考軍校的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},則集合A與B的交集為？

A.{1,2}

B.{3,4}

C.{1,3}

D.{2,3}

2.函數(shù)f(x)=x^2-2x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,1)

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4)到原點(diǎn)的距離是？

A.3

B.4

C.5

D.7

4.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于該區(qū)間上函數(shù)值的平均值，這是？

A.中值定理

B.極值定理

C.最值定理

D.累加定理

5.若向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的點(diǎn)積是？

A.32

B.18

C.15

D.10

6.微分方程y''-4y=0的通解是？

A.y=C1e^2x+C2e^-2x

B.y=C1e^x+C2e^-x

C.y=C1sin2x+C2cos2x

D.y=C1cosx+C2sinx

7.矩陣A=[1,2;3,4]的行列式det(A)等于？

A.-2

B.2

C.6

D.8

8.在復(fù)數(shù)域中，方程x^2+1=0的解是？

A.i,-i

B.1,-1

C.2,-2

D.0,0

9.設(shè)事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，則事件A與事件B相互獨(dú)立嗎？

A.是

B.否

C.無法確定

D.以上都不對

10.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的概率是？

A.1/8

B.3/8

C.5/8

D.7/8

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的是？

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sinx

C.f(x)=logx

D.f(x)=tanx

2.設(shè)向量a=(1,2,3)，向量b=(0,1,2)，向量c=(3,0,1)，則下列向量組線性無關(guān)的是？

A.a,b

B.b,c

C.a,c

D.a,b,c

3.下列方程中，是線性微分方程的是？

A.y''+y^2=0

B.y''+xy'=x

C.y''+siny=0

D.y''+y*y'=0

4.下列矩陣中，可逆矩陣是？

A.[1,2;3,4]

B.[1,0;0,1]

C.[0,0;0,0]

D.[1,2;2,4]

5.下列關(guān)于概率的說法中，正確的有？

A.概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值

B.概率值介于0和1之間

C.必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0

D.概率具有可加性

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=2，則當(dāng)x接近x0時(shí)，f(x)的線性近似為？

2.矩陣A=[1,2;3,4]的特征值為？

3.設(shè)事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6，且P(A∩B)=0.3，則事件A與事件B的條件概率P(B|A)為？

4.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/2^n)的和為？

5.曲線y=x^3在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為？

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

2.計(jì)算定積分∫[0,1]x^2*e^xdx。

3.解微分方程dy/dx+2xy=x。

4.求解線性方程組：

x+y+z=6

2x-y+z=3

x+2y-z=2

5.計(jì)算向量場F(x,y,z)=x^2*i+y^2*j+z^2*k在點(diǎn)P(1,1,1)處的散度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.D

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={2,3}

2.A

解析：f(x)=(x-1)^2+0，頂點(diǎn)為(1,0)

3.C

解析：√(3^2+4^2)=√25=5

4.A

解析：根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

5.B

解析：a·b=1*4+2*5+3*6=18

6.A

解析：特征方程r^2-4=0，解得r=±2，通解為y=C1e^2x+C2e^-2x

7.A

解析：det(A)=1*4-2*3=4-6=-2

8.A

解析：x^2=-1，解得x=±i

9.B

解析：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.8=0.5≠P(A)P(B)=0.42，故不獨(dú)立

10.B

解析：C(5,2)*C(3,1)/C(8,3)=10*3/56=30/56=15/28=3/8

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：sinx在R上連續(xù)，logx在(0,+∞)上連續(xù)

2.A,B,C

解析：對于A，若k1+k2=0，則k1(1,2,3)+k2(0,1,2)=(0,k1+k2,3k1+2k2)=(0,0,0)，故線性無關(guān)

對于B，若k1(0,1,2)+k2(3,0,1)=(0,3k1,2k1+k2)=(0,0,0)，則3k1=0且2k1+k2=0，得k1=k2=0，故線性無關(guān)

對于C，若k1(1,2,3)+k2(3,0,1)=(4k1,2k1,k1+3k2)=(0,0,0)，則4k1=0且2k1=0，得k1=k2=0，故線性無關(guān)

對于D，行列式det([1,2;2,4])=1*4-2*2=0，故線性相關(guān)

3.B

解析：線性微分方程形如y^n+a_n-1(x)y'^n-1+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)，B符合此形式

4.A,B

解析：det(A)=1*4-2*3=-2≠0，故A可逆；det(B)=1*1-0*0=1≠0，故B可逆；det(C)=0，故C不可逆；det(D)=1*4-2*2=0，故D不可逆

5.A,B,C,D

解析：均為概率論的基本性質(zhì)和定義

三、填空題答案及解析

1.f(x0)+f'(x0)(x-x0)

解析：根據(jù)泰勒公式，f(x)在x0處的線性近似為f(x0)+f'(x0)(x-x0)

2.5,-3

解析：det(A-λI)=(-λ+1)(-λ-4)=0，解得λ=1,-4

3.0.6

解析：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.3/0.5=0.6

4.1

解析：∑(n=1to∞)(1/2^n)=1/(1-1/2)=1

5.3

解析：y'=3x^2，在x=1時(shí)，y'=3*1^2=3

四、計(jì)算題答案及解析

1.-1/6

解析：原式=lim(x→0)(sinx/x-1)/x^2=lim(x→0)(sinx/x)/x-lim(x→0)1/x^2=1*0-1/0^2=-1/6

2.e-1/3

解析：令u=x^2,dv=e^xdx，則du=2xdx,v=e^x，原式=e^x*x^2-∫2x*e^xdx=e^x*x^2-2(e^x*x-∫e^xdx)=e^x*x^2-2e^x*x+2e^x|_[0,1]=(e-2e+2)-(0-0+2)=e-1/3

3.y=e^(-x^2/2)*(x+C)

解析：這是一階線性微分方程，通解公式為y=e^(-∫P(x)dx)*(∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+C)=e^(-∫2xdx)*(∫xdx+C)=e^(-x^2)*(x^2/2+C)

4.x=1,y=2,z=3

解析：用加減消元法，將第一式與第二式相減得(-1)x+3y-2z=-3，將第一式與第三式相減得0x+y+2z=4，解得y=1,z=1，代回第一式得x=1

5.3

解析：divF=?(x^2)/?x+?(y^2)/?y+?(z^2)/?z=2x+2y+2z=2*(1+1+1)=6

知識點(diǎn)分類總結(jié)

1.極限與連續(xù)

-極限的計(jì)算方法：代入法、因式分解法、有理化法、重要極限法等

-閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、介值定理、零點(diǎn)定理

2.一元函數(shù)微分學(xué)

-導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計(jì)算

-中值定理及其應(yīng)用

-泰勒公式及其應(yīng)用

-函數(shù)性態(tài)的研究：單調(diào)性、極值、凹凸性、漸近線

3.一元函數(shù)積分學(xué)

-不定積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算

-定積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算

-定積分的應(yīng)用：面積、旋轉(zhuǎn)體體積、弧長等

4.常微分方程

-一階微分方程：可分離變量方程、一階線性方程、伯努利方程等

-可降階的高階方程

-線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

-二階常系數(shù)線性微分方程

5.線性代數(shù)

-行列式的計(jì)算

-矩陣的運(yùn)算

-特征值與特征向量

-線性方程組解的結(jié)構(gòu)

6.概率論基礎(chǔ)

-隨機(jī)事件及其運(yùn)算

-概率的概念與性質(zhì)

-條件概率與全概率公式

-獨(dú)立性

-常用分布

題型考察知識點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題

-考察對基本概念、性質(zhì)、定理的掌握程度

-示例：考查導(dǎo)數(shù)的定義，需要知道導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限

-示例：考查矩陣的可逆性，需要掌握行列式為零的矩陣不可逆

2.多項(xiàng)選擇題

-考察對知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力

-示例：考查向量組的線性相關(guān)性，需要掌握線性相關(guān)性的判定方法

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