第六節(jié)二項分布、超幾何分布、

正態(tài)分布高三一輪復習講義湘教版第十章計數(shù)原理與概率課程標準1.通過具體實例，理解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.

2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.

3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量.通過具體實例，借助于頻率分布直方圖的直觀，了解正態(tài)分布的特征.

4.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)1.兩點分布(1)如果隨機變量X只取值0或1，且其概率分布是P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，p∈(0，1)，則稱隨機變量X服從__________，記作X~B(1，p)，兩點分布又稱0-1分布.(2)兩點分布的數(shù)學期望與方差：隨機變量X服從兩點分布，若X~B(1，p)，則E(X)=p，D(X)=_______.兩點分布p(1-p)

相同兩種保持不變相互獨立n獨立

npnp(1-p)3.超幾何分布(1)定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品.從中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X=k)=________，k=m，m+1，m+2，…，r.(*)其中M≤N，n≤N，m=max{0，n-(N-M)}，r=min{n，M}，n，M，N∈N+.

公式中的k可以取的最小值為max{0，n-(N-M)}，而不一定是0.若隨機變量X的分布列具有(*)式的形式，則稱分布列為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，就稱X服從____________，記作_______________.(2)超幾何分布的數(shù)學期望：設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，若X~H(N，M，n)，則E(X)=____.Xmm+1…rP

…

超幾何分布X~H(N，M，n)

4.正態(tài)分布(1)概率密度曲線：隨機變量X在每個小區(qū)間內(nèi)取值的頻率，接近于X在那個區(qū)間中取值的概率，我們把這條曲線稱為X的______________.(2)正態(tài)曲線的定義：若p(x)=_____________，x∈R，其中μ和σ為參數(shù)，且σ>0，μ∈R，p(x)稱為概率密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱_________.概率密度曲線

正態(tài)曲線

x=μx=μ

標準正態(tài)分布X~N(0，1)68.27%95.45%99.73%μσ2常用結(jié)論

自主檢測1.(多選)下列說法正確的是A．兩點分布是二項分布當n=1時的特殊情形B．若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布C．從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X服從超幾何分布D．當μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”√√2.雞接種一種疫苗后，有90%不會感染某種病毒，如果有5只雞接種了疫苗，則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為A．0.33

B．0.66

C．0.5

D．0.45√

3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X>2c-1)=P(X<c+3)，則c=

.

4.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個數(shù)，則P(X=2)=

.

返回考點探究提升能力考點一二項分布

師生共研

典例1

X0123P

1.判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.規(guī)律方法2.二項分布的期望與方差的求解策略(1)如果ξ

~B(n，p)，則用公式E(ξ)=np，D(ξ)=np(1-p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同樣還可求出D(aξ+b).規(guī)律方法

X6789P

考點二超幾何分布

師生共研

典例2

X01234P

1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.規(guī)律方法

X012P

(2)為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：用頻率估計概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時乙能參觀完所有展園的概率.

游園方式游園結(jié)果

觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160

游園方式游園結(jié)果

觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160考點三正態(tài)分布

多維探究由正態(tài)密度函數(shù)的定義和解析式可知，總體的均值μ=10，方差σ2=4，即σ=2.故選B．

√典例3(2)(多選)某市教學質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)曲線如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，下列說法中正確的是A．甲科總體的標準差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)相同√√不妨設(shè)成績ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”，且σ是標準差，x=μ為正態(tài)曲線的對稱軸，且μ為平均數(shù).由題圖可知，甲科總體標準差最小，乙科總體標準差居中，丙科總體標準差最大，甲、乙、丙總體的平均數(shù)相同，故A，D正確.故選AD．角度2

正態(tài)分布的概率(1)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，且P(X>1)=0.5，P(X>2)=0.3，則P(X<0)=A．0.2

B．0.3

C．0.7

D．0.8√隨機變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，所以曲線關(guān)于直線x=a對稱，且P(X>a)=0.5.由P(X>1)=0.5，可知a=1，所以P(X<0)=P(X>2)=0.3.故選B．典例4(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤

2.5)=0.36，則P(X>2.5)=

_

.

因為X~N(2，σ2)，所以P(X>2)=0.5，所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.0.14(3)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取并檢測零件的直徑尺寸，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件直徑尺寸x(cm)服從正態(tài)分布N(18，4)，若x落在(20，22]內(nèi)的零件個數(shù)為2

718，則可估計所抽取的這批零件中直徑x高于22的個數(shù)大約為

.(附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997

3)

455

典例5

即評獎的分數(shù)線約為83分.則1-P(57<X<83)≈0.2，解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點1.對稱軸x=μ.2.標準差σ.3.分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率，注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為直線x=0.規(guī)律方法對點練3.(1)(2025·山東聊城模擬)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.7，則P(0<ξ<2)=A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4√因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.3，所以P(0<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ≤0)=0.5-0.3=0.2.故選B．(2)(多選)(2021·新高考Ⅱ卷改編)若某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結(jié)論中正確的是A．σ越大，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(9.8，10.1)內(nèi)的概率相等√√√σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越小，故A錯誤；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5，故B正確；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等，故C正確；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(9.8，10.1)內(nèi)的概率相等，故D正確.故選BCD．(3)已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量X~N(500，16)，則隨機抽取10

000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間[492，504]內(nèi)約有

__

袋.(質(zhì)量單位：g)(附：X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997

3)

8186返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√√由題意可知，X~N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5，P(X<1.9)≈0.841

3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2，故A錯誤，B正確.因為Y~N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841

3，P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5，所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841

3-0.5=0.341

3，所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341

3+0.5=0.841

3>0.8(另解：P(Y>2)=P(Y<2.2)≈0.841

3>0.8)，故C正確，D錯誤.故選BC．返回教材呈現(xiàn)(湘教版選擇性必修二P154例)在某次數(shù)學考試中，假設(shè)考生的成績ξ服從正態(tài)分布ξ~N(90，100).(1)求考試成績ξ位于區(qū)間[70，110]上的概率；(2)若這次考試共有2

000名考生，試估計考試成績在[80，100]間的考生大約有多少人.點評：這兩題考查相同的知識點，設(shè)問的本質(zhì)也是一樣的，都是考查與正態(tài)分布有關(guān)的概率的求解問題，兩題的相似度較高.課時測評

√

√根據(jù)正態(tài)分布N(μ，σ2)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于x=μ對稱，在x=μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且彎曲較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且彎曲較陡峭.故選A．

√

4.據(jù)統(tǒng)計，某臍橙的果實橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80，52)，則果實橫徑在[75，90]內(nèi)的概率為(附：若X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ

≤X≤μ+σ)≈0.682

7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5)A．0.682

7

B．0.841

3 C．0.818

6

D．0.954

5√

√√√

√√√

7.某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規(guī)定至少答對2道題才算合格.則合格的概率為

.

X12345P

X23P

200×0.818

6=163.72≈164，所以估計獲得“參賽紀念證書”的選手人數(shù)為164.11.(16分)(2025·江西上饒一模)機動車輛保險即汽車保險(簡稱車險)，是指對機動車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責任的一種商業(yè)保險.機動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險.經(jīng)驗表明商業(yè)險保費(單位：元)由過去三年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，某市某機動車輛保險公司對于購買保險滿三年的汽車按如下表格計算商業(yè)險費用.(假設(shè)每年出險次數(shù)2次及以上按2次計算)出險情況商業(yè)險折扣若基準保費3

000元時對應(yīng)保費三年內(nèi)6賠1.85

400三年內(nèi)5賠1.54

500三年內(nèi)4賠1.23

600三年內(nèi)3賠13

000三年內(nèi)2賠0.82

400三年內(nèi)1賠0.72

100三年內(nèi)0賠0.61

800(1)汽車的基準保費由車的價格決定，假定王先生的汽車基準保費為3

000元，且過去三年都沒有出險，近期發(fā)生輕微事故