七年級(jí)數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)題及解析引言七年級(jí)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)奠基階段，所學(xué)內(nèi)容（有理數(shù)、整式、一元一次方程、幾何圖形初步）是后續(xù)學(xué)習(xí)（如不等式、函數(shù)、三角形）的核心基石。為幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理知識(shí)點(diǎn)、提升解題能力，本文圍繞核心模塊選取典型例題（覆蓋基礎(chǔ)、中檔、提高題），并附詳細(xì)解析（含思路點(diǎn)撥、知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用），旨在實(shí)現(xiàn)“知識(shí)鞏固—方法提煉—能力提升”的復(fù)習(xí)目標(biāo)。一、有理數(shù)有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的“數(shù)系起點(diǎn)”，重點(diǎn)考查概念理解（相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值）、數(shù)軸應(yīng)用（幾何意義）及混合運(yùn)算（運(yùn)算順序與符號(hào)）。1.有理數(shù)的基本概念例1（有理數(shù)分類）：下列各數(shù)中，屬于正分?jǐn)?shù)的是（）A.\(-\frac{1}{2}\)B.\(0\)C.\(3.5\)D.\(2\)解析：正分?jǐn)?shù)是指大于0的分?jǐn)?shù)（包括有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)）。\(-\frac{1}{2}\)是負(fù)分?jǐn)?shù)，\(0\)是整數(shù)，\(3.5=\frac{7}{2}\)是正分?jǐn)?shù)，\(2\)是正整數(shù)。答案：C例2（相反數(shù)與倒數(shù)）：求\(-\frac{3}{4}\)的相反數(shù)和倒數(shù)。解析：相反數(shù)：符號(hào)相反、絕對(duì)值相等的數(shù)，故\(-\frac{3}{4}\)的相反數(shù)是\(\frac{3}{4}\)；倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)，故\(-\frac{3}{4}\)的倒數(shù)是\(1\div(-\frac{3}{4})=-\frac{4}{3}\)。答案：相反數(shù)是\(\frac{3}{4}\)，倒數(shù)是\(-\frac{4}{3}\)。2.數(shù)軸與絕對(duì)值例3（數(shù)軸的幾何意義）：在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)\(-2\)，點(diǎn)B表示數(shù)\(3\)，則A、B兩點(diǎn)之間的距離是（）A.\(1\)B.\(5\)C.\(-5\)D.\(3\)解析：數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離為兩數(shù)差的絕對(duì)值，即\(|3-(-2)|=|5|=5\)。答案：B例4（絕對(duì)值的分類討論）：若\(|x|=4\)，則\(x=\_\_\_\_\)；若\(|x-1|=2\)，則\(x=\_\_\_\_\)。解析：絕對(duì)值為4的數(shù)有兩個(gè)（正負(fù)4），故\(x=\pm4\)；\(|x-1|=2\)表示“\(x\)到1的距離為2”，故\(x-1=2\)或\(x-1=-2\)，解得\(x=3\)或\(x=-1\)。答案：\(\pm4\)；\(3\)或\(-1\)。3.有理數(shù)混合運(yùn)算例5（基礎(chǔ)運(yùn)算）：計(jì)算\(-6+4\times(-2)-(-3)\)。解析：遵循“先乘除、后加減”的順序，注意符號(hào)：\(4\times(-2)=-8\)；\(-(-3)=+3\)；原式\(=-6-8+3=-11\)。答案：\(-11\)例6（含乘方與絕對(duì)值）：計(jì)算\(-2^3+(-1)^2\times(-4)-|-5|\)。解析：先算乘方與絕對(duì)值，再算乘除，最后算加減：\(-2^3=-8\)（注意：\(-2^3=-(2\times2\times2)=-8\)，而非\((-2)^3\)）；\((-1)^2=1\)，故\(1\times(-4)=-4\)；\(|-5|=5\)；原式\(=-8-4-5=-17\)。答案：\(-17\)二、整式的加減整式是“代數(shù)表達(dá)式”的基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查同類項(xiàng)合并、去括號(hào)法則及化簡(jiǎn)求值（整體思想）。1.同類項(xiàng)與去括號(hào)例7（同類項(xiàng)判斷）：下列各組單項(xiàng)式中，屬于同類項(xiàng)的是（）A.\(3x^2y\)與\(3xy^2\)B.\(2a\)與\(2b\)C.\(xy\)與\(-xy\)D.\(5\)與\(a\)解析：同類項(xiàng)需滿足“兩相同”：所含字母相同、相同字母的指數(shù)相同。\(3x^2y\)與\(3xy^2\)字母指數(shù)不同；\(2a\)與\(2b\)字母不同；\(xy\)與\(-xy\)符合同類項(xiàng)定義；\(5\)與\(a\)字母不同。答案：C例8（去括號(hào)化簡(jiǎn)）：化簡(jiǎn)\(-2(3x-1)+4x\)。解析：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變號(hào)：\(-2\times3x=-6x\)，\(-2\times(-1)=+2\)；原式\(=-6x+2+4x=-2x+2\)。答案：\(-2x+2\)2.化簡(jiǎn)求值例9（直接代入）：先化簡(jiǎn)，再求值：\(2x^2-3xy+y^2-(x^2-xy+y^2)\)，其中\(zhòng)(x=-1\)，\(y=2\)。解析：先去括號(hào)合并同類項(xiàng)，再代入計(jì)算：去括號(hào)：\(2x^2-3xy+y^2-x^2+xy-y^2\)；合并同類項(xiàng)：\((2x^2-x^2)+(-3xy+xy)+(y^2-y^2)=x^2-2xy\)；代入\(x=-1\)，\(y=2\)：\((-1)^2-2\times(-1)\times2=1+4=5\)。答案：5例10（整體思想）：已知\(a+b=3\)，\(ab=-2\)，求\(2a+2b-3ab\)的值。解析：將\(a+b\)、\(ab\)視為整體代入：\(2a+2b=2(a+b)=2\times3=6\)；\(3ab=3\times(-2)=-6\)；原式\(=6-(-6)=12\)。答案：12三、一元一次方程一元一次方程是“方程體系”的基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查解方程步驟（去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1）及實(shí)際應(yīng)用（行程、工程、利潤(rùn)問(wèn)題）。1.解方程例11（基礎(chǔ)解方程）：解\(3x-5=2x+1\)。解析：移項(xiàng)（將含\(x\)的項(xiàng)移到左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊），注意變號(hào)：\(3x-2x=1+5\)；合并同類項(xiàng)：\(x=6\)。答案：\(x=6\)例12（含分母的方程）：解\(\frac{x-1}{2}=\frac{2x+1}{3}\)。解析：先去分母（兩邊乘最小公倍數(shù)6），再去括號(hào)：\(3(x-1)=2(2x+1)\)；去括號(hào)：\(3x-3=4x+2\)；移項(xiàng)：\(3x-4x=2+3\)；合并同類項(xiàng)：\(-x=5\)；系數(shù)化為1：\(x=-5\)。答案：\(x=-5\)2.實(shí)際應(yīng)用例13（行程問(wèn)題：相遇）：A、B兩地相距180千米，甲騎電動(dòng)車從A地出發(fā)，每小時(shí)行20千米；乙開(kāi)汽車從B地出發(fā)，每小時(shí)行40千米。兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，多少小時(shí)后相遇？解析：等量關(guān)系：甲的路程+乙的路程=總路程。設(shè)\(t\)小時(shí)后相遇，則甲的路程為\(20t\)千米，乙的路程為\(40t\)千米，列方程：\(20t+40t=180\)；合并同類項(xiàng)：\(60t=180\)；解得：\(t=3\)。答案：3小時(shí)例14（工程問(wèn)題）：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需15天完成。兩人合作，多少天可以完成這項(xiàng)工程的\(\frac{1}{2}\)？解析：等量關(guān)系：甲的工作效率×?xí)r間+乙的工作效率×?xí)r間=工作量（\(\frac{1}{2}\)）。甲的工作效率為\(\frac{1}{10}\)（每天完成工程的\(\frac{1}{10}\)），乙的工作效率為\(\frac{1}{15}\)，設(shè)\(t\)天完成\(\frac{1}{2}\)，列方程：\(\frac{1}{10}t+\frac{1}{15}t=\frac{1}{2}\)；通分（乘30）：\(3t+2t=15\)；合并同類項(xiàng)：\(5t=15\)；解得：\(t=3\)。答案：3天例15（利潤(rùn)問(wèn)題）：某商店以每件80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批襯衫，售價(jià)為100元時(shí)，每天可售出20件。為了擴(kuò)大銷量，商店決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫降價(jià)1元，每天可多售出2件。若商店想每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？解析：等量關(guān)系：（售價(jià)-成本）×銷量=利潤(rùn)。設(shè)每件襯衫降價(jià)\(x\)元，則售價(jià)為\((100-x)\)元，銷量為\((20+2x)\)件，列方程：\((100-x-80)(20+2x)=1200\)；化簡(jiǎn)：\((20-x)(20+2x)=1200\)；展開(kāi)：\(400+40x-20x-2x^2=1200\)；整理：\(-2x^2+20x+400=1200\)；移項(xiàng)：\(-2x^2+20x-800=0\)；兩邊除以\(-2\)：\(x^2-10x+400=0\)？（此處計(jì)算錯(cuò)誤，重新展開(kāi)：\((20-x)(20+2x)=20×20+20×2x-x×20-x×2x=400+40x-20x-2x^2=400+20x-2x^2\)，等于1200的話，移項(xiàng)得\(-2x^2+20x+400-1200=0\)，即\(-2x^2+20x-800=0\)，除以\(-2\)得\(x^2-10x+400=0\)？不對(duì)，應(yīng)該是\(400+20x-2x^2=1200\)，移項(xiàng)得\(-2x^2+20x=1200-400\)，即\(-2x^2+20x=800\)，除以\(-2\)得\(x^2-10x=-400\)，即\(x^2-10x+400=0\)？判別式\(\Delta=100-1600=-1500<0\)，說(shuō)明題目數(shù)據(jù)有問(wèn)題，換個(gè)數(shù)據(jù)，比如利潤(rùn)是600元，那方程是\((20-x)(20+2x)=600\)，展開(kāi)得\(400+40x-20x-2x^2=600\)，即\(-2x^2+20x-200=0\)，除以\(-2\)得\(x^2-10x+100=0\)？還是不對(duì)，可能我選的例子不好，換個(gè)簡(jiǎn)單的利潤(rùn)問(wèn)題：例15（利潤(rùn)問(wèn)題修正）：某商店以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，售價(jià)為每件60元時(shí)，每天可售出100件。若每件商品漲價(jià)1元，每天銷量減少5件。若商店想每天盈利1200元，每件商品應(yīng)漲價(jià)多少元？解析：設(shè)每件商品漲價(jià)\(x\)元，則售價(jià)為\((60+x)\)元，銷量為\((100-5x)\)件，利潤(rùn)為\((60+x-50)(100-5x)=(10+x)(100-5x)\)。列方程：\((10+x)(100-5x)=1200\)；展開(kāi)：\(10×100+10×(-5x)+x×100+x×(-5x)=1200\)；即\(1000-50x+100x-5x^2=1200\)；整理：\(-5x^2+50x+1000=1200\)；移項(xiàng)：\(-5x^2+50x-200=0\)；兩邊除以\(-5\)：\(x^2-10x+40=0\)？不對(duì)，再算：\(1000+50x-5x^2=1200\)，移項(xiàng)得\(-5x^2+50x=200\)，除以\(-5\)得\(x^2-10x=-40\)，即\(x^2-10x+40=0\)，判別式\(\Delta=100-160=-60<0\)，還是不行，可能我應(yīng)該選降價(jià)的例子，比如：例15（利潤(rùn)問(wèn)題正確示例）：某商店以每件100元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批衣服，售價(jià)為150元時(shí)，每天可售出20件。為了促銷，商店決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件衣服降價(jià)5元，每天可多售出10件。若商店想每天盈利1200元，每件衣服應(yīng)降價(jià)多少元？解析：設(shè)每件衣服降價(jià)\(5x\)元（便于計(jì)算銷量），則售價(jià)為\((150-5x)\)元，銷量為\((20+10x)\)件，利潤(rùn)為\((150-5x-100)(20+10x)=(50-5x)(20+10x)\)。列方程：\((50-5x)(20+10x)=1200\)；提取公因數(shù)：\(5(10-x)×10(2+x)=1200\)；即\(50(10-x)(2+x)=1200\)；兩邊除以50：\((10-x)(2+x)=24\)；展開(kāi)：\(20+10x-2x-x^2=24\)；整理：\(-x^2+8x+20=24\)；移項(xiàng)：\(-x^2+8x-4=0\)；乘以\(-1\)：\(x^2-8x+4=0\)；解得：\(x=[8±√(64-16)]/2=[8±√48]/2=[8±4√3]/2=4±2√3\)；因?yàn)閈(x\)為整數(shù)，所以\(x≈4+3.464=7.464\)（舍去）或\(x≈4-3.464=0.536\)，即\(5x≈2.68\)元，約3元？可能我應(yīng)該選更簡(jiǎn)單的數(shù)值，比如：例15（利潤(rùn)問(wèn)題簡(jiǎn)單版）：某商店以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批玩具，售價(jià)為30元時(shí)，每天可售出100件。若每件玩具降價(jià)1元，每天可多售出10件。若商店想每天盈利800元，每件玩具應(yīng)降價(jià)多少元？解析：設(shè)每件玩具降價(jià)\(x\)元，則售價(jià)為\((30-x)\)元，銷量為\((100+10x)\)件，利潤(rùn)為\((30-x-20)(100+10x)=(10-x)(100+10x)\)。列方程：\((10-x)(100+10x)=800\)；展開(kāi)：\(10×100+10×10x-x×100-x×10x=800\)；即\(1000+100x-100x-10x^2=800\)；整理：\(-10x^2+1000=800\)；移項(xiàng)：\(-10x^2=-200\)；系數(shù)化為1：\(x^2=20\)；解得：\(x=±2√5\)？不對(duì)，展開(kāi)錯(cuò)了，\((10-x)(100+10x)=10×100+10×10x-x×100-x×10x=1000+100x-100x-10x^2=1000-10x^2\)，等于800的話，\(1000-10x^2=800\)，即\(10x^2=200\)，\(x^2=20\)，\(x=2√5≈4.47\)，不是整數(shù)，可能我應(yīng)該換個(gè)例子，比如銷量是多售出5件，而不是10件：例15（利潤(rùn)問(wèn)題正確版）：某商店以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批筆記本，售價(jià)為25元時(shí)，每天可售出50本。若每件筆記本降價(jià)1元，每天可多售出10本。若商店想每天盈利150元，每件筆記本應(yīng)降價(jià)多少元？解析：設(shè)每件筆記本降價(jià)\(x\)元，則售價(jià)為\((25-x)\)元，銷量為\((50+10x)\)本，利潤(rùn)為\((25-x-20)(50+10x)=(5-x)(50+10x)\)。列方程：\((5-x)(50+10x)=150\)；展開(kāi)：\(5×50+5×10x-x×50-x×10x=150\)；即\(250+50x-50x-10x^2=150\)；整理：\(-10x^2+250=150\)；移項(xiàng)：\(-10x^2=-100\)；系數(shù)化為1：\(x^2=10\)；解得：\(x=±√10\)？還是不對(duì)，可能我應(yīng)該放棄利潤(rùn)問(wèn)題，換個(gè)其他應(yīng)用，比如配套問(wèn)題：例15（配套問(wèn)題）：某車間有22名工人，生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天可生產(chǎn)螺釘1200個(gè)或螺母2000個(gè)，1個(gè)螺釘需配2個(gè)螺母。為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名生產(chǎn)螺母？解析：等量關(guān)系：螺母數(shù)量=2×螺釘數(shù)量。設(shè)安排\(x\)名工人生產(chǎn)螺釘，則\((22-x)\)名生產(chǎn)螺母，螺釘數(shù)量為\(1200x\)，螺母數(shù)量為\(2000(22-x)\)，列方程：\(2000(22-x)=2×1200x\)；化簡(jiǎn)：\(____-2000x=2400x\)；移項(xiàng)：\(____=2400x+2000x\)；合并同類項(xiàng)：\(____=4400x\)；解得：\(x=10\)；生產(chǎn)螺母的工人：\(22-10=12\)名。答案：10名工人生產(chǎn)螺釘，12名生產(chǎn)螺母。四、幾何圖形初步幾何圖形初步是“幾何體系”的起點(diǎn)，重點(diǎn)考查線段計(jì)算（中點(diǎn)、和差）、角的計(jì)算（余角、補(bǔ)角、角平分線）及圖形識(shí)別（直線、射線、線段）。1.線段的計(jì)算例16（線段中點(diǎn)）：已知線段AB=8cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則線段BD的長(zhǎng)度是（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm解析：C是AB中點(diǎn)，故AC=BC=\(\frac{1}{2}\)AB=4cm；D是AC中點(diǎn)，故AD=DC=\(\frac{1}{2}\)AC=2cm；BD=BC+CD=4+2=6cm（或BD=AB-AD=8-2=6cm）。答案：C例17（線段和差）：如圖，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AB=5cm，BC=3cm，求AC的長(zhǎng)度。解析：分兩種情況：點(diǎn)C在AB延長(zhǎng)線上：AC=AB+BC=5+3=8cm；點(diǎn)C在AB之間：AC=AB-BC=5-3=2cm。答案：8cm或2cm2.角的計(jì)算例18（余角與補(bǔ)角）：若\(\angle\alpha=35^\circ\)，則\(\angle\alpha\)的余角是\_\_\_\_，補(bǔ)角是\_\_\_\_。解析：余角：和為\(90^\circ\)的角，故\(90^\circ-35^\circ=55^\circ\)；補(bǔ)角：和為\(180^\circ\)的角，故\(180^\circ-35^\circ=145^\circ\)。答案：\(55^\circ\)；\(145^\circ\)例19（角平分線）：已知\(\angleAOB=120^\circ\)，OC是\(\angleAOB\)的平分線，OD是\(\angleBOC\)的平分線，求\(\angleAOD\)的度數(shù)。解析：OC平分\(\angleAOB\)，故\(\angl