蘇教版高中數(shù)學(xué)（必修4）1.2《任意角的三角函數(shù)》（任意角的三角函數(shù)）聽評(píng)課記錄一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時(shí)間為上午第二節(jié)課，授課教師姓名為李明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高一（2）班，教學(xué)主題或章節(jié)為蘇教版高中數(shù)學(xué)（必修4）1.2《任意角的三角函數(shù)》。聽課人姓名為張華，聽課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研員，聽課目的為教學(xué)研究。本次聽課旨在觀察任意角三角函數(shù)的引入與教學(xué)實(shí)施情況，特別是教師如何處理從角的概念擴(kuò)展到任意角以及三角函數(shù)定義的過渡，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)理解的深度和廣度，以及教師對(duì)學(xué)生認(rèn)知困難點(diǎn)的把握與應(yīng)對(duì)策略。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞任意角的概念、象限角劃分以及任意角三角函數(shù)的定義展開，符合教材編排順序。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材為蘇教版必修4，配套幾何模型用于演示角的旋轉(zhuǎn)，多媒體課件包含動(dòng)畫演示任意角的形成和三角函數(shù)在不同象限的符號(hào)變化。教具準(zhǔn)備了量角器、三角板等，便于學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證特殊角的三角函數(shù)值。教學(xué)設(shè)計(jì)中預(yù)留了小組討論環(huán)節(jié)，針對(duì)三角函數(shù)定義的推導(dǎo)過程設(shè)置了引導(dǎo)性問題，體現(xiàn)對(duì)學(xué)情的預(yù)估。

2.教學(xué)過程

開始階段：教師以鐘表指針旋轉(zhuǎn)引入任意角概念，通過對(duì)比初中角的范圍（0°～360°）引出任意角（包括負(fù)角和大于360°的角），采用多媒體動(dòng)態(tài)演示角從0°到360°的連續(xù)旋轉(zhuǎn)過程，直觀呈現(xiàn)正角、負(fù)角和零角的形成。學(xué)生通過觀察鐘表指針運(yùn)動(dòng)自然理解旋轉(zhuǎn)方向與角正負(fù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，課堂氣氛活躍，導(dǎo)入效果較好。

展開階段：教師采用講授與小組討論相結(jié)合的方法推進(jìn)教學(xué)。首先講解象限角的劃分規(guī)則，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)定義域的限制。接著通過多媒體動(dòng)畫展示單位圓上任意角終邊與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，引出三角函數(shù)的定義。教師提出“如何用坐標(biāo)表示終邊上任意一點(diǎn)的三角函數(shù)值”的問題，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)sinα=縱坐標(biāo)/半徑，cosα=橫坐標(biāo)/半徑，tanα=縱坐標(biāo)/橫坐標(biāo)。小組討論環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過合作完成表格，填寫特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值，教師巡視指導(dǎo)，糾正錯(cuò)誤理解。課堂生成問題時(shí)，教師采用追問法引導(dǎo)學(xué)生思考，如“為什么tan90°無意義”，通過類比函數(shù)無定義點(diǎn)強(qiáng)化概念認(rèn)知。

結(jié)束階段：教師通過板書總結(jié)任意角三角函數(shù)的定義和符號(hào)規(guī)律，強(qiáng)調(diào)“定義域優(yōu)先”的原則。布置作業(yè)時(shí)分層設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)題要求背誦特殊角三角函數(shù)值，拓展題要求證明三角函數(shù)的周期性。最后通過提問檢查課堂掌握情況，如“判斷sin（-θ）與sinθ的關(guān)系”，學(xué)生回答準(zhǔn)確率較高。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師每5分鐘會(huì)通過提問或觀察學(xué)生操作進(jìn)行互動(dòng)。例如在推導(dǎo)tanα公式時(shí)，教師隨機(jī)抽取學(xué)生回答“橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別代表什么”，90%學(xué)生能正確回答。討論環(huán)節(jié)中，教師采用“生生互評(píng)”方式，讓小組代表解釋推導(dǎo)過程，其他小組補(bǔ)充意見?；?dòng)質(zhì)量上，教師善于將復(fù)雜問題分解為階梯式問題鏈，如“先思考單位圓半徑為何為1”再引出坐標(biāo)比定義，符合認(rèn)知規(guī)律。但有個(gè)別學(xué)生在討論tanα?xí)r混淆“斜率”與“縱坐標(biāo)比”，教師通過畫直角三角形糾正理解。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

整體學(xué)習(xí)積極性高，約80%學(xué)生全程保持專注，尤其對(duì)多媒體動(dòng)畫演示表現(xiàn)出濃厚興趣。合作學(xué)習(xí)方面，小組完成表格時(shí)分工明確，部分小組利用幾何模型輔助記憶符號(hào)規(guī)律。出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難時(shí)，學(xué)生主動(dòng)舉手或以舉手示意尋求幫助。例如在判斷sin（-30°）符號(hào)時(shí)，有學(xué)生將負(fù)角誤認(rèn)為第二象限角，教師通過“將-30°加360°”的轉(zhuǎn)換法幫助學(xué)生建立正確認(rèn)知。課堂練習(xí)中，約65%學(xué)生能獨(dú)立完成特殊角計(jì)算，剩余學(xué)生通過同伴講解掌握方法。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，舉手發(fā)言時(shí)注意控制音量。時(shí)間分配上，導(dǎo)入環(huán)節(jié)15分鐘、展開階段35分鐘、總結(jié)作業(yè)10分鐘，符合教學(xué)重點(diǎn)分布。但多媒體播放時(shí)間過長導(dǎo)致討論環(huán)節(jié)略微倉促，教師需調(diào)整各環(huán)節(jié)時(shí)長。課堂節(jié)奏控制上，教師通過“暫停-反饋”機(jī)制調(diào)整進(jìn)度，如在象限角劃分時(shí)暫停3分鐘讓學(xué)生在坐標(biāo)紙上標(biāo)記，確保理解到位。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體動(dòng)畫直觀呈現(xiàn)了任意角的形成過程和三角函數(shù)定義的幾何意義。技術(shù)支持作用體現(xiàn)在：1）動(dòng)態(tài)演示消除了學(xué)生認(rèn)知難點(diǎn)，如負(fù)角旋轉(zhuǎn)時(shí)終邊重合但角度不同；2）坐標(biāo)表格自動(dòng)記錄特殊角值，減少記憶負(fù)擔(dān)；3）課后提供微課視頻供復(fù)習(xí)，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí)。但存在技術(shù)輔助不足的情況，如未用電子白板實(shí)時(shí)批注學(xué)生推導(dǎo)過程，導(dǎo)致部分學(xué)生遺漏符號(hào)判斷步驟。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)任意角三角函數(shù)的要求。預(yù)設(shè)目標(biāo)包含：理解任意角的概念及其范圍；掌握象限角的劃分規(guī)則；掌握任意角三角函數(shù)的定義（坐標(biāo)法定義）；能計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值。目標(biāo)達(dá)成度較高。通過課堂觀察和隨堂練習(xí)評(píng)估，90%以上的學(xué)生能正確描述任意角的形成過程，并能用象限角判斷三角函數(shù)值的符號(hào)。在推導(dǎo)三角函數(shù)定義環(huán)節(jié)，82%的學(xué)生能獨(dú)立完成sinα、cosα公式的推導(dǎo)邏輯，雖然個(gè)別學(xué)生混淆了單位圓半徑與坐標(biāo)軸的關(guān)系，但通過教師追問得以糾正。特殊角計(jì)算方面，課堂練習(xí)正確率達(dá)88%，說明學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶和應(yīng)用能力基本達(dá)標(biāo)。目標(biāo)適切性體現(xiàn)在：教師對(duì)認(rèn)知困難點(diǎn)的預(yù)設(shè)準(zhǔn)確，如負(fù)角三角函數(shù)符號(hào)判斷，專門設(shè)置了對(duì)比練習(xí)；分層作業(yè)設(shè)計(jì)兼顧了不同層次學(xué)生的需求。但有個(gè)別學(xué)生仍停留在機(jī)械記憶階段，對(duì)定義的理解未達(dá)到深度理解水平，反映出目標(biāo)中對(duì)“理解”維度的要求需進(jìn)一步強(qiáng)化。

2.知識(shí)掌握

知識(shí)點(diǎn)理解上，學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解以“坐標(biāo)比”為主，但對(duì)定義的幾何背景（單位圓上的線段表示）掌握不夠深入。例如在回答“tanα為何無定義”時(shí)，多數(shù)學(xué)生能說出“分母為0”，但僅少數(shù)能聯(lián)系到橫坐標(biāo)為0（終邊與y軸重合）的幾何解釋。符號(hào)規(guī)律掌握較好，通過多媒體動(dòng)態(tài)演示和小組合作討論，學(xué)生能準(zhǔn)確說出sin、cos、tan在各象限的符號(hào)，但在綜合判斷時(shí)仍有混淆，如將第二象限角的sin認(rèn)為是負(fù)值。技能掌握方面，特殊角計(jì)算技能已初步形成，但存在計(jì)算錯(cuò)誤率高的問題，如將sin60°誤寫為√2/2，反映出對(duì)幾何量與代數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)換的生疏。小組合作環(huán)節(jié)中，學(xué)生能通過表格歸納規(guī)律，但表述規(guī)范性不足，如用“上正下負(fù)”描述sin的符號(hào)，未嚴(yán)格使用“第二象限為正”的規(guī)范表達(dá)。教師通過板書強(qiáng)調(diào)規(guī)范性，但效果有限。知識(shí)記憶方面，通過課堂提問和作業(yè)反饋，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)定義的記憶方式呈現(xiàn)兩極分化：約40%學(xué)生能結(jié)合單位圓復(fù)述定義，60%學(xué)生依賴死記硬背公式。技能應(yīng)用存在明顯依賴性，當(dāng)題目稍作變化（如計(jì)算π/3的sin值）時(shí)，部分學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知卡殼現(xiàn)象。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

課堂展現(xiàn)了積極的情感態(tài)度，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的好奇心被充分激發(fā)，尤其是在多媒體演示環(huán)節(jié)，學(xué)生表現(xiàn)出較強(qiáng)的探究欲望。小組討論時(shí)，合作氛圍濃厚，學(xué)生能主動(dòng)承擔(dān)任務(wù)并傾聽同伴意見，體現(xiàn)了良好的協(xié)作精神。教師通過“錯(cuò)誤示范”引導(dǎo)學(xué)生反思，如故意展示tan90°=1的錯(cuò)誤推導(dǎo)，促使學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，培養(yǎng)了批判性思維。但部分學(xué)生在面對(duì)難題時(shí)出現(xiàn)焦慮情緒，如推導(dǎo)tanα公式時(shí)，個(gè)別學(xué)生因符號(hào)混淆而放棄思考，反映出學(xué)生面對(duì)認(rèn)知挑戰(zhàn)時(shí)的韌性不足。價(jià)值觀培養(yǎng)方面，教師通過“三角函數(shù)在工程應(yīng)用中的例子”拓展，使學(xué)生感知數(shù)學(xué)的工具價(jià)值，但僅停留在淺層認(rèn)知。課堂中未體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)文化的滲透，如對(duì)“三角函數(shù)歷史演變”的介紹缺失，導(dǎo)致學(xué)生難以建立對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的宏觀認(rèn)識(shí)。此外，評(píng)價(jià)方式單一，僅通過練習(xí)和提問進(jìn)行結(jié)果性評(píng)價(jià)，未設(shè)計(jì)過程性評(píng)價(jià)手段，可能削弱部分學(xué)生的自信心。教師對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)性語言較多，但缺乏對(duì)錯(cuò)誤背后的思維過程的關(guān)注，不利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。課堂中未體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)美的感知，如對(duì)特殊角三角函數(shù)值的簡潔對(duì)稱性的強(qiáng)調(diào)不足，導(dǎo)致學(xué)生難以體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)符合新課標(biāo)理念、體現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)思路的數(shù)學(xué)課。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的把握準(zhǔn)確，并能通過多種教學(xué)手段有效化解。首先，任意角概念的引入自然流暢，利用鐘表指針旋轉(zhuǎn)這一生活化情境，成功激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知興趣，并順利過渡到數(shù)學(xué)化表達(dá)，體現(xiàn)了情境教學(xué)法的有效性。其次，象限角的劃分環(huán)節(jié)，教師借助多媒體動(dòng)態(tài)演示和幾何模型相結(jié)合的方式，直觀呈現(xiàn)了角的平分線與坐標(biāo)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，突破了傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生易混淆“角的范圍”與“象限劃分”的認(rèn)知障礙。再次，三角函數(shù)定義的教學(xué)設(shè)計(jì)層次清晰，從單位圓的幾何直觀到坐標(biāo)法的代數(shù)表達(dá)，符合學(xué)生的認(rèn)知由具體到抽象的規(guī)律。特別是在推導(dǎo)sinα、cosα公式時(shí)，教師采用了“問題鏈”引導(dǎo)，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考“為何單位圓半徑為1”“坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有何特殊性”，有效培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力。此外，課堂管理有序，師生互動(dòng)頻繁且有效，小組合作環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)也促進(jìn)了學(xué)生的生生互動(dòng)?？傮w而言，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度較高，教學(xué)過程設(shè)計(jì)合理，體現(xiàn)了教師扎實(shí)的專業(yè)素養(yǎng)和一定的教學(xué)調(diào)控能力。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問題，提出以下具體改進(jìn)措施：

（1）深化概念理解，強(qiáng)化幾何直觀與代數(shù)表達(dá)的關(guān)聯(lián)。當(dāng)前學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解仍停留在“公式記憶”層面，對(duì)定義的幾何背景掌握不足。建議在后續(xù)教學(xué)中增加“三角函數(shù)線”的教學(xué)，即通過單位圓上的有向線段（正弦線、余弦線、正切線）直觀展示三角函數(shù)值的大小和符號(hào)，將抽象的代數(shù)定義與直觀的幾何模型建立穩(wěn)固聯(lián)系。例如，在講解sinα?xí)r，可引導(dǎo)學(xué)生觀察終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并用有向線段表示其長度和方向，從而加深對(duì)“縱坐標(biāo)/半徑”定義的理解。同時(shí)，建議設(shè)計(jì)對(duì)比性練習(xí)，如“比較sinα與終邊縱坐標(biāo)的大小關(guān)系”，以強(qiáng)化概念的深度理解。

（2）優(yōu)化技能訓(xùn)練，注重變式設(shè)計(jì)與思維過程的暴露。當(dāng)前學(xué)生技能掌握存在機(jī)械記憶與靈活應(yīng)用脫節(jié)的問題。建議在練習(xí)設(shè)計(jì)上增加變式，如“已知sinα=-√3/2，且α在第三象限，求cosα和tanα的值”，此類題目能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義和符號(hào)規(guī)律的整合應(yīng)用能力。此外，應(yīng)強(qiáng)調(diào)解題步驟的規(guī)范性，特別是符號(hào)判斷的依據(jù)，如要求學(xué)生必須寫出“∵α在第三象限，∴sinα<0,cosα<0,tanα>0”。教師可利用電子白板實(shí)時(shí)展示典型錯(cuò)誤，并引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，如“為何將-√3/2直接代入sin30°的值”，通過暴露思維過程糾正認(rèn)知偏差。

（3）豐富技術(shù)手段，提升現(xiàn)代教育技術(shù)的支持作用。當(dāng)前多媒體使用仍以演示為主，缺乏交互性和個(gè)性化支持。建議引入交互式軟件（如GeoGebra）讓學(xué)生動(dòng)態(tài)操作單位圓，觀察參數(shù)變化對(duì)三角函數(shù)值的影響，如拖動(dòng)終邊旋轉(zhuǎn)時(shí)實(shí)時(shí)顯示sin、cos、tan值的變化趨勢(shì)。針對(duì)定義記憶困難的學(xué)生，可開發(fā)配套的在線練習(xí)題，通過即時(shí)反饋強(qiáng)化記憶。同時(shí)，建議在課件中增加“知識(shí)關(guān)聯(lián)”模塊，如鏈接到《解三角形》中正弦定理的類比學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（4）完善評(píng)價(jià)體系，增加過程性評(píng)價(jià)與多元評(píng)價(jià)方式。當(dāng)前評(píng)價(jià)方式單一，未能全面反映學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。建議增加課堂觀察記錄表，關(guān)注學(xué)生在討論、推導(dǎo)過程中的參與度和思維表現(xiàn)；設(shè)計(jì)“概念圖繪制”任務(wù)，讓學(xué)生用圖形化方式表達(dá)任意角三角函數(shù)的定義體系；引入“同伴互評(píng)”，如小組間對(duì)特殊角值記憶的抽查與評(píng)價(jià)，以促進(jìn)共同進(jìn)步。教師應(yīng)注重評(píng)價(jià)語言的針對(duì)性，如對(duì)理解較深的學(xué)生鼓勵(lì)其思考“為什么sin（-θ）=-sinθ”，對(duì)存在困難的學(xué)生提供具體指導(dǎo)，如“tanα的定義中，為何不考慮單位圓半徑”。

（5）滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。當(dāng)前課堂缺乏對(duì)數(shù)學(xué)美的感知和文化的熏陶。建議在引入環(huán)節(jié)補(bǔ)充三角函數(shù)歷史故事，如古希臘對(duì)弦長的研究；在講解特殊角值時(shí)，展示其簡潔對(duì)稱的幾何證明（如30°-60°-90°直角三角形的邊長關(guān)系）；課后推薦相關(guān)紀(jì)錄片或閱讀材料，如《圓與方》中對(duì)三角函數(shù)應(yīng)用的介紹。通過文化滲透，幫助學(xué)生建立對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)同感，從而提升學(xué)習(xí)興趣。

3.后續(xù)跟蹤

需要后續(xù)聽課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長：

（1）專題研討：針對(duì)“三角函數(shù)定義的深度教學(xué)”組織專題研討，邀請(qǐng)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師分享教學(xué)案例，分析不同教學(xué)策略的效果差異。鼓勵(lì)李明教師嘗試改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)，并進(jìn)行對(duì)比觀察。

（2）資源支持：提供GeoGebra等交互式軟件培訓(xùn)，并推薦配套的微課程資源，幫助教師提升技術(shù)整合能力。同