《正多邊形和圓（第一課時(shí)）》知識(shí)回顧圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：1.對(duì)角互補(bǔ)；2.四個(gè)內(nèi)角的和是360°；3.任一外角與其相鄰的內(nèi)角的對(duì)角相等(即外角等于內(nèi)對(duì)角)．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念.2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.3.會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.課堂導(dǎo)入下面這些美麗的圖案，都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類(lèi)似的圖形嗎?知識(shí)點(diǎn)1新知探究什么叫做正多邊形？各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？不是，因?yàn)榫匦尾环细鬟呄嗟?；不是，因?yàn)榱庑尾环细鹘窍嗟?；正多邊形各邊相等各角相等缺一不可知識(shí)點(diǎn)1新知探究正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？都是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？都是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？知識(shí)點(diǎn)1新知探究知識(shí)點(diǎn)1新知探究正多邊形的對(duì)稱(chēng)性所有的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心.n為偶數(shù)時(shí)，它還是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心.知識(shí)點(diǎn)1新知探究OABCD以正四邊形為例，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，你能得出什么結(jié)論？EFGHEF是邊AB，CD的垂直平分線，∴OA=OB，OD=OC.GH是邊AD，BC的垂直平分線，∴OA=OD，OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一個(gè)以點(diǎn)O為圓心的外接圓.知識(shí)點(diǎn)1新知探究OABCDEFGHAC平分∠DAB及∠DCB，BD平分∠ABC及∠ADC，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD還有一個(gè)以點(diǎn)O為圓心的內(nèi)切圓.以正四邊形為例，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，你能得出什么結(jié)論？知識(shí)點(diǎn)1新知探究所有的正多邊形是不是都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓？任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.知識(shí)點(diǎn)1新知探究任意三角形都有外接圓和內(nèi)切圓，但是只有正三角形的外接圓和內(nèi)切圓是同心圓；任意多邊形不一定有外接圓和內(nèi)切圓，但當(dāng)多邊形是正多邊形時(shí)，一定有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓.知識(shí)點(diǎn)1新知探究正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.OABCDEFGH正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個(gè)中心角都等于.知識(shí)點(diǎn)1新知探究把圓分成n(n≥3)等份，依次連接各分點(diǎn)得到的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正n邊形的外接圓.圓內(nèi)接正多邊形知識(shí)點(diǎn)1新知探究圓的外切正n邊形把圓分成n(n≥3)等份，經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.一定要注意正多邊形的半徑是指外接圓的半徑，而不是內(nèi)切圓的半徑.知識(shí)點(diǎn)1新知探究邊心距是正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離，此時(shí)的邊心距也可以看作正多邊形的外接圓的圓心到多邊形的邊(即外接圓的弦)的距離，即邊心距也是弦心距，但弦心距不一定是邊心距.邊心距與弦心距的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖所示，△AOB是正三角形，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作☉O，直徑FC//AB，AO,BO的延長(zhǎng)線分別交☉O于點(diǎn)D,E.求證：六邊形ABCDEF為圓內(nèi)接正六邊形.

知識(shí)點(diǎn)2新知探究例有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4

m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).抽象成知識(shí)點(diǎn)2新知探究

亭子地基的面積

過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于P.

知識(shí)點(diǎn)2新知探究正n邊形的中心角怎么計(jì)算？正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間有什么關(guān)系？邊長(zhǎng)為a，邊心距為r的正n邊形的面積如何計(jì)算？其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)2新知探究正多邊形的有關(guān)結(jié)論

2.若已知正n邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、邊心距、面積中的任意一項(xiàng)，則可求出其他各項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)2新知探究3.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，所以在進(jìn)行與正多邊形有關(guān)的計(jì)算時(shí)，可以把正多邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理等知識(shí)解決.4.由正多邊形的內(nèi)角與外角互補(bǔ)，正多邊形的中心角等于外角，可得正多邊形的中心角和內(nèi)角互補(bǔ).知識(shí)點(diǎn)2新知探究2.作邊心距，構(gòu)造直角三角形.1.連半徑，得中心角；OABCDEFRMr·圓內(nèi)接正多邊形的輔助線O邊心距r邊長(zhǎng)一半半徑RBM中心角一半跟蹤訓(xùn)練新知探究已知邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC,求△ABC的中心角、半徑、邊心距、面積.

跟蹤訓(xùn)練新知探究

已知邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC,求△ABC的中心角、半徑、邊心距、面積.隨堂練習(xí)1下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是()AA.正三角形 B.正方形C.正五邊形 D.正六邊形解：∵正三角形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷3=120°，正方形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷4=90°，正五邊形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷5=72°，正六邊形一條邊所對(duì)的圓心角是360°÷6=60°，∴一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是正三角形.隨堂練習(xí)2

C

課堂小結(jié)正多邊形的性質(zhì)正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的有關(guān)計(jì)算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距中心半徑邊心距中心角正多邊形的對(duì)稱(chēng)性對(duì)接中考1（達(dá)州中考）以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是()A

對(duì)接中考2一個(gè)上、下底面為全等正六邊形的禮盒，高為10cm，上、下底面正六邊形的邊長(zhǎng)為12cm，如果用彩色膠帶按如圖(1)所示的方式包扎禮盒，所需膠帶的長(zhǎng)度至少為

cm.圖(1)圖(2)

認(rèn)識(shí)正多邊形1234567891011121314151617181.(滄州?？计谥?下列圖形是正多邊形的是(

C

)C【解析】A.是等腰三角形，不是正多邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；B.是矩形，不是正多邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；C.是正五邊形，故該選項(xiàng)符合題意；D.是一般六邊形，不是正多邊形，故該選項(xiàng)不符合題意.1234567891011121314151617182.以下必為正多邊形的是(

C

)A.圓內(nèi)接平行四邊形B.圓內(nèi)接矩形C.圓內(nèi)接菱形D.圓內(nèi)接梯形C123456789101112131415161718【解析】A.圓內(nèi)接平行四邊形是矩形，不一定是正多邊形，該選項(xiàng)不

符合題意；B.圓內(nèi)接矩形還是矩形，該選項(xiàng)不符合題意；C.∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，菱形的對(duì)角相等，四條邊相等，∴菱

形的每個(gè)內(nèi)角為90°.∴圓內(nèi)接菱形是正方形，該選項(xiàng)符合題意；D.圓內(nèi)接梯形不一定是正多邊形，該選項(xiàng)不符合題意.123456789101112131415161718

正多邊形的有關(guān)計(jì)算3.(石家莊校聯(lián)考期末)若一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的中心角是60°，則

這個(gè)多邊形是(

D

)A.正九邊形B.正八邊形C.正七邊形D.正六邊形

D1234567891011121314151617184.(衡水校聯(lián)考二模)如圖，

BD

，

DF

是正六邊形

ABCDEF

的兩條

對(duì)角線，已知四邊形

ABDF

的面積為8，則陰影部分的面積為(

B

)A.2B.4第4題圖B123456789101112131415161718【解析】如圖，連接

AD

，則

AD

過(guò)正六邊形

ABCDEF

的外接圓的圓心

O

，連接

OB

，

∵正六邊形

ABCDEF

，

∵

OA

＝

OB

，∴△

AOB

是等邊三角形.∴

OA

＝

OB

＝

AB

＝

BC

.

∴

S△

BCD

＝

S△

BOD

＝

S△

AOB

.

∴

S陰影部分＝

S△

ABD

＝4.1234567891011121314151617185.(保定二模)如圖，一個(gè)正多邊形紙片被一塊矩形擋板遮住一部

分，則這個(gè)正多邊形紙片的邊數(shù)是(

C

)A.4B.5C.6D.7第5題圖C【解析】根據(jù)正多邊形的定義把多邊形補(bǔ)充完整如圖，由圖形，得這個(gè)正多邊形紙片是六邊形，123456789101112131415161718

A.六B.四C.五D.三B123456789101112131415161718【解析】如圖，∵圓

A

是正多邊形的內(nèi)切圓，∴∠

ACD

＝∠

ABD

＝90°，

AC

＝

AB

，

CD

＝

BD

.

∵正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)的比為1∶2，∴

AB

＝

BD

.

∴△

ABD

是等腰直角三角形.∴∠

BAD

＝45°，∴∠

CAB

＝90°，即正多邊形的中心角是90°.∴它的邊數(shù)＝360°÷90°＝4.1234567891011121314151617187.(邢臺(tái)?？茧A段練習(xí))已知一個(gè)三角形的內(nèi)心與外心重合，若它的

內(nèi)切圓的半徑為2，則它的外接圓的面積為(

D

)A.4πB.8πC.12πD.16πD123456789101112131415161718【解析】∵一個(gè)三角形的內(nèi)心與外心重合.∴該三角形是等邊三角形.如圖，根據(jù)題意，△

ABC

是等邊三角形，其內(nèi)心與外心均為點(diǎn)

O

，連接

OB

，過(guò)點(diǎn)

O

作

OD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，則

OD

＝2.∵∠

ABC

＝60°，

OB

平分∠

ABC

，

在Rt△

OBD

中，

OB

＝2

OD

＝4，∴△

ABC

的外接圓的半徑為4.∴它的外接圓的面積為π×42＝16π.123456789101112131415161718

正多邊形畫(huà)法8.(衡水校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，已知☉

O

.

用尺規(guī)作☉

O

的內(nèi)接正

六邊形

ABCDEF

(不寫(xiě)作法、保留作圖痕跡).解：正六邊形

ABCDEF

如圖所示(答案不唯一).123456789101112131415161718

正多邊形的外角9.若正多邊形的一個(gè)外角等于45°，則這個(gè)正多邊形是(

C

)A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形【解析】∵任意多邊形的外角和為360°，正多邊形的一個(gè)外角等于45°，∴正多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8.C123456789101112131415161718

10.(保定期中)如圖所示的正六邊形花環(huán)繞中心至少旋轉(zhuǎn)α度能與自

身重合，則α為(

B

)A.30°B.60°C.120°D.180°第10題圖B123456789101112131415161718【解析】如圖所示，點(diǎn)

O

為正六邊形的中心，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，將點(diǎn)

A

繞點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)

B

，∠

AOB

的度數(shù)即

為所求.∵這是一個(gè)正六邊形，

∴α＝60.12345678910111213141516171811.(滄州模擬預(yù)測(cè))如圖，將一個(gè)正

n

邊形繞其中心

O

旋轉(zhuǎn)45°或60°

都能和其本身重合，則

n

的最小值是(

D

)A.6B.8C.12D.24第11題圖D【解析】∵正

n

邊形繞其中心

O

旋轉(zhuǎn)45°或60°都能和其本身重合，45°和60°的最大公約數(shù)為15°，∴正

n

邊形的中心角最大為15°.∴360°÷15°＝24.12345678910111213141516171812.利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖所示的圖案，則相鄰兩等

分點(diǎn)之間的距離為(

A

)A.3C.4D.6第12題圖A12345678910111213141516171813.如圖，☉

O

與正五邊形

ABCDE

的兩邊

AE

，

CD

分別相切于

A

，

C

兩

點(diǎn)，則∠

AOC

的度數(shù)是(

A

)A.144°B.130°C.129°D.108°第13題圖A123456789101112131415161718

12345678910111213141516171814.(衡水二模)如圖，

N

是正六邊形

ABCDEF

對(duì)角線

CF

上一點(diǎn)，

延長(zhǎng)

FE

，

CD

相交于點(diǎn)

M

，若

S△

ABN

＝2，則

S五邊形

ABCMF

＝(

C

)A.10B.12C.14D.16第14題圖C【解析】如圖，連接

BE

，

AD

，記正六邊形

ABCDEF

中心為

O

，∵正六邊形

ABCDEF

，∴

S△

AOB

＝

S△

ABN

＝2＝

S△

BOC

＝

S△

AOF

＝

S△

DOE

＝

S△

EOF

＝

S△

COD

＝

S△

DEM

.

∴

S五邊形

ABCMF

＝2×7＝14.12345678910111213141516171815.(保定二模)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙片

ABCDEF

上剪一

個(gè)正方形

GHIJ

，若

GH

∥

AB

，則得到的正方形邊長(zhǎng)最大為(

D

)第15題圖D123456789101112131415161718【解析】當(dāng)正方形頂點(diǎn)落在正六邊形邊上時(shí)，正方形面積最大.如圖，取正六邊形的中心

O

，連接

OA

，

OF

，

OG

，

OF

交

GJ

于點(diǎn)

M

，此時(shí)，

OF

垂直平分

GJ

，正方形的中心也是

O

，△

AFO

是等邊三

角形，∴∠

GFO

＝60°，∠

GOF

＝45°，

OF

＝

AF

＝2.

123456789101112131415161718

A.6C.8D.9第16題圖D123456789101112131415161718【解析】如圖，連接

BF

.

∵在正六邊形

ABCDEF

中，∠

A

＝∠

ABC

＝120°，

AB

＝

AF

，∴∠

ABF

＝30°.∴∠

CBF

＝∠

ABC

－∠

ABF

＝90°.∵在正六邊形

ABCDEF

中，∠

BOC

＝60°，

OB

＝

OC

，∴△

BOC

是等邊三角形.∴∠

BCF

＝60°.∴△

BCF

是含30°角的直角三角形.12345678910