)系數(shù)”的變式題（約8分鐘），最后布置“比較系數(shù)大小”的拓展題（選做）。同時(shí)，將小組討論改為“任務(wù)驅(qū)動(dòng)型”合作，如分組探究“楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)關(guān)系的證明”，明確分工（記錄、計(jì)算、展示），并增加互評(píng)機(jī)制。

（3）豐富技術(shù)應(yīng)用，增強(qiáng)直觀體驗(yàn)

建議引入GeoGebra等動(dòng)態(tài)幾何工具，可視化二項(xiàng)式定理的系數(shù)生成過(guò)程。例如，通過(guò)拖動(dòng)n值動(dòng)態(tài)展示楊輝三角的擴(kuò)展，或用顏色區(qū)分不同項(xiàng)的系數(shù)變化，強(qiáng)化對(duì)稱性、最值等規(guī)律。此外，可利用Kahoot等在線平臺(tái)進(jìn)行即時(shí)練習(xí)，實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤率，為后續(xù)教學(xué)提供數(shù)據(jù)支持。

（4）完善評(píng)價(jià)體系，關(guān)注過(guò)程反饋

建議增加形成性評(píng)價(jià)手段。例如，在推導(dǎo)環(huán)節(jié)設(shè)置“快速問(wèn)答”環(huán)節(jié)，用小紙條匿名提交答案；在練習(xí)時(shí)采用“錯(cuò)誤分析”單，引導(dǎo)學(xué)生自主訂正；作業(yè)設(shè)計(jì)分層，基礎(chǔ)題必做，拓展題選做，并標(biāo)注“今日難點(diǎn)”與“明日挑戰(zhàn)”。通過(guò)這些措施，使評(píng)價(jià)從“結(jié)果導(dǎo)向”轉(zhuǎn)向“過(guò)程與結(jié)果并重”。

3.后續(xù)跟蹤

建議安排一次后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)改進(jìn)效果。跟蹤課可聚焦“應(yīng)用能力的提升”，重點(diǎn)觀察以下方面：學(xué)生能否獨(dú)立解決“參數(shù)不確定的二項(xiàng)式問(wèn)題”（如已知某項(xiàng)系數(shù)求n或特定項(xiàng)），小組合作是否圍繞“實(shí)際問(wèn)題建?！保ㄈ缍?xiàng)式近似在概率計(jì)算中的應(yīng)用）展開(kāi)。同時(shí)，教