第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實際意義.

2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)1.函數(shù)單調(diào)性的定義(1)單調(diào)函數(shù)的定義條件設(shè)D是函數(shù)f(x)的定義域，I是D的一個非空的子集.如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時

都有___________都有_____________結(jié)論就稱f(x)是區(qū)間I上的_______就稱f(x)是區(qū)間I上的_______圖示f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數(shù)減函數(shù)微提醒(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域.(2)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.(3)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念，顯然N?M.(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是_______或_______，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，_______叫作y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間I2.函數(shù)的最大(小)值前提設(shè)D是函數(shù)y=f(x)的定義域，如果有a∈D，條件(1)?x∈D，都有__________；(2)?a∈D，使得________(1)?x∈D，都有___________；(2)?a∈D，使得________結(jié)論稱M是函數(shù)f(x)的最____值，a為f(x)的最大值點稱M是函數(shù)f(x)的最____值，a為f(x)的最小值點f(x)≤f(a)M=f(a)f(x)≥f(a)M=f(a)大小常用結(jié)論

自主檢測

√√√

√√

√返回

3

(－∞，5]∪[20，+∞)考點探究提升能力考點一確定函數(shù)的單調(diào)性

多維探究由x2－2x－8>0，得f(x)的定義域為{x|x>4或x<－2}.設(shè)t=x2－2x－8，則y=ln

t為增函數(shù).要求函數(shù)f(x)的增區(qū)間，即求函數(shù)t=x2－2x－8的增區(qū)間(定義域內(nèi)).因為函數(shù)t=x2－2x－8在(4，+∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(4，+∞).故選D．角度1

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.函數(shù)f(x)=ln(x2－2x－8)的增區(qū)間是A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，+∞) D．(4，+∞)√2.函數(shù)y=|－x2+2x+1|的增區(qū)間是____________________________.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法1.圖象法：如果f(x)是以圖象給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由函數(shù)圖象直觀地寫出它的單調(diào)區(qū)間.

2.復(fù)合函數(shù)法：

(1)求函數(shù)的定義域.

(2)求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)是“同增異減”.規(guī)律方法

√典例1

定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

注意：判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.規(guī)律方法

√√

(－1，1)

(3)f(x)在R上是減函數(shù).證明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x2)=f(x1+(x2－x1))，所以f(x2)－f(x1)=f(x1+(x2－x1))－f(x1)=f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)=f(x1)[f(x2－x1)

－1].由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1，故f(x2)－f(x1)<0，故f(x)在R上是減函數(shù).考點二求函數(shù)的最值

師生共研

8

典例2

1法一：在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示的實線部分.易知點A(2，1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)=1.

求函數(shù)最值的三種常用方法

規(guī)律方法

1

考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

多維探究典例3

√

利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，或采用插值法比較大小.規(guī)律方法典例4角度2

利用單調(diào)性解不等式

已知函數(shù)f(x)=lnx+2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是______________________.

利用單調(diào)性解不等式應(yīng)注意四點1.準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2.不等式的一邊沒有“f”而是常數(shù)時應(yīng)將其化為函數(shù)值f(x0)的形式.

3.注意利用函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、對稱性)對函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

4.勿忘定義域?qū)ψ兞康南拗?規(guī)律方法典例5角度3

求參數(shù)的取值(范圍)(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，+∞)√

√

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法1.根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.

2.對于分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.規(guī)律方法

[1，2)

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√

返回教材呈現(xiàn)

課時測評

√

√

√

√因為y=ex是增函數(shù)，y=e－x是減函數(shù)，所以f(x)=ex－e－x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(x)>0.又f(x)=－x2在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增.又c=log20.9<0，0<b=log32<1，a=50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).故選A．

√√√

√√易知f(x)在(－∞，0]，(0，+∞)上單調(diào)遞增，故A錯誤，B正確；若f(x)在(a，a+1)上單調(diào)遞增，則a≥0或a+1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正確；當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)∈[1，2]，當(dāng)x∈(0，1]時，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]時，f(x)∈(－∞，2]，故D錯誤.故選BC．7.函數(shù)y=－x2+2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間為___________________，單調(diào)遞減區(qū)間為____________________.

(－∞，－1]和[0，1]

(－1，0)和(1，+∞)

(1，2]由分段函數(shù)解析式知：f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞增，由f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，得－1<a－2≤0，即a∈(1，2].9.(新設(shè)問)已知命題p：“若f(x)<f(4)對任意的x∈(0，4)都成立，則f(x)在(0，4)上單調(diào)遞增”.能說明命題p為假命題的一個函數(shù)是____________________________________________________________________________.

由題意知，f(x)=(x－1)2，x∈(0，4)，則函數(shù)f(x)的圖象在(0，4)上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時，函數(shù)值最小，且f(x)<f(4)，滿足題意，所以函數(shù)f(x)=(x－1)2，x∈(0，4)可以說明命題p為假命題.f(x)=(x－1)2，

(2)寫出函數(shù)f(x)的單