高三數(shù)學(xué)圓錐曲線專題訓(xùn)練及講解引言圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是高三數(shù)學(xué)的核心專題之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容（占比約15%~20%）。其考查形式靈活，既注重定義、方程等基礎(chǔ)知識(shí)，又強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)與代數(shù)方法的綜合應(yīng)用（如聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、點(diǎn)差法），同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想。本專題將分橢圓、雙曲線、拋物線三大板塊，逐一梳理核心知識(shí)點(diǎn)、剖析典型題型、提供針對(duì)性訓(xùn)練，并附詳細(xì)講解，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系，掌握解題技巧，提升解題效率。一、橢圓：定義與方程的靈活應(yīng)用1.核心知識(shí)點(diǎn)回顧橢圓的本質(zhì)是“到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”，其核心要素如下：第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)\(F_1,F_2\)（焦點(diǎn)）的距離之和為定值\(2a\)（\(2a>|F_1F_2|\)）的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在\(x\)軸上：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，\(c\)為焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離）；焦點(diǎn)在\(y\)軸上：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。幾何性質(zhì)：離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越小橢圓越“圓”）；準(zhǔn)線方程\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸）。2.典型題型剖析（1）定義法求軌跡例1：已知定點(diǎn)\(F_1(-3,0)\)、\(F_2(3,0)\)，動(dòng)點(diǎn)\(P\)滿足\(|PF_1|+|PF_2|=10\)，求\(P\)的軌跡方程。思路：直接應(yīng)用橢圓第一定義，確定\(a,c\)，計(jì)算\(b^2=a^2-c^2\)。解答：\(2a=10\Rightarrowa=5\)，\(2c=|F_1F_2|=6\Rightarrowc=3\)，故\(b^2=5^2-3^2=16\)。軌跡方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸）。（2）離心率計(jì)算例2：橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點(diǎn)為\(F\)，右頂點(diǎn)為\(A\)，上頂點(diǎn)為\(B\)，若\(\angleABF=90^\circ\)，求離心率\(e\)。思路：利用向量垂直或勾股定理建立\(a,b,c\)的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為\(e=\frac{c}{a}\)。解答：\(A(a,0)\)、\(B(0,b)\)、\(F(-c,0)\)，向量\(\overrightarrow{BA}=(a,-b)\)，\(\overrightarrow{BF}=(-c,-b)\)。由\(\angleABF=90^\circ\)得\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=0\)，即\(-ac+b^2=0\)。代入\(b^2=a^2-c^2\)，得\(-ac+a^2-c^2=0\)，兩邊除以\(a^2\)得\(-e+1-e^2=0\)，解得\(e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)（\(0<e<1\)，舍去負(fù)根）。（3）直線與橢圓的位置關(guān)系例3：直線\(y=x+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求\(|AB|\)及\(AB\)中點(diǎn)坐標(biāo)。思路：聯(lián)立方程→消元→用韋達(dá)定理求根與系數(shù)關(guān)系→計(jì)算弦長(zhǎng)（\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)）和中點(diǎn)（\(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\)）。解答：聯(lián)立得\(\frac{x^2}{4}+\frac{(x+1)^2}{3}=1\)，化簡(jiǎn)為\(7x^2+8x-8=0\)。韋達(dá)定理：\(x_1+x_2=-\frac{8}{7}\)，\(x_1x_2=-\frac{8}{7}\)。弦長(zhǎng)：\(|AB|=\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\left(-\frac{8}{7}\right)^2-4\cdot(-\frac{8}{7})}=\frac{24}{7}\)。中點(diǎn)坐標(biāo)：\(x=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{4}{7}\)，\(y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{(x_1+1)+(x_2+1)}{2}=\frac{x_1+x_2+2}{2}=\frac{3}{7}\)，即\(\left(-\frac{4}{7},\frac{3}{7}\right)\)。3.針對(duì)性訓(xùn)練題（1）已知定點(diǎn)\(F_1(0,-2)\)、\(F_2(0,2)\)，動(dòng)點(diǎn)\(P\)滿足\(|PF_1|+|PF_2|=6\)，求\(P\)的軌跡方程。（2）橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率\(e=\frac{1}{2}\)，且過(guò)點(diǎn)\((2,\sqrt{3})\)，求橢圓方程。（3）直線\(y=2x-1\)與橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求\(|AB|\)及中點(diǎn)坐標(biāo)。二、雙曲線：漸近線與離心率的綜合應(yīng)用1.核心知識(shí)點(diǎn)回顧雙曲線的本質(zhì)是“到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡”，其核心要素如下：第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)\(F_1,F_2\)的距離之差的絕對(duì)值為定值\(2a\)（\(0<2a<|F_1F_2|\)）的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在\(x\)軸上：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)，\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)）；焦點(diǎn)在\(y\)軸上：\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）。幾何性質(zhì)：離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)，\(e\)越大雙曲線越“扁”）；漸近線方程\(y=\pm\frac{a}x\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸）。2.典型題型剖析（1）漸近線與方程的關(guān)系例4：雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{1}{2}x\)，且過(guò)點(diǎn)\((4,\sqrt{3})\)，求雙曲線方程。思路：漸近線斜率\(\frac{a}=\frac{1}{2}\)，設(shè)\(b=\frac{a}{2}\)，代入點(diǎn)坐標(biāo)求\(a^2\)。解答：設(shè)雙曲線方程為\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}=1\)，代入點(diǎn)\((4,\sqrt{3})\)得\(\frac{16}{a^2}-\frac{4\cdot3}{a^2}=1\)，解得\(a^2=4\)，故\(b^2=1\)。方程為\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)。（2）離心率與幾何性質(zhì)例5：雙曲線焦點(diǎn)在\(x\)軸上，離心率\(e=2\)，且過(guò)點(diǎn)\((3,\sqrt{26})\)，求雙曲線方程。思路：\(e=2\Rightarrowc=2a\)，\(b^2=c^2-a^2=3a^2\)，設(shè)方程為\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1\)，代入點(diǎn)求\(a^2\)。解答：代入點(diǎn)\((3,\sqrt{26})\)得\(\frac{9}{a^2}-\frac{26}{3a^2}=1\)，化簡(jiǎn)得\(\frac{27-26}{3a^2}=1\)，解得\(a^2=\frac{1}{3}\)，故\(b^2=1\)。方程為\(3x^2-y^2=1\)。3.針對(duì)性訓(xùn)練題（1）雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的漸近線方程為\(y=\pm2x\)，且過(guò)點(diǎn)\((2,\sqrt{6})\)，求雙曲線方程。（2）雙曲線離心率\(e=\sqrt{3}\)，焦點(diǎn)在\(y\)軸上，且過(guò)點(diǎn)\((1,2\sqrt{2})\)，求雙曲線方程。（3）直線\(y=x\)與雙曲線\(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(b>0\)）交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AB|=4\)，求\(b\)的值。三、拋物線：定義與焦點(diǎn)弦的簡(jiǎn)化計(jì)算1.核心知識(shí)點(diǎn)回顧拋物線的本質(zhì)是“到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與定直線（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡”，其核心要素如下：定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)\(F\)與定直線\(l\)（\(F\notinl\)）距離相等的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在\(x\)軸正半軸）：\(y^2=2px\)（\(p>0\)，焦點(diǎn)\(F(\frac{p}{2},0)\)，準(zhǔn)線\(x=-\frac{p}{2}\)）。幾何性質(zhì)：離心率\(e=1\)；過(guò)焦點(diǎn)的弦（焦點(diǎn)弦）長(zhǎng)\(|AB|=x_1+x_2+p\)（由定義\(|AF|=x_1+\frac{p}{2}\)，\(|BF|=x_2+\frac{p}{2}\)）。2.典型題型剖析（1）定義法求軌跡例6：動(dòng)點(diǎn)\(P\)到定點(diǎn)\(F(1,0)\)的距離等于到直線\(x=-1\)的距離，求\(P\)的軌跡方程。思路：直接應(yīng)用拋物線定義，確定焦點(diǎn)\(F(1,0)\)、準(zhǔn)線\(x=-1\)，故\(p=2\)。解答：軌跡方程為\(y^2=4x\)（開口向右）。（2）焦點(diǎn)弦問(wèn)題例7：過(guò)拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)\(F(1,0)\)作直線\(l\)，交拋物線于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AB|=8\)，求直線\(l\)的方程。思路：設(shè)直線方程為\(x=ty+1\)（避免討論斜率不存在），聯(lián)立拋物線方程，用韋達(dá)定理求\(t\)。解答：聯(lián)立\(x=ty+1\)與\(y^2=4x\)得\(y^2-4ty-4=0\)，韋達(dá)定理\(y_1+y_2=4t\)，\(y_1y_2=-4\)。由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式\(|AB|=x_1+x_2+2=t(y_1+y_2)+2+2=4t^2+4\)（\(x_1=ty_1+1\)，\(x_2=ty_2+1\)）。令\(4t^2+4=8\)，解得\(t=\pm1\)，故直線方程為\(x=\pmy+1\)（即\(y=x-1\)或\(y=-x+1\)）。（3）點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系例8：拋物線\(y^2=4x\)上一點(diǎn)\(P\)到焦點(diǎn)\(F\)的距離為5，求\(P\)點(diǎn)坐標(biāo)。思路：由定義\(|PF|=x_P+1=5\)，得\(x_P=4\)，代入拋物線方程求\(y_P\)。解答：\(x_P=5-1=4\)，代入\(y^2=4x\)得\(y_P=\pm4\)，故\(P(4,4)\)或\((4,-4)\)。3.針對(duì)性訓(xùn)練題（1）拋物線焦點(diǎn)在\(y\)軸正半軸，且過(guò)點(diǎn)\((2,4)\)，求拋物線方程。（2）過(guò)拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)\(F(2,0)\)作直線\(l\)，交拋物線于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(AB\)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求\(|AB|\)。（3）拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦點(diǎn)為\(F\)，過(guò)\(F\)的直線與拋物線交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AF|=3\)，\(|BF|=2\)，求\(p\)的值。四、總結(jié)：圓錐曲線解題關(guān)鍵1.定義優(yōu)先：涉及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題，優(yōu)先用圓錐曲線定義（如焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、點(diǎn)到焦點(diǎn)距離），簡(jiǎn)化計(jì)算。2.代數(shù)方法：直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，聯(lián)立方程→消元→韋達(dá)定理→轉(zhuǎn)化條件（弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積等）。3.幾何性質(zhì)：熟悉橢圓（離心率\(0<e<1\)）、雙曲線（漸近線、\(e>1\)）、拋物線（\(e=1\)、焦點(diǎn)弦公式）的幾何性質(zhì)，快速建