《完全平方公式（第一課時(shí)）》平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.兩個(gè)數(shù)的和兩個(gè)數(shù)的差積平方差兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.知識(shí)回顧1.了解并掌握完全平方公式.2.理解完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，并會(huì)應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入小明去市場(chǎng)買(mǎi)一種水果，價(jià)格為每公斤10.2元，現(xiàn)稱出該水果為10.2斤，小明隨即報(bào)出了要付現(xiàn)金104.04元.你知道小明為什么算得怎么快嗎？計(jì)算下列多項(xiàng)式的積(1)(p+1)2=__________=_________；p2+2p+1(2)(m+2)2=___________=_________；m2+4m+4(3)(p-1)2=__________=_________；p2-2p+1(4)(m-2)2=__________=_________；m2-4m+4知識(shí)點(diǎn)

完全平方公式新知探究(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)(p-1)(p-1)(m-2)(m-2)觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.m2+2×2m+22m2-2×2m+22p2+2p+12P2-2p+12(1)用多項(xiàng)式乘法證明：(a-b)2=(a-b)(a-b)(a+b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(2)借助幾何圖形證明：如圖，邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形的面積是(a+b)2

.它的面積還可以視為兩個(gè)小正方形和兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和，所以(a+b)2=a2+2ab+b2baaba2ababb2即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

.它的面積還可以視為大正方形的面積減去兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的差，即如圖，邊長(zhǎng)為(a-b)的正方形的面積是(a-b)2

.所以(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)借助幾何圖形證明：(a-b)2(a-b2)a-bbba-bababb2=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.

兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.完全平方公式特點(diǎn)：(1)兩個(gè)公式的等號(hào)左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，兩者僅有一個(gè)“符號(hào)”不同；(2)兩個(gè)公式的等號(hào)右邊都是二次三項(xiàng)式，其中首尾兩項(xiàng)是等號(hào)左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，兩者也僅有一個(gè)“符號(hào)”不同.

解：(1)

(4m+n)2

=(4m)2+2·4m·n+n2

=16m2+8mn+n2

；

跟蹤訓(xùn)練新知探究

(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.完全平方公式的常見(jiàn)變形

(1)完全平方公式中的字母a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，只要符合這個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征就可以運(yùn)用這個(gè)公式.(2)完全平方公式等號(hào)右邊2ab的符號(hào)取決于等號(hào)左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的符號(hào)，若這兩項(xiàng)同號(hào)，則2ab的符號(hào)為“+”；若這兩項(xiàng)異號(hào)，則2ab的符號(hào)為“-”.(3)運(yùn)用完全平方公式的時(shí)候要避免出現(xiàn)形如(a±b)2=a2±b2

.隨堂練習(xí)1.（陜西）計(jì)算：(2x-y)2=（）A.4x2-4xy+y2B.4x2-2xy+y2C.4x2-y2D.4x2+y2(2x)2-2·2x·y+y24x2-4xy+y2A解：(1)

(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2

=4m2+4mn+n2

；(2)

(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-4x2-12xy-9y2

.2.計(jì)算下列式子：(1)(-2m-n)2

；(2)

(2x+3y)(-2x-3y).解：(3)

(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2

；(4)(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2

.2.計(jì)算下列式子：(3)(-4a+5b)2

；

(4)

(x+7y)2

.3.（棗莊）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b(a＞b)的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空余的部分的面積是()A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2圖1圖2ab4ab(a+b)2C(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2完全平方公式兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2課堂小結(jié)1.將1052變形正確的是（）解：

1052=(100+5)2=1002+2×100×5+52.A.1052=1002+52B.1052=(100-5)(100+5)C.1052=1002+2×100×5+52D.1052=1002+100×5+52C拓展提升2.若(3x-a)2=9x2-bx+16，則a+b的值為（）

A.28B.-28C.24或-24D.28或-28D解：因?yàn)?3x-a)2=9x2-6ax+a2，所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.則a2=16，6a=b,解得a=±4.當(dāng)a=4時(shí)，b=24；當(dāng)a=-4時(shí)，b=-24.所以a+b=28或-28.

3.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2

.分析：先將m2+n2，(m-n)2變形為用m+n,mn表示的式子，然后將已知整體代入求值.解：因?yàn)閙+n=8，mn=6，所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，

m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.解決此類(lèi)題目應(yīng)先利用乘法公式將待求值的式子進(jìn)行恒等變形，然后將已知整體代入求值.

完全平方公式的幾何意義1.

用4塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形如圖，用不同的方法，計(jì)算圖中

陰影部分的面積，可得到1個(gè)關(guān)于

a

，

b

的等式為

?

?.(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝

4

ab

123456789101112131415161718【解析】

S陰影＝4

S長(zhǎng)方形＝4

ab

①，

S陰影＝

S大正方形－

S空白小正方形＝(

a

＋

b

)2－(

b

－

a

)2②，由①②得(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝4

ab

.

完全平方公式2.

計(jì)算：(

x

＋2

y

)2＝(

A

)A.

x2＋4

xy

＋4

y2B.

x2＋2

xy

＋4

y2C.

x2＋4

xy

＋2

y2D.

x2＋4

y23.9

x2－

mxy

＋16

y2是一個(gè)完全平方式，那么

m

的值是(

D

)A.

12B.

－12C.

±12D.

±24【解析】∵(3

x

±4

y

)2＝9

x2±24

xy

＋16

y2，∴在9

x2－

mxy

＋16

y2中，

m

＝±24.AD1234567891011121314151617184.

若

x2－7

xy

＋

M

是一個(gè)完全平方式，那么

M

是(

C

)D.

49

y2

5.

若多項(xiàng)式4

x2＋

A

＋1是一個(gè)完全平方式，則單項(xiàng)式

A

不可能是

(

C

)A.

4

x

B.

－4

x

C.

8

x

D.

4

x4CC1234567891011121314151617186.

下列運(yùn)算正確的是(

C

)A.

(

m

－1)2＝

m2－1B.

(2

m

)3＝6

m3C.

m7÷

m3＝

m4D.

m2＋

m5＝

m7【解析】A.(

m

－1)2＝

m2－2

m

＋1，原運(yùn)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；B.(2

m

)3＝8

m3，原運(yùn)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；C.

m7÷

m3＝

m4，符合運(yùn)算法則，本選項(xiàng)符合題意；D.

m2＋

m5不能進(jìn)一步運(yùn)算化簡(jiǎn)，原運(yùn)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意.C1234567891011121314151617187.

【教材第110頁(yè)思考改編】下列等式不成立的是(

C

)A.

(2

a

＋

b

)2＝(－2

a

－

b

)2B.

(2

a

－

b

)2＝(

b

－2

a

)2C.

(2

a

－

b

)2＝2

a2－

b2D.

(2

a

＋

b

)2＝(2

a

－

b

)2＋8

ab

C123456789101112131415161718

完全平方公式的應(yīng)用8.

(赤峰中考)已知2

a2－

a

－3＝0，則(2

a

＋3)(2

a

－3)＋(2

a

－1)2的

值是(

D

)A.

6B.

－5C.

－3D.

4【解析】由2

a2－

a

－3＝0，得2

a2－

a

＝3，∴(2

a

＋3)(2

a

－3)＋(2

a

－1)2＝4

a2－9＋4

a2－4

a

＋1＝8

a2－4

a

－8＝

4(2

a2－

a

)－8＝4×3－8＝4.D1234567891011121314151617189.

若｜

x

＋

y

－5｜＋(

xy

－3)2＝0，則

x2＋

y2的值為(

A

)A.

19B.

31C.

27D.

23【解析】根據(jù)題意得

x

＋

y

－5＝0，

xy

－3＝0，∴

x

＋

y

＝5，

xy

＝3.∵(

x

＋

y

)2＝

x2＋2

xy

＋

y2＝25，∴

x2＋

y2＝(

x

＋

y

)2－2

xy

.∴

x2＋

y2＝25－2×3＝25－6＝19.

A.

－2B.

－1C.

1D.

2AC12345678910111213141516171811.

(江西中考)計(jì)算(

a

＋1)2－

a2＝

?.【解析】(

a

＋1)2－

a2＝

a2＋2

a

＋1－

a2＝2

a

＋1.

2

a

＋1

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718(3)2

0222－4

044×2

021＋2

0212.解：原式＝2

0222－2×2

022×2

021＋2

0212

＝(2

022－2

021)2

＝1.123456789101112131415161718

13.

若

x

，

y

是有理數(shù)，設(shè)

N

＝3

x2＋2

y2－18

x

＋8

y

＋35，則(

B

)A.

N

一定是負(fù)數(shù)B.

N

一定不是負(fù)數(shù)C.

N

一定是正數(shù)D.

N

的正負(fù)與

x

，

y

的取值有關(guān)B12345678910111213141516171814.

已知

x

，

y

為任意有理數(shù)，記

M

＝

x2＋

y2，

N

＝2

xy

，則

M

與

N

的大

小關(guān)系為(

B

)A.

M

＞

N

B.

M

≥

N

C.

M

≤

N

D.

不能確定【解析】∵

M

＝

x2＋

y2，

N

＝2

xy

，∴

M

－

N

＝

x2＋

y2－2

xy

＝(

x

－

y

)2.∵(

x

－

y

)2≥0，∴

M

≥

N

.

B12345678910111213141516171815.

(大慶中考)1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章

算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”.123456789101112131415161718觀察“楊輝三角”與下面的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(

a

＋

b

)7展

開(kāi)的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為

?.【解析】根據(jù)題意，得(

a

＋

b

)5展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)為1，5，10，10，

5，1，系數(shù)和為1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25，(

a

＋

b

)6展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)為1，6，15，20，15，6，1，系數(shù)和為1＋6＋15＋20＋15＋6＋1＝64＝26，則(

a

＋

b

)7展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)和為27＝128.128

12345678910111213141516171816.

填空：(1)已知

a

＋

b

＝3，

ab

＝－1，則3

a

＋

ab

＋3

b

＝

，

a2

＋

b2＝

?；(2)已知

a

－

b

＝14，

ab

＝6，則

a2＋

b2＝

?；(3)已知(

a

＋

b

)2＝10，(

a

－

b

)2＝6，則

ab

＝

?.8

11

208

1

12345678910