歷屆電大離散數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A={1,2,3}與集合B={3,2,1}的關(guān)系是？

A.A=B

B.A≠B

C.A?B

D.B?A

2.下列哪個是命題？

A.今天天氣真好！

B.請你坐下來。

C.2+3=5

D.這朵花很漂亮

3.在命題邏輯中，命題p的否定表示為？

A.p∧q

B.p∨q

C.?p

D.p→q

4.下列哪個是謂詞邏輯中的量詞？

A.∨

B.∧

C.→

D.?

5.在圖論中，一個無向圖G=(V,E)的頂點(diǎn)數(shù)是6，邊數(shù)是12，則G的度數(shù)之和是？

A.6

B.12

C.24

D.36

6.在圖論中，一個有向圖D=(V,A)的頂點(diǎn)數(shù)是4，邊數(shù)是6，則D的出度之和與入度之和的關(guān)系是？

A.出度之和=入度之和

B.出度之和>入度之和

C.出度之和<入度之和

D.無法確定

7.在樹論中，一個樹的頂點(diǎn)數(shù)是n，則該樹的邊數(shù)是？

A.n-1

B.n

C.2n

D.n^2

8.在組合數(shù)學(xué)中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)表示為？

A.P(n,k)

B.C(n,k)

C.A(n,k)

D.G(n,k)

9.在數(shù)理邏輯中，下列哪個是永真式？

A.p∧?p

B.p∨?p

C.p→p

D.p??p

10.在代數(shù)結(jié)構(gòu)中，群是一個滿足哪些性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)？

A.封閉性、結(jié)合性、有幺元、有逆元

B.封閉性、交換性、有幺元、有逆元

C.結(jié)合性、有幺元、有逆元、分配性

D.封閉性、結(jié)合性、有幺元、分配性

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是命題邏輯中的基本連接詞？

A.與（∧）

B.或（∨）

C.非（?）

D.如果…那么…（→）

E.當(dāng)且僅當(dāng)（?）

2.在謂詞邏輯中，量詞有哪些？

A.全稱量詞（?）

B.存在量詞（?）

C.選擇量詞（?）

D.謂詞量詞（τ）

E.關(guān)系量詞（R）

3.在圖論中，下列哪些是圖的性質(zhì)？

A.頂點(diǎn)數(shù)

B.邊數(shù)

C.度數(shù)

D.連通性

E.遞歸性

4.在樹論中，下列哪些是樹的特征？

A.無環(huán)

B.連通

C.有n個頂點(diǎn)的樹有n-1條邊

D.有n個頂點(diǎn)的樹有2n-2個生成樹

E.有n個頂點(diǎn)的樹有n個葉子

5.在組合數(shù)學(xué)中，下列哪些是組合計數(shù)問題？

A.排列

B.組合

C.二項(xiàng)式系數(shù)

D.鴿巢原理

E.母函數(shù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在集合論中，集合A包含元素1,2,3，集合B包含元素3,4，則A與B的并集是________。

2.在命題邏輯中，命題p為“今天是星期一”，命題q為“今天是星期二”，則p與q的合?。ㄅc）表示為________。

3.在圖論中，一個無向圖G有n個頂點(diǎn)和m條邊，如果G是連通的，則m的最小值是________。

4.在樹論中，一個樹有n個頂點(diǎn)，則該樹有________條邊。

5.在組合數(shù)學(xué)中，從n個不同元素中取出k個元素的排列數(shù)表示為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.設(shè)集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={1,5,6}。求：(A∪B)∩C。

2.寫出命題公式p∧(q∨r)的真值表。

3.設(shè)有一個有向圖G，其頂點(diǎn)集V={v1,v2,v3,v4}，邊集E={<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。求：圖G的鄰接矩陣，并判斷圖G是否是強(qiáng)連通的。

4.設(shè)有一個樹T，其頂點(diǎn)集V={a,b,c,d,e,f}，邊集E={<a,b>,<a,c>,<b,d>,<b,e>,<c,f>}。求：樹T的高度，并畫出樹T的形態(tài)。

5.從5個男生和4個女生中選出3個男生和2個女生組成一個委員會。問：有多少種不同的選法？（用組合數(shù)表示并計算結(jié)果）

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.A

2.C

3.C

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,B,C,D,E

2.A,B

3.A,B,C,D

4.A,B,C

5.A,B,C,D,E

三、填空題答案

1.{1,2,3,4}

2.p∧q

3.n-1

4.n-1

5.P(n,k)=n!/(n-k)!

四、計算題答案

1.(A∪B)∩C={1,5}

2.真值表如下：

|p|q|r|q∨r|p∧(q∨r)|

|---|---|---|------|----------|

|T|T|T|T|T|

|T|T|F|T|T|

|T|F|T|T|T|

|T|F|F|F|F|

|F|T|T|T|F|

|F|T|F|T|F|

|F|F|T|T|F|

|F|F|F|F|F|

3.鄰接矩陣為：

||v1|v2|v3|v4|

|---|----|----|----|----|

|v1|0|1|0|1|

|v2|0|0|1|0|

|v3|0|0|0|1|

|v4|1|0|0|0|

圖G不是強(qiáng)連通的，因?yàn)榇嬖陧旤c(diǎn)v1無法通過有向邊到達(dá)頂點(diǎn)v3和v4。

4.樹T的高度為3。樹T的形態(tài)如下：

```

a

/\

bc

/||

def

```

5.不同的選法有C(5,3)×C(4,2)=10×6=60種。

知識點(diǎn)總結(jié)

本試卷涵蓋了離散數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)部分，主要包括集合論、命題邏輯、謂詞邏輯、圖論、樹論和組合數(shù)學(xué)等知識點(diǎn)。以下是各知識點(diǎn)的分類和總結(jié)：

集合論

-集合的基本概念：集合的表示、子集、并集、交集、差集等。

-集合的性質(zhì)：冪集、笛卡爾積等。

-集合的應(yīng)用：集合運(yùn)算在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

命題邏輯

-命題的基本概念：命題的定義、真值、邏輯連接詞等。

-命題公式：合取、析取、非、條件、雙條件等。

-真值表：通過真值表判斷命題公式的類型（永真式、矛盾式、可滿足式）。

謂詞邏輯

-量詞：全稱量詞和存在量詞。

-謂詞公式：謂詞、量詞、邏輯連接詞等的使用。

圖論

-圖的基本概念：無向圖、有向圖、頂點(diǎn)、邊、度數(shù)等。

-圖的性質(zhì)：連通性、強(qiáng)連通性、生成樹等。

-圖的應(yīng)用：圖論在計算機(jī)科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等領(lǐng)域的應(yīng)用。

樹論

-樹的基本概念：樹、葉、分支點(diǎn)、高度等。

-樹的性質(zhì)：樹的遍歷、樹的形態(tài)等。

-樹的應(yīng)用：樹在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、文件系統(tǒng)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

組合數(shù)學(xué)

-排列與組合：排列數(shù)、組合數(shù)的計算。

-二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用。

-母函數(shù)：母函數(shù)在計數(shù)問題中的應(yīng)用。

-鴿巢原理：鴿巢原理在證明問題中的應(yīng)用。

各題型所考察學(xué)生的知識點(diǎn)詳解及示例

選擇題

-集合論：考察集合的運(yùn)算和性質(zhì)。

示例：集合A={1,2,3}與集合B={3,2,1}的關(guān)系是A=B。

-命題邏輯：考察命題的定義和邏輯連接詞。

示例：命題p為“今天是星期一”，命題q為“今天是星期二”，則p與q的合取表示為p∧q。

-圖論：考察圖的基本概念和性質(zhì)。

示例：一個無向圖G有n個頂點(diǎn)和m條邊，如果G是連通的，則m的最小值是n-1。

-組合數(shù)學(xué)：考察組合計數(shù)問題。

示例：從n個不同元素中取出k個元素的排列數(shù)表示為P(n,k)=n!/(n-k)!。

多項(xiàng)選擇題

-謂詞邏輯：考察量詞的使用。

示例：謂詞邏輯中的量詞有全稱量詞（?）和存在量詞（?）。

-圖論：考察圖的性質(zhì)。

示例：圖的性質(zhì)包括頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、度數(shù)和連通性。

-組合數(shù)學(xué)：考察組合計數(shù)問題。

示例：組合計數(shù)問題包括排列、組合、二項(xiàng)式系數(shù)、鴿巢原理和母函數(shù)。

填空題

-集合論：考察集合的運(yùn)算。

示例：集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={1,5,6}，(A∪B)∩C={1,5}。

-命題邏輯：考察命題公式。

示例：命題公式p∧(q∨r)的合取表示為p∧(q∨r)。

-圖論：考察圖的基本概念。

示例：一個有向圖G的頂點(diǎn)集V={v1,v2,v3,v4}，邊集E={<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。

-樹論：考察樹的特征。

示例：一個樹有n個頂點(diǎn)，則該樹有n-1條邊。

-組合數(shù)學(xué)：考察組合計數(shù)問題。

示例：從5個男生和4個女生中選出3個男生和2個女生組成一個委員會。不同的選法有C(5,3)×C(4,2)=60種。

計算題

-集合論：考察集合的運(yùn)算。

示例：集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={1,5,6}，(A∪B)∩C={1,5}。

-命題邏輯：考察命題