《圓單元小結(jié)（第二課時）》知識梳理與圓有關(guān)的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系點在圓內(nèi)?d<r；點在圓上?d=r；點在圓外?d>r位置關(guān)系切線的判定定理切線的性質(zhì)定理相交?d<r；相切?d=r；相離?d>r切線長定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線圓的切線垂直于過切點的半徑從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角知識梳理圓內(nèi)接正多邊形有關(guān)概念：正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距尺規(guī)作圖法作圓的內(nèi)接正多邊形知識梳理圓的有關(guān)計算弧長公式扇形的面積公式圓錐的側(cè)面積和全面積公式

知識梳理正多邊形的相關(guān)概念1.中心：正多邊形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.2.半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.3.邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.4.中心角：正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.知識梳理點與圓的位置關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系可由點到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到．設(shè)☉O的半徑是r，點P到圓心的距離為d，則有點P在圓內(nèi)；d＜r點P在圓上；d=r點P在圓外.d＞r點與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過來，也可以通過這種數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系．知識梳理直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離.直線與圓的位置關(guān)系

圖形

d與r的關(guān)系

公共點個數(shù)

公共點名稱

直線名稱2個交點割線1個切點切線0個相離相切相交d＞rd=rd＜r知識梳理與切線相關(guān)的定理1.判定定理：經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2.性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.3.切線長定理：經(jīng)過圓外一點所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.知識梳理弧長公式

扇形面積公式

弓形面積公式OO弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積知識梳理3.圓錐的側(cè)面積為πrl.4.圓錐的全面積為πrl+πr2.圓錐的側(cè)面積1.圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.2.如果圓錐母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr.知識梳理圓內(nèi)接正多邊形的計算

重點解析1如圖，

O為正方形對角線上一點，以點O

為圓心，OA長為半徑的☉O與BC相切于點M.(1)求證：CD與☉O相切.(2)若正方形ABCD的邊長為1，求☉O的半徑.ABCDOM(1)證明：過點O作ON⊥CD于N.連接OM，

∵BC與☉O相切于點M，

∴∠OMC=90°，∵四邊形ABCD是正方形，點O在AC上.∴AC是∠BCD的平分線，∴ON=OM，∴CD與☉O相切.N重點解析1ABCDOM

如圖，

O為正方形對角線上一點，以點O

為圓心，OA長為半徑的☉O與BC相切于點M.(1)求證：CD與☉O相切；(2)若正方形ABCD的邊長為1，求☉O的半徑.重點解析2

重點解析2解：(2)∵⊙O分別切PA，PB，DE于A，B，C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴

△PDE的周長＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm).

重點解析3如圖，四邊形OABC為菱形，點B，C在以點O為圓心的圓上，OA=1，∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面積.

重點解析4如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)有一條折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，求圖中陰影部分的面積.解：將線段FC平移到直線AE上，此時點F與點E重合，點C到達點C'的位置.連接AC，如圖所示.根據(jù)平移的方法可知，四邊形EFCC'是矩形.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.

72°BA重點解析5如何作圓內(nèi)接正五邊形？·OEDC解：作法不唯一，如：(1)用量角器作72°的中心角，得圓的五等分點；(2)依次連接各等分點，得圓的內(nèi)接正五邊形.深化練習1☉O的半徑為R，圓心到點A的距離為d，且R，d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點A與☉O的位置關(guān)系是()A.點A在☉O內(nèi)部 B.點A在☉O上C.點A在☉O外部 D.點A不在☉O上解：解方程x2-6x+8=0的兩根，得R=2,d=4，或R=4，d=2，當R=2，d=4時，點A在⊙O外部；當R=4，d=2時，點A在⊙O內(nèi)部；綜上所述，點A不在⊙O上.D深化練習2如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD=30°，半徑為1cm的☉P的圓心在射線OA上，且與點O的距離為6cm，如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么

秒鐘后☉P與直線CD相切.ABDCPO解：當⊙P在射線OA上，設(shè)⊙P與CD相切于點E，P移動到P1時，連接P1E．∵⊙P與直線CD相切，∴∠OEP1=90°，∵在直角△OP1E中，P1E=1cm，∠AOD=30°，∴OP1=2P1E=2cm，則PP1=OP-OP1=6-2=4(cm)，P1E深化練習2ABDCPP2P1EO∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，∴⊙P移動4秒時與直線CD相切．當⊙P移動到直線CD的右側(cè)時，PP2=4+4=8(cm)．∴⊙P移動8秒時與直線CD相切．綜上，⊙P移動4秒或8秒時，與直線CD相切．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD=30°，半徑為1cm的☉P的圓心在射線OA上，且與點O的距離為6cm，如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么

秒鐘后☉P與直線CD相切.4或8深化練習3一條弧所對的圓心角為135°，弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為

.40cm

深化練習4若一個正六邊形的周長為24，則該正六邊形的面積為______.

深化練習5如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于_____．

OABDC深化練習6如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為5的⊙O，四邊形EFGH是正方形．(1)求正方形EFGH的面積；(2)連接OF，OG，求∠OGF的度數(shù)．解：(1)∵正六邊形的邊長與其半徑相等，∴EF=OF=5.∵四邊形EFGH是正方形，∴FG=EF=5，∴正方形EFGH的面積是25.AFBCDEGHO深化練習6

如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為5的⊙O，四邊形EFGH是正方形．(1)求正方形EFGH的面積；(2)連接OF，OG，求∠OGF的度數(shù)．AFBCDEGHO深化練習7·abcda如何解決“破鏡重圓”的問題：O·

圓的有關(guān)性質(zhì)1.如圖所示，點

O

為△

ABC

的外心，若∠

BAC

＝70°，則∠

OBC

＝

?.第1題圖20°

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OC

.

∵∠

BAC

＝70°，∴∠

BOC

＝140°.∵

OB

＝

OC

，∴∠

OBC

＝(180°－∠

BOC

)÷2＝20°.

第2題圖

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OA

，設(shè)半徑為

x

，

∵

OC

⊥

AB

，

123456789101112131415163.如圖，

P

是☉

O

內(nèi)一定點.(1)過點

P

作弦

AB

，使

P

是

AB

的中點(不寫作法，保留作圖痕跡)；(1)解：如圖1.12345678910111213141516(2)若☉

O

的半徑為10，

OP

＝6，①求過點

P

的弦的長度

m

范圍；(2)①解：過點

P

的所有弦中，最長為直徑即20，與

OP

垂直的弦最短.連接

OA

，如圖2所示.∵

OP

⊥

AB

，

∴過點

P

的弦的長度

m

范圍為16≤

m

≤20.12345678910111213141516②過點

P

的弦中，長度為整數(shù)的弦有

條.【解析】∵過

P

點的弦中，最長為直徑20，最短的為16，∴長度為17，18，19的弦各有兩條，∴過點

P

的弦中，長度為整數(shù)的弦共有8條.8

123456789101112131415164.(石家莊?？计谀?如圖，

AB

是☉

O

的直徑，

CD

是☉

O

的弦，且

AB

⊥

CD

，垂足為

E

.

(1)求證：∠

CDB

＝∠

A

；

12345678910111213141516(2)若∠

DBC

＝120°，☉

O

的直徑

AB

＝8，求

BC

，

CD

的長.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

點和圓、直線和圓的位置關(guān)系5.已知半徑為10的☉

O

和直線

l

上一點

A

，且

OA

＝10，則直線

l

與☉

O

的位置關(guān)系是(

D

)A.相切B.相交C.相交或相離D.相切或相交【解析】若

OA

⊥

l

，則圓心

O

到直線

l

的距離就是

OA

的長，又∵

OA

＝

10＝

r

，∴直線

l

與☉

O

相切；若

OA

與直線

l

不垂直，根據(jù)垂線段最短，圓心

O

到直線

l

的距離小于

10，即小于半徑，所以直線

l

與☉

O

相交.D123456789101112131415166.如圖，△

ABC

的內(nèi)切圓☉

O

分別與

AB

，

BC

，

AC

相切于點

D

，

E

，

F

，且

AD

＝2，

BC

＝5，則△

ABC

的周長為(

B

)A.16B.14C.12D.10第6題圖B【解析】∵△

ABC

的內(nèi)切圓☉

O

分別與

AB

，

BC

，

AC

相切于點

D

，

E

，

F

，且

AD

＝2，∴

AF

＝

AD

＝2，

BD

＝

BE

，

CE

＝

CF

.

∵

BE

＋

CE

＝

BC

＝5，∴

BD

＋

CF

＝

BE

＋

CE

＝

BC

＝5.∴△

ABC

的周長＝2＋2＋5＋5＝14.123456789101112131415167.如圖，

PA

，

PB

是☉

O

的切線，

A

，

B

為切點，若∠

AOB

＝128°，則

∠

P

的度數(shù)為(

B

)A.32°B.52°C.64°D.72°第7題圖【解析】∵

PA

，

PB

是☉

O

的切線，∴

OA

⊥

PA

，

OB

⊥

PB

.

∴∠

PAO

＝∠

PBO

＝90°.∵∠

AOB

＝128°，∴∠

P

＝360°－90°－90°－128°＝52°.B123456789101112131415168.如圖，

AB

為☉

O

的直徑，直線

CD

與☉

O

相切于點

C

，連接

AC

，若

∠

ACD

＝50°，則∠

BAC

的度數(shù)為(

B

)A.30°B.40°C.50°D.60°B【解析】如圖，連接

OC

，∵直線

CD

與☉

O

相切，∴

OC

⊥

CD

.

∴∠

OCD

＝90°.∵∠

ACD

＝50°，∴∠

OCA

＝40°.∵

OA

＝

OC

，∴∠

BAC

＝∠

OCA

＝40°.123456789101112131415169.如圖，

AB

為☉

O

的直徑，過圓上一點

D

作☉

O

的切線

CD

交

BA

的延

長線于點

C

，連接

AD

，過點

O

作

OE

∥

AD

交

CD

于點

E

，連接

BE

.

(1)直線

BE

與☉

O

相切嗎？并說明理由；解：(1)直線

BE

與☉

O

相切.理由：如圖，連接

OD

.

∵

CD

為☉

O

的切線，∴∠

ODC

＝∠

ODE

＝90°.12345678910111213141516

12345678910111213141516(2)若

CA

＝2，

CD

＝4，求

DE

的長.解：(2)由(1)知，△

ODE

≌

OBE

，∴

DE

＝

BE

.

設(shè)☉

O

的半徑為

r

，則

r2＋42＝(2＋

r

)2，得

r

＝3.在Rt△

CBE

中，

BC2＋

BE2＝

CE2，即(2＋3＋3)2＋

DE2＝(4＋

DE

)2，解得

DE

＝6.12345678910111213141516

正多邊形和圓10.已知☉

O

的周長為6π，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長為

?.【解析】如圖，連接

OB

，

OC

，∵☉

O

的周長等于6π，∴☉

O

的半徑為3.3

OB

＝

OC

，∴△

OBC

是等邊三角形.∴

BC

＝

OB

＝3.∴它的內(nèi)接正六邊形

ABCDEF

的邊長為3.1234567891011121314151611.如圖，點

O

是正八邊形

A1

A2…

A8外接圓的圓心，連接

A4

A6.第11題圖(1)∠

A8＝

°；

135

(2)若☉

O

的半徑長為4，則

A4

A6＝

?.【解析】(2)如圖，連接

OA6，

OA4，∵∠

A6

OA4＝360°÷8×2＝90°，

1234567891011121314151612.如圖，一個正六邊形內(nèi)接于☉

O

，且☉

O

的半徑為1，該正六邊形的

面積是

?.第12題圖

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OB

，

OC

，過點

O

作

OP

⊥

BC

于點

P

.

∴△

OBC

是等邊三角形.∴

BC

＝

OB

＝

OC

＝1.

12345678910111213141516

弧長和扇形面積13.如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，

在過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為(

B

)第13題