PAGE4PAGE3什么是分岔主持人：好，請武教授馬上給咱們帶來一場精彩的學(xué)術(shù)報告，深入淺出的學(xué)術(shù)報告，叫做“什么是分岔”。好，有請。武際可：我今天講的是關(guān)于分岔的問題。分岔在英文叫做Bifurcation，這個詞在中文里頭大概有六種翻譯，我看到的有六種翻譯，每個含義用詞都用得不一樣，有的叫分叉、有的叫分枝、還有的叫分歧等等。這個概念最近幾十年大概在自然科學(xué)甚至于社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等等領(lǐng)域用得很多，比如說化學(xué)、物理、力學(xué)、數(shù)學(xué)都很多，還有氣象學(xué)等等吧，說明它比較重要。那么，這個名詞不像剛才主持人說的道路分岔那么具體，它是一個抽象概念，為了說明這個概念，我們這樣來講，先從一個例子開始，講一個例子。這是一個圓，上頭有一個光滑的環(huán)，對吧？我把它這個大圓垂直放的時候，那么這個小環(huán)總是在下頭平衡，大家看清楚了，我怎么放它都是平衡的，最后滑在下頭，現(xiàn)在我讓這個環(huán)轉(zhuǎn)起來，對吧，這樣轉(zhuǎn)，我給這個圓環(huán)這樣一個角速度，轉(zhuǎn)起來以后，如果我這個角速度很小，大家看了，這個小環(huán)呢，還是呆在這個底下，這個位置總是一個平衡位置，等我轉(zhuǎn)的這個角速度大到某一定的程度，大家注意看，現(xiàn)在這個環(huán)就跑在另外一個地方平衡，如果我們?nèi)∫粋€角度表示這個小環(huán)的位置的話，那么我們就可以列出一個平衡方程來，這個很簡單，這個小環(huán)受三個力，一個是離心力、一個是重力、還有一個大環(huán)給它的約束反力，這兩個力的正切應(yīng)該就等于這個反力，所以那個方程很容易寫出來。寫出這個方程，帶星號的那個就是這個平衡方程，兩個慣性力和重力之比就等于那個約束反力，約束反力的角度，這個方程把它上頭的質(zhì)量和下頭的質(zhì)量消掉以后就得到下頭，一分解因式正好是兩個，一個是sinθ；另外一個就是括弧里頭這個，這個方程有兩個解，一個解就是上頭的θ等于零，就是永遠(yuǎn)這個角度等于零，放在這個位置是一個平衡點，還有一個解呢，是下頭那個表示的這個解，下頭那個式子表示呢，就是我這個角速度使得括弧里頭的那一項變成一的時候，θ就開始，從零開始要往下飛了，在一定的角速度就離開原來的平衡點，然后跑到另外一個平衡點了。我們看到這個問題的解呢，實際上是兩個解，兩支，兩支都隨著Ω變，一支就是θ永遠(yuǎn)等于零，就是這一支，另外一支是那一支，這邊是對稱的，另外一邊我沒有畫，這兩支的焦點T就是分岔點，我們就說的分岔點。這個問題是一個生活當(dāng)中我們應(yīng)該看到的最常見的一個分岔問題，那么我們就問，一個分岔問題需要一些什么條件呢？我把它歸結(jié)有需要三個條件：第一個條件，要有一個參數(shù)系統(tǒng)描述這個客觀系統(tǒng)的狀態(tài)，我們這個例子里頭就是這個角度，這個角度不同，平衡的位置就不同；第二個，要有一個描述這個系統(tǒng)運動的參數(shù)，我剛才說的這個Ω，這個角速度，要有這么一個參數(shù)；第三個，要有一個平衡方程，要有控制整個系統(tǒng)發(fā)展過程的一個平衡方程。剛才我們看到的帶星號的那個方程就是這個方程。那么我們一條一條來看。第一條這個參數(shù)呢，我這個問題、這個參數(shù)很簡單，就是一個θ，就是這個角度。一般的問題里頭，這個參數(shù)可以多個，比如說我下頭還有一個環(huán)呢？就可能有兩個θ，兩個角度。這個不僅如此，我要描述一架飛機(jī)的話，可能是很多的角度，甚至于好多個函數(shù)，所以描述狀態(tài)不僅僅是一組數(shù)、若干個數(shù)，還可能是要求若干個函數(shù)，所以一旦這個描述的參數(shù)定了以后呢，再復(fù)雜的系統(tǒng)我們也應(yīng)該可以描述，所以我們說，只要有了足夠復(fù)雜的系統(tǒng)，我們從天上的白云、海里的波浪、化學(xué)反應(yīng)罐里頭的反應(yīng)過程還是股票市場上的起伏，這個都可以描述。第二，要有一個表征過程的參量，剛才說的是Ω，這個角度，角速度。這個長度、速度、加速度，還有溫度、壓力都可以作為這種參數(shù)。第三，要有一組方程，剛才我們說的這個方程，相對簡單，只有一個方程就夠了，在實際問題要有很多個方程，有的方程連立起來可能要上千上萬，甚至于有的要遇到微分方程，就是函數(shù)滿足的方程，但是有一條，這些方程必須是非線性的，也就是說光由一次項組成的這些方程是沒有分岔的，必須要有非線性的項，所以我們經(jīng)常說，分岔也是一個實質(zhì)的非線性問題。我們注意到，也不是所有的非線性問題都有分岔，比如說我們畫一個彎曲的線，這條線是非線性的，直線才是線性的，但是它沒有分岔，必須有兩支交叉在一起的才有分岔，所以這樣一個情況呢，但是，我剛才說彎的沒有分岔的這個雖然是非線性，它任何一小段可以拿直線來代替，拿線性的來代替，分岔不行，在分岔點附近是不可能把它拿直線來代替的，所以我們說，分岔是一個實質(zhì)的非線性問題，它根本在無限小的范圍內(nèi)也不可能把它線性化。所以，總結(jié)前頭我們說的這段話呢，就是說第一，分岔是一類問題當(dāng)中有多個性質(zhì)上完全不同的解，交叉在一起，這個交叉點就是所謂的分岔點；第二，分岔一般伴隨有事物性質(zhì)上的突變，一種狀態(tài)變?yōu)樾再|(zhì)上差別很大的另外一種狀態(tài)；第三，分岔是實質(zhì)的非線性問題。我們來看，分岔實際上是一種自然界和社會上的普遍的現(xiàn)象。最常見的，我們看到有這么兩類。第一類，所謂平衡解分岔或者是靜分岔，我們來舉一些例子，最常見的一類例子，就是我拿這根尺子來作為一個柱子，我拿手壓它，我加了一個力，現(xiàn)在我已經(jīng)加了力了，這個柱子還是直的，我加到某一個力的時候，這個柱子不僅由原來直的這個平衡位置出來另外一個平衡位置，這個力我們叫臨界壓力，達(dá)到這個力的時候，這個彎曲迅速的加大。我們實際的相當(dāng)多的結(jié)構(gòu)，都是有這樣的受壓的部件，那么這些部件，任何一個部件如果超過了我剛才說的臨界壓力，這個結(jié)構(gòu)就有可能整個的垮掉，所以這就是從直立到另外一種狀態(tài)的一個分岔，兩個完全不同的分岔。下頭我舉兩個例子，最近就拿去年的，我們國內(nèi)發(fā)生的兩個事故：一個事故就是在湖南耒陽電廠，有一個72米×120米這樣一個堆煤的倉，這個倉用了五年以后突然垮掉，原因就是因為它的構(gòu)建在雨水之下然后腐蝕，腐蝕到超過它的臨界載荷，然后垮掉了。第二個例子是去年11月28日，在深圳正在修一個鹽壩高速公路起點高架橋，在11月28日晚上9時左右突然坍塌，原因就是它支腳手架的一根支柱超過它的臨界載荷，設(shè)計人員不小心，造成69名工人隨墻面一起下去，大概重傷10人，23人輕傷。這是平衡解的兩個例子，平衡解的分岔我們還有，在物理當(dāng)中，不僅力學(xué)當(dāng)中，在物理當(dāng)中，從上一世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)物質(zhì)是由氣、固、液三態(tài)所組成的，比如說水從液態(tài)到氣態(tài)，攝氏100度，100度就是一個臨界溫度，那么從一個平衡態(tài)就轉(zhuǎn)到另外一個平衡態(tài)，這個交界的點就是一個分岔點，在磁學(xué)、電學(xué)里頭都有這樣的平衡解的分岔，因此不只是力學(xué)，物理、化學(xué)都有。下頭我們來討論一下，所謂Hopf的例子，人們常熟悉的拿口琴，我們吹口琴的時候，我拿一個音來看，在這個洞里頭，如果吹得口風(fēng)很小呢，你聽不到聲音，這個簧片不振動，達(dá)到一個臨界的風(fēng)速的時候，這個簧片就開始振蕩，發(fā)出周期性的運動，發(fā)聲，這個就是一個典型的Hopf分岔。那么，我們通?？吹降臉菲鳎L(fēng)琴、嗩吶、單簧管、雙簧管、號、笛等等都是利用這個Hopf分岔這個原理來制作的，都是從不發(fā)聲到發(fā)聲，利用它發(fā)聲的這個段，這樣一個運動狀態(tài)，發(fā)聲的就是一個周期運動的一個狀態(tài)，剛才是用風(fēng)來比喻，進(jìn)一步講，激發(fā)振動的如果不是風(fēng)，而是摩擦力，那么我們的摩擦力或者水力也會發(fā)現(xiàn)，比如說我們拉小提琴的弓和弦摩擦就是一個典型的Hopf分岔，如果我這個弓上頭沒有，松香很少，摩擦力很小，那么你就發(fā)現(xiàn)這個弓就可以滑過來，根本不發(fā)聲，那么擦了一些松香，松香是增加摩擦力的，增加一點摩擦力，摩擦力作為我們控制系統(tǒng)的參數(shù)，到一定的程度就發(fā)聲。當(dāng)然了，Hopf分岔并不只是可以用來制作樂器，帶來快樂，也會帶來煩惱和災(zāi)難，幾乎所有的噪音，比如樹葉子被風(fēng)吹得沙沙聲、機(jī)器的隆隆聲、摩擦噪音，我們通常老太太刮鍋用的那種刺耳的那個聲音就是摩擦噪音，水管子流水的時候，那個嗡嗡聲都是和Hopf分岔有關(guān)的。那么，在二十世紀(jì)三四十年代，航空當(dāng)中有一種可怕的空難，叫做顫振，飛機(jī)飛到某一個臨界速度的時候，飛機(jī)翅膀就會象剛才說的口琴的簧片一樣的振起來，那個振動有的時候是發(fā)散的，幾秒鐘以內(nèi)飛機(jī)翅膀就可以振掉，然后造成機(jī)毀人亡，這樣的空難出了很多起，后來由于人們研究，逐漸的控制了，目前的飛機(jī)很少有這種事故。在1940年，美國西北部就是叫華盛頓州建成了一座吊橋，長853.4米的Tacoma（塔科姆）橋，在Tacoma（塔科姆）那個海灣上的，建成以后不久，大概四個月，由于同年11月7日的一場不大的風(fēng)，每秒19米，這個風(fēng)很小，大概八級風(fēng)吧，引起了振幅接近九米的顫振，正負(fù)九米相當(dāng)于三層樓高，普通住房的三層樓高，在這樣大振幅的振蕩之下，不一會兒這個橋就塌毀了，這就是當(dāng)時實際的振蕩，最后倒塌了。這是Hopf分岔不僅會產(chǎn)生樂器、噪音，飛機(jī)的顫振、橋的顫振。還有一種，大概在生態(tài)上頭研究當(dāng)中有一種模型叫做“捕食者模型”，假如有兩種生物共在一個池子里頭，比方說我們說是大魚和小魚，大魚吃小魚，那么大魚多了的時候呢，小魚就很快的被吃掉了，小魚就沒有了，沒有了呢，大魚就餓死了，大魚就減少了，大魚減少到一定程度呢，小魚失掉了它的天敵，于是小魚就拼命繁殖，小魚繁殖小魚又增加，它并不經(jīng)常是大魚、小魚處于一個平衡點，而是經(jīng)常是處于一種大魚、小魚此消彼漲的這樣一個振蕩狀態(tài)，這個狀態(tài)也是一個典型的分岔，Hopf分岔，1918年意大利數(shù)學(xué)家把這個最早研究了兩種生物的捕食者模型，當(dāng)然了，現(xiàn)在生態(tài)學(xué)發(fā)展了，研究整個的生物鏈，一個生物鏈的一個彼此消漲的情況。同樣，股票市場的漲落、經(jīng)濟(jì)危機(jī)的周期性的發(fā)生、沙漠當(dāng)中沙丘的周期性的推移、心臟的周期性的跳動等等，都可以看作是一種分岔現(xiàn)象，也是一種Hopf分岔。1900年法國人做了一個流體實驗，在一塊金屬板上放了一個液體，下頭加熱這塊金屬板，開始的時候，整個的液體不動，加熱到一定的程度以后，這個液體就做一個小包圈、一個小包圈螺旋式的運動，也是一種周期運動，但是除了時間上的周期以外，還有空間上的周期，這個在氣象上很重要，我們平?？吹教枙竦?，就像這樣的天氣，曬到下午地面熱的時候，加熱這個空氣，空氣就產(chǎn)生局部的環(huán)流，單地的局部的環(huán)流就產(chǎn)生局部的風(fēng)，你騎車進(jìn)城的時候你就會發(fā)現(xiàn)，一會兒頂風(fēng)、一會兒順風(fēng)，這樣的正好就是這種現(xiàn)象的一個表示，這也是一種典型的Hopf分岔，不過呢，它是在流體，實際上這是在一個連續(xù)體當(dāng)中的一個Hopf分岔。我們講了這些現(xiàn)象，我可以要舉多少例子幾乎就可以舉多少例子，說明分岔是自然界和社會中的相當(dāng)常見的普遍現(xiàn)象；第二，在不同領(lǐng)域中，對分岔有不同的名稱，在我們力學(xué)當(dāng)中，比如叫臨界載荷，我剛才說了；在物理當(dāng)中叫臨界溫度、臨界參數(shù)，有的叫轉(zhuǎn)折點、有的叫閾值，有的叫什么激勵參數(shù)、什么危險限等等，這些都是不一樣的。最后講了這些例子和這個情況以后呢，我們想總結(jié)一下，現(xiàn)在分岔研究的意義到底是在于什么呢？第一點，我認(rèn)為分岔的研究溝通了不同領(lǐng)域，既然剛才說了，從樂器到噪聲到飛機(jī)一直到股票都可以有分岔，那么于是很多學(xué)科共同來探討分岔的共同規(guī)律，現(xiàn)在有的人就特別是形成一門叫做“非線性科學(xué)”，非線性科學(xué)的相當(dāng)一部分工作就是要找分岔的規(guī)律。第二就是對具體的某一個學(xué)科來說，研究具體的分岔，準(zhǔn)確的計算使我們把握這種問題的變化規(guī)律或者控制這種現(xiàn)象非常重要。第三點，分岔在哲學(xué)上是對于確定論的一個否定，我們知道，現(xiàn)在分岔、再分岔可以產(chǎn)生混沌，混沌是會導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性，它對以前的這種確定了的觀點是一個否定。目前對于分岔的研究的情況，一方面來自各個具體的部門來研究這個領(lǐng)域當(dāng)中的特殊問題的分岔；另