《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》知識(shí)回顧1.寫出一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)3.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對(duì)一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的求根公式：學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.課堂導(dǎo)入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式

，不僅表示可以由方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系，一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)方式嗎？知識(shí)點(diǎn)1新知探究從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？方程兩個(gè)根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.知識(shí)點(diǎn)1新知探究一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1，它的兩個(gè)根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？知識(shí)點(diǎn)1新知探究由求根公式知知識(shí)點(diǎn)1新知探究方程的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：這表明任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：

兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.跟蹤訓(xùn)練新知探究根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個(gè)根x1，x2的和與積：(1)x2－6x－15＝0；

(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，

知識(shí)點(diǎn)2新知探究與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根x1，x2有關(guān)的幾個(gè)代數(shù)式的變形：知識(shí)點(diǎn)2新知探究求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí)，一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和、兩根之積的形式，再整體代入.新知探究

A跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練新知探究

求解此類問題時(shí)，必須將求出的字母值代回原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否滿足判別式Δ>0，否則可能會(huì)多解.解：根據(jù)題意，得x1+x2=-3，x1x2=-1，所以x1-1+x2-1=-5，

(x1-1)(x2-1)=x1x2-

(x1+x2)+1=-1+3+1=3，所以以x1-1和x2-1為根的一個(gè)一元二次方程可以是x2+5x+3=0(答案不唯一).已知x1，x2是方程x2+3x-1=0的兩個(gè)根，求以x1-1和x2-1為根的一元二次方程.跟蹤訓(xùn)練新知探究隨堂練習(xí)1不解方程，求下列方程兩個(gè)根的和與積.(1)x2－3x＝15；

(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；

(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化為x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.

隨堂練習(xí)1

不解方程，求下列方程兩個(gè)根的和與積.(1)x2－3x＝15；

(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；

(4)2x2－x＋2＝3x＋1.

隨堂練習(xí)20解：根據(jù)題意得α+β=3，αβ=-4，所以原式=

α(α+β)-3α

=3α-3α

=0．隨堂練習(xí)3已知關(guān)于x

的一元二次方程x2-6x+q＝0有一個(gè)根為2，求方程的另一根和q的值.解：設(shè)方程的另一個(gè)根為a，則2+a=-(-6)=6，解得a=4，則q=2×4=8.課堂小結(jié)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)語(yǔ)言文字語(yǔ)言一元二次方程的兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.使用條件1.方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0；2.方程有實(shí)數(shù)根，即Δ≥0.重要結(jié)論1.若一元二次方程x2+px+q=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=-p，x1x2=q.2.以實(shí)數(shù)x1，x2為兩根的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.關(guān)于x

的一元二次方程x2-(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則a

的值為()對(duì)接中考1BA.2 B.0 C.1 D.2或0解：∵方程x2-(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，∴a2-2a=0，解得a=0或a=2，當(dāng)a=2時(shí)，方程為x2+1=0，該方程無實(shí)數(shù)根，舍去；當(dāng)a=0時(shí)，方程為x2-1=0，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.∴a=0.故選B.對(duì)接中考2（2019?廣東中考）已知x1，x2是一元二次方程x2?2x＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()D

解：?=(?2)2?4×1×0=4>0，∴x1≠x2，選項(xiàng)A正確；∵x1是一元二次方程x2-2x=0的實(shí)數(shù)根，∴x12?2x1=0，選項(xiàng)B正確；∵x1，x2是一元二次方程x2?2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=2，x1

x2=0，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.對(duì)接中考3

對(duì)接中考3

利用根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之和或兩根之積1.【教材第17頁(yè)習(xí)題21.2第7題改編】已知

x1和

x2是一元二次方程

x2－3

x

＋2＝10的兩個(gè)根，則

x1＋

x2的值為(

B

)A.2B.3C.－3D.－22.若一元二次方程

x2－2

x

＝0的兩根分別為

x1和

x2，則

x1

x2等于(

D

)A.－2B.1C.2D.0BD12345678910111213141516173.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和與兩根之積.(1)2

x2－3

x

＝5；

(2)2

x2＋3＝7

x2＋

x

.

1234567891011121314151617

利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程中待定字母的值4.已知

x1，

x2是一元二次方程

x2＋2

x

－

k

－1＝0的兩根，且

x1

x2＝－3，則

k

的值為(

B

)A.1B.2C.3D.4

B12345678910111213141516175.已知

x1，

x2是關(guān)于

x

的方程

x2＋

bx

－3＝0的兩個(gè)根，且滿足

x1＋

x2－

3

x1

x2＝5，那么

b

的值為(

A

)A.4B.－4C.3D.－3【解析】由

x1

x2＝－3可得

x1＋

x2＋9＝5，則

x1＋

x2＝－4，∴

b

＝4.A1234567891011121314151617

A.

x2＋4

x

－2＝0B.

x2－4

x

－2＝0C.

x2＋4

x

＋2＝0D.

x2－4

x

＋2＝0【解析】由題可得方程的

x1

x2＝2，

x1＋

x2＝4，只有方程

x2－4

x

＋2＝0

符合.D1234567891011121314151617

利用根與系數(shù)的關(guān)系求相關(guān)代數(shù)式的值7.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－3

x

－2＝0的兩實(shí)數(shù)根分別為

x1，

x2，

則

x1

x2＋

x1＋

x2的值為(

B

)A.－1B.1C.5D.－5【解析】由方程可得

x1

x2＝－2，

x1＋

x2＝3，∴

x1

x2＋

x1＋

x2＝－2＋3＝1.B12345678910111213141516178.若一元二次方程

x2－

x

－2＝0的兩根分別為

x1，

x2，則(1＋

x1)＋

x2(1

－

x1)的值是

?.【解析】(1＋

x1)＋

x2(1－

x1)＝1＋

x1＋

x2－

x1

x2＝1＋1＋2＝4.9.若

m

，

n

是方程

x2－

x

－101＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

m2＋

m

＋2

n

的值

為

.

【解析】把

x

＝

m

代入方程得

m2－

m

－101＝0，

m2－

m

＝101，則

m2＋

m

＋2

n

＝

m2－

m

＋2

m

＋2

n

＝

m2－

m

＋2(

m

＋

n

)＝101＋2×1＝103.4

103

123456789101112131415161710.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2＋

ax

－6＝0的兩個(gè)根是2，

b

，則代數(shù)

式(2

a

＋

b

)2023的值為

?.【解析】由題可得

x1

x2＝2

b

＝－6，∴

b

＝－3，兩根和

x1＋

x2＝－3＋2

＝－1，∴

a

＝1，因此(2

a

＋

b

)2023＝(2－3)2023＝－1.－1

1234567891011121314151617

11.在解關(guān)于

x

的一元二次方程

x2＋

px

＋

q

＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)

q

，得到方程的兩個(gè)根是－3，1.小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)

p

，得到方程的兩個(gè)根是5，－4，則原來的方程是(

B

)A.

x2＋2

x

－3＝0B.

x2＋2

x

－20＝0C.

x2－2

x

－20＝0D.

x2－2

x

－3＝0B123456789101112131415161712.若一元二次方程

x2－7

x

＋5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是

a

，

b

，則一次

函數(shù)

y

＝

abx

＋

a

＋

b

的圖象一定不．經(jīng)．過．(

D

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】

a

＋

b

＝7，

ab

＝5，則一次函數(shù)為

y

＝5

x

＋7，此函數(shù)圖象經(jīng)

過第一、二、三象限，不過第四象限.D1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.若關(guān)于

x

的方程

x2＋(

a

－1)

x

＋

a2＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，求

a

的值.解：∵方程的兩根互為倒數(shù)，∴兩根的積為1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得

a2＝1.解得

a

＝±1.當(dāng)

a

＝1時(shí)，原方程化為

x2＋1＝0.∵Δ＝

b2－4

ac

＝0－4＝－4＜0，∴此

方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意，舍去.當(dāng)

a

＝－1時(shí)，原方程化為

x2－2

x

＋1＝0.∵Δ＝

b2－4

ac

＝(－2)2－4×1＝0.∴此方程有實(shí)數(shù)根.∴

a

＝－1.1234567891011121314151617

若關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－(2

m

＋3)

x

＋

m2＝0有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根

x1，

x2，且

x1＋

x2＝

x1

x2，則

m

的值是(

B

)A.－1B.3C.3或－1D.－3或1B123456789101112131415161715.已知關(guān)于

x

的方程

x2－(

k

＋2)

x

＋2

k

＝0.(1)求證：無論

k

為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；證明：∵Δ＝[－(

k

＋2)]2－4×2

k

＝

k2－4

k

＋4＝(

k

－2)2≥0，∴無論

k

為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)求證：無論

k

為何值，方程總有一個(gè)定根；證明：∵

x2－(

k

＋2)

x

＋2

k

＝0，∴(

x

－

k

)(

x

－2)＝0.∴

x1＝

k

，

x2＝2.∴無論

k

為何值，方程總有一個(gè)定根為

x

＝2.1234567891011121314151617(3)若等腰三角形

ABC

的一邊長(zhǎng)

a

＝3，另兩邊長(zhǎng)

b

，

c

恰好是這個(gè)方程

的兩個(gè)根，則△

ABC

的周長(zhǎng)是多少？解：①當(dāng)

b

＝

c

時(shí)，則Δ