緒論1.1研究背景1.1.1新課標下的挑戰(zhàn)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）對學生數(shù)學學科素養(yǎng)以及學科能力的培養(yǎng)提出了更高的要求,它提出普通高中教育要進一步提升學生綜合素質(zhì),著力發(fā)展核心素養(yǎng).REF_Ref22978\r\h[1]在此背景下,教師教學也面臨更大的挑戰(zhàn)：在有限的時間內(nèi)教會學生知識并掌握方法,引導學生思考,進一步培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)與能力,教學更注重靈活性和多樣性.但在實際教學過程中,大部分教師深受傳統(tǒng)教育的影響,仍舊采用“灌輸性”教學和“題海戰(zhàn)術(shù)”,使得教師占據(jù)了課堂的主導地位,忽略了學生的在課堂中的地位.因此,如何在教學的過程中跳出傳統(tǒng)應試教育的舒適圈,充分發(fā)揮出學生學習的主體性,成為教師們需要思考的首要問題.1.1.2復數(shù)的教學現(xiàn)狀“復數(shù)”是高中數(shù)學學習過程中一個重要的內(nèi)容板塊,對完善學生知識結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)數(shù)學學科素養(yǎng)、發(fā)展創(chuàng)新精神等方面有著重要作用,同時能夠為學生后續(xù)進一步學習高等數(shù)學打下基礎.但大部分的高中教師在教學過程中容易忽視復數(shù)概念的形成過程,而著重于直接傳授復數(shù)的相關(guān)知識和復數(shù)計算技巧的訓練（即解題技能的訓練）.導致學生缺少理性思維和創(chuàng)新精神的培養(yǎng),也難以從中感受到數(shù)學文化,認為復數(shù)的學習枯燥又乏味.高中階段的“復數(shù)”分為三個板塊,分別是：復數(shù)的概念、復數(shù)的四則運算、復數(shù)的三角表示.其中,復數(shù)的概念包括兩個課時：數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義,新課標對此的要求是：學生通過方程的解認識復數(shù),通過數(shù)學史了解數(shù)系的擴充過程,在感受數(shù)學文化的同時深化對數(shù)學概念的理解.REF_Ref22978\r\h[1]但在實際的教學過程中,這部分內(nèi)容常被簡單的幾句話帶過,更多地聚焦于“題海”訓練（即通過大量的習題練習來熟悉知識）,因此,學生的學習嚴重缺乏多樣性和靈活性,數(shù)學思維的發(fā)展以及學科素養(yǎng)的培養(yǎng)受到阻礙.1.2研究意義1.2.1理論意義“變式教學”是指保持問題本質(zhì)不變的情況下,對提問方式、題干條件、切入點、思考角度等內(nèi)容進行變更,REF_Ref26706\r\h[2]達到“變式”的目的,是基于學生的學習情況對命題進行有計劃的轉(zhuǎn)化,極具靈活性和多變性,能夠充分帶動學生思考,調(diào)動學生學習的積極性,因此,“變式教學”是新課標下非常具有可行性的一種教學手段.本文以“復數(shù)的概念”為例,基于當下“復數(shù)”的教學情況,研究在具體的教學中如何開展變式教學、具體的開展情況及課堂反思,REF_Ref27960\r\h[3]驗證變式教學在復數(shù)的學習過程中的可操作性,認識到復數(shù)學習的價值與內(nèi)涵,有效補充變式教學在復數(shù)教學方面的相關(guān)內(nèi)容,為下一步研究做鋪墊.1.2.2現(xiàn)實意義對于學生來說,應用變式教學可以幫助學生深入理解知識、梳理自己的知識脈絡.在復數(shù)的學習中,通過變式,學生能夠認識到學習復數(shù)的意義與靈活性,發(fā)現(xiàn)復數(shù)的“美”,為下一階段學習高等數(shù)學打好基礎.在教學過程中,不同的變式創(chuàng)設出不同的情景,學生能過在這個多變的情境中挖掘不變的“本質(zhì)”,學會從不同的角度看問題,深入挖掘知識的核心內(nèi)容,達到“以不變應萬變”的效果,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣的同時提升其數(shù)學思維.對于教師來說,數(shù)學中很多概念是抽象又復雜的,在教學過程中這部分內(nèi)容也是學生最難接受的,而變式教學的多樣性與靈活性可以成為解決該問題的一大助力,教師可以針對具體問題采用不同的變式方式與策略,創(chuàng)設不同的情景幫助學生理解,有效提高課堂效率和質(zhì)量.REF_Ref27960\r\h[4]變式教學的應用還可以為教師教學提供創(chuàng)意,避免教師局限于傳統(tǒng)教學模式,培養(yǎng)學生學科素養(yǎng)的同時也能夠提高教師的創(chuàng)新能力.1.3本文的主要工作本文以“復數(shù)的概念”為切入點,結(jié)合文獻研究法和實證研究法進行下一步研究,內(nèi)容如下：首先,了解新課標下變式教學的可行性,研究變式教學的意義與價值；再基于新課標的要求,研究在新課標下變式教學應用過程中存在的問題、應用的原則以及具體的實施措施.同時基于復數(shù)的教學背景,研究復數(shù)的教學現(xiàn)狀,分析復數(shù)的研究價值以及新課標下復數(shù)的地位,為后續(xù)進一步研究做準備.其次,通過對課標以及教材的研究分析、對學生學情的了解與分析,以“復數(shù)的概念”為課題設計教學,在實際教學中開展變式訓練以達到教學目標,在這個過程中驗證變式教學應用原則和實施措施的可行性.課后進行教學反思,梳理變式教學在實踐中存在的問題:銜接不自然、變式不到位、學生反響一般,并針對問題做出改進措施,為下一次教學做準備.最后在結(jié)論部分,結(jié)合研究內(nèi)容和實際教學設計及課堂開展情況進行小結(jié),總述本文研究結(jié)果以及自己再在研究和實踐過程中的收獲與成長.

2理論基礎2.1變式教學2.1.1變式教學的內(nèi)涵變式教學包括“變式”和“教學”,在“變”REF_Ref28992\r\h[5]中“教學”,在“教學”中“變”,它是指在教學過程中教師根據(jù)學生的學習情況,改變問題的條件、提問方式等非本質(zhì)性內(nèi)容REF_Ref3611\r\h[6]或改變定義、概念等本質(zhì)性內(nèi)容,使學生更好地掌握相關(guān)知識和方法.由此,變式教學可分為兩類：本質(zhì)性變式和非本質(zhì)性變式.非本質(zhì)性變式創(chuàng)設出不同的解題情境,讓學生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變量”,嘗試從多個角度解決問題；本質(zhì)性變式改變學生易錯、難理解的內(nèi)容,讓學生在“不變”的情境中找“變化量”,深入挖掘知識之間的易錯易混點.對于教師而言,變式教學不僅僅只是對某道題的公式、定理、條件的改變,而是是通過多樣的變化實現(xiàn)“一題多解”和“多題一解”的教學,以此來完善學生的基礎知識,提高學生的基本技能以及綜合運用能力.2.1.2變式教學的價值與意義在新課標的要求下,變式教學能夠有效提高教學效率,教師也能夠更快速了解學生的學習程度,具體體現(xiàn)在如下幾個方面：（1）把握學生的主體角色變式教學可以有效提高學生的課堂參與度,學生在老師的引導下,獨立完成知識的認識、理解、掌握的過程,形成自己的知識框架,完善數(shù)學知識體系.REF_Ref15021\r\h[7]在傳統(tǒng)式教學泛濫的當下,變式教學更能符合新課標的教學要求,凸顯學生的主體地位.（2）提高學生的學習興趣變式教學特色之一是不同的“變”創(chuàng)設出不同的解題情境,在跨學科融合的幫助下,學生在課堂中就能夠感受到不同的文化,枯燥乏味的數(shù)學知識也就變的生動起來,讓課堂更加帶領(lǐng)學生從“不得不”學習變成“我想要”學習.（3）培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力REF_Ref3611\r\h[8]變式教學可以促進“一題多解”和“多題一解”REF_Ref4430\r\h[9]的應用,面對同一個題目,學生可以從不同的角度思考,嘗試用不同的方法解決.教師通過變式的方式引入,引導學生接觸不同的解題方法,學生結(jié)合自己的學習情況對所學內(nèi)容進行整理歸納,并在此基礎上進行下一步思考與創(chuàng)新,形成自己的學習方法.（4）建立有效途徑準確把控學情變式教學的多樣性為學生提供了多樣化的思考環(huán)境,對于教師而言,可以通過變式教學的形式多方面地了解學生的解題切入點、思考角度、思考方式、解題方式,進一步了解學生,更有利于教師從學生的角度思考,把握學情.2.1.3變式教學的應用（1）變式教學應用中存在的問題（a）學生存在定勢思維REF_Ref4493\r\h[10]大部分的高中生受到傳統(tǒng)應試教育的影響,在解決問題的過程中存在思維定勢的問題.這部分學生由于在平時的學習過程中缺少相關(guān)訓練,或是老師講解不到位,大都只知道一種解題方法,解題手段單一.長此以往,這些學生在解決問題時,即使發(fā)現(xiàn)了一些問題或是有新的感悟,也會因為自身思維的束縛,不懂得融會貫通而無所收獲,也就找不到新的解題的思路,學生的數(shù)學思維、創(chuàng)新能力的發(fā)展受到阻礙.（b）變式難度大,沒有循序漸進REF_Ref1857\r\h[11]雖然在新課標下,變式教學的地位日益突顯,但部分教師在實際應用的過程中仍存在“不科學變式”的現(xiàn)象：沒有考慮學生當下的學習情況,出現(xiàn)“斷層式”變式.變式教學應該遵循學生認知的發(fā)展規(guī)律,由易到難、由簡到繁,但有些教師為了達到教學目標,忽略了學生學習層次,導致變式過難,學生短時間內(nèi)難以接受甚至產(chǎn)生恐懼、放棄心理,降低學習效率.（c）變式量多而不精REF_Ref2197\r\h[12]變式教學注重“精練”,通過練習經(jīng)典習題及其變式,把握主要知識,掌握重要方法.但部分教師在實施變式時,過分注重變式的數(shù)量,反而更側(cè)重于“題海戰(zhàn)術(shù)”,偏離了變式教學的初衷.另一方面,過分注重變式數(shù)量導致變式的質(zhì)量被忽視,REF_Ref5165\r\h[13]即使花費了大量課堂時間練習也達不到想要的效果,大大降低了課堂效率.（d）脫離學生學情一切教學活動都是在學生學習情況的基礎上開展的,但部分教師在進行變式教學時,忽略了學生的主體性,為了完成該次課程的教學目標或教學任務,著重于自己是否“輸出”,而不考慮學生是否“輸入”,導致教學與學生學習情況脫節(jié),最終出現(xiàn)教師教了很多很內(nèi)容,但是學生只吸收到了一些內(nèi)容甚至完全沒有吸收的情況,不僅浪費了教學時間,也不利于學生長久的發(fā)展.（e）無效變式變式教學雖然是在變式的基礎上進行教學,但變式的方法方式是多樣的,教師需要根據(jù)學生的情況,結(jié)合該堂課的教學目標選擇適合的變式方式進行教學.部分教師由于對變式教學的認識不到位,在變式時只是簡單的更改了題干上的數(shù)據(jù),像這樣的變式都是為“變”而“變”REF_Ref5165\r\h[14],對學生的思維訓練沒有幫助,對實現(xiàn)教學目標也毫無意義.（2）變式教學應用原則（a）適用性原則REF_Ref4493\r\h[10]高中階段的學習內(nèi)容分為了必修、選修、選擇性必修幾大類,教師在進行變式教學的過程中要緊扣教材內(nèi)容,選擇合適的板塊進行變式.在變式過程中要注意變式不能過難,否則學生學習的積極性受到打壓,不利于課堂開展；不能過易,太過簡單的變式對學生而言只是機械地重復,不利于學生思維的培養(yǎng).因此,在開展變式教學時,要充分考慮學生的學情,結(jié)合教材內(nèi)容、教學目標,選擇合適的方式,在適當?shù)姆秶鷥?nèi)進行變式.（b）漸進性原則REF_Ref28992\r\h[5]變式教學一大關(guān)鍵就是要處理好學生所學知識板塊間的銜接,找準變式的最佳區(qū)間,既要避免變式幅度小,進行簡單的機械操作限制學生的思維；又要避免變式幅度大,超出學生接受空間,做“無用功”式的教學.由此,變式教學開展過程中要充分考慮學生的認知程度,結(jié)合相關(guān)心理學知識,對學生的可接受程度進行分析,并以此為基礎開展教學.在此基礎上,漸進性原則要求教師在教學過程中把握好“變”的程度和難度,學習一般的同學,變式難度不宜過大;學習較好的同學,可以適當提升難度,發(fā)揮出因材施教的教學原則.（c）參與性原則REF_Ref4493\r\h[10]變式教學既是“變式”,更是“教學”,學生要在這個過程中主動思考,有所收獲才是一次合格的教學.因此,參與性原則在落實的過程中就需要老師時刻關(guān)注學生,讓學生成為課堂的主體,自主展開思考,把所學知識轉(zhuǎn)化為自己的財富,主動參與課堂變式活動,而不是教師只顧著“變式”,忽略了“教學”.（d）針對性原則REF_Ref10148\r\h[15]高中教學內(nèi)容繁多,教學形式多樣,因此,實行變式教學的時候,要考慮不同的情境、條件,各種上課類型都需要提前進行安排和考量.針對性原則要求教師對整體知識結(jié)構(gòu)把握到位,明確板塊與板塊之間的聯(lián)系,對不同章節(jié)設計針對性變式教學方案,以此提高課堂效率.（3）變式教學實施措施（a）把握學情,緊扣教學目標在高中的教學中,教師要注意學生學習進度與知識掌握程度,高中知識更注重學生自主思考,重在掌握方法與技能.教師在開展變式教學時,要根據(jù)學生的實際情況進行教學設計,設置與學生認知水平相適應的變式,以避免學生產(chǎn)生畏難情緒,防止學生思維固化.（b）循序漸進,進行分層練習在充分分析學生情況后對學生設計變式教學,可以以學生學情為依據(jù)設置分層小班或小組,教學時設置有梯度的變式,一步一步引導學生進行更深層次的思考,如此,才能有效激發(fā)學生學習的積極性與主動性,對學生思維與學科能力的培養(yǎng)也有積極作用.（c）把握本質(zhì),注重思維培養(yǎng)數(shù)學作為最典型的理科,不同于其他學科,同一個題目下,更改一個詞或是一個條件,可能就會變成完全不一樣的題,REF_Ref1857\r\h[11]因此,在數(shù)學的學習過程中,通過將所有題目列舉出來進行教學的方法可行性不高,注意力應集中在對學生思維的培養(yǎng).教師通過創(chuàng)設變式情境,引導學生理解題目本質(zhì)內(nèi)容與解題方法的由來,主動地探究,積極地思考,REF_Ref20471\r\h[16]讓學生真正做到“做一道題,會一類題”.2.2復數(shù)2.2.1復數(shù)的“誕生”十五世紀時,意大利的一位數(shù)學家卡爾達諾首次給出一元三次方程的一般解法（實為塔爾塔利亞于首先發(fā)現(xiàn)）,第一次在公式中出現(xiàn)負數(shù)的平方根,并且在討論“能否將分成兩部分,使其乘積為”時,給出的寫法,但當時并對這種虛無縹緲、無意義的數(shù)給出定義.約一百年后,《幾何學》（笛卡爾著）提出“實的數(shù)與虛的數(shù)相對應”,“虛數(shù)”一詞由此誕生,但當時的數(shù)學界也隨之出現(xiàn)了許多聲音,大部分數(shù)學家都不承認“虛數(shù)”的存在.后來又過了一百多年后,法國數(shù)學家達朗貝爾指出,如果虛數(shù)也按照多項式的四則運算,其運算結(jié)果總是可以寫成的形式（其中為實數(shù)）；而后數(shù)學家歐拉首次用字母來表示的平方根（即虛數(shù)單位）,對“虛數(shù)”有了新發(fā)現(xiàn),但當時的人并沒有引起重視.隨著時代的發(fā)展,直到十八世紀末,復數(shù)才漸漸被人們接受.后來,德國數(shù)學家高斯給出復數(shù)的定義,并在直角坐標系上采用圖像表示法,使得復數(shù)在數(shù)學領(lǐng)域獲得了穩(wěn)定的地位.直到今天,仍有學者在研究復數(shù)的奧秘,復數(shù)理論也越來越凸顯出其重要性.REF_Ref21598\r\h[17]2.2.2復數(shù)的研究價值與地位一方面,復數(shù)的學習是高中階段經(jīng)歷的最后一次數(shù)系擴充,對學生知識框架的完善、數(shù)學思維的培養(yǎng)有著重大意義.學生可以通過數(shù)學史培養(yǎng)數(shù)學思維,并從中學習數(shù)學家們的科研精神和創(chuàng)新精神.另一方面,復數(shù)的學習可以為學生之后進行更高層次的學習打下基礎.比如高等數(shù)學中的復變函數(shù)論和數(shù)學分析,都會用到復數(shù)的相關(guān)知識,并在已有的基礎上進行更高層次的學習.并且復述在物理學、量子力學等與高新技術(shù)掛鉤的領(lǐng)域里也有著廣泛的應用.由此可見,學習并學好復數(shù)都非常有利于學生未來的發(fā)展.

3教學設計（第一版）3.1課標解讀3.1.1教材分析本節(jié)選自《普通高中課程標準教科書數(shù)學A版必修二》第七章第一節(jié)《復數(shù)的概念》.包括數(shù)系的擴充、復數(shù)的概念和復數(shù)的幾何意義.復數(shù)的學習是在原有的數(shù)系基礎上進行擴充,為學生進一步學習復數(shù)的運算奠定基礎.3.1.2課標分析復數(shù)是高中的重點內(nèi)容之一,本節(jié)的學習可以幫助學生通過方程求解理解引入復數(shù)的必要性,進一步認識復數(shù),理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、兩個復數(shù)相等的含義.REF_Ref22978\r\h[1]學生通過具體的問題情境,了解數(shù)系的擴充過程,在這個過程中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的理論儲備與研究需要之間的矛盾,體會到引入復數(shù)的重要性和必要性.3.2學情分析3.2.1學生已有的知識在學習本節(jié)內(nèi)容之前,學生已經(jīng)學習了自然數(shù)集、負數(shù)集、整數(shù)集、無理數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集,接觸過數(shù)系的擴充,但缺乏從宏觀的角度觀察數(shù)系擴充的過程,對于“為什么擴充”和“如何擴充”的認識不到位.3.2.2可能存在的問題該班學生現(xiàn)處于高一階段,能夠在教師的引導下思考、探索問題,具備一定的分析問題、解決問題的能力,但學生兩極分化嚴重,后進生在學習過程中可能會有些吃力,需要教師格外注意.3.3教學目標（1）通過方程的解認識復數(shù),理解復數(shù)的概念,REF_Ref22978\r\h[1]初步形成基本的數(shù)學抽象能力；（2）理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,經(jīng)歷由復數(shù)與復平面的點一一對應的關(guān)系解決問題的過程,培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的能力；REF_Ref22978\r\h[1]（3）經(jīng)歷由實數(shù)系擴充為復數(shù)系的過程,理解數(shù)系擴充的思想方法,感受復數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.REF_Ref22978\r\h[1]3.4教學重難點分析（1）重點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義.（2）難點：數(shù)系的擴充過程和復數(shù)的向量表示.3.5教學方法（1）教法:教師利用精煉但生動的語言,結(jié)合課件及教具向?qū)W生傳授知識,以此達到引導學生學習知識和方法、促進學生發(fā)展的目的.（2）學法:學生根據(jù)教師的提示和引導進行學習,理解知識的同時達到會用、會變的效果,形成自己的知識框架;課堂上全神貫注,高效率地完善課堂筆記,積極思考、積極討論、積極發(fā)言.3.6教學過程設計3.6.1課題引入運用所學知識快速求解以下方程：;;;解得：;;;無解（）思考1：對于第四個方程而言能否合理表示?設計意圖:簡單回顧已經(jīng)學過的幾類數(shù),讓學生在后面繼續(xù)學習時潛意識的往這方面思考,以便引出后續(xù)對數(shù)系的復習.數(shù)系的擴充：設計意圖:跟學生一起再次體會數(shù)系擴充的過程,從中體會其重要性,明白為什么要這么做,突破教學難點.3.6.2講解新知探索一：復數(shù)的概念為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題,數(shù)學家歐拉引入新數(shù),使得是原方程的解（即）老師：把新引入的數(shù)添加到實數(shù)集中,我們希望數(shù)與實數(shù)之間仍然能像實數(shù)一樣進行加法和乘法運算,并希望加法和乘法運算都滿足交換律、結(jié)合律,以及乘法對加法滿足分配律.REF_Ref16222\r\h[18]思考2：實數(shù)系經(jīng)過擴充后,得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?REF_Ref16222\r\h[18]依照以上設想,把實數(shù)和相乘,記作;再與實數(shù)相加,記作.定義:我們把形如的數(shù)叫復數(shù),通常用字母表示,其中分別表示復數(shù)的實部和虛部,叫虛數(shù)單位.全體復數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集.REF_Ref16222\r\h[18]設計意圖:帶領(lǐng)學生感受引入的重要性,以及實數(shù)集擴充到復數(shù)集的過程,加深學生對的理解;引導學生探索復數(shù)的概念和代數(shù)表示,突破教學重點.在復數(shù)集中任取兩個復數(shù)規(guī)定：與相等當且僅當且REF_Ref10098\r\h[18]設計意圖:明確兩個復數(shù)在什么條件下才相等,并在過程中指出一定要滿足虛部和實部要對應,加深學生的印象.對于復數(shù)：當且僅當時,它是實數(shù);當且僅當時,它是實數(shù);當時,它叫做虛數(shù)；當且時,它叫做純虛數(shù).REF_Ref10098\r\h[18]（例如：、、;其中為純虛數(shù),其余為虛數(shù)）設計意圖:通過與實數(shù)類比,帶領(lǐng)學生感受復數(shù)分類,理解什么叫虛數(shù)和純虛數(shù)并掌握兩個復數(shù)相等的充要條件.思考3：復數(shù)集和實數(shù)集之間有什么關(guān)系?老師：根據(jù)前面學習的內(nèi)容,發(fā)現(xiàn):當且僅當時,復數(shù)為實數(shù).因此,實數(shù)集是復數(shù)集的真子集,即.請同學們自己動手寫一寫,對復數(shù)進行分類：圖1復數(shù)分類注：一般情況下（當轉(zhuǎn)化為實數(shù)后,可以比較大小）,復數(shù)不能比較大小,只能說相等或不相等.設計意圖:結(jié)合韋恩圖向?qū)W生清晰又直觀地解釋幾個集合之間的關(guān)系.例1當實數(shù)取什么值時,復數(shù)是下列數(shù)?REF_Ref16222\r\h[18]（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)解：（1）當,即時,復數(shù)為實數(shù);（2）當,即時,復數(shù)為虛數(shù);（3）當,且,即時,復數(shù)為純虛數(shù).練習1求滿足下列條件的實數(shù)的值：.REF_Ref16222\r\h[18]分析：根據(jù)“兩個復數(shù)相等的充要條件”解題.解：由題：,解得：.設計意圖:通過練習鞏固學生所學知識,加深學生理解,達到過關(guān)過手的目的.探索二：復數(shù)的幾何意義思考4：實數(shù)能與數(shù)軸上的點一一對應,因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示,那么復數(shù)有什么幾何意義呢?REF_Ref16222\r\h[18]任何一個復數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對唯一確定,并且任給一個復數(shù)也可以唯一確定一個有序?qū)崝?shù)對.因此,復數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應的,而有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系中的點是一一對應的,所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關(guān)系.REF_Ref16222\r\h[18]建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,軸叫做實軸,軸叫做虛軸REF_Ref16222\r\h[18]（如圖所示）圖2.1復平面注：復數(shù)用點來表示而不是.復平面內(nèi)縱坐標軸上的單位長度是,不是.設計意圖:類比實數(shù)的學習,通過作圖讓學生理解到復數(shù)和復平面的點的對應關(guān)系,也就是復數(shù)的一種幾何意義,突破教學重點.復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間是一一對應的,而在平面直角坐標系中,每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示.REF_Ref16222\r\h[18]思考5：復數(shù)可不可以和向量結(jié)合起來呢?復數(shù)集中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量建立一一對應關(guān)系.REF_Ref16222\n\h[18]（實數(shù)與零向量對應）,即圖2.2復數(shù)與復平面內(nèi)的向量設計意圖:結(jié)合圖形,解釋復數(shù)的另一種幾何意義（用向量表示）,再次突破教學重難點.向量的模叫做復數(shù)的?；蚪^對值,記作或,有：,其中.設計意圖:結(jié)合向量的模長的相關(guān)知識,理解復數(shù)的模,并掌握復數(shù)模長的計算公式.例2設復數(shù),.REF_Ref16222\r\h[18]（1）在復平面內(nèi)畫出復數(shù),對應的點和向量;（2）求復數(shù),的模,并比較它們的模的大小.解：（1）略;（2）;.所以.共軛復數(shù)：一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).REF_Ref10098\r\h[18]即如果,那么（虛數(shù)不為的兩個共軛復數(shù)也叫共軛虛數(shù)）.REF_Ref16222\n\h[18]設計意圖:通過例2的練習,利用幾何直觀引入共軛復數(shù)的概念.思考6：若是共軛復數(shù),那么在復平面內(nèi)它們所對應的點有怎樣的關(guān)系?令,可得與之對應的點的坐標為,的坐標為,關(guān)于實軸對稱.設計意圖:讓學生觀察圖形,結(jié)合剛剛學過的知識,發(fā)現(xiàn)共軛復數(shù)的特點,培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想.3.6.3鞏固新知練習2當實數(shù)取什么值時,復數(shù)是下列數(shù)?REF_Ref16222\n\h[18]（1）實數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù).解：（1）由題可得：,則或;（2）由題可得：,則且;（3）由題可得：且,則.練習3求適合下列方程的實數(shù)與的值：.REF_Ref16222\r\h[18]解：且,解得：,.練習4當實數(shù)取什么值時,復平面內(nèi)表示復數(shù)的點分別滿足下列條件?REF_Ref16222\n\h[18]（1）位于第四象限;（2）位于第一象限或第三象限;（3）位于直線上.解：（1）由題得：,解得：或;（2）由題得：或,解得：或或;（3）由題得：,解得：.設計意圖:通過練習鞏固所學知識,達到過關(guān)過手的目的,加深學生對知識的理解.3.6.4歸納小結(jié)（1）復數(shù)的概念（a）復數(shù)的代數(shù)表示：;（b）復數(shù)相等的充要條件：;（c）復數(shù)的分類：.（2）復數(shù)的幾何意義（a）;（b）.（3）復數(shù)的模,其中.（4）共軛復數(shù)共軛復數(shù)：一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).REF_Ref10098\r\h[18]即如果,那么.設計意圖:利用知識小結(jié)的形式,幫助學生梳理知識,以便后續(xù)學生能夠形成自己的知識關(guān)系樹,以完成學習目標,達到培養(yǎng)學生的目的.3.7教學反思本次教學內(nèi)容總體難度不大,重點在于讓學生理解知識的由來,并在這個過程中融入變式教學,加深學生對知識的理解,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和基本素養(yǎng)?；谝陨锨闆r,對本次教學做出以下反思與精進：（1）變式教學不明晰,未對于學生已有的題目進行變式或是無效變式,學生難以從中體會到變式的價值。可對試題進行進一步分析,明確該題知識點與考點,思考是否重復出現(xiàn),為變式打下基礎。（2）數(shù)系擴充板塊講解過于單調(diào),學生在學習時缺少學習興趣。在教學實,可以更充分地結(jié)合數(shù)學發(fā)展史進行講解,豐富學生數(shù)學文化的同時激發(fā)學生的學習興趣。（3）學生主體性體現(xiàn)不到位,復數(shù)的相關(guān)知識整體難度不高,學生學習這一板塊內(nèi)容時更能找回學習數(shù)學的自信,因此教師在教學時,要注意學生的課堂反饋情況,根據(jù)學生掌握程度及時進行調(diào)整,給學生提供更多的機會去發(fā)言、解決問題。

4教學設計（第二版）4.1課標解讀4.1.1教材分析本節(jié)選自《普通高中課程標準教科書數(shù)學A版必修二》第七章第一節(jié)《復數(shù)的概念》.包括數(shù)系的擴充、復數(shù)的概念和復數(shù)的幾何意義.復數(shù)的學習是在原有的數(shù)系基礎上進行擴充,為學生進一步學習復數(shù)的運算奠定基礎.4.1.2課標分析復數(shù)是高中的重點內(nèi)容之一,通過這一節(jié)的學習,能夠讓學生們在解決公式的時候,明白復數(shù)的必要性.同時,還能對復數(shù)進行更深入的了解,了解復數(shù)的代數(shù)表示以及它的幾何意義,以及兩個復數(shù)相等的意義.在這個過程中，學生能夠從特定的問題情境中,明白到目前的理論儲備與研究需求的沖突,意思到在教學中引入復數(shù)的重要性和必要性.4.2學情分析4.2.1已有的基礎知識在開始本節(jié)課前,學生已經(jīng)學習了自然數(shù)集、負數(shù)集、整數(shù)集、無理數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集,接觸過數(shù)系的擴充,但缺乏從宏觀的角度觀察數(shù)系擴充的過程,對于“為什么擴充”和“如何擴充”的認識不到位.4.2.2可能存在的問題該班學生現(xiàn)處于高一階段,能夠在教師的引導下思考、探索問題,具備一定的分析問題、解決問題的能力,但學生兩極分化嚴重,后進生在學習過程中可能會有些吃力,需要教師格外注意.4.3教學目標（1）通過方程的解認識復數(shù),理解復數(shù)的概念REF_Ref22978\r\h[1],初步形成基本的數(shù)學抽象能力；（2）了解復數(shù)的代數(shù)表示和幾何含義,體驗復數(shù)復平面上點的一一對應關(guān)系解題的經(jīng)驗,發(fā)展邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的能力;（3）體驗從實數(shù)到復數(shù)系統(tǒng)的擴展,體會到數(shù)字系統(tǒng)拓展的思想和方法,體會到復數(shù)集與實際生活之間的關(guān)系.4.4教學重難點分析（1）重點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義.（2）難點：數(shù)系的擴充過程和向量表示.4.5教學方法（1）教法:教師利用精煉但生動的語言,結(jié)合課件及教具向?qū)W生傳授知識,以此達到引導學生學習知識和方法、促進學生發(fā)展的目的.（2）學法:學生根據(jù)教師的提示和引導進行學習,理解知識的同時達到會用、會變的效果,形成自己的知識框架;課堂上全神貫注,高效率地完善課堂筆記,積極思考、積極討論、積極發(fā)言.4.6教學過程設計4.6.1課題引入運用所學知識快速求解以下方程：;;;解得：;;;無解（）思考1：對于第四個方程而言能否合理表示?設計意圖:簡單回顧已經(jīng)學過的幾類數(shù),讓學生在后面繼續(xù)學習時潛意識的往這方面思考,以便引出后續(xù)對數(shù)系的復習.數(shù)系的擴充：思考：我們經(jīng)歷了幾次擴充?分別解決了什么問題?REF_Ref21059\r\h[18]設計意圖:跟學生一起再次體會數(shù)系擴充的過程,從中體會其重要性,明白為什么要這么做,突破教學難點.4.6.2講解新知探索一：復數(shù)的概念為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題,數(shù)學家歐拉引入新數(shù),使得是原方程的解（即）.REF_Ref16222\n\h[18]（補充數(shù)學史：十五世紀時,意大利的一位數(shù)學家卡爾達諾首次給出一元三次方程的一般解法（實為塔爾塔利亞于首先發(fā)現(xiàn)）,第一次在公式中出現(xiàn)負數(shù)的平方根。在討論“能否將分成兩部分,使其乘積為”時,給出的寫法,但當時并對這種數(shù)給出定義.約一百年后,笛卡爾提出“虛數(shù)”這一詞匯,但當時大部分數(shù)學家都不承認“虛數(shù)”的存在.后來又經(jīng)過了幾百年的發(fā)展,數(shù)學家歐拉首次用字母來表示的平方根（即虛數(shù)單位）,直到今天仍在使用.）老師：把新引入的數(shù)添加到實數(shù)集中,我們希望數(shù)與實數(shù)之間仍然能像實數(shù)一樣進行加法和乘法運算,并希望加法和乘法運算都滿足交換律、結(jié)合律,以及乘法對加法滿足分配律.REF_Ref16222\n\h[18]思考2：實數(shù)系經(jīng)過擴充后,得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?REF_Ref10098\r\h[18]依照以上設想,把實數(shù)和相乘,記作;再與實數(shù)相加,記作.補充數(shù)學史：事實上,在歐拉引入之前,達朗貝爾就曾提出將虛數(shù)按照多項式的運算法則進行運算,并發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果都可以寫成的形式（其中為實數(shù)）.定義：我們把形如的數(shù)叫復數(shù),通常用字母表示,其中分別表示復數(shù)的實部和虛部,叫虛數(shù)單位.全體復數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集.REF_Ref16222\n\h[18]設計意圖:結(jié)合數(shù)學史,帶領(lǐng)學生感受引入的重要性,以及實數(shù)集擴充到復數(shù)集的過程,加深學生對的理解;引導學生探索復數(shù)的概念和代數(shù)表示,突破教學重點.在復數(shù)集中任取兩個復數(shù):并規(guī)定:與相等當且僅當且.REF_Ref16222\r\h[18]設計意圖:明確兩個復數(shù)在什么條件下才相等,并在過程中指出一定要滿足虛部和實部要對應,加深學生的印象.對于復數(shù)：當且僅當時,它是實數(shù);當且僅當時,它是實數(shù);當時,它叫做虛數(shù)；當且時,它叫做純虛數(shù).REF_Ref10098\r\h[18]（例如：、、;其中為純虛數(shù),其余為虛數(shù)）設計意圖:通過與實數(shù)類比,帶領(lǐng)學生感受復數(shù)分類,理解什么叫虛數(shù)和純虛數(shù)并掌握兩個復數(shù)相等的充要條件.思考3：復數(shù)集和實數(shù)集之間有什么關(guān)系?老師：根據(jù)前面學習的內(nèi)容,不難發(fā)現(xiàn)當且僅當時,復數(shù)為實數(shù).因此,實數(shù)集是復數(shù)集的真子集,即.請同學們自己動手寫一寫,對復數(shù)進行分類：圖3復數(shù)分類注：一般情況下（當轉(zhuǎn)化為實數(shù)后,可以比較大?。?復數(shù)不能比較大小,只能說相等或不相等.設計意圖:在已有的知識基礎上進行變式,通過繪制韋恩圖,讓學生直觀地感受實數(shù)集、虛數(shù)集等幾個集合的關(guān)系,將抽象的知識具體化,加深學生對知識的理解.例1當實數(shù)取什么值時,復數(shù)是下列數(shù)?REF_Ref16222\r\h[18]（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)解：（1）當,即時,復數(shù)為實數(shù);（2）當,即時,復數(shù)為虛數(shù);（3）當,且,即時,復數(shù)為純虛數(shù).例2求適合下列方程的實數(shù)與的值：.REF_Ref16222\r\h[18]解：且,解得：,.設計意圖:通過練習鞏固學生所學知識,加深學生理解,達到過關(guān)過手的目的.探索二：復數(shù)的幾何意義思考4：實數(shù)能與數(shù)軸上的點一一對應,因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示,那么復數(shù)有什么幾何意義呢?REF_Ref16222\r\h[18]任何一個復數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對唯一確定,并且任給一個復數(shù)也可以唯一確定一個有序?qū)崝?shù)對.因此,復數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應的,而有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系中的點是一一對應的,所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關(guān)系.REF_Ref16222\r\h[18]建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,軸叫做實軸,軸叫做虛軸（如圖所示）.REF_Ref16222\r\h[18]圖4.1復平面注：復數(shù)用點來表示而不是.復平面內(nèi)縱坐標軸上的單位長度是,不是.設計意圖:類比實數(shù)的學習,在實數(shù)與數(shù)軸的認知基礎上進行變式,在此基礎上進一步認識復平面中復數(shù)與點的意義對應,理解復數(shù)的一種幾何意義,突破教學重點.復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間是一一對應的,而在平面直角坐標系中,每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示.REF_Ref16222\r\h[18]思考5：能否用向量來表示復數(shù)呢?REF_Ref10098\r\h[18]復數(shù)集中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量建立一一對應關(guān)系.（實數(shù)與零向量對應）,即圖4.2復數(shù)與復平面內(nèi)的向量設計意圖:結(jié)合圖形,解釋復數(shù)的另一種幾何意義（用向量表示）,再次突破教學重難點.向量的模叫做復數(shù)的模或絕對值,記作或,有：,其中.設計意圖:結(jié)合向量的模長的相關(guān)知識,理解復數(shù)的模,并掌握復數(shù)模長的計算公式.例3設復數(shù),.REF_Ref16222\r\h[18]（1）在復平面內(nèi)畫出復數(shù),對應的點和向量;（2）求復數(shù),的模,并比較它們的模的大小.解：（1）略;（2）;.所以.共軛復數(shù)：一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).REF_Ref16222\r\h[18]即如果,那么（虛數(shù)不為的兩個共軛復數(shù)也叫共軛虛數(shù)）.設計意圖:在例2的基礎上進行變式練習,體現(xiàn)變式在實際應用過程中應該緊扣學情體現(xiàn)變式應用的參與性原則,并利用幾何直觀引入共軛復數(shù)的概念.思考6：若是共軛復數(shù),那么在復平面內(nèi)它們所對應的點有怎樣的關(guān)系?令,可得與之對應的點的坐標為,的坐標為,關(guān)于實軸對稱.設計意圖:在原有知識基礎上進行變式:由復數(shù)的平面中點的關(guān)系到共軛復數(shù)在復平面中點的關(guān)系,體現(xiàn)變式教學的漸進性和針對性.4.6.3鞏固新知變式訓練1當實數(shù)取什么值時,復數(shù)是下列數(shù)?REF_Ref16222\r\h[18]（1）實數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù).解：（1）由題可得：,則或;（2）由題可得：,則且;（3）由題可得：且,則.設計意圖:對例1進行變式,結(jié)合一元二次方程求解問題,在原有基礎上提升難度的同時鞏固學生所學知識,在緊扣教學目標的基礎下體現(xiàn)變式教學的漸進性原則.變式訓練2求滿足下列條件的實數(shù)的值：REF_Ref16222\r\h[18].分析：;根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件可解.解：由題：,解得：.設計意圖:對例2進行變式,考察學生對復數(shù)相等的概念、的理解.變式訓練3當實數(shù)取什么值時,復平面內(nèi)表示復數(shù)的點分別滿足下列條件?REF_Ref16222\r\h[18]（1）位于第四象限;（2）位于第一象限或第三象限;（3）位于直線上.解：（1）由題得：,解得：或;（2）由題得：或,解得：或或;（3）由題得：,解得：.設計意圖:在變式1、2的基礎上進行變式,綜合一元二次方程求解問題,考察學生對知識的綜合運用能力,鞏固學生所學內(nèi)容.REF_Ref21059\r\h[20]4.6.4歸納小結(jié)（1）復數(shù)的概念（a）復數(shù)的代數(shù)表示：;（b）復數(shù)相等的充要條件：;（c）復數(shù)的分類：.（2）復數(shù)的幾何意義（a）;（b）.（3）復數(shù)的模,其中.（4）共軛復數(shù)共軛復數(shù)：一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).REF_Ref16222\r\h[18]即如果,那么.設計意圖:通過總結(jié)加強學生對復數(shù)的概念和它的幾何含義的認識,并指導他們總結(jié)和歸納已有的知識體系,從而達到學習目的.4.7教學反思本次教學吸取上一次的經(jīng)驗,在原有基礎上進行一定改進后實踐效果有明顯提升,教學總結(jié)如下：（1）明確變式訓練,根據(jù)例題以及學生的完成情況設置三道變式訓練題目,在原有基礎上增加一定難度,有效幫助學生鞏固所學知識的同時明確易混易錯點。（2）結(jié)合數(shù)學史開展,在介紹數(shù)系擴充時,結(jié)合變式教學的相關(guān)內(nèi)容在學生原有認知基礎上進行提問,引導學生思考,并結(jié)合數(shù)學史進行學習,充分調(diào)動學生學習的積極性。（3）未設置分層變式訓練,班上學生存在分層現(xiàn)象,因此,在開展訓練時可以針對學生情況設置不同程度的變式,學生根據(jù)自己掌握的情況進行聯(lián)系,能夠有效提高學生參與性以及知識掌握程度。

5教學設計（第三版）5.1課標解讀5.1.1教材分析本節(jié)選自《普通高中課程標準教科書數(shù)學A版必修二》第七章第一節(jié)《復數(shù)的概念》.主要內(nèi)容有:數(shù)系的擴充、復數(shù)的概念和復數(shù)的幾何意義.復數(shù)的學習是在原有的數(shù)系基礎上進行擴充,為學生進一步學習復數(shù)的運算奠定基礎.5.1.2課標分析在高中階段,復數(shù)是一個重要的知識點,通過這一節(jié)的學習,能夠讓學生們在解決方程式的過程中了解到復數(shù)的必要性.同時,還能對復數(shù)進行更深入的了解,了解復數(shù)的代數(shù)表示和它的幾何意義,以及兩個復數(shù)的相等的意義.學生通過具體的問題情境,了解數(shù)系的擴充過程,在這個過程中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的理論儲備與研究需要之間的矛盾,體會到引入復數(shù)的重要性和必要性.5.2學情分析5.2.1學生已有的知識在學習本節(jié)內(nèi)容之前,學生已經(jīng)學習了自然數(shù)、整數(shù)、無理數(shù)等,接觸過數(shù)系的擴充,但缺乏從宏觀的角度觀察數(shù)系擴充的過程,對于“為什么擴充”和“如何擴充”的認識不到位.5.2.2可能存在的問題該班學生現(xiàn)處于高一階段,能夠在教師的引導下思考、探索問題,具備一定的分析問題、解決問題的能力,但學生兩極分化嚴重,后進生在學習過程中可能會有些吃力,需要教師格外注意.5.3教學目標（1）通過方程的解認識復數(shù),理解復數(shù)的概念,REF_Ref22978\r\h[1]初步形成基本的數(shù)學抽象能力;（2）了解復數(shù)體的代數(shù)表達方式和幾何含義,體會復數(shù)體和復面點之間的一對一的聯(lián)系來解題,并將其培養(yǎng)成邏輯推理和數(shù)形結(jié)合的能力;（3）體驗從實數(shù)到復數(shù)的擴展,體會到數(shù)字擴展的思想方法、復數(shù)與真實世界之間的關(guān)系.5.4教學重難點分析（1）重點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義.（2）難點：數(shù)系的擴充過程和向量表示.5.5教學方法（1）教法:教師利用精煉但生動的語言,結(jié)合課件及教具向?qū)W生傳授知識,以此達到引導學生學習知識和方法、促進學生發(fā)展的目的.（2）學法:學生根據(jù)教師的提示和引導進行學習,理解知識的同時達到會用、會變的效果,形成自己的知識框架;課堂上全神貫注,高效率地完善課堂筆記,積極思考、積極討論、積極發(fā)言.5.6教學過程設計5.6.1課題引入運用所學知識快速求解以下方程：;;;解得：;;;無解思考1：對于第四個方程而言能否合理表示?表示為：設計意圖：通過簡單的計算回顧已經(jīng)學過的幾類數(shù),方便后續(xù)帶著學生梳理數(shù)系擴充的內(nèi)容.數(shù)系的擴充：思考：從自然數(shù)集到實數(shù)集,到我們經(jīng)歷了幾次擴充?分別解決了什么問題?REF_Ref21059\r\h[18]設計意圖:通過對數(shù)系擴展的體驗,讓學生認識到自己的數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的需求不相適應,同時也能感覺到對數(shù)系進行擴充的重要性和必要性.5.6.2講解新知探索一：復數(shù)的概念為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題,多位數(shù)學家展開了研究.十五世紀時,意大利的一位數(shù)學家卡爾達諾首次給出一元三次方程的一般解法（實為塔爾塔利亞于首先發(fā)現(xiàn)）,第一次在公式中出現(xiàn)負數(shù)的平方根。在討論“能否將分成兩部分,使其乘積為”時,給出的寫法,但當時并對這種數(shù)給出定義.約一百年后,笛卡爾提出“虛數(shù)”這一詞匯,但當時大部分數(shù)學家都不承認“虛數(shù)”的存在.后來又經(jīng)過了幾百年的發(fā)展,數(shù)學家歐拉首次用字母來表示的平方根,則是原方程的解（即）,這一理論直到今天仍在使用.老師：歐拉為我們帶來了新數(shù),把新引入的數(shù)添加到實數(shù)集中,我們希望數(shù)與實數(shù)之間仍然能像實數(shù)一樣進行加法和乘法運算,并希望加法和乘法運算都滿足交換律、結(jié)合律,以及乘法對加法滿足分配律.REF_Ref10098\r\h[18]思考2：實數(shù)系經(jīng)過擴充后,得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?依照以上設想,把實數(shù)和相乘,記作;再與實數(shù)相加,記作.（補充數(shù)學史：在歐拉引入之前,達朗貝爾就曾指出：在進行運算時,讓虛數(shù)也按照已經(jīng)學過的多項式的四則運算,運算的結(jié)果都可以寫成的形式（其中為實數(shù)）.）定義：我們把形如的數(shù)叫復數(shù),通常用字母表示,其中分別表示復數(shù)的實部和虛部,叫虛數(shù)單位.全體復數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集.REF_Ref16222\r\h[18]設計意圖:結(jié)合數(shù)學史,帶領(lǐng)學生感受“”引入的重要性,以及實數(shù)集擴充到復數(shù)集的過程,加深學生對“”的理解;引導學生探索復數(shù)的概念和代數(shù)表示,突破教學重點.在復數(shù)集中任取兩個復數(shù),其中,規(guī)定：與相等當且僅當且.REF_Ref16222\r\h[18]設計意圖:指出兩個復數(shù)相等需要滿足的條件,強調(diào)易錯點:需要同時滿足實部和虛部對應相等,加深學生的印象.對于復數(shù)：當且僅當時,它是實數(shù);當且僅當時,它是實數(shù);當時,它叫做虛數(shù)；當且時,它叫做純虛數(shù)（例如：、、;其中為純虛數(shù),其余為虛數(shù)）設計意圖:使學生了解復數(shù)的種類,并掌握虛數(shù)與純虛數(shù)的定義以及兩數(shù)相等的充分必要條件.思考3：復數(shù)集和實數(shù)集之間有什么關(guān)系?老師：根據(jù)前面學習的內(nèi)容,不難發(fā)現(xiàn)當且僅當時,復數(shù)為實數(shù).因此,實數(shù)集是復數(shù)集的真子集,即.請同學們自己動手寫一寫,對復數(shù)進行分類：圖5復數(shù)分類注：一般情況下（當轉(zhuǎn)化為實數(shù)后,可以比較大?。?復數(shù)不能比較大小,只能說相等或不相等.設計意圖:以現(xiàn)有的知識為基礎,通過變式指導學生以Wayne圖形的形式來了解實數(shù)集、虛數(shù)集、復數(shù)集、純虛數(shù)集之間的聯(lián)系,使抽象的知識變得更加具體,讓學生更好地了解這些知識.探索二：復數(shù)的幾何意義思考4：實數(shù)能與數(shù)軸上的點一一對應,因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示,這是實數(shù)的幾何意義,類比實數(shù),復數(shù)有什么幾何意義呢?REF_Ref16222\r\h[18]任何一個復數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對唯一確定,并且任給一個復數(shù)也可以唯一確定一個有序?qū)崝?shù)對.因此,復數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應的,而有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系中的點是一一對應的,所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關(guān)系.REF_Ref16222\r\h[18]建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,軸叫做實軸,軸叫做虛軸（如圖所示）.REF_Ref16222\r\h[20]圖6.1復平面注：復數(shù)用點來表示而不是.復平面內(nèi)縱坐標軸上的單位長度是,不是.設計意圖:在實數(shù)與數(shù)軸的認知基礎上進行變式,使其更貼切現(xiàn)階段的學生水平,體現(xiàn)變式應用的漸進性、適用性和針對性;讓學生發(fā)現(xiàn)復數(shù)與復平面上的點的對應關(guān)系,理解復數(shù)的一種幾何意義,突破教學重點.復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間是一一對應的,而在平面直角坐標系中,每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示.REF_Ref16222\r\h[18]思考5：能否用向量來表示復數(shù)呢?復數(shù)集中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量建立一一對應關(guān)系.（實數(shù)與零向量對應）,即圖6.2復數(shù)與復平面內(nèi)的向量設計意圖:結(jié)合圖形,解釋復數(shù)的另一種幾何意義（用向量表示）,再次突破教學重難點.向量的模叫做復數(shù)的模或絕對值,記作或,有：,其中.REF_Ref16222\r\h[18]設計意圖:結(jié)合向量的模長的相關(guān)知識,理解復數(shù)的模,并掌握復數(shù)模長的計算公式.例設復數(shù),.REF_Ref16222\r\h[18]（1）在復平面內(nèi)畫出復數(shù),對應的點和向量;（2）求復數(shù),的模,并比較它們的模的大小.解：（1）略;（2）;.所以.共軛復數(shù)：一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).REF_Ref16222\r\h[18]即如果,那么（虛數(shù)不為的兩個共軛復數(shù)也叫共軛虛數(shù)）.設計意圖:對所學知識進行變式應用,體現(xiàn)變式在實際應用過程中應該緊扣學情體現(xiàn)變式應用的參與性原則,并利用幾何直觀引入共軛復數(shù)的概念.思考6：若是共軛復數(shù),那么在復平面內(nèi)它們所對應的點有怎樣的關(guān)系?令,可得與之對應的點的坐標為,的坐標為,關(guān)于實軸對稱.設計意圖:例題的逆向使用,引導學生將復數(shù)的數(shù)與形融合起來,培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想.5.6.3鞏固新知例1當實數(shù)取什么值時,復數(shù)是下列數(shù)?REF_Ref16222\r\h[18]（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)解：（1）當,即時,復數(shù)為實數(shù);（2）當,即時,復數(shù)為虛數(shù);（3）當,且,即時,復數(shù)為純虛數(shù).變式訓練1當實數(shù)取何值時,復數(shù)是下列數(shù)?REF_Ref16222\r\h[18]（1）實數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù).解：（1）由題可得：,則或;（2）由題可得：,則且;（3）由題可得：且,則.設計意圖:對例1進行變式,結(jié)合一元二次方程求解問題,在原有基礎上提升難度的同時鞏固學生所學知識,體現(xiàn)了變式的參與性原則、漸進性原則和針對性原則.例2求適合下列方程的實數(shù)與的值：.REF_Ref16222\r\h[18]解：且,解得：,.變式訓練2求滿足下列條件的實數(shù)的值：.REF_Ref16222\r\h[20]分析：;根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件可解.解：由題：,解得：.設計意圖:依據(jù)