第6章數(shù)字信號處理系統(tǒng)的實現(xiàn)6.1數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)6.2數(shù)字信號處理中的量化效應(yīng)

6.1數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

6.1.1數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示

信號流圖是由許多節(jié)點和連接各節(jié)點的定向支路組成的網(wǎng)絡(luò)，在差分方程表示的數(shù)字濾波器中，只有三種基本運算單元：加法器、乘法器、延遲器(z－1)，它們可以使用如圖6.1.1所示的流圖符號來表示。

假設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為y(n)=a0x(n)+a1x(n－1)+b1y(n－1)，則它的實現(xiàn)框圖如圖6.1.2所示；采用信號流圖來表示，如圖6.1.3所示。比較兩圖可見，采用流圖表示更簡單明了。因此，我們后面都采用流圖表示。圖6.1.1加法、乘法、延遲三種基本運算的流圖符號圖6.1.2系統(tǒng)框圖表示在如圖6.1.3所示的信號流圖中，共有8個節(jié)點。其中：只有輸出支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點或源點，如節(jié)點⑦；只有輸入支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點或阱點，如節(jié)點⑧；既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點叫做混合節(jié)點，如節(jié)點①。節(jié)點所代表的信號量稱為節(jié)點變量，它等于所有輸入支路信號之和，而與它連接的所有輸出端的信號量都為節(jié)點變量。

從源點到阱點之間沿著箭頭方向連續(xù)的一串支路稱為通路，通路的增益是該通路上各支路增益的乘積。從一個節(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向到達同一個節(jié)點的閉合通路稱為回路，它象征著系統(tǒng)中的反饋回路。組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。如需進一步了解信號流圖的有關(guān)理論，請查閱有關(guān)“信號與系統(tǒng)”的教材。圖6.1.3系統(tǒng)的流圖表示對于單個輸入、單個輸出的系統(tǒng)，通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，可得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù)。這稱為信號流圖的轉(zhuǎn)置定理。信號流圖轉(zhuǎn)置可用于轉(zhuǎn)變運算結(jié)構(gòu)或者驗證計算流圖的系統(tǒng)函數(shù)是否正確。例如：圖6.1.3所示的信號流圖經(jīng)轉(zhuǎn)置后的流圖結(jié)構(gòu)如圖6.1.4所示。

運算的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對濾波器的實現(xiàn)很重要，尤其對于一些定點運算的處理機，結(jié)構(gòu)的不同將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等許多重要的性能。一個數(shù)字濾波器的信號流圖結(jié)構(gòu)，可以由它的系統(tǒng)函數(shù)得到，對于IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器，它們在結(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點，因此下面對它們分別討論。圖6.1.4圖6.1.3的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)6.1.2IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

1.直接型結(jié)構(gòu)

一個N階IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)重寫為差分方程可以表示為(6.1.1)(6.1.2)由差分方程可以直接畫出它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6.1.5所示，稱為直接I型。圖6.1.5IIR數(shù)字濾波器的直接I型結(jié)構(gòu)上述結(jié)構(gòu)存在以下缺點：

(1)要2N個延遲器(z－1)，數(shù)量太多。

(2)系數(shù)ai、bi對濾波器性能的控制不直接，對極、零點的控制較難，任何一個ai、bi的改變會影響系統(tǒng)的零點或極點分布。

(3)對字長變化敏感(對ai、bi的準(zhǔn)確度要求嚴格)。

(4)穩(wěn)定性較差，階數(shù)高時，上述影響更大。

因此，必須對上述結(jié)構(gòu)進行改進。IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(式6.1.1)可看做是兩個獨立的子網(wǎng)絡(luò)(H1(z)和H2(z))串接構(gòu)成總的系統(tǒng)函數(shù)，即

H(z)=H1(z)H2(z)其中：，。由系統(tǒng)函數(shù)的不變性(系統(tǒng)是線性的)，得H(z)=H2(z)H1(z)

(6.1.3)因此，得到變形的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6.1.6所示。由圖可以看出，中間實現(xiàn)時延的兩條延遲鏈中同一水平線上的兩個節(jié)點信號完全相同，因此兩條延時鏈中對應(yīng)的延時可合并共用一組延時單元，如圖6.1.7所示，稱為直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。圖6.1.6IIR數(shù)字濾波器直接Ⅰ型的變形結(jié)構(gòu)圖6.1.7IIR數(shù)字濾波器的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的直接Ⅱ型與直接Ⅰ型相比，延遲線減少一半，為N個,可節(jié)省寄存器或存儲單元;但是缺點(2)、(3)、(4)依然存在。因此，在實際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高階系統(tǒng),而是把高階系統(tǒng)變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)來實現(xiàn)。

【例6.1.1】

假設(shè)某IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出該數(shù)字濾波器的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。解

(1)將系統(tǒng)函數(shù)化成式(6.1.1)的形式：

(2)由上述系統(tǒng)函數(shù)可以直接畫出系統(tǒng)的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)如圖6.18所示。圖6.1.8系統(tǒng)的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)

2.級聯(lián)型(串聯(lián))結(jié)構(gòu)

對于一個N階IIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點表示，即把它的分子、分母都表達為因子形式：

(6.1.4)式6.1.4中，ci、di分別表示系統(tǒng)的零極點，對于線性時不變系統(tǒng)，ai、bi均為實系數(shù)，因此它的零、極點不是實根就是共軛復(fù)根。將共軛復(fù)根的因子合并為實系數(shù)二階因子，得(6.1.5)進一步把單實根因子看做二階因子的一個特例，則式(6.1.5)可以寫成以下形式：(6.1.6)式中：是一個二階子網(wǎng)絡(luò)，通常稱為二階節(jié)。這樣，濾波器就可以用若干個二階子網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成，稱為級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖6.1.9所示。圖6.1.9IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)由圖6.1.9可以看出，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)簡化了濾波器的實現(xiàn)，只要用多個二階節(jié)結(jié)構(gòu)，通過變換系數(shù)，再級聯(lián)起來就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)。由于二階節(jié)是由共軛因子合并而成的，它決定了一對系統(tǒng)的共軛零點和共軛極點，因此，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極、零點可通過調(diào)整二階節(jié)的系數(shù)進行單獨控制或者調(diào)整。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，可以有很多種搭配法；而不同排列方案，在相同的運算精度下產(chǎn)生的誤差是不同的(這將在6.2.4節(jié)介紹)。因此，通過優(yōu)化組合可以找到運算誤差最小的組合方案。此外，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)流水線操作。

當(dāng)然，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)也有缺點，主要表現(xiàn)在：由于一個二階節(jié)的輸出作為下一個二階節(jié)的輸入，一方面會使前一級的輸出噪聲作為下一級的輸入，造成噪聲積累；另一方面會造成電平難控制，當(dāng)輸入電平大時易導(dǎo)致后面的二階節(jié)的溢出，輸入電平小時則將使輸出信噪比減小。

3.并聯(lián)型

將系統(tǒng)函數(shù)按其極點進行部分分式展開，得(6.1.7)式(6.1.7)中，di為系統(tǒng)的極點。將上式中的共軛極點成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，可得(6.1.8)上式表明，可用L個一階網(wǎng)絡(luò)、M個二階網(wǎng)絡(luò)以及一個常數(shù)A0并聯(lián)組成濾波器H(z)，得到IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖6.1.10所示。圖6.1.10IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)6.1.3FIR數(shù)字濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式：(6.1.9)(6.1.10)相應(yīng)的差分方程為與IIR數(shù)字濾波器相似，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器也有多種實現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式，下面分別介紹。

1.直接型結(jié)構(gòu)

直接型即直接由差分方程可畫出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖6.1.11所示，也稱卷積型、橫截型。稱為卷積型，是因為來源于差分方程的輸入與輸出關(guān)系是信號的卷積形式；稱為橫截型，是因為差分方程是一條輸入x(n)延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)。

根據(jù)流圖的轉(zhuǎn)置定理將圖6.1.11所示的直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置得到如圖6.1.12所示的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)，兩者的系統(tǒng)函數(shù)是相同的。圖6.1.11FIR數(shù)字濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)圖6.1.12FIR數(shù)字濾波器直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置

2.級聯(lián)型(也稱串聯(lián)型)結(jié)構(gòu)

當(dāng)需要控制FIR數(shù)字濾波器的傳輸零點時，可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的級聯(lián)形式：(6.1.11)于是可用二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成，如圖6.1.13所示。在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個二階節(jié)控制一對零點，因而可在需要控制系統(tǒng)的零點時使用；但它所需要的系數(shù)比直接型的多，乘法運算多于直接型，因此，實際應(yīng)用時應(yīng)綜合考慮。圖6.1.13FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

3.線性相位型結(jié)構(gòu)

FIR的重要特點是可設(shè)計成具有嚴格線性相位的濾波器，此時h(n)滿足偶對稱或奇對稱條件。下面以h(n)為偶對稱為例討論線性相位FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)N為偶數(shù)時，系統(tǒng)函數(shù)可改寫為

(6.1.12)對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6.1.14所示。當(dāng)N為奇數(shù)時，系統(tǒng)函數(shù)可改寫為(6.1.13)對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6.1.15所示。圖6.1.14N為偶數(shù)的線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)圖6.1.15N為奇數(shù)的線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)

4.頻率采樣型結(jié)構(gòu)

假設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度為N，根據(jù)DFT與z變換之間的關(guān)系可知，如果在z平面的單位圓上作N等分采樣，則其采樣值就是h(n)的離散傅立葉變換值H(k)，即(6.1.14)根據(jù)內(nèi)插公式，系統(tǒng)函數(shù)可以寫為(6.1.15)可見H(z)由兩部分相乘而成：第一部分：HC(z)=1－z－N，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6.1.16(a)所示。令1－z－N=0，則zi=ej(2π/N)i，i=0，…，N－1?？梢?，它在單位圓上有N個等間隔的零點，零點間相位間隔2π/N。

再令zi=ejω，得HC(ejω)=1－e－jNω，則(6.1.16)它的幅頻特性曲線如圖6.1.16(b)所示，由圖可以看出，它的特性曲線如同梳子一樣，稱為梳狀濾波器。因此，HC(z)是一個由N節(jié)延時器組成的梳狀濾波器。圖6.1.16梳狀濾波器頻響第二部分：是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)

。此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點：

，該極點正好抵消一個梳狀濾波器的零點，從而使濾波器無極點，系統(tǒng)穩(wěn)定。

兩部分級聯(lián)后，就得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu)如圖6.1.17所示。這一結(jié)構(gòu)的最大優(yōu)點是，它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在ω=(2π/N)k處的響應(yīng)，因此，控制或者調(diào)整濾波器的響應(yīng)很直接、方便，但是存在著兩個主要問題。圖6.1.17FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)問題一：系數(shù)W－kN和H(k)都是復(fù)數(shù)，必須采用復(fù)數(shù)乘法運算，計算復(fù)雜。

問題二：所有一階網(wǎng)絡(luò)的極點都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，將有可能導(dǎo)致有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點相抵消，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為了克服這兩個缺點，可作兩點修正：

(1)將所有零點和極點移到半徑為r(r為略小于1的實數(shù))的圓上，同時頻率采樣點也移到該圓上。這樣，避免了因為系數(shù)量化造成極點跑到單位圓外，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時：

(6.1.17)

(2)將一對共軛復(fù)數(shù)極點的一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個實系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。由于這些共軛根在圓周上是對稱點，即有WN－(N－k)

=Wk=(W－k)*，并且當(dāng)h(m)是實數(shù)時，其DFT也是圓周共軛對稱的，即有H(N－k)=H*(k)，則第N－k個一階子網(wǎng)絡(luò)變?yōu)閷⒌趉個及第N－k個一階子網(wǎng)絡(luò)合并，得

式中：α0k=2Re[H(k)]，α1k=－2rRe[H(k)WkN]。

由式(6.1.18)可以看出，將第k及第N－k個一階子網(wǎng)絡(luò)的合并結(jié)果為一個二階實網(wǎng)絡(luò)。

由于一階子網(wǎng)絡(luò)除了以上共軛極點外，還有實數(shù)極點，而實數(shù)極點不需要合并，因此下面分兩種情況討論。

(1)當(dāng)N為偶數(shù)時，對于k=0和k=N/2，一階子網(wǎng)絡(luò)的極點為實數(shù)極點(z=±r)，對應(yīng)的頻率采樣值分別為H(0)和H(N/2)，這兩個一階子網(wǎng)絡(luò)不需合并，因此有兩個一階網(wǎng)絡(luò)：(6.1.19)(6.1.20)因此，可得當(dāng)N為偶數(shù)改進后的系統(tǒng)函數(shù)為(6.1.21)式中三種實系數(shù)子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6.1.18所示，圖中(a)為實二階子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，圖(b)和(c)分別為k=0和k=N/2時的一階子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。由此可得FIR數(shù)字濾波器改進后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如圖6.1.19所示。圖6.1.18三種實系數(shù)子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖6.1.19當(dāng)N為偶數(shù)時改進后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)

(2)當(dāng)N為奇數(shù)，只有當(dāng)k=0時，一階子網(wǎng)絡(luò)的極點為實數(shù)極點(z=r)，對應(yīng)的頻率采樣值為H(0)，因此，有一個一階網(wǎng)絡(luò)：(6.1.22)則當(dāng)N為奇數(shù)時，改進后的系統(tǒng)函數(shù)為(6.1.23)對應(yīng)的改進后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)請讀者自己畫出。

FIR數(shù)字濾波器頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是：選頻性好，適于窄帶濾波器(由于其大部分的H(k)為0，因此只需要較少的二階子網(wǎng)絡(luò)就可以實現(xiàn))；另外，對于不同的FIR濾波器，若長度相同，只要通過改變系數(shù)就可用同一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)，復(fù)用性好，便于集成。其缺點是：結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用的存儲器較多。

5.FFT快速算法實現(xiàn)

目前最常用的FIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn)是采用快速卷積算法，實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)實質(zhì)是采用橫截型結(jié)構(gòu)，但是由于采用了FFT算法，運算效率得到大大提高。實現(xiàn)步驟參見第3章。

6.2數(shù)字信號處理中的量化效應(yīng)

6.2.1量化噪聲

數(shù)字信號處理的實現(xiàn)，本質(zhì)上就是運算。要實現(xiàn)運算，信號序列值及參加運算的各個參數(shù)都必須以二進制的形式存儲在有限字長的寄存器中；同時，運算中二進制數(shù)的乘法也會使結(jié)果位數(shù)增多。因此，必須對這些數(shù)據(jù)進行尾數(shù)處理，即將這些數(shù)據(jù)用一定長度的二進制數(shù)表示。例如：0.8012用二進制表示為(0.110011010…)2，如果用8位二進制數(shù)表示，其中第一位為符號位，則二進制序列為(0.1100110)2

，其十進制值為0.796875，可見與原序列值不相等，形成誤差，稱為量化誤差。在數(shù)字信號處理實現(xiàn)中，數(shù)據(jù)可依據(jù)處理器處理類型采用定點制表示或者浮點制表示。如果采用浮點制表示，由于其動態(tài)范圍大，量化誤差小，對濾波器性能的影響也小，因此一般不用考慮量化效應(yīng)。下面僅討論定點制的量化誤差。

假設(shè)信號量是b+1位二進制數(shù)表示的定點小數(shù)，其中第一位為符號位，后面b位為小數(shù)部分，則能表示的最小數(shù)據(jù)單位為2－b

，稱為量化階，用q表示，即q=2－b。

對超過b位部分進行尾數(shù)處理的方法有兩種：一種是舍入法，即如果第b+1位為1，則對第b+1位進行加1(進位)，對第b+2位以及以后的數(shù)舍去，如果第b+1位為0，則舍去第b+1位以及以后的所有位數(shù)。另一種是截尾法，即將第b+1位以及以后的數(shù)全部舍去。

假設(shè)信號x(n)量化后用Q[x(n)]表示，量化誤差用e(n)表示，則定義：

e(n)=Q[x(n)]－x(n)

(6.2.1)

在一般情況下，x(n)為隨機信號，那么e(n)也是隨機信號，因此也經(jīng)常被稱為量化噪聲。要精確知道量化噪聲的大小是很困難的，也是沒有必要的。因此，通過分析量化噪聲

的統(tǒng)計特性來描述量化誤差，并對其統(tǒng)計特性作如下假定：

(1)e(n)是平穩(wěn)隨機序列；

(2)e(n)與信號x(n)不相關(guān)；

(3)e(n)任意兩個值之間不相關(guān)，即為白噪聲(功率譜密度在整個頻段內(nèi)均勻分布的噪聲)；

(4)e(n)具有均勻等概率分布。

由上述假定可知，量化誤差是一個與信號序列完全不相關(guān)的加性(疊加在信號上的一種噪聲)白噪聲序列。根據(jù)分析可得截尾量化誤差為－q<e(n)≤0，舍入量化誤差為－(q/2)<e(n)≤q/2，則其概率密度曲線如圖6.2.1所示。圖6.2.1e(n)的概率密度曲線下面計算量化誤差e(n)的均值和方差。

(1)截尾量化噪聲。

均值：(6.2.2)方差：(6.2.3)

(2)舍入量化噪聲。均值：

me=0

(6.2.4)方差：

σ2e=q2／12

(6.2.5)

由式(6.2.2)~式(6.2.5)可見，截尾量化噪聲有直流分量，會影響信號的頻譜結(jié)構(gòu)，而舍入量化處理均值為0，不會影響；截尾量化噪聲和舍入量化噪聲的方差(功率)相同，都為q2/12。

數(shù)字信號處理實現(xiàn)中，量化誤差主要產(chǎn)生于：對輸入模擬信號的A/D轉(zhuǎn)換，數(shù)字網(wǎng)絡(luò)中的運算處理過程，對系統(tǒng)中各個系數(shù)的量化。量化誤差將使濾波器的性能產(chǎn)生變化，下面分別討論各種量化效應(yīng)。6.2.2A/D變換的量化效應(yīng)

A/D變換器的原理框圖如圖6.2.2(a)所示。圖中：采樣完成對輸入的模擬信號進行時間離散化，但幅度還是連續(xù)的；量化完成對采樣序列作舍入或截尾處理，得到有限字長數(shù)字信號。

利用6.2.1節(jié)所述分析量化噪聲的統(tǒng)計特性來描述量化誤差，則可以用一統(tǒng)計模型來表示A/D變換的量化過程，如圖6.2.2(b)所示。圖6.2.2A/D變換器模型根據(jù)6.2.1節(jié)的分析結(jié)果可知：不論是截尾處理還是舍入處理，量化噪聲的方差都為σ2e=q2/12，可見，量化噪聲的方差與A/D變換的字長直接有關(guān)，字長越長，量化噪聲越小。假設(shè)A/D變換器輸入信號不含噪聲，輸出信號中僅考慮量化噪聲，輸入信號的平均功率用σ2x表示，輸出信噪比用SNR表示，則(6.2.6)用dB數(shù)表示為(6.2.7)式(6.2.7)表明，A/D變換器的位數(shù)每增加1位，輸出量化信噪比增加約6個分貝。當(dāng)然，信號能量越大，量化信噪比越高。必須指出，由于信號本身有一定的信噪比，單純提高量化信噪比是無意義。如果對輸出信噪比提出要求，則根據(jù)式(6.2.7)可以確定A/D變換器所需的位數(shù)。

【例6.2.1】

假設(shè)信號x(n)在－1~1之間均勻分布，求8、12位時A/D的量化信噪比SNR。

解因信號x(n)在－1至1之間均勻分布，所以有均值：

E[x(n)]=0

方差：當(dāng)b=8位時，SNR=54dB；當(dāng)b=12位時，SNR=78dB。6.2.3量化噪聲通過線性系統(tǒng)

為了單獨分析量化噪聲通過線性系統(tǒng)后的影響，將系統(tǒng)近似看做是完全理想的(即具有無限精度的線性系統(tǒng))，因此，在輸入端線性相加的噪聲，在系統(tǒng)的輸出端也是線性相加的，如圖6.2.3所示。圖6.2.3量化噪聲通過線性系統(tǒng)由圖6.2.3可見，量化噪聲經(jīng)過線性系統(tǒng)后的輸出為(6.2.8)輸出噪聲為

ef(n)=e(n)*h(n)

(6.2.9)當(dāng)e(n)為舍入處理噪聲時，輸出噪聲的方差為(6.2.10)由于e(n)是白色的，各變量之間互不相關(guān)，即代入上式，得(6.2.11)由Parseval定理可得：(6.2.12)對于穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)，其全部極點在單位圓內(nèi)，表示沿單位圓逆時針方向的圓周積分。由留數(shù)定理可得：(6.2.13)如果e(n)為截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量：(6.2.14)

【例6.2.2】

一個8位A/D變換器(b=7)，其輸出x(n)作為IIR濾波器的輸入，求濾波器輸出端的量化噪聲功率，已知IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)=z/(z－0.999)

解由于A/D的量化效應(yīng)，濾波器輸入端的噪聲功率為∧由式(6.2.12)可得，濾波器的輸出噪聲功率為式中圍繞積分的積分值等于單位圓內(nèi)所有極點留數(shù)的和。被積函數(shù)在單位圓內(nèi)有一個極點z=0.999，所以6.2.4有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響

數(shù)字濾波器的實現(xiàn)涉及兩種運算：相乘、求和。定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入(截尾)處理，因此引入了非線性。采用統(tǒng)計分析的方法，將每一個乘法支路的舍入誤差作為獨立噪聲e(n)迭加在信號上，因而仍可用線性流圖表示定點相乘，如圖6.2.4所示。根據(jù)上述對舍入噪聲e(n)所作的假設(shè)，整個系統(tǒng)就可作為線性系統(tǒng)處理。每一個噪聲可用線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲經(jīng)線性迭加得到總的噪聲輸出。圖6.2.4定點相乘運算統(tǒng)計分析的流圖表示

1.IIR數(shù)字濾波器的有限字長乘法運算量化效應(yīng)

下面以一個例子來討論IIR數(shù)字濾波器的有限字長乘法運算量化效應(yīng)。

【例6.2.3】一個二階IIR低通數(shù)字濾波器，系統(tǒng)函數(shù)為

采用定點制算法，尾數(shù)作舍入處理，分別計算其直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型三種結(jié)構(gòu)的舍入誤差產(chǎn)生的輸出噪聲功率。

解

(1)直接型結(jié)構(gòu)。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)畫出直接型結(jié)構(gòu)流圖，并在每一個乘法支路加入一個舍入噪聲，得到如圖6.2.5所示流圖。圖6.2.5例6.2.3從圖上可看出，輸出噪聲ef(n)是e0(n)、e1(n)二個舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)H(z)加上e2(n)、e3(n)形成的。設(shè)h(n)是H(z)的單位脈沖響應(yīng)，則

ef(n)=[e0(n)+e1(n)]*h(n)+e2(n)+e3(n)

輸出噪聲的方差為式中：σ2e=q2/12。利用留數(shù)定理可以求得

σ2f=2.8636σ2e=0.2386q2

(2)級聯(lián)型。將H(z)分解為采用相同的方法畫出數(shù)字濾波器級聯(lián)結(jié)構(gòu)流圖如圖6.2.6所示。圖6.2.6數(shù)字濾波器級聯(lián)結(jié)構(gòu)從圖6.2.6可看出，輸出噪聲ef(n)是e0(n)舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)H(z)的輸出，加上e1(n)舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)H0(z)=(0.5－0.3z－1)/(1－0.4z－1)的輸出，再加上e2(n)、e3(n)三部分迭加形成的。因此，設(shè)h0(n)是H0(z)的單位脈沖響應(yīng)，則

ef(n)=e0(n)*h(n)+e1(n)*h0(n)+e2(n)+e3(n)

輸出噪聲的方差為將H(z)按照不同的方式組合，還可以組成其他的級聯(lián)形式，請讀者自己完成其他級聯(lián)結(jié)構(gòu)的輸出噪聲功率計算。

(3)并聯(lián)型。將H(z)進行部分分式展開為從圖6.2.7可以看出：輸出噪聲ef(n)是e0(n)舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)

的輸出，加上e1(n)舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)的輸出，再加上e2(n)兩部分迭加形成的。設(shè):h1(n)是H1(z)的單位脈沖響應(yīng)，h2(n)是H2(z)的單位脈沖響應(yīng)，則

ef(n)=e0(n)*h1(n)+e1(n)*h2(n)+e2(n)圖6.2.7并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的舍入噪聲分析輸出噪聲的方差為比較三種結(jié)構(gòu)的輸出噪聲功率的大小，可知：直接型>級聯(lián)型>并聯(lián)型其原因如下：

(１)直接型結(jié)構(gòu)：所有舍入誤差都經(jīng)過全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過程中誤差積累，輸出誤差很大。

(2)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：每個舍入誤差只通過其后面的反饋環(huán)節(jié)，而不通過它前面的反饋環(huán)節(jié)，誤差小于直接型。

(３)并聯(lián)型：每個并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過本身的反饋環(huán)節(jié)，與其他并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無關(guān)，積累作用最小，誤差最小。

因此IIR數(shù)字濾波器的乘法運算的有限字長效應(yīng)與它的結(jié)構(gòu)有關(guān)，在IIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)時應(yīng)選擇合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

2.FIR數(shù)字濾波器的有限字長效應(yīng)

IIR數(shù)字濾波器的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無反饋環(huán)節(jié)(頻率采樣型結(jié)構(gòu)除外)，不會造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比相同階數(shù)的IIR濾波器小，不會產(chǎn)生非線性振蕩。下面以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長效應(yīng)。

(1)量化噪聲。

下面以舍入處理為例介紹FIR數(shù)字濾波器的量化噪聲。N－1階FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(6.2.15)在無限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為(6.2.15)在無限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為(6.2.16)在有限精度運算時，系統(tǒng)的輸出為(6.2.17)由于每一次相乘后的舍入處理將產(chǎn)生一個舍入噪聲，即故(6.2.18)(6.2.19)則(6.2.20)輸出噪聲如圖6.2.8所示，輸出噪聲功率為(6.2.21)圖6.2.8橫截型結(jié)構(gòu)FIR濾波器的舍入處理

【例6.2.4】

假設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度N為10，處理器處理的字長為18，即b=17，則當(dāng)N=1024時，由此可得：σf=0.705×10-4，說明數(shù)字濾波器輸出中，小數(shù)點后只有4位數(shù)字是有效的。

(2)動態(tài)范圍。采用定點制運算時，動態(tài)范圍的限制常導(dǎo)致FIR數(shù)字濾波器的輸出結(jié)果發(fā)生溢出。利用比例因子，壓縮輸入信號的范圍，可避免溢出。假設(shè)輸入信號的最大值為xmax，由式(6.2.16)可得如下關(guān)系：(6.2.22)對于定點小數(shù)，不產(chǎn)生溢出的條件為：|y(n)|<1。為使結(jié)果不溢出，對x(n)采用標(biāo)度因子G，使

，導(dǎo)出：(6.2.23)6.2.5系數(shù)量化對濾波器特性的影響

由于濾波器的所有系數(shù)必須以有限長度的二進制碼形式存放在存儲器中，所以必須對理想系數(shù)值進行量化。系數(shù)量化將造成實際系數(shù)存在誤差，使零、極點位置發(fā)生偏離，使濾波器的特性產(chǎn)生變化，嚴重時甚至使單位圓內(nèi)的極點偏離到單位圓外，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面利用MATLAB工具軟件來研究系數(shù)量化對濾波器性能的影響。

首先設(shè)計兩個MATLAB函數(shù)用來處理系數(shù)量化的截尾和舍入處理。函數(shù)a2dT(d,n)實現(xiàn)將十進制數(shù)據(jù)d(在MATLAB中用浮點表示，假設(shè)為理想精度)按照截尾處理算法處理成n位二進制數(shù)，函數(shù)的返回值為該n位二進制數(shù)的十進制值。函數(shù)的代碼為：

functionbeq=a2dT(d,n)

m=1；d1=abs(d);

whilefix(d1)>0

d1=abs(d)/(2^m);

m=m+1;

end

beq=fix(d1*2^n);

beq=sign(d).*beq.*2^(m-n-1);

函數(shù)a2dR(d,n)實現(xiàn)將十進制數(shù)據(jù)d(在MATLAB中用浮點表示，假設(shè)為理想精度)按照舍入處理算法處理成n位二進制數(shù)，函數(shù)的返回值為該n位二進制數(shù)的十進制值。函數(shù)的代碼為：functionbeq=a2dR(d,n)

m=1；d1=abs(d);

whilefix(d1)>0

d1=abs(d)/(2^m);

m=m+1;

end

beq=fix(d1*2^n+.5);

beq=sign(d).*beq.*2^(m-n-1);下面以6階橢圓低通濾波器為例進行研究，假設(shè)低通濾波器的截止頻率為0.4，通帶波動為0.5dB，阻帶最小衰減為50dB。當(dāng)采用5位截尾處理時，分析其量化前后的濾波器特性，比較零極點的變化。MATLAB的程序代碼如下：