2015-2016學(xué)年度高一數(shù)學(xué)期末試題**一、試題部分****（一）選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）**A.\{1,5\}B.\{3\}C.\{1,3\}D.\{1,2,3,5\}2.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}+\sqrt{2x+1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,-\frac{1}{2}]\)B.\([-\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)\)C.\([-\frac{1}{2},+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是定義域內(nèi)增函數(shù)的是（）A.\(f(x)=x^2\)B.\(f(x)=x^3+\sinx\)C.\(f(x)=\cosx\)D.\(f(x)=\lnx\)4.計(jì)算\(\sin(\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{3})\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，公比\(q=3\)，則\(a_4=\)（）A.6B.18C.54D.162**（二）填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）**6.函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，\(x\in[0,3]\)的值域是________。7.函數(shù)\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是________。8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，則前5項(xiàng)和\(S_5=\)________。9.若\(\log_a2<\log_a3\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則\(a\)的取值范圍是________。10.已知函數(shù)\(f(x)\)滿(mǎn)足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)=2\)，則\(f(3)=\)________。**（三）解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分）**11.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，求實(shí)數(shù)\(a\)的值。12.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)，\(x\in[1,3]\)。（1）用定義證明\(f(x)\)在\([1,3]\)上單調(diào)遞增；（2）求\(f(x)\)在\([1,3]\)上的最大值和最小值。13.化簡(jiǎn)并求值：\(\sin(\pi-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)+\cos(2\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)，其中\(zhòng)(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。14.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，已知\(a_3=5\)，前10項(xiàng)和\(S_{10}=100\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。15.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，\(f(1)=0\)。求不等式\(f(x)<0\)的解集。**二、答案解析****（一）選擇題**1.答案：A2.答案：B解析：分母\(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1\)；根號(hào)內(nèi)\(2x+1\geq0\Rightarrowx\geq-\frac{1}{2}\)，故定義域?yàn)閈([-\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)\)。3.答案：B解析：\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故為奇函數(shù)；\(f'(x)=3x^2+\cosx\geq0\)（\(3x^2\geq0\)，\(\cosx\geq-1\)，但\(3x^2+\cosx=0\)無(wú)實(shí)根），故為增函數(shù)。4.答案：A解析：\(\sin(\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\sin(2\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)。5.答案：C解析：\(a_4=a_1q^3=2\times3^3=54\)。**（二）填空題**6.答案：[2,6]解析：\(f(x)=(x-1)^2+2\)，\(x=1\)時(shí)取最小值2；\(x=3\)時(shí)取最大值6。7.答案：\(\pi\)解析：周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。8.答案：25解析：\(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=\frac{5\times(1+9)}{2}=25\)。9.答案：(1,+\infty)解析：對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，\(a>1\)，此時(shí)\(\log_a2<\log_a3\)成立。10.答案：6解析：\(f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=3f(1)=6\)。**（三）解答題**11.解：由\(x^2-3x+2=0\)得\(A=\{1,2\}\)。若\(B=\varnothing\)，則\(ax-2=0\)無(wú)解，故\(a=0\)；若\(B=\{1\}\)，則\(a\times1-2=0\Rightarrowa=2\)；若\(B=\{2\}\)，則\(a\times2-2=0\Rightarrowa=1\)。綜上，\(a=0,1,2\)。12.（1）證明：設(shè)\(1\leqx_1<x_2\leq3\)，則\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2+\frac{1}{x_2})-(x_1+\frac{1}{x_1})=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)(1-\frac{1}{x_1x_2})\)。因\(x_2-x_1>0\)，\(x_1x_2\geq1\)，故\(1-\frac{1}{x_1x_2}\geq0\)，從而\(f(x_2)-f(x_1)\geq0\)。故\(f(x)\)在\([1,3]\)上單調(diào)遞增。（2）解：由（1）知，\(f(x)_{\text{min}}=f(1)=2\)，\(f(x)_{\text{max}}=f(3)=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\)。13.解：化簡(jiǎn)得：\(\sin(\pi-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)+\cos(2\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha(-\sin\alpha)+\cos\alpha\cos\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha\)。代入\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)，得\(\cos(2\times\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)。14.（1）解：設(shè)首項(xiàng)為\(a_1\)，公差為\(d\)，則\(\begin{cases}a_1+2d=5\\10a_1+45d=100\end{cases}\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。故通項(xiàng)公式為\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。（2）解：前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)。15.解：因\(f(x)\)是奇函數(shù)，故\(f(-1)=-f(1)=0\)。又\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，故\(x\in(0,1)\)時(shí)，\(f(x)<0\)；\(x\in(1,+\infty)\)時(shí)，\(f(x)>0\)。由奇函數(shù)性質(zhì)，\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增，故\(x\in(-\infty,-1)\)時(shí)，\(f(x)<0\)；\(x\in(-1,0)\)時(shí)，\(f(x)>0\)。綜上，解集為\((-\infty,-1)\cup(0,1)\)。**三、命題意圖分析**本套試題以高一數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)為載體，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度、基本技能運(yùn)用能力及數(shù)學(xué)思想方法（如分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想）。具體命題意圖如下：選擇題：側(cè)重考查集合運(yùn)算、函數(shù)定義域、奇偶性、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、數(shù)列通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，難度較低，旨在檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的理解。填空題：考查函數(shù)值域、三角函數(shù)周期、數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性等，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力和對(duì)公式的熟練應(yīng)用。解答題：第11題：考查集合包含關(guān)系，重點(diǎn)突出“空集”這一易錯(cuò)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性；第12題：考查函數(shù)單調(diào)性的定義證明及最值求解，強(qiáng)化“定義法”的規(guī)范應(yīng)用；第13題：考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，要求學(xué)生熟練掌握誘導(dǎo)公式及二倍角公式；第14題：考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與前\(n\)項(xiàng)和，滲透方程思想；第15題：考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想。**四、備考建議**1.夯實(shí)基礎(chǔ)：重點(diǎn)掌握集合運(yùn)算、函數(shù)的定義域/奇偶性/單調(diào)性、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、數(shù)列通項(xiàng)與前\(n\)項(xiàng)和等核心知識(shí)點(diǎn)，確?；A(chǔ)題不丟分。2.強(qiáng)化易錯(cuò)點(diǎn)：針對(duì)“空集”“函數(shù)定義域”“三角函數(shù)符號(hào)”“數(shù)列\(zhòng)(n\)的取值范圍”等易錯(cuò)