1自動控制原理（第4版）

機(jī)械工業(yè)出版社2非線性系統(tǒng)分析基本概念時(shí)域分析法數(shù)學(xué)模型

根軌跡分析法采樣系統(tǒng)分析課程主要內(nèi)容經(jīng)典控制原理頻率特性校正控制理論頻率特性分析法*****MATLAB仿真3第一章自動控制系統(tǒng)的基本概念第一節(jié)自動控制的基本方式第二節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成第三節(jié)自動控制系統(tǒng)的分類第四節(jié)對控制系統(tǒng)的基本要求4第一節(jié)

自動控制的基本方式一、兩個(gè)定義：（1）自動控制：

在沒有人直接參與的情況下，利用控制裝置使某種設(shè)備、裝置或生產(chǎn)過程中的某些物理量或工作狀態(tài)能自動地按照預(yù)定規(guī)律變化或數(shù)值運(yùn)行的方法，稱為自動控制。（2）自動控制系統(tǒng)：由控制器(含測量元件)和被控對象組成的有機(jī)整體。

或由相互關(guān)聯(lián)、相互制約、相互影響的一些元部件組成的具有自動控制功能的有機(jī)整體。稱為自動控制系統(tǒng)。

5

在控制系統(tǒng)中，把影響系統(tǒng)輸出量的外界輸入量稱為系統(tǒng)的輸入量。

系統(tǒng)的輸入量，通常指兩種：給定輸入量和擾動輸入量。

給定輸入量，又常稱為參考較輸入量，它決定系統(tǒng)輸出量的要求值或某種變化規(guī)律。

擾動輸入量，又常稱為干擾輸入量，它是系統(tǒng)不希望但又客觀存在的外部輸入量，例如，電源電壓的波動、環(huán)境溫度的變化、電動機(jī)拖動負(fù)載的變化等，都是實(shí)際系統(tǒng)中存在的擾動輸入量。擾動輸入量影響給定輸入量對系統(tǒng)輸出量的控制。6

熱蒸氣水1、水溫的手動控制示意圖

操作員要用手（通過感覺）來測試水的溫度，并將此溫度與他要求的值（給定值）相比較（通過大腦）。同時(shí)他要決定（通過大腦）：他的手應(yīng)該朝哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)加溫用的蒸汽閥門和旋轉(zhuǎn)多大的角度。自動控制的基本方式水溫控制---麻煩、費(fèi)力、辛苦、不準(zhǔn)確！例：72、水溫的自動控制的示意圖

采用自動控制時(shí)，上述功能都用相應(yīng)的元件和儀表來代替。例如，用溫度測量元件、控制記錄儀表和調(diào)節(jié)閥等。自動控制的基本方式8

如果從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)角度看，開環(huán)控制方式也可表達(dá)為，沒有系統(tǒng)輸出量反饋的控制方式。1、開環(huán)控制方式

二、基本控制方式(3種)(1)定義：

控制系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)不產(chǎn)生作用的控制方式，稱為開環(huán)控制方式。具有這種控制方式的有機(jī)整體，稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。

開環(huán)調(diào)速系統(tǒng)舉例自動控制的基本方式9

改變電位器滑動端的位置，相應(yīng)地改變了電壓Ug值的大小，其值經(jīng)功率放大器放大后施加在直流電動機(jī)的電樞兩端，由于直流電動機(jī)具有恒定的勵磁電流，因此，隨著電樞電壓值的不同，電動機(jī)便以不同的轉(zhuǎn)速帶動生產(chǎn)機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)。于是，改變Ug的大小，便控制了電動機(jī)轉(zhuǎn)速的高低。系統(tǒng)中，Ug是給定輸入量；電動機(jī)的轉(zhuǎn)速n是系統(tǒng)的輸出量，即被控量；電源電壓波動、放大系數(shù)漂移、拖動負(fù)載的變化等，是擾動輸入量?？梢姡到y(tǒng)的輸出量，即電動機(jī)的轉(zhuǎn)速并沒有參予系統(tǒng)的控制。工作原理：自動控制的基本方式10

任何開環(huán)控制系統(tǒng)，從組成系統(tǒng)元部件的職能角度看，均可用下面的方框圖表示。

(2)職能方框圖2、閉環(huán)控制方式：(1)定義

系統(tǒng)輸出量直接或間接地反饋到系統(tǒng)的輸入端，參予了系統(tǒng)控制的方式，稱為閉環(huán)控制方式。如果從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)看，閉環(huán)控制方式也可表達(dá)為，有系統(tǒng)輸出量反饋的控制方式。自動控制的基本方式11舉例：速度控制系統(tǒng)自動控制的基本方式12工作原理

開環(huán)調(diào)速結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上引入一臺測速發(fā)電機(jī)，作為檢測系統(tǒng)輸出量即電動機(jī)轉(zhuǎn)速并轉(zhuǎn)換為電壓。反饋電壓與給定電壓比較(相減)后，產(chǎn)生一偏差電壓，經(jīng)電壓和功率放大器放大后去控制電動機(jī)的轉(zhuǎn)速。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，電動機(jī)就以電位器滑動端給出的電壓值所對應(yīng)的希望轉(zhuǎn)速運(yùn)行。當(dāng)系統(tǒng)受到某種干擾時(shí)(例如負(fù)載變大)，電動機(jī)的轉(zhuǎn)速會發(fā)生變化(下降)，測速反饋電壓跟著變化(變小)，由于給定電壓值未變，偏差電壓值發(fā)生變化(變大)，經(jīng)放大后使電動機(jī)電樞電壓變化(提高)，從而電動機(jī)轉(zhuǎn)速也變化(上升)，去減小或消除由于干擾引起的轉(zhuǎn)速偏差。(參閱教材)！自動控制的基本方式13舉例，發(fā)電機(jī)勵磁控制系統(tǒng)(工作原理，參閱教材)自動控制的基本方式14(2)閉環(huán)控制系統(tǒng)職能框圖

任何閉環(huán)控制系統(tǒng)，從組成系統(tǒng)元部件的職能角度看，均可用下面的結(jié)構(gòu)框圖表示。自動控制的基本方式153、復(fù)合控制方式

開環(huán)控制方式+閉環(huán)控制方式。兩種結(jié)構(gòu)：按輸入信號補(bǔ)償；按擾動信號補(bǔ)償

自動控制的基本方式164、控制方式比較

(1)從系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)看，開環(huán)控制方式簡單，復(fù)合控制方式復(fù)雜，閉環(huán)控制方式介于兩者間；

(2)從性能看，開環(huán)控制方式較差，閉環(huán)控制方式較好；

復(fù)合控制方式最好；

(3)現(xiàn)代工程應(yīng)用系統(tǒng)中，閉環(huán)控制方式應(yīng)用最廣泛。自動控制的基本方式17第二節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成基本組成的結(jié)構(gòu)方塊圖18(1）被控對象：要進(jìn)行控制的設(shè)備或生產(chǎn)過程。（例，工作機(jī)械）

(2）執(zhí)行機(jī)構(gòu)：作用于被控制對象的裝置或設(shè)備。(例，電動機(jī))（3）測量裝置：用來檢測被控量，并將其轉(zhuǎn)換成與給定量相同物理量的裝置（例，測速發(fā)電機(jī)）（4）放大環(huán)節(jié)：對信號進(jìn)行放大或能量形式的轉(zhuǎn)換，使之適合執(zhí)行機(jī)構(gòu)工作。（例，電壓放大器，可控硅整流功放）（5）給定環(huán)節(jié)：產(chǎn)生系統(tǒng)的給定輸入信號。（電位器）（6）比較環(huán)節(jié)：將所測的被控量與給定量進(jìn)行比較。（7）校正環(huán)節(jié)：用于改善系統(tǒng)性能的電路。

校正環(huán)節(jié)可加于偏差信號與輸出信號之間的通道內(nèi)，也可加于某一局部反饋通道內(nèi)。前者稱為串聯(lián)校正環(huán)節(jié)，后者稱為并聯(lián)校正或(局部)反饋校正環(huán)節(jié)。閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成19

前向通道：信號從輸入端沿箭頭方向到達(dá)系統(tǒng)輸出端的傳輸通道，又稱正向通道。

反饋通道：又可分為主反饋通道和局部反饋通道。系統(tǒng)輸出量經(jīng)由測量裝置反饋到系統(tǒng)輸入端的傳輸通道，或簡稱系統(tǒng)輸出量與輸入量間的反饋通道，稱為主反饋通道。局部部件間反饋通道，稱為局部反饋通道。

單回路系統(tǒng)：只有一個(gè)(主)反饋通道的系統(tǒng)。

多回路系統(tǒng)：有二個(gè)以上反饋通道的系統(tǒng)。注意：反饋有正、負(fù)之分。反饋信號的極性與輸入信號的極性相反，從而產(chǎn)生一偏差信號的反饋方式，稱負(fù)反饋；反饋信號的極性與輸入信號的極性相同，稱正反饋，正反饋方式只可能在局部反饋中采用；所有閉環(huán)系統(tǒng)，都是負(fù)反饋控制系統(tǒng)。閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成20(2)畫出系統(tǒng)方框圖。例：電動機(jī)速度控制系統(tǒng)根據(jù)圖所示的電動機(jī)速度控制系統(tǒng)工作原理圖，完成：(1)將a，b，c，d用線連接成負(fù)反饋方式；閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成21（1）負(fù)反饋連接方式應(yīng)為：

因?yàn)?，放大器輸入端的電壓?yīng)為給定電壓與反饋電壓兩者之差，才產(chǎn)生偏差電壓。根據(jù)基爾霍夫回路電壓定律，應(yīng)接，接。相接。，（2）首先，系統(tǒng)中的每個(gè)部件各用一方框表示，各方框內(nèi)寫入該部件的名稱；然后，根據(jù)系統(tǒng)信號的流向，方塊間用帶箭頭的信號線連接，如圖所示。

解22分析系統(tǒng)的工作原理，指出被控對象、被控量和給定量；(2)畫出系統(tǒng)方框圖。例、工業(yè)爐溫自動控制系統(tǒng)爐溫自動控制系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成23

加熱爐采用的是電加熱的方式。由<<電路>>可知，電熱器產(chǎn)生的熱量與調(diào)壓器輸出電壓的平方成正比，而調(diào)壓器輸出電壓的高低與調(diào)壓器滑動觸點(diǎn)的位置有關(guān)，而該滑動觸點(diǎn)由可逆轉(zhuǎn)的直流電動機(jī)驅(qū)動。爐子的實(shí)際溫度用熱電偶測量，經(jīng)放大后輸出電壓為，并作為系統(tǒng)的反饋電壓與給定電壓進(jìn)行比較，得出偏差電壓，經(jīng)電壓放大器、功率放大器放大后，作為電動機(jī)的電樞電壓驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)動。

解

當(dāng)加熱爐達(dá)熱平衡時(shí)，反饋電壓與給定電壓相等，偏差電壓為零，可逆電動機(jī)不轉(zhuǎn)動，調(diào)壓器的滑動觸點(diǎn)停留在某個(gè)合適的位置上，加熱電壓不變，溫度保持恒定的期望值。

當(dāng)爐膛溫度由于某種原因變化時(shí)，偏差電壓不為0，電動機(jī)的電樞電壓也不為0，電動機(jī)的轉(zhuǎn)動帶動滑動觸點(diǎn)上移或下移，使加熱電壓變化，使?fàn)t膛溫度變化，直至爐膛溫度的實(shí)際值等于期望值為止。24

系統(tǒng)中，加熱爐是被控對象，爐溫是被控量，給定量是由給定電位器設(shè)定的電壓。(2)系統(tǒng)方框圖

系統(tǒng)中的每個(gè)元部件各用一方框表示，各方框內(nèi)寫入該部件的名稱，根據(jù)系統(tǒng)信號的流向，方塊間用帶箭頭的信號線連接，如圖所示?？刂蒲b置被控對象檢測裝置25第三節(jié)自動控制系統(tǒng)的分類一、按數(shù)學(xué)描述形式分類：1．線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)（1）線性系統(tǒng)：用線性微分方程或線性差分方程描述的系統(tǒng)。重要性質(zhì)：滿足疊加性和齊次性

**當(dāng)輸入分別為、時(shí)，對應(yīng)輸出為——疊加性**當(dāng)輸入為——齊次性當(dāng)輸入相加時(shí)，輸出也相加（2）非線性系統(tǒng)：用非線性微分方程或差分方程描述的系統(tǒng)。注意：不滿足疊加性和齊次性！、時(shí)，對應(yīng)輸出為262．連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)（1）連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中各元件的輸入量和輸出量均為時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律可用微分方程描述，系統(tǒng)中各部分信號都是模擬量。（2）離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中某一處或幾處的信號是以脈沖系列或數(shù)碼的形式傳遞的系統(tǒng)。離散系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律可以用差分方程來描述。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)。二、按給定信號分類（1）恒值控制系統(tǒng)：

給定值不變，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度接近給定希望值的系統(tǒng)。如生產(chǎn)過程中的溫度、壓力、流量、液位高度、電動機(jī)轉(zhuǎn)速等自動控制系統(tǒng)屬于恒值系統(tǒng)。（2）隨動控制系統(tǒng)：給定值按未知時(shí)間函數(shù)變化，要求輸出跟隨給定值的變化。如跟隨衛(wèi)星的雷達(dá)天線系統(tǒng)。（3）程序控制系統(tǒng)：給定值按一定時(shí)間函數(shù)變化。如程控機(jī)床。

自動控制系統(tǒng)的分類三、按系統(tǒng)的功能分類27第四節(jié)對控制系統(tǒng)的基本要求

總體上來說，對任何控制系統(tǒng)的基本要求，集中體現(xiàn)在系統(tǒng)性能的“穩(wěn)定性”、“動態(tài)特性”和“穩(wěn)態(tài)特性”三個(gè)方面，或簡稱為“穩(wěn)”、“快”和“準(zhǔn)”。一、穩(wěn)定性控制系統(tǒng)“穩(wěn)定性”的定義，有多種表達(dá)。一種較通常的表達(dá)是，一個(gè)處于靜止或某一平衡工作狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到任何輸入（給定信號或擾動）作用時(shí)，

系統(tǒng)的輸出會離開靜止?fàn)顟B(tài)

或偏離原來的平衡位置；當(dāng)作用消除后，若系統(tǒng)能回到原來的靜止?fàn)顟B(tài)或平衡位置，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。28輸出會有一個(gè)確定值相對應(yīng)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)輸出對于線性定常系統(tǒng)，也可表達(dá)為，在階躍信號作用下，若系統(tǒng)越來越大，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如圖所示a）穩(wěn)定系統(tǒng)b)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定性，是系統(tǒng)能否工作的前題條件，是對系統(tǒng)最起碼的要求！

對控制系統(tǒng)的基本要求29二、動態(tài)特性穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，當(dāng)受到階躍輸入信號作用后，

系統(tǒng)的輸出要經(jīng)歷一過程才能達(dá)到某一穩(wěn)定值。系統(tǒng)輸出隨時(shí)間t變化的這一過程稱為系統(tǒng)的響應(yīng)過程。

響應(yīng)過程，又分為動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程，如圖所示。

對控制系統(tǒng)的基本要求30動態(tài)特性就是反映系統(tǒng)在動態(tài)過程中，跟蹤輸入或抑制干擾的能力。動態(tài)特性好的系統(tǒng)，表現(xiàn)為動態(tài)過程具有較好的平穩(wěn)性、調(diào)節(jié)時(shí)間短且振蕩次數(shù)少。

三、穩(wěn)態(tài)特性系統(tǒng)在過渡過程結(jié)束后，其輸出量的狀態(tài)一般由穩(wěn)態(tài)特性來描述。穩(wěn)態(tài)誤差的大小反映了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的好壞。穩(wěn)態(tài)誤差值越小的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)特性越好，意味著控制精度愈高。注意，對于同一個(gè)系統(tǒng)體現(xiàn)穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的穩(wěn)、快、準(zhǔn)這三個(gè)要求是相互制約的。對控制系統(tǒng)的基本要求31第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程*第二節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化第三節(jié)傳遞函數(shù)第四節(jié)對控制系統(tǒng)的基本要求第五節(jié)信號流程圖第六節(jié)脈沖響應(yīng)函數(shù)32

人們常將描述系統(tǒng)工作狀態(tài)的各物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表示出來，這種描述系統(tǒng)各個(gè)物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法：機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)辨識法。機(jī)理分析法是通過理論推導(dǎo)得出，這種方法是根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律來編寫；實(shí)驗(yàn)辨識法是由實(shí)驗(yàn)求取，即根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過整理編寫出來。本章著重討論機(jī)理分析法。機(jī)理分析法通常會先把系統(tǒng)劃分為若干個(gè)獨(dú)立的部件（環(huán)節(jié)），分別求出每個(gè)部件（環(huán)節(jié)）的動態(tài)微分方程，然后再合并各部件（環(huán)節(jié)），得到整個(gè)系統(tǒng)的微分方程第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程33一、列寫環(huán)節(jié)(部件)微分方程的目的、方法與步驟

目的：通過該方程確定環(huán)節(jié)(部件)的輸出量與給定量之間的函數(shù)關(guān)系。方法與步驟：

（1）根據(jù)實(shí)際情況，確定環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開始，按信號傳遞遵循的有關(guān)規(guī)節(jié)列出相關(guān)的微分方程。（3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。（4）整理，輸入量項(xiàng)=輸出量項(xiàng)。列寫環(huán)節(jié)微分方程34例

編寫運(yùn)放電路環(huán)節(jié)微分方程解（1）確定輸入、輸出量為ui、u0（2）根據(jù)運(yùn)放電路原理列微分方程（3）消去中間變量并整理，可得該電路微分方程注：簡單電路可3步；數(shù)學(xué)模型可急略”負(fù)號”。35*例

編寫RC電路環(huán)節(jié)微分方程解（1）確定輸入、輸出量為ui

、u0

（2）根據(jù)電路原理列微分方程（3）消去中間變量，可得該電路微分方程36*例

編寫LRC電路環(huán)節(jié)微分方程解（1）確定輸入、輸出量為u、uc（2）根據(jù)電路原理列微分方程（3）消去中間變量，可得該電路微分方程（4）整理37例具有質(zhì)量彈簧阻尼器的部件（1）確定輸入、輸出量為F、y（2）根據(jù)力學(xué)、運(yùn)動學(xué)原理列微分方程（3）消去中間變量，可得電路微分方程解38舉例編寫電樞控制的他勵直流電動機(jī)部件的微分方程

解：（1）確定輸入、輸出量為ud

、n

（2）根據(jù)電路原理列微分方程根據(jù)電動機(jī)力矩平衡原理列微分方程39（3）消去中間變量，可得電路微分方程

令

則得40二、系統(tǒng)動態(tài)微分方程的編寫（1）確定系統(tǒng)輸入量、輸出量；（2）從輸入端開始將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)部件（環(huán)節(jié)），依有關(guān)定理列寫各個(gè)部件（環(huán)節(jié)）的方程組；（3）消去中間變量；（4）整理。

列寫系統(tǒng)微分方程41舉例

列寫直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程

42解系統(tǒng)組成原理方塊圖43（1）確定輸入、輸出量為Ug、n（2）根據(jù)力電路、電動機(jī)力矩平衡原理列微分方程（3）消去中間變量并整理得直流調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)微分方程其中為正向通道電壓放大系數(shù)

為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)44

**三、負(fù)載效應(yīng)與相似性負(fù)載效應(yīng)：后一級的部件影響前一級的輸出量。

在建立系統(tǒng)微分方程時(shí)，若在部件（環(huán)節(jié)）劃分時(shí)沒有考慮負(fù)載效應(yīng)，即部件（環(huán)節(jié)）間存在的耦合關(guān)系，將不能得到系統(tǒng)準(zhǔn)確的微分方程。45舉例列寫電容、電阻網(wǎng)絡(luò)的微分方程，其中為輸入電壓，欲求以電容兩端電壓為輸出的微分方程。46分析：方法一：視為兩環(huán)節(jié)串聯(lián)

從第一個(gè)電容、電阻網(wǎng)絡(luò)環(huán)節(jié)列出微分方程：

從第二個(gè)電容、電阻網(wǎng)絡(luò)環(huán)節(jié)列出微分方程：代入上式中得：

47方法二：視為一個(gè)環(huán)節(jié)列出電路方程

利用拉氏變換，并消除中間變量,可以解得：

48

但實(shí)際上第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)和第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間存在負(fù)載效應(yīng)（耦合），因此嚴(yán)格來說，它們不能劃分為獨(dú)立的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)。方法一的結(jié)果不夠準(zhǔn)確。方法二的結(jié)果準(zhǔn)確。

若在上述兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)間加入電壓跟隨器進(jìn)行隔離，消除負(fù)載效應(yīng)，則方法一合理。49

以上例中的物理部件（環(huán)節(jié)）不盡相同，但它們的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱之為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為相似量。對于同一個(gè)物理系統(tǒng)，當(dāng)輸入量、輸出量改變時(shí)，所求出的數(shù)學(xué)模型卻是不同的。利用相似系統(tǒng)的概念，我們可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，并根據(jù)相似系統(tǒng)的理論出現(xiàn)了仿真研究法。相似性：50例2-6

參向閱(p17)具有相同的微分方程！51

對于部分的非線性系統(tǒng)來說，是在一定的條件下可近似地視作線性系統(tǒng)，這種有條件地把非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型化為線性數(shù)學(xué)模型來處理的方法，稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。這樣做會使問題簡化，給控制系統(tǒng)的研究工作帶來很大的方便，是工程中一種常見的、比較有效的方法。**第二節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化52線性化原理：設(shè)非線性方程為，工作點(diǎn)為，其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則可在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)當(dāng)很小時(shí)，忽略二次以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)53或可表達(dá)為簡寫為式中這就是非線性化方程，這種線性化方法叫做小偏差方法。注意：1.非線性方程必為連續(xù)。原因：斷續(xù)的方程不能用臺勞級數(shù)展開，因此不能采用此方法。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。2.K值與工作點(diǎn)的位置有關(guān)。3.考慮增量ΔX較小。54在經(jīng)典控制理論中，傳遞函數(shù)是重要的一種數(shù)學(xué)模型。第三節(jié)傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義線性系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比。

線性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式:55

在初始情況為零時(shí)，兩端取拉氏變換：整理得：

上式中Y(s)輸出量的拉氏變換；R(s)輸入量的拉氏變換；W(s)為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。56例2－9

圖為集成元件和R、C組成的運(yùn)算放大器，求其傳遞函數(shù)。解

對于R、L、C組成的電路或運(yùn)算放大器，用算子阻抗方法求傳遞函數(shù)較方便。該電路輸入支路和反饋支路的算子阻抗分別為由《模擬電路》，理想運(yùn)算放大器的輸入阻抗為無窮大，可視為“虛斷”，同時(shí)，B點(diǎn)可視為“虛地”，所以

57故有、

注意，傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，往往不賦予“正、負(fù)號”，所以上式中的“負(fù)號”常省略；傳遞函數(shù)有無量綱，由其輸入量和輸出量決定。由于運(yùn)算放大器的輸入量和輸出量都是電壓（V），所以上式的傳遞函數(shù)是無量綱的。58例求他勵直流電動機(jī)的傳遞函數(shù)。解以電樞電壓為輸入量，轉(zhuǎn)速為輸出量的微分方程已由式（2－22）給出在初始條件為零時(shí)，對上式進(jìn)行拉氏變換他勵直流電動機(jī)的傳函59例圖是單閉環(huán)直流電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)原理圖，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。60解本章笫一節(jié)己求出該系統(tǒng)的微分方程式為在初始狀態(tài)為零的條件下，對上式兩邊取拉氏變換有或

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為61

1.傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于單輸入-單輸入線性定常系統(tǒng)。

2.傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，而與輸入量變化無關(guān)。

3.傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。

二、傳遞函數(shù)主要特點(diǎn)4.傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式階次低于或至多等于分母多項(xiàng)式的階次。

5.分母稱為特征多項(xiàng)式；令特征多項(xiàng)式等于0，稱為系統(tǒng)特征方程式；

系統(tǒng)特征方程式的根，為系統(tǒng)特征根，亦稱為系統(tǒng)極點(diǎn)。

621、傳遞函數(shù)的多項(xiàng)式比的表達(dá)形式

2.傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示形式

3.傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表示形式傳遞函數(shù)三種表達(dá)式三、63例己知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對應(yīng)的零極點(diǎn)表達(dá)式和時(shí)間常數(shù)表達(dá)式。

解

零極點(diǎn)的形式為時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為64

無論什么樣的系統(tǒng)，它的傳遞函數(shù)都是由一些基本因子相乘積而得到的。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)對應(yīng)的傳遞函數(shù)。把復(fù)雜的物理系統(tǒng)劃分為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)，利用傳遞函數(shù)和框圖來進(jìn)行研究，這是研究系統(tǒng)的一種重要方法。

（1）比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)/無慣性環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸入量與輸出量的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系。0tKXr(s)Xc(s)r(t)y(t)y(t)/r(t)四、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)65（2）慣性環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：只包含一個(gè)儲能元件，使其輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上的延遲。（3）積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量隨時(shí)間成正比地?zé)o限增加。Xr(S)Xc(S)0tr(t)/y(t)y(t)r(t)tr(t)0

Y(s)R(s)y(t)y(t)/r(t)66（4）振蕩環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：振蕩的程度與阻尼系數(shù)有關(guān)。0R(s)Y(s)ωntξ=0.2ξ=0.5ξ=1y(t)/r(t)67（5）微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：是積分環(huán)節(jié)的逆運(yùn)算，其輸出量反映了輸入信號的變化趁勢。實(shí)踐中，理想的微分環(huán)節(jié)難以實(shí)現(xiàn)。0ty(t)(理想)y(t)(實(shí)際)y(t)/r(t)68（6）延遲環(huán)節(jié)

（時(shí)滯環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸出信號經(jīng)過一段延遲時(shí)間τ后，可完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。

tr(t)y(t)y(t)/r(t)0τR(s)Y(s)69“結(jié)構(gòu)圖”是“動態(tài)結(jié)構(gòu)圖”的簡稱，也稱為“方框圖”。因?yàn)樵搱D是將系統(tǒng)中各部件的功能及其相互關(guān)系用圖形表示，所以，又稱它為控制系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）圖形化的一種數(shù)學(xué)模型，是分析、設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)最常使用的一種數(shù)學(xué)模型之一。

第四節(jié)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、結(jié)構(gòu)圖的組成要素及繪制方法1、組成要素系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的結(jié)構(gòu)圖，由4種基本圖形組成。（1）信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。（2）引出點(diǎn)（分離點(diǎn)）：表示信號引出或測量的位置。（3）比較點(diǎn)（相加點(diǎn)）：對兩個(gè)以上信號加減運(yùn)算。（4）方框：方框圖內(nèi)輸入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。70

2.動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：（1）確定系統(tǒng)輸入量與輸出量。（2）將復(fù)雜系統(tǒng)劃分為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)。（3）求出各典型環(huán)節(jié)對應(yīng)的傳遞函數(shù)。（4）作出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖。（5）按系統(tǒng)各變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。71

例發(fā)電機(jī)勵磁控制系統(tǒng),試?yán)L制該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

。72

解

系統(tǒng)是由五個(gè)環(huán)節(jié)組成：比較環(huán)節(jié)、放大環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)、勵磁回路環(huán)節(jié)、發(fā)電機(jī)電樞環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)。分別求出這些環(huán)節(jié)的微分方程，并在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。（1）比較環(huán)節(jié)（2）放大環(huán)節(jié)（3）勵磁回路環(huán)節(jié)（4）發(fā)電機(jī)電樞環(huán)節(jié)（5）反饋環(huán)節(jié)7374發(fā)電機(jī)勵磁控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按信號順序連接75例2-14

繪制直流調(diào)速系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖76解系統(tǒng)是由4個(gè)環(huán)節(jié)組成：比較環(huán)節(jié)、放大環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)、電機(jī)環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)77

強(qiáng)調(diào)指出：同一個(gè)系統(tǒng)，劃分的環(huán)節(jié)不同，結(jié)構(gòu)圖也會不同。也就是說，對于一個(gè)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖并不是唯一的。但對同一個(gè)系統(tǒng)繪出的不同結(jié)構(gòu)圖中，系統(tǒng)輸入信號與輸出信號之間的傳遞關(guān)系，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，一定是相同的。78二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換分析系統(tǒng)時(shí)往往要對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換。變換所遵循的原則是，變換前后其輸入--輸出變量間的傳遞關(guān)系必須保持不變。。（一）環(huán)節(jié)的合并

法則一環(huán)節(jié)串聯(lián)，傳遞函數(shù)相乘。79

法則二環(huán)節(jié)并聯(lián)，傳遞函數(shù)相加。80

法則三反饋連接的等效傳遞函數(shù)。81（二）信號相加點(diǎn)及分支點(diǎn)的移動

法則四相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端

法則五相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端

82法則六分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端

法則七分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端

83法則八兩個(gè)分支點(diǎn)、相加點(diǎn)間可以相互換位。相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不能換位。表2-1列出了結(jié)構(gòu)圖等效變換的基本法則。84三、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的化簡控制系統(tǒng)的原始結(jié)構(gòu)圖，往往是比較復(fù)雜的，不方便對系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，因此，必須對原始結(jié)構(gòu)圖先進(jìn)行化簡。化簡的目的是，能容易得到系統(tǒng)有關(guān)的各種傳遞函數(shù)。例

簡化圖所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。85解86四、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有5種，分別是閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；給定輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)；擾動輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)。

上面前指出，系統(tǒng)的原結(jié)構(gòu)圖往往是比較復(fù)雜，因此，難于直接求出系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)。于是在求取傳遞函數(shù)之前，應(yīng)首先接前面方法進(jìn)行化簡。通常化簡直到具有圖所示的“典型結(jié)構(gòu)”后，才能容易求出相關(guān)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖871.閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，常簡稱為“系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)”。其定義是，主反饋信號與偏差信號之比，或者說，前向通道傳遞函數(shù)與主反饋通道傳遞函數(shù)的乘積，用表示，即若系統(tǒng)為單位反饋（），則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)就是前向通道的傳遞函數(shù)。882．給定輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之比，稱為給定輸入作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，用表示。典型結(jié)構(gòu)圖中，要先令擾動輸入為0，只考慮給定輸入作用下的情況，如圖所示。由給定輸入作用下系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義，可寫出由上式，可得系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式893．給定輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)

系統(tǒng)偏差信號與輸入信號之比，稱為系統(tǒng)在給定輸入作用下的偏差傳遞函數(shù).在典型結(jié)構(gòu)圖中，視為輸出信號，給定輸入作用下偏差輸出的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。。由偏差傳遞函數(shù)定義，可得由上式，給定輸入作用下系統(tǒng)偏差的拉氏變換式為904．?dāng)_動輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸出信號與擾動輸入信號之比，稱為擾動輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。典型結(jié)構(gòu)圖中，令輸入信號為0，只考慮擾動輸入作用的情況，擾動輸入單獨(dú)作用下系統(tǒng)典型的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。依傳遞函數(shù)定義有

擾動輸入下的系統(tǒng)輸出的拉氏變換式915.擾動輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)

系統(tǒng)偏差信號與擾動輸入信號之比，稱為系統(tǒng)的擾動輸入下的偏差傳遞函數(shù)。典型結(jié)構(gòu)圖中,干擾視為輸入信號，誤差視為輸出信號，等效為圖。擾動輸入下的偏差傳遞函數(shù)為擾動輸入下的系統(tǒng)偏差信號的拉氏變換式

92*例93結(jié)論：解輸入作用下閉環(huán)傳函!94*例95解96例2-16(p37)己知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。

（３）擾動輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)。圖2-42求：（１）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)（２）給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)；97解:令1.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)2.給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)；容易寫出？！983.擾動輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)。99化簡100容易寫出101一、基本概念及常用術(shù)語

信號流程圖簡稱信號流圖，是一種用圖線表示線性方程組的方法。第五節(jié)信號流程圖設(shè)系統(tǒng)的描述方程為

其中為輸入變量，為輸出變量，a為兩個(gè)變量間的傳輸。該系統(tǒng)可以用信號流圖表示為：102系統(tǒng)信號流圖,如同網(wǎng)絡(luò)圖103常用術(shù)語：1.節(jié)點(diǎn)表示信號/變量。（1）源節(jié)點(diǎn)只有輸出量的節(jié)點(diǎn)。（2）匯節(jié)點(diǎn)只有輸入量的節(jié)點(diǎn)。（3）混合節(jié)點(diǎn)既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。1042.支路連接兩節(jié)點(diǎn)間的有向線段。3.支路增益表示信號間的因果關(guān)系。4.通路從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一節(jié)點(diǎn)的路徑，其間每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次。（1）前向通路從源點(diǎn)到匯點(diǎn)（2）閉通路起點(diǎn)與終點(diǎn)為同一點(diǎn)5.通路增益通路中所有支路增益之積6.不接觸回路回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)105二、如何作信號流圖方法一：將系統(tǒng)微分方程作拉氏變換后，按所得代數(shù)方程作圖。例1

繪制二級RC濾波電路的信號流圖。解（1）列寫系統(tǒng)微分方程組R1R2C1C2i1i2i3u2u1u3106（2）對上述微分方程作拉氏變換107（3）對上述代數(shù)方程作信號流圖（4）綜合作出系統(tǒng)信號流圖u1i1i2u2i3u3u3-1-1-1u1i1u2-1u2i3u3-1i1i2i3i2u2i3u3-1108方法二：由系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖變形得來。變形原則：原信號線變?yōu)楣?jié)點(diǎn)，傳遞函數(shù)變?yōu)橹吩鲆妗H-Y(s)R(s)R(s)G-HY(s)109梅遜公式：T——閉環(huán)傳遞函數(shù)Δ——特征式其中——為所有不同回路的增益之和

——每兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和

——每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和

——每m個(gè)互不接觸回路增益乘積之和三、由梅遜公式求傳遞函數(shù)110n——前向通路的條數(shù)

——第K條前向通路的增益

——第K條前向通路的余因子，在Δ中除去與第K條前向通路相接觸的回路增益后剩余的Δ值。例用梅遜公式求下圖中信號流圖的傳遞函數(shù)。111解：（1）找出上圖中所有的前向通路只有一條前向通路（2）找出系統(tǒng)中存在的所有的回路共有三個(gè)回路，三個(gè)回路的傳輸之和為（3）這三個(gè)回路都存在公共節(jié)點(diǎn)，即不存在不接觸回路。故系統(tǒng)的特征方程式為：112（4）由于這三個(gè)回路都與前向通路相接觸，故其余因子Δ1=1。（5）故該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

113注;系統(tǒng)(動態(tài))結(jié)構(gòu)圖與流程圖有一一對應(yīng)關(guān)系，因此，梅遜公式可直接在系統(tǒng)(動態(tài))結(jié)構(gòu)圖上應(yīng)用。例2-20(P44)114例2-21115單位脈沖信號：系統(tǒng)r(t)單位脈沖函數(shù)y(t)脈沖響應(yīng)函數(shù)*第六節(jié)脈沖響應(yīng)函數(shù)116分析：其拉氏變換R(s)=1。由可知結(jié)論：系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換即為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。117第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析方法第一節(jié)典型輸入信號和時(shí)域性能指標(biāo)第二節(jié)一階性能分析第三節(jié)二階性能分析第四節(jié)高階性能分析第五節(jié)穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)第六節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析及計(jì)算118第一節(jié)典型輸入信號和時(shí)域分析法

時(shí)域分析法，是根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，直接求解出在某種典型輸入作用下系統(tǒng)輸出隨時(shí)間t變化的表達(dá)式或相應(yīng)的描述曲線來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。

本方法是分析系統(tǒng)的最早、也是最基本的分析方法，時(shí)域分析法直覌、物理概念清晰。119拉氏變換式一、典型的輸入信號2.斜坡信號

數(shù)學(xué)表達(dá)式1、階躍信號

數(shù)學(xué)表達(dá)式當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位階躍信號！120拉氏變換式3、拋物線信號

數(shù)學(xué)表達(dá)式當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位拋物線信號當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位斜坡信號拉氏變換式121單位拋物線信號拉氏變換式4、脈沖信號

數(shù)學(xué)表達(dá)式拉氏變換式1225、正弦信號

數(shù)學(xué)表達(dá)式拉氏變換式當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位理想脈沖信號123二、時(shí)域性能指標(biāo)以單位階躍信號輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出的一些特征值來表示。124（1）動態(tài)性能指標(biāo)

上升時(shí)間tr：響應(yīng)曲線從零到第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。

峰值時(shí)間tp：響應(yīng)曲線從零到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts：響應(yīng)曲線從零到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的或誤差范圍所需要的最小時(shí)間。

超調(diào)量：系統(tǒng)在響應(yīng)過程中，輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。1252）穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)用穩(wěn)態(tài)誤差ess來描述，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種量度。有關(guān)內(nèi)容，本章第六節(jié)討論！126一、一階系統(tǒng)一階微分方程描述的系統(tǒng)。二、典型一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

微分方程傳遞函數(shù)典型結(jié)構(gòu)第二節(jié)一階系統(tǒng)分析127三、輸入響應(yīng)

1、單位階躍響應(yīng)y(t)的特點(diǎn)：（1）由動態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分組成。（2）單調(diào)上升的指數(shù)曲線；（3）當(dāng)t=T時(shí)，y=0.632；（4）曲線的初始斜率為1/T。性能：（1）超調(diào)量不存在(0)。（2）ts=3T或4T。1282、單位斜坡響應(yīng)y(t)的特點(diǎn)：（1）由動態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分組成。（2）輸入與輸出之間存在跟蹤誤差，且誤差值等于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)“T”。1293、單位拋物線響應(yīng)y(t)的特點(diǎn)：輸入與輸出之間存在誤差為無窮大，這意味著一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線輸入信號的。4、單位脈沖響應(yīng)當(dāng)時(shí)，130對一階系統(tǒng)典型輸入響應(yīng)的兩點(diǎn)說明：1、輸入信號為單位拋物線信號時(shí)，輸出無法跟蹤輸入2、三種響應(yīng)之間的關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號微分（積分）的響應(yīng)，就等于該輸入信號響應(yīng)的微分（積分）。131例己知系統(tǒng)，1、求調(diào)節(jié)時(shí)間；2、若要求調(diào)節(jié)時(shí)間小于0.1秒，如何調(diào)反饋系數(shù)值？(解釋)132第三節(jié)二階系統(tǒng)分析一、二階系統(tǒng)用二階微分方程描述的系統(tǒng)。二、二階系統(tǒng)典型的數(shù)學(xué)模型先看例：位置跟蹤系統(tǒng)133系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：微分方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)！134

為了使二階系統(tǒng)的分析結(jié)果具有普遍及指導(dǎo)意義，提出下面的數(shù)學(xué)模型，作為典型二階系統(tǒng)的的數(shù)學(xué)模型：開環(huán)傳遞函數(shù)典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：特征方程的根：注：式中--阻尼系數(shù)(比)--無阻尼自振蕩頻率135三、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分析

在初始條件為0下，輸入單位階躍信號時(shí)，系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為

階躍響應(yīng)為二階系統(tǒng)響應(yīng)特性取決于阻尼系數(shù)和無阻尼振蕩頻率兩個(gè)參數(shù)！136

特征根及分布情況：

0ty(t)11、無阻尼

（=0）的情況響應(yīng)曲線：階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)拉氏式137

特征根及分布情況：tξ=0.3ξ=0.50y(t)1

階躍響應(yīng)：2、欠阻尼（0<<1）的情況138特征根0ty(t)1階躍響應(yīng)：響應(yīng)曲線3、臨界阻尼(=1)139特征根及分布情況：t0y1階躍響應(yīng)：響應(yīng)曲線4、過阻尼（>1）的情況140結(jié)論：1、不同阻尼比有不同的響應(yīng)、有不同的動態(tài)性能。2、實(shí)際工程系統(tǒng)中，欠阻尼情況最具有實(shí)際意義，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，往往也按欠阻尼情況選擇控制器相關(guān)參典型二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù)與單位階躍響應(yīng)，141由前面知，欠阻尼時(shí)系統(tǒng)的輸出：

（0<<1）t0y(t)trtmts響應(yīng)曲線：四、二階系統(tǒng)動態(tài)特性指標(biāo)1421、上升時(shí)間：

在暫態(tài)過程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，由

令時(shí)，則

經(jīng)整理得1432、超調(diào)量：暫態(tài)過程中被控量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。即峰值時(shí)間在時(shí)刻對求導(dǎo)，令其等于零，經(jīng)整理得

將其代入超調(diào)量公式得1443、調(diào)節(jié)時(shí)間：輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍，并維持在允許范圍內(nèi)所需要的時(shí)間。145例有一位置隨動系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中K=4。（1）求該系統(tǒng)的自然振蕩角頻率和阻尼比；（2）求該系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；（3）若要阻尼比等于0.707，應(yīng)怎樣改變放大倍數(shù)K？二階系統(tǒng)分析146例題解（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫成標(biāo)準(zhǔn)形式對比，可知147例題（2）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間將阻尼系數(shù)和無阻尼振蕩頻率代入性能公式（3）要求，即要求超調(diào)量為4%時(shí)注：超調(diào)量變小了，系統(tǒng)的動態(tài)性能變好了，但由于放大系數(shù)小了，由第六節(jié)可知，造成精度變差了。148五、提高二階系統(tǒng)動態(tài)性能的方法

1.比例-微分（PD）串聯(lián)校正

未加校正網(wǎng)絡(luò)前閉環(huán)傳遞函數(shù)：加校正網(wǎng)絡(luò)后閉環(huán)傳遞函數(shù)：149校正后的等效阻尼系數(shù)

阻尼系數(shù)比校正前要大。由超調(diào)量的計(jì)算公式知，阻尼系數(shù)上升，超調(diào)量下降，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。150未加校正網(wǎng)絡(luò)前閉環(huán)傳遞函數(shù)：校正后的閉環(huán)傳遞函數(shù)：2.并聯(lián)微分校正151

阻尼系數(shù)比校正前要大。由超調(diào)量的計(jì)算公式知，阻尼系數(shù)上升，超調(diào)量下降，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。校正后的等效阻尼系數(shù)152

一、高階系統(tǒng)

二、高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(傳遞函數(shù))第四節(jié)高階系統(tǒng)分析

其中，分母n=(q+2r)>=3。數(shù)學(xué)模型為三階或三階以上的系統(tǒng)。153三、單位階躍響應(yīng)反變換154y(t)分析：1.閉環(huán)極點(diǎn)在s的左半平面上，則對應(yīng)的動態(tài)分量，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)都趨于0，系統(tǒng)輸出等于穩(wěn)態(tài)分量值。----系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.動態(tài)分量哀減的快慢，取決于閉環(huán)極點(diǎn)的大小，3.各分量的幅值，與系統(tǒng)分子分母參數(shù)a、b或零極點(diǎn)值有關(guān)。4.零、極點(diǎn)值接近，相應(yīng)的動態(tài)分量幅值小，對系統(tǒng)輸出的影響小。5.離原點(diǎn)近，其附近又沒有零點(diǎn)的極點(diǎn)，其對應(yīng)的動態(tài)分量不僅幅值大而且衰減慢，對系統(tǒng)輸出的影響最大。155四、高階系統(tǒng)的分析方法

(1)、降階(看成2階、1階)*閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念：距離虛軸最近，又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，在系統(tǒng)過渡過程中起主導(dǎo)作用，這個(gè)極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。

*主導(dǎo)極點(diǎn)若以共軛形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成二階系統(tǒng)；若以實(shí)數(shù)形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成一階系統(tǒng)。(2)、計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)例題見教材156第五節(jié)穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)一、穩(wěn)定的概念及條件

⒈穩(wěn)定概念：如果系統(tǒng)受擾動后，偏離了原來的工作狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)又能逐漸恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

⒉穩(wěn)定條件：系統(tǒng)特征方程式所有的根都位于ｓ平面的左半平面。二、判定系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：代數(shù)判據(jù)

應(yīng)用勞斯判據(jù)等其它代數(shù)判據(jù)。157勞斯判據(jù)：1、先求出系統(tǒng)的特征方程0注意：

(1)s要降階排列(2)所有系數(shù)必須大于0系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程所有系數(shù)均為正。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件：特征方程所有系數(shù)組成勞斯表，其第一列元素必須為正。具體步驟：1582、列勞斯表：注意：1、共n+1行

2、第1,2行由分程系數(shù)組成，其余行按公式計(jì)算。公式：159例：三階系統(tǒng)特征方程式如下，求系統(tǒng)穩(wěn)定條件解：列勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：160四、勞斯判據(jù)的其它應(yīng)用

1.分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響例系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。

161解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表穩(wěn)定必須滿足所以1622、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

穩(wěn)定裕量：系統(tǒng)離穩(wěn)定的邊界有多少余量。也就是實(shí)部最大的特征根與虛軸的距離。**求系統(tǒng)有多大的穩(wěn)定裕量，方法為（1）用代入特征方程

（2）將z看作新變量，用勞斯判據(jù)再次判穩(wěn)，若穩(wěn)定，則具有該穩(wěn)定裕量。例題(見課本)163第六節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析及計(jì)算一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差概念及定義1．誤差：（2種定義）（1）輸入端定義（2）輸出端定義（3）兩者之間的關(guān)系理想輸出實(shí)際輸出164

**兩者關(guān)系證明：--------1652、穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，誤差信號的終值。用式表示為1．輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算：

方法一、拉氏變換的終值定理==二、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算166例1系統(tǒng)如右，已知167解：

系統(tǒng)穩(wěn)定。

168169方法二、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法分析：令考慮R(s)不同時(shí)，與的關(guān)系。170設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中：K——開環(huán)放大倍數(shù)；V——無差度階數(shù)171(1)單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差其中稱為位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差：172求位置誤差系數(shù)0型系統(tǒng)2型系統(tǒng)1型系統(tǒng)173(2).單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差稱為速度誤差系數(shù)174速度誤差系數(shù)175(3)單位拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差稱為加速度誤差系數(shù)176加速度誤差系數(shù)177νr(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)∞∞101/K∞2001/K結(jié)論：要消除或減小標(biāo)輸入穩(wěn)態(tài)誤差，必須針對不同的輸入量來選擇不同的系統(tǒng)，并且選擇較大的K值；或增加積分環(huán)節(jié)。但均必須滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。上面計(jì)算歸納如下表：178(4)典型信號合成輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差可用疊加原理求出，即分別求出系統(tǒng)對階躍、斜坡和拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，然后將其結(jié)果疊加。1792.擾動輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

分析：令180穩(wěn)態(tài)誤差1813.給定輸入、擾動輸入同時(shí)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算182例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，當(dāng)r(t)=n(t)=1時(shí)，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。Ryn183解：1.判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性特征方程

應(yīng)用勞斯判據(jù)

因?yàn)橄到y(tǒng)第一列元素全為零，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。1842.求給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差方法一：用終值定理185方法二：用靜態(tài)誤差系數(shù)法

由于沒有積分環(huán)節(jié)，所以ν=0，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。兩種計(jì)算方法，答案相同！1863.求擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差1874.給定輸入、擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差188三、減少誤差的方法

1.增加開環(huán)放大倍數(shù)K2.增加積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)

νr(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)∞∞101/K∞2001/K1893.復(fù)合控制（1）按輸入信號補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制190分析：若取則有191（2）按干擾信號補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制192分析：令若取則有193例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-27所示。已知試分別計(jì)算作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，

并說明積分環(huán)節(jié)的位置設(shè)置對減小輸入和干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的影響。1942.求給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)解:1.判穩(wěn)1952.求給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，當(dāng)參數(shù)值使系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，參閱表3-4可知：時(shí)，

，系統(tǒng)為1型196求干擾輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)時(shí)，

求干擾輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)時(shí)，

197

由計(jì)算結(jié)果看出：

當(dāng)前向通道中有積分環(huán)節(jié)時(shí)，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差都為0；

對于干擾信號，只有在反饋比較點(diǎn)到干擾作用點(diǎn)之間的前向通道中設(shè)置有積分環(huán)節(jié)時(shí)，才能使干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為0。198例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，要使系統(tǒng)對而言是II型的，和的值。試確定參數(shù)199解

求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

要使系統(tǒng)對給定信號而言是II型，即，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母中s的0次和1次項(xiàng)系數(shù)必須為0，即200聯(lián)立求解得

此時(shí)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為由勞斯判據(jù)，當(dāng)>0，>0，時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。201**例系統(tǒng)如右，作用下的誤差的影響。討論系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對減小202解：穩(wěn)定性：均大于0,則可穩(wěn)定。203作用時(shí)，

開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)分配在回路的任何地方，對減小作用下的穩(wěn)態(tài)誤差均有作用。204作用時(shí)，

當(dāng)開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)分配在主反饋口到擾動作用點(diǎn)之前的前向通道上時(shí)，才對減小有作用。205在主反饋口到擾動作用點(diǎn)的前向通道中加增益。

在主反饋口到擾動作用點(diǎn)的前向通道設(shè)置純積分環(huán)節(jié)。復(fù)合控制方法。同時(shí)減小由和作用時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的措施

206第四章控制系統(tǒng)根軌跡分析法第一節(jié)根軌跡的基本概念第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則第三節(jié)系統(tǒng)根軌跡的繪制第四節(jié)參量根軌跡第五節(jié)系統(tǒng)性能的根軌跡分析207

第三章控制系統(tǒng)時(shí)域分析的討論中已經(jīng)知道，系統(tǒng)動態(tài)性能與特征方程的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)密切相關(guān)。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事。

1948年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方程根的圖解方法——根軌跡法。根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。208

定義:Gk(s)的某個(gè)參數(shù)由0→∞時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征根在S平面上的變化軌跡。例

已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請繪出K由0→∞時(shí)的根軌跡。第一節(jié)根軌跡的基本概念解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為特征根(與k有關(guān))209

K048...∞s10-2-2+2j…-1+j∞s2-4-2-2-2j…-1-j∞jσ210有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能（1）穩(wěn)定性開環(huán)增益K從零變到無窮時(shí)，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入右半s平面，因此系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)態(tài)特性開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬于一型系統(tǒng)。因此根軌跡是的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的允許范圍。（3）動態(tài)特性由圖中可見，當(dāng)0<K<4時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng)K=1時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)相重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍仍為非周期過程，但響應(yīng)速度較0<K<4的情況快；當(dāng)K>4時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼震蕩過程，且超調(diào)量將會隨K值的增大而加大。上述分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著比較密切的關(guān)系。211

一般而言，繪制根軌跡時(shí)的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Kg（也稱為根軌跡增益）。

Kg——常規(guī)根軌跡

Kg以外的參數(shù)——參量根軌跡以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法來求得，但對于高階系統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來繪制。212第二節(jié)

繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則一、根軌跡的幅值條件和相角條件

一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，開環(huán)傳遞函數(shù)特征方程又可以寫為-------開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)-----根軌跡增益213由等式兩邊幅值和相角分別相等的條件可得即------幅值條件-----相角條件或214例已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)必滿足相角條件必滿足幅值條件若s平面上的某–點(diǎn)，例如是閉環(huán)特征根，則215二、根軌跡繪制法則

1.根軌跡條數(shù)條數(shù)：n階系統(tǒng)n條；開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，n條

2.連續(xù)性特征方程為代數(shù)方程，當(dāng)Kg從0→∞連續(xù)變化時(shí)，代數(shù)方程的根即特征根也會連續(xù)變化。

3.對稱性因?yàn)樘卣鞲貫閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，故根軌跡對稱于實(shí)軸

4.起點(diǎn)（Kg=0）和終點(diǎn)（Kg=∞）

:根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)。起點(diǎn)終點(diǎn):開環(huán)零點(diǎn)（有限，無限）為根軌跡終點(diǎn)。設(shè)N(s)為m階，有m個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)，還有n-m個(gè)無限零點(diǎn)。216

5.實(shí)軸上的根軌跡

在S平面實(shí)軸上的線段上，且存在根軌跡的條件是：線段右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。

6.分離點(diǎn)和會合點(diǎn)

分離點(diǎn)：根軌跡相遇后又分開的點(diǎn)；分離角：離開分離點(diǎn)的角度。

會合點(diǎn)：根軌跡相會合的點(diǎn)；會合角：進(jìn)入會合點(diǎn)的角度。

217

一般來說，兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間會有一個(gè)分離點(diǎn)，兩個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)之間會有一個(gè)會合點(diǎn)。

計(jì)算分離點(diǎn)和會合點(diǎn)的公式：(求重根)求出的重根要代入特征方程，只有當(dāng)Kg為正，才是分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。若則218例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為-1，有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為-0.1和-0.5。根據(jù)根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為

[-0.1，-0.5],（-∞，-1]。

求根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。219

根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)：由公式有220求對應(yīng)分離點(diǎn)、會合點(diǎn)的Kg：代入特征方程(或相關(guān)方程)jσS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.742217.漸近線（1）漸近線條數(shù)：n-m條

（2）漸近線會與實(shí)軸交于一點(diǎn)(交點(diǎn))：坐標(biāo)為（-σ，j0）根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠(yuǎn)的直線。222例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為0，-2和-4。8.與虛軸的交點(diǎn)

方法一：代數(shù)法將s=jw代入系統(tǒng)特征方程，求出w的值。方法二：勞斯判據(jù)223例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為請求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。解：系統(tǒng)的特征方程為:方法一：將代入特征方程經(jīng)整理得224**方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。列勞斯表若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點(diǎn)對應(yīng)的Kg使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此

，即又因?yàn)橐粚兲摳貫閿?shù)值相同，符號相反的根，所以用勞斯表S2行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。2259.出射角與入射角

出射角：位于復(fù)平面上的開環(huán)極點(diǎn)，根軌跡離開此極點(diǎn)與正實(shí)軸的夾角。

入射角：位于復(fù)平面上的開環(huán)零點(diǎn)，根軌跡進(jìn)入此零點(diǎn)與正實(shí)軸的夾角。10.根軌跡線的走向

一些往右走，一些往左走226第三節(jié)系統(tǒng)根軌跡的繪制

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（2）3條起點(diǎn)：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，，（1）3條根軌跡（3）實(shí)軸上根軌跡：區(qū)間為（-∞，-2]，[-1，0]。

例己知系統(tǒng)參數(shù)a=2，繪制系統(tǒng)閉環(huán)特征根的軌跡線。終點(diǎn)：無窮遠(yuǎn)繪制系統(tǒng)根軌跡主要依靠上面介紹的–些法則,以例說明:227（4）根軌跡的分離點(diǎn)由4-9式：(不是)解此方程可得（5）根軌跡漸近線的傾角：根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：228（6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為令得229230

例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。解：（1）系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）；終點(diǎn)：無窮遠(yuǎn)（2）實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為[-4，0]（3）根軌跡漸近線(4條)：交點(diǎn)；傾角231（4）根軌跡的分離點(diǎn)代入到（4-9）式，得解此方程可得232

(5)根軌跡漸近線與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為令，得令實(shí)部虛部為零解得233（6）根軌跡在復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角

由對稱性知：依上面法則，系統(tǒng)根跡圖234

第四節(jié)參量根軌跡

前面幾個(gè)小節(jié)中討論的根軌跡都是以開環(huán)增益Kg作為參變量的，這種根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。而在控制系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)中，有時(shí)還要考慮其它參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響，因此還需繪制除Kg以外的其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。這種選擇除Kg以外其他參量作為可變參量繪制的根軌跡稱作參量根軌跡。一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟可歸納如下：（1）求出原系統(tǒng)的特征方程；（2）以特征方程中不含該參量的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（3）根據(jù)上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效的根軌跡，即得原系統(tǒng)的參量根軌跡。系統(tǒng)特征方程如下式所示：以所選可變參量α代替Kg的位置235等效開環(huán)傳遞函數(shù)為例已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如右圖所示,試畫出其參量根軌跡。解：（1）求系統(tǒng)特征方程

（2）兩邊同除以R(s)-Y(s)236第五節(jié)系統(tǒng)性能的根軌跡分析

根軌跡法分析系統(tǒng)，是根據(jù)繪出的系統(tǒng)根軌跡圖去分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，即系統(tǒng)性能；若這些性能未能滿足要求時(shí)，要對根軌跡進(jìn)行改造。一、利用根軌跡分析系統(tǒng)性能由第三章知道，系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可由閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上虛軸的兩半邊位置去判斷；系統(tǒng)靜態(tài)性能，由“系統(tǒng)型號”即開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)和放大系數(shù)值決定，在根軌跡圖中“坐標(biāo)原點(diǎn)上的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)”，就反映了“系統(tǒng)型號”；利用根軌跡分析動態(tài)特性時(shí)，往往采用“閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)”的思想，即認(rèn)為系統(tǒng)的性能主要由一對“閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)”來決定，從而利用二階系統(tǒng)相關(guān)的公式去分析或綜合系統(tǒng)。下面通過例題說明。237

例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定阻尼比時(shí)的主導(dǎo)極點(diǎn)和相應(yīng)的和值。解：首先繪制系統(tǒng)根軌跡，在此基礎(chǔ)上確定主導(dǎo)極點(diǎn)并求性能參數(shù)。（1）系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）：，，（2）實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為（-∞,-4]和[-2，0]。（3）根軌跡的分離點(diǎn)計(jì)算解此方程可得238（4）根軌跡漸近線的傾角根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為令，得亦即

解得S1=-0.84239根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制根軌跡如圖。穩(wěn)定性分析:當(dāng)根跡放大系統(tǒng)小于48時(shí),三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)均位于S平面的左半平面，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。

靜態(tài)性能分析

由根軌跡圖可知，坐標(biāo)原點(diǎn)上有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，因此，“系統(tǒng)為1型”。階躍信號輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為0。動態(tài)性能分析(1)確定閉環(huán)極點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上確定主導(dǎo)極點(diǎn)由在圖中作與負(fù)實(shí)軸夾角成60°的等阻線，與根軌跡的交點(diǎn)是

240因此，閉環(huán)極點(diǎn)所對應(yīng)的系統(tǒng)特征方程為：由方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系可得如下計(jì)算公式：故第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)：確定主導(dǎo)極點(diǎn)由于實(shí)部之比為，極點(diǎn)對應(yīng)的增益值,由幅值條件241兩極點(diǎn)是主導(dǎo)極點(diǎn)，對動態(tài)過程的影響可以忽略不計(jì)，本系統(tǒng)可以當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析。系統(tǒng)特征方程為：由典型二階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式，可得：動態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)為：

242二、系統(tǒng)根跡線的改造

根軌跡的形狀由系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布決定，若開環(huán)零、極點(diǎn)分布改變，根軌跡形狀就改變，系統(tǒng)的性能也就隨之改變。因此，在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。了解這種影響對設(shè)計(jì)(綜合)或調(diào)試系統(tǒng)大有好處。(1)增加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響

增加開環(huán)零點(diǎn)后，根軌跡將向該零點(diǎn)的方向彎曲。如果增加的零點(diǎn)位置位于左半平面，根軌跡會向左偏移，將改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，如果增加的零點(diǎn)位置越靠近虛軸，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能越強(qiáng)；如果增加的零點(diǎn)位置位于右半平面，將使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差；若加入的零點(diǎn)和極點(diǎn)相距很近，則兩者的作用相互抵消（稱兩者為開環(huán)偶極子），因此，也可用加入零點(diǎn)的方法來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。243(2)增加開環(huán)極點(diǎn)對根軌跡的影響增加開環(huán)極點(diǎn)后，根軌跡會向右方向偏移，會使系統(tǒng)的精度提高但穩(wěn)定性變差，甚至不穩(wěn)定。值得指出的是，在系統(tǒng)中加入開環(huán)零點(diǎn)，相當(dāng)于第三章時(shí)域分析法中在系統(tǒng)中串入微分環(huán)節(jié)；加入極點(diǎn)，相當(dāng)于在系統(tǒng)中串入積分環(huán)節(jié)。表4-1分別給出了增加開環(huán)零點(diǎn)或開環(huán)極點(diǎn)前后對根軌跡的大致影響。244**例若在典型的二階系統(tǒng)增加一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為圖。取繪制系統(tǒng)根軌跡圖并分析增加的零點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響。解：增加零點(diǎn)后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（1）系統(tǒng)有二個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：（2）實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為（-∞，-6]和[-4，0]。（3）根軌跡的分離點(diǎn)可按式（4-14）計(jì)算解此方程可得：即系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)、會合點(diǎn)為-2.53、-9.47245（4）根據(jù)相角條件可知，根軌跡各點(diǎn)應(yīng)滿足令，得利用反正切公式可得對上式的兩邊取正切，整理后即得根軌跡方程式這是一個(gè)圓的方程，圓心為；半徑為。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-16所示。這個(gè)圓與實(shí)軸的交點(diǎn)即為分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。246下面分析增加的零點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響：

未增加零點(diǎn)以前系統(tǒng)根軌跡，如圖4-2所示。在s平面上為一條垂線，特征根靠近虛軸，因此穩(wěn)定性,動態(tài)性能會較差。增加零點(diǎn)后，根軌跡沿圓弧向左彎曲，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能得到改善。實(shí)際上，只有增加的零點(diǎn)位于極點(diǎn)－4的左邊，均能達(dá)到改善性能系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能得到改善。實(shí)際上，只有增加的零點(diǎn)位于極點(diǎn)－4的左邊，均能達(dá)到改善性能