專題15：圓錐曲線中的切線方程<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>切線問題的重要性不言而喻，我們前面都盡量避免讓同學們?nèi)ビ洝┙Y論?！怯行┙Y論確實不好記（比如焦半徑，它取決于曲線的類型和焦點的位置），二是出現(xiàn)的頻率也不是很高。但是在本小節(jié)，建議同學們要記一些結論，因為這里的結論很好記。當然最重要的還是掌握推導的過程。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：橢圓中題型一：橢圓中的切線問題例1已知橢圓C:x24+y23=1，過橢圓在第二象限上的任意一點P作橢圓的切線與y軸相交于Q點，O是坐標原點，過點Q作QR⊥OP，垂足為R，則|OR|+|OP|【思路點撥】設出P點坐標，利用Δ=0得出切線方程，求出Q點坐標，計算出|OR|?|OP|為定值3，結合|OP|例2如圖所示，已知橢圓C：x26+y23=1與直線l：x6+y3=1.點P在直線l上，由點P引橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，O是坐標原點．

(1)若點P為直線l與y軸的交點，求△PAB的面積S；【思路點撥】(1)設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=0，求出直線的斜率，從而求切點的坐標，根據(jù)切點的坐標，判斷△PAB為直角三角形，從而求△PAB的面積．

(2)先寫出切線PA和PB，根據(jù)切線方程，求出直線AB的方程，可得直線AB過定點T(1,1)，故點D在以OT為直徑，Q(12,練1如圖，P為橢圓C1：x28+y26=1上的動點，過P作C1切線交圓C2：x2+y2=24于MA.S△OPQ的最大值為3B.S△OPQ的最大值為233

C.QD.Q的軌跡是x【思路點撥】由橢圓的性質(zhì)及圓的性質(zhì)求出直線MN的方程，對比系數(shù)可得xP=xQ3，yP=yQ4，由點練2已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l方程是x+y?6=0，點M是直線l上任一點，過點M作橢圓C的切線MG，MH，切點分別為G，H，設切線的斜率都存在.試問∶直線GH是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．【思路點撥】(1)根據(jù)已知及橢圓的概念及標準方程的計算，求出橢圓C的方程；

(2)根據(jù)已知及橢圓的性質(zhì)及幾何意義，直線與橢圓的位置關系，圓錐曲線中的定點與定值問題的計算，可知直線GH過定點，求出該定點的坐標．題型二：雙題型二：雙曲線中的切線問題例3如圖，已知雙曲線C：x23?y2=1，過P(1,1)向雙曲線C作兩條切線，切點分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1【思路點撥】(1)設出切線方程，聯(lián)立后用韋達定理及根的判別式表示A的橫坐標與縱坐標，進而表達出直線方程，化簡即可；

(2)在第一問的基礎上，利用向量的夾角公式表達出夾角的余弦值，進而證明結論．例4設雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若A?2,1,B2,1，點C在線段AB上(不含端點)，過點C分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為P,Q.連接PQ，并過PQ的中點F分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為D,E【思路點撥】(1)直接利用雙曲線的定義求解即可；(2)設切線PC為y=kx+b，有切線方程的結論可求出直線PC和CQ，從而可得直線PQ的方程，同理可求出直線DE的方程，利用點到直線的距離公式表示練3已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>1,b>0)的右焦點是F(2,0)，動點P(x,y)(x>0)在C上．若過點P作C的切線與直線x=1相交時，記其交點為Q，PF【思路點撥】設P(x0,y0)，x0>0，設切線方程為y=kx?x0+y0，與雙曲線方程聯(lián)立，由Δ=0求得練4.已知雙曲線x2a2?y(1)求雙曲線的方程；(2)若點Q是直線l:y=x+1上一動點，過點Q引雙曲線兩條切線，切點為A，B，試探究：直線AB是否恒過定點.若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【思路點撥】(1)設雙曲線方程為x2?4y2=λ，將點(4,3)代入得到λ，可得雙曲線方程；

(2)把切線AQ的方程代入雙曲線方程，得到(1?4k2)x2?8k(y1?kx題型三：拋物線題型三：拋物線中的切線問題特別提醒：過拋物線C:x2=2py上一點過拋物線C:x2=2py外一點例5阿基米德是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，享有“數(shù)學之神”的稱號.若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線x2=8y的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為x?y+2=0，弦AB的中點為C，則關于“阿基米德三角形”△PAB，下列結論正確的是(

)A.點P3,?2 B.PC⊥x軸 C.PA⊥PB 【思路點撥】根據(jù)拋物線的二級結論求出直線PA，PB的方程，解出交點P即可逐一判斷選項．例6設拋物線x2=4y的焦點為F，點P在拋物線的準線上.過點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A,B.已知拋物線上有一動點C，位于點A,B之間.若拋物線在點C處的切線與切線PA,PB相交于點M,N.(1)直線AB經(jīng)過點F;(2)?PMN的外接圓過定點．【思路點撥】(1)設fx=14x2，P(t,?1),Ax1,(2)設C(x0,y0)，由(1)可知曲線在點C處的切線方程，求出點M、N坐標；根據(jù)代數(shù)法和Δ=0可證明PA⊥PB，則線段MN為?PMN的外接圓的直徑.設直線練5過點M(?1,y0)作拋物線y2=2px(p>0)的兩條切線，切點分別是A，B，若△MAB面積的最小值為4，則A.1 B.2 C.4 D.16【思路點撥】利用拋物線二級求出直線AB的方程，然后利用點到直線的距離表示△MAB的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.例6已知拋物線C:x2=4y的焦點為F，過點P0,tt>0的直線l與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C在點A，B處的切線分別為l1，l2(1)當直線l過焦點F時，證明：l1，l(2)當t=2時，設弦AB的中點為M．①點Q是否在一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由．②求MQAB【思路點撥】(1)聯(lián)立方程組，利用Δ=0分別用點A，B的橫坐標表示k1，k2，聯(lián)立直線(2)①聯(lián)立兩切線方程可得交點坐標，利用韋達定理化簡可得點Q在定直線上；②由中點坐標公式可得M點坐標，從而得到MQ，再由弦長公式可得AB，再求MQAB<<<專題訓練>>><<<專題訓練>>>1.圓x2+y2=R2上一點A(x1,y1)處的切線AP的方程為x1x+y1y=R2，類比可知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.(1,43) B.(43,1)2.過雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上一點P作雙曲線C的切線l，若直線OP與直線A.295 B.303 C.3553.已知拋物線x2=2y,點M(t,?1),t∈[12,1],過M作拋物線的兩條切線MA，MB，其中A，B為切點,且AA.點P的坐標為(0,1) B.OA⊥OB

C.△MAB的面積的最大值為33 D.|PA||PB|4.如圖所示，已知P(x0,y0)是雙曲線C：x24?y23=1右支上任意一點，雙曲線C在點P

5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左右頂點分別為A、B,P是橢圓C上異于A、B的任意一點,PA、PB斜率之積為?(2)直線PF1交橢圓C于另一點Q，分別過P、Q作橢圓的切線，這兩條切線交于點M.求證：6.(2023·江蘇省南通市模擬)已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程;(2)設任意過F2的直線為l交E于M，N，分別作E在點M，N上的兩條切線，并記它們的交點為P，過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A，B，求

7.已知雙曲線E:x2a2?(1)求雙曲線E的方程．(2)若直線l經(jīng)過點(2,0)，與雙曲線右支交于P、Q兩點(其中P點在第一象限)，點Q關于原點的對稱點為A，點Q關于y軸的對稱點為B，且直線AP與BQ交于點M，直線AB與PQ交于點N，證明：雙曲線在點P處的切線平分線段MN．8.已知點M是拋物線C1:y=14x2的準線上的任意一點，過點M作C1的兩條切線MP(