專題5.2分式的運算【十大題型】

【浙教版】

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】...........................................................2

【題型2分式的加減混合運算】.................................................................5

【題型3整式與分式的相加減運算】.............................................................9

【題型4分式加減的實際應(yīng)用】................................................................12

【題型5比較分式的大小】.....................................................................17

【題型6分式的混合運算及化管求值】..........................................................20

【題型7分式中的新定義問題】................................................................24

【題型8分式運算的規(guī)律探究】................................................................31

【題型9整數(shù)指數(shù)幕的運算】..................................................................37

【題型10科學(xué)計數(shù)法表示小數(shù)】................................................................39

》號聲一義三

【知識點1分式的乘除法法則】

分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似：

-X-=-

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：b"

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：b?bC

（-）1-

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。b=b

4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號中的，在算括號

外的。

注：上述所有計算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡分式

【知識點2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減；一‘一七

dM?te<

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減觸-。"一加"

注：①計算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分;②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘

除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】

（二土，X三

[例1]（2022?全國?八年級課時練習(xí)）的結(jié)果是)

a-iC,

D.1

【答案】B

【分析】先計算分式的乘方，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得解.

（當(dāng)+筒唱

【詳解】解:

(a+b)2(a-b)2a+力

(a-tf):'(a+?Xa-b

a+匕

故選：B.

【點睛】此題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關(guān)鍵.

■?■

【變式1?1】（2022?全國?八年級課時練習(xí)）（1）

⑵弓）"（9,（獷:

(-3abT)2?(一空"=

(3)

⑷5”,（有了+（房八

⑸弓=

_2"1

【答案】

【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計算即可;

(2)先算乘方,再算乘法即可:

先算乘方,再算除法即可;

(4)先算乘方,再算乘除法即可;

(5)先算乘方,再算除法即可;

【詳解】解：（1）

(2)

9/明Y（一于）=（--）:-竽

原式=

2l

y*I/—27r

丁

(4)原式產(chǎn)

(5)

3川c2

故答案為：盛一_57?

【點睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵

[-1田1)“

【變式1-2]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）

—?（?一，

【答案】

【分析】先計算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結(jié)果.

【詳解】時

■o*(?+>),(a-d

*------------

8（什卜/fg-M

3a

【點睛】本題考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1?3】（2022?湖南長沙?七年級階段練習(xí)）已知小b,c,d,x,），，z,w是互不相等的非零實數(shù)，且

力*fc2eVAbet.r2,rf2

?T+rb-：”廠cry-iy=*f則《*Tl叱的值為.

【答案】2

H_//c2"［_34_1ay2士///.//*d"iys*

［分析］設(shè)?*rr-Z-hxynr1即有：*‘…"八aW

化簡:

k==mn

,則問題即可得解.

【詳解】結(jié)合。，b,c,d,x,y,z,w是互不相等的非零實數(shù)進(jìn)行下述運算,

設(shè)

_//儲尸/JxTrrrw

則有:

?/1/，_1一.-一L

即/=7=二，產(chǎn)=■=；,m+n=7+不二人

mn

則有:

k==mn

即有:

___十二=二二二里—2

則有：rrhb*rmnk

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型2分式的加減混合運算】

2JH-7_X十―

[ft2]（2022?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）對于任意的x值都有多1"2"7,則M,N值為（）

A.M=l,N=3B.M=-1?N=3C.M=2,N=4D./Vf=l,N=4

【答案】B

M+M=2

[-M*2N=7

【分析】先計算-N---，根據(jù)已知可得關(guān)于M、N的二元一次方程組，解

之可得.

M.N

—十—

什

【詳解】解:2JT-1

Mb*,中7

小一加7

2H7

.X+x-2

??一

tM+N=2

l-M+2iV=7

??1

|M=-1

解得：IN=3,

故選B.

【點睛】本題主要考杳分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于

M、N的方程組.

_產(chǎn)y5_3ytfT+以-9y+!

【變式2-1］（2022?上海市久隆模范中學(xué)七年級期中）計算:r*ir*2T2

「力￥

［答案］產(chǎn)京丙H

【分析】先對每一個分式進(jìn)行拆分化簡，然后再進(jìn)行分式的加減計算即可.

山匚=*―滸6士】.25,+1+J.

【詳解】解：EET

匚二r3+3

y*2=7J*2

?.原式戶*1'Si(yf"㈢-(3y+2-9@-2-閔

2"I+*-y*3-=-3尸2.士42丫12~m

i____L.J____L

_y+ly72Ty^2齊

T)?，

-8FH

產(chǎn)2尸-7聲8TM：

【點睛】本題考查分式的加減計算，熟練掌握各運算法則是解題的關(guān)犍.

【變式2-2］（2022?全國?中考模擬）計算下列各式：

1+1+川+?

(1)

14y:十戶N十Nf

(2)JT*(r-r)Jr-y:r-￥^x\y￥zxr-(x-ylz-xy

jr1-1,2U2*!)

(3)jrJ>2x^+2r*lx1->2x-1x*-1

D(r)](rXL勸t(LSXy-i)

(r-2rF(Ky-2r)干(r4?尸太十七?^jy七一2IMJT-3+:

【答案】（1）-M-y（2）0（3）0（4）1

【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)異分母的分式的加減法，先把前兩個分式通分，再求和，依次計算下去即

可；

（2）先把分子添項，構(gòu)成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開，然后把分母分子分解因式,

利用同分母的分式相加減的逆運算約分化簡即可；

（3）根據(jù)立方差和立方和公式進(jìn)行分子分母的因式分解，然后再約分化簡即可；

（4）設(shè)x-y=a,y-z=b,z-x=c,利用換元法進(jìn)行約分化簡即可.

——紅,+上_

試題解析：⑴a-ba+ba2+b2a4+b4

2a2a4a3

=7^+77^+7^

4a34a3

4,4J4

222

x+yz]y-zx1z+xy

(2)x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy

x:x-z)+z(x+y)y(x+y)-x(肘z)z5z)-y(z-x)

=(x+y)(x-z)+(x+y)(y+z)+(z-x)(y+z)

xzyxzy

=x+y+x-z+y+z-x+y-x-z-y+z

=0；

x^Tx?+l_____2(x2+1)

-39十一99

(3)x'+2x'+2x+lxJ-2x>2x-lxz-l

(x-1)(x2+x+l)(x+1)(x"x+l)2(x2+l)

=(x+1)(x2+x+l)+(x-1)(x2-x+l)-(x+1)(x-1)

x-1x+12(x2+l)

=x+1+x-1-(x+1)(x-1)

=0；

(4)設(shè)x-y=a,y-z=b,z-x=c?貝ij

(y-x)(z-x)+(z-y)(x-y)%(x-z)(y-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)

acabcb

=-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)

ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

(&-b)(b-c)(c-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

=1.

-L-L-LZ-L+J-+-L

【變式2-3】（2022?河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級期末）已知實數(shù)x,），,z滿足，-4，-二+；7=匕且"〉

=11,則X+.V+Z的值為（）

72

A.12B.14C.7D.9

【答案】A

券+jW=llW=+2=14Q…亦

【分析】把"?"兩邊加上3,變形可得戶：，兩邊除以（y,得到

II,1_1414_1

由不有=赤，則訴七，從而得至產(chǎn)+丫+油值.

8

【詳解】解「??右-F后*.不-

C+后旬+定+1+$7

即*產(chǎn)：/

r+yy*j什y+s

而廣：2+1

14

???x+y+z=12

故選：A.

【點睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.經(jīng)

過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)億為同分母分式的加減，同時解決問題的關(guān)鍵也是從后面的式子變形出

x+y+2

【題型3整式與分式的相加減運算】

--—1-X

【例3】（2022?貴州銅仁?八年級期末）計算：1r的結(jié)果是

【答案】

【分析】先把分式化成同分母，再根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案.

【詳解】解:

11—x>Ur：

_l-jr1-x1-x

1-1*什/

1-M

尸

▲一

故答案為E.

【點睛】本題考查了分式的加減.熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

S21

【變式3-1】(2022?山東臨沂?中考模擬)化簡：(a+2+2-*)*?=.

【答案】2a-6

【分析】先計算括號，進(jìn)行通分，后按同分母加減計算，再計算乘除，約分即可.

(七

【詳解】原式=L2?-2

?52(?-2)

o-2

(■+3XaT)2(1：

=~二5NT

=2(a-3)

=2a-6.

故答案為2a?6.

【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有

括號的先算括號里面的.

【變式3-2](2022?福建福州?八年級期末)已知：Pr+1,.

⑴當(dāng)時，判斷RQ與0的大小關(guān)系，并說明理由；

y=l-S

⑵設(shè)'：,若“是整數(shù)，求)，的整數(shù)值.

【答案】⑴尸?8。，理由見解析;

(2)y的整數(shù)值為：?7,?3,?1,3.

【分析】(1)先求差，再比較差與0的大小關(guān)系；

(2)先表示),再求)，的整數(shù)值.

(1)

解：尸-Q20,理由如下：

P-Q=E升1Cl

x2+2x+l-4x

x+1

一

JT*19

AO,

/.A+1>0,(x-1)2>O.

/.P-Q>0；

(2)

三a三1_7「一

解/r*lJH-Ix4-lx*l

=-2+*—?1

A,y是整數(shù)，

.?r+1是5的因數(shù).

.*.A+1=±1,±5.對應(yīng)的y值為：

「?y=-2+5=3或)'=?2+(-5)=-7或y=-2+l=-l或),=?2+(-1)=-3.

1?J：的整數(shù)值為：-7,-3,-1,3.

【點睛】本題考查分式運算和比較大小，正確進(jìn)行分式的加減運算是求解本題的關(guān)鍵.

■1

-2*與2的大小，下列正確的是()

【變式3-3](2022?河北?中考真題)由值的正負(fù)可以比較

B,當(dāng)。=°時，

c<-24>弓c<0A<；

C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，

【答案】C

（把-3A-

【分析】先計算"X3的值，再根c?的正負(fù)判斷”上”的正負(fù)，再判斷〃與2的大小即可.

【詳解】解：2"2一8三

當(dāng),=一2時，2+c=0,4無意義，故A選項錯誤，不符合題意；

當(dāng)。?°時，?卬一，一'，故B選項錯誤，不符合題意；

C<-2S>0

當(dāng)/時，4+",故。選項正確，符合題意；

當(dāng)-2<c<0時痂<。/<i當(dāng)c<-2時，4+“>°故力選項錯誤，不符合題意；

故選：c.

【點睛】本題考查了分式的運算和比較大小，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進(jìn)行計算，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行

準(zhǔn)確判斷.

【題型4分式加減的實際應(yīng)用】

【例4】（2022?全國?八年級單元測試）某飛行器在相距為機的甲、乙兩站間往返飛行.在沒有風(fēng)時，飛行

器的速度為I，，往返所需時間為“；如果風(fēng)速度為”’2則飛行器順風(fēng)飛行速度為（"叫逆風(fēng)飛

行速度為“一⑶，往返所需時間為印則“、匕的大小關(guān)系為（）

A.“<*B.tl￡f2C.口-"D.無法確定

【答案】A

【分析】直接根據(jù)題意表示出“，”的值，進(jìn)而利用分式的性質(zhì)的計算求出答案.

2m■,?n_

..ti_V而+丁右

【詳解】解:?一，—9

2m_2BW_2p）

.h―?！―“，）

??——9

..0<p<t

?，

』一。<0

??，

.Jl<t2

故選：A.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式，熟練的掌握正確的分式加減運算是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?全國?八年級單元測試）課本中有一探究活動如卜：“商店通常用以卜方法來確定兩種糖

混合而成的什錦糖的價格：設(shè)‘種糖的單價為。元/千克，”種糖的單價為0元/千克，則血千克力種糖和”千克S

ma+ni

種糖混合而成的什錦糖的單價為BE（平均價）.現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由48兩種糖混合而成.其中

甲種什錦糖由10千克,種糖和10千克8種糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元8種糖混合而

成.你認(rèn)為哪一種什錦糖的單價較高？為什么？”請你完成下面小明同學(xué)的探究：

⑴小明同學(xué)根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為“.和“二（用°、0的代數(shù)式表示）；

（2）為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將■與乙進(jìn)行作差比較，即計算■一Z的差與0比較

來確定大??；

⑶經(jīng)過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價格經(jīng)常波動.方

式一：每次都加滿：方式二：每次加200元）.選擇哪種方式？請簡要說明理由.

v=,■—

【答案】⑴

（2）甲糖的單價較高，理由見解析

⑶方式二更合算

【分析】（1）根據(jù)單價=總價+數(shù)量分別求出甲糖單價和乙糖單濟(jì);

（2）根據(jù)作差法比較大小即可求解;

（3）由探究的結(jié)果進(jìn)行分析即可.

(1)

x.（18+10力）+20=+b]

解.：甲糖單價為：=（元），

乙糖單價為:匕吁小?亭用G元）,

（2）

1,1、2ab

為+?）一衣！

（a.b）z―癡力

=2（。+b）

（a-bp

=2（a+b）

?.■甲、乙兩種什錦糖，均由A,3兩種單價不同的糖混合而成,

（…尸

」?甲糖的單價較高.

由探究可知方式一相當(dāng)于甲種什錦糖，方式二相當(dāng)于乙種什錦糖,

故選擇方式二更合算.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式（分式），分式的加減法.注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)

線代替.

【變式4-2]（2022?浙江杭州?七年級期末）甲、乙兩人同時從A地出發(fā)到8地，距離為100千米.

（1）若甲從A地出發(fā)，先以20二米/小時的速度到達(dá)中點，再以25千米/小時的速度到達(dá)8地，求走完全

程所川的時間.

3yzv

（2）若甲從A地出發(fā)，先以一千米/小時的速度到達(dá)中點，再以千米/小時的速度到達(dá)區(qū)地.乙從A地出

發(fā)到4地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲、乙誰先到達(dá)B地？

（3）若甲以〃千米/時的速度行走k小時，乙以8千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為“0°—必）

100—aj

千米，乙距離終點為00°一°幻千米.分式18-E對一切有意義的X值都有相同的值,請?zhí)剿鱝,A應(yīng)滿足的

條件.

【答案】（1）4‘小時；（2）乙先到；（3）a,b應(yīng)滿足的條件是°

【分析】（1）根據(jù)“時間=路程,速度”分別求出兩段路程的時間，再求和即可得；

（2）根據(jù)"時間=路程*速度〃分別求出甲、乙走完全程所用的時間，再比較大小即可得；

100-?

⑶設(shè)一，從而可得10°一1°0k再根據(jù)無關(guān)型問題求解即可得.

“學(xué)+20+學(xué)+25

【詳解】（1）由題意得：2-,

=2.5+2

=4"小時）,

答：走完全程所用的時間為45小時；

100100

H+二=型+三=歸

（2）甲走完全程所用的時間為？三'一二1r一下，

10C

乙走完全程所用的時間為V,

100/12S

因為"1rE

所以乙先到；

100-AX,

⑶設(shè)際則1。。一以=&100-網(wǎng)

整理得J0°T°°"（H-g=0.

100-Al

???分式"AE對一切有意義的、直都有相同的值，

一.k的值與X的取值無關(guān)，

Ab-a=0n..a=kb

100-100^=0

解得

a=b

??，

故a,b應(yīng)滿足的條件是0=9

【點睛】本題考查了分式加減的應(yīng)用等知識點，依據(jù)題意，正確列出各運算式子是解題關(guān)鍵.

【變式4-3](2022?重慶?模擬預(yù)測)一個自然數(shù)能分解成'X8,其中A,8均為兩位數(shù)，A的十位數(shù)字比8

的十位數(shù)字大1，且4,8的個位數(shù)字之和為10,則稱這個自然數(shù)為“分解數(shù)〃.

例如：?「4819=79x61,7比6大1,=二4819是〃分解數(shù)〃；

又如："96="x34,4比3大1,"4*二1496不是"分解數(shù)〃.

⑴判斷325,851是否是〃分解數(shù)〃，并說明理由；

⑵自然數(shù)川=4'8為"分解數(shù)〃，若4的十位數(shù)字與8的個位數(shù)字的和為HM),A的個位數(shù)字與B的十位數(shù)

字的和F(M),令當(dāng)為整數(shù)時，則稱M為“整分解數(shù)〃.若8的十位數(shù)字能被2整除，求

所有滿足條件的“整分解數(shù)”M.

【答案】(1)325不是“分解數(shù)〃，851是“分解數(shù)〃，理由見解析

(2)899,891,8099

【分析】⑴325=25x13,851=37x23,根據(jù)定義進(jìn)行求解判斷即可;

(2)令8=10x+y,410(x+1)+10),(1—X—8,1一丫一9,且x,y為整數(shù))，可得P(")=%+>'+1,

由為整數(shù)，可知然后分情況，求出符合題意的“,，的

F(m)=x-y+102x=2,%6f8,

值，計算M即可.

(1)

解：...325=25xH,2比1大1,5+3=嗎...不是“分解數(shù)〃；

...851=37x223比2大1,7+3=1°,“si是，，分解數(shù)，，.

(2)

解：令B=io、+y,4=10(z+l)+10-y(l<x<8l<y<9且達(dá)為整數(shù))

..P(M)=x+y+lF00=x-y+10

?,

M

v2為整數(shù)

,4,6,8

GfM==-1+—^―

當(dāng)2時，廿匚為整數(shù)

.??一,+12的值為3或5

?,?解得，=9或7

.M]=31x29=899

孫=33x27=891

或時，不存在為整數(shù)

二舍去

當(dāng)8時，一戶“-尸”為整數(shù)

.-y+18=9

解得一

M3=91x89=8099

綜上所述，M的值為899,891,8099.

【點睛】本題考查了新定義下的是實數(shù)運算.解題的關(guān)鍵與難點在于理解題意并根據(jù)要求進(jìn)行求解.

【題型5比較分式的大小】

M=■一'N='Vv

【例5】（2022?全國?七年級單元測試）設(shè)"：，'，當(dāng)'U時，”和'的大小關(guān)系是（）

M>NM=NM<N

D.不能確定

【答案】A

=*>母>0

【分析】用差值法比較大小，‘，進(jìn)行通分，由,可判斷M、N的大小.

M-N/T

【詳解】

—

xy+x-xy->

x(x+l)-

si：

,/x>y>0

/.x(x+l)>0?x-y>0

/.M-N>0

故M>N.選A.

【點睛】本題考查分式加減的實際應(yīng)用.異分母分式相減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)減法法貝1進(jìn)行計算.還

需注意本題最終計算結(jié)果是分式，可分別判斷分子和分母的符號，根據(jù)兩數(shù)相除，同號為正，異號為負(fù)判

斷結(jié)果的符號.

加、［M=三N=-P="7：uhiD

【變式5-1】(2022?河北秦皇島?八年級期末)已知"九，I,","】，則M、產(chǎn)的大小

關(guān)系為.

.一、M>P>Al

【答案】

【分析】根據(jù)八>1可得M>LOCO<P"從而得到M最大，然后用作差法比較P'N的大小即可.

【詳解】解：

n-l>O,n>n-l

MAL0<N<1Q<P<1

?，

M最大;

?.r_?W-1L-n

P>N

M>P>N

故答案為：M>P>N

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和利用作差法比較兩個代數(shù)式的大小，作差法比較大小的方法是：如果

ab>Q

~t那么.>4如果”>=°,那么0=4如果那么°C；另外本題還用到了不等式

的傳遞性，即如果0>?">上那么a〉。>'

【變式5-2]（2022?全國?九年級競賽）已知"，'，N是三個互不相同的非零實數(shù)，設(shè)On*4?y+/

b=xy+yz+力,c_/?產(chǎn)+_1y.尸+二則°與力的大小關(guān)系是一與“的大小關(guān)系尾

【答案】

【分析】根據(jù)題意利用作差法進(jìn)行整式與分式的加減運算，并將結(jié)果與0比較大小即可確定函數(shù)間的大小

關(guān)系.

【詳解】解：???”，、，2是三個互不相同的非零實數(shù),

◎-白二產(chǎn)+中+/一如+盧+了4=：肝-產(chǎn)+6-4中仁-jj2]>0

.a>b

???

又」=5+?；&+*3=*-）+@-y+￡-羽>。

*c>a

???

故答案為：a>V>d

【點睛】本題考查式子的大小比較，用作差法得到代數(shù)式，運用完全平方公式配成完全平方的形式，根據(jù)X,

V，z是互不相等的非零實數(shù)，證明代數(shù)式大于0,得到a與b,c與d的大小關(guān)系.

【變式5-3]（2022?內(nèi)蒙古?呼和浩特市國飛中學(xué)八年級期末）若例1二N="7.

（1）當(dāng)。=3時，計算M與N的值；

（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

4S

【答案】（1）M=WN=%（2）M<M證明見解析.

【分析】（1）直接將。=3代入原式求出M,N的值即可；

（2）直接利用分式的加減以及乘除運算法則，進(jìn)而合并求出即可.

_>?1_4__i

【詳解】（1）當(dāng)4=3時，M375,N升3'；

（2）方法一：猜想：MVN.理由如下：

=%_fl4>：（"Wm=T

~"2a*1（a+2X?*J）白+?）加，

va>0,/.?+2>0,a+3>0,如",「.M-NVO,

方法二：猜想：MVN.理由如下：

戈二三七二…?；

/〈Ig

,「40,M>0,N>0,Ac〉。，.?.***4，.二,：.M<N.

【點睛】本題考查了分式的加減以及乘除運算，正確通分得出是解題的關(guān)鍵.

【題型6分式的混合運算及化簡求值】

【例6】（2022?天津東麗?八年級期末）計算

⑴Si+?1

a:a2-*__1_

（2）?"!?-1?-1

2?

【答案】⑴"；（2）I

【分析】（1）先將除法寫成乘法，再計算乘法，分子、分母約分化為最簡分式；

（2）先將除法寫成乘法，計算乘法得到最簡分式，再與后一項相減即可得到答案.

4a.>2

【詳解】（1）原式="才=";

（2）原式:二^^^^一二二^一二一二1

【點睛】此題考查分式的混合運算，先將除法化為乘法，再約分結(jié)果，再計算加減法.

【變式6-1】（2022?廣東惠州?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：1-F?，其中x=-2,y=3

【答案】

【分析】原式利用除法法則變形，約分后兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，之后

將X、y代入計算即可求得答案.

【詳解】解：原式=1-="7/

11

當(dāng)工=-2,尸"時，原式=".

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練的掌握分式的運算法則是解本題的關(guān)鍵，在解題的時候，要注

意式子的整理和約分.

，+]__3_\+小—《

【變式6-2]（2022?江蘇?南京玄武外國語學(xué)校八年級期中）已知分式A=’.E

（1）化簡這個分式；

（2）當(dāng)a>2時，把分式A化簡結(jié)果的分子與分母同時加上4后得到分式B,問：分式B的值較原來

分式A的值是變大了還是變小了？試說明理由；

（3）若A的值是整數(shù)，且a也為整數(shù)，求出符合條件的所有a值的和.

【答案】（1）°7；（2）原分式指變小了，見解析；（3）11

【分析】（1）根據(jù)分式混合運算順序和運算法則化簡即可得;

4-8==-WA-8=---

（2）根據(jù)題意列出算式A?化簡可得9-WZ,結(jié)合a的范圍判斷結(jié)果與0的大小

即可得;

▲一"2<.<

4=-2~1+~"5a_2

（3）由a'可知，-=±1、±2、±4,結(jié)合a的取值范圍可得.

（a+1-力）號/一?I

【詳解】解：⑴A=L1

?J-3a-l

S+ZX6-2）-I

?i-ST〉

二5

=：

（2）變小了，理由如下:

4"+：

A=—；

a-J

-9

?9

,o-2>0a+2>4

??99

,A-B>0

??，

分式的值變小了；

（3）.「A是整數(shù)，a是整數(shù),

A=—=1+—:

則II,

.。-2=±1±2±4

.?.awl，

1.”的值可能為：3、0、4、6、2

,3+0+4+6+（-2）=11

??，

符合條件的所有a值的和為11.

【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則.

【變式6-3】（2022?全國?八年級迎元測試）已知”為整數(shù)，且滿足"廣’2力，求

f的值.

[答案]x+y的值為0或士1.

【分析】根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡，根據(jù)取整法則解答即可.

【詳解】解:中沁9

?/點）=_一））

??，

G+力=一久：熱）

??，

,『“[]+沁心）卜°

??,

涔=0I+：GT=O

??或，

由干x,y為整數(shù)，

當(dāng)產(chǎn)1時，x為整數(shù)-2,則壯尸1；

2

當(dāng)廠-1時，x為E不是整數(shù)，不符合題意，舍去;

當(dāng)尸2時,x為整數(shù)?1,則■尸1；

當(dāng)產(chǎn)-2時，工為三不是整數(shù)，不符合題意，舍去；

綜上，x+y的值為0或±1.

【點睛】本題考查的是分式的混合運算，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

【題型7分式中的新定義問題】

【例7】（2022?北京昌平?八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和

ir+l一一r-1.27.工四

的形式，則稱這個分式為"和諧分式〃.如：I，一一尸】尸】「則I是"和諧分式

⑴下列分式中，屬于“和諧分式〃的是（填序號）；

r+Jr-Sx-Jjr+1

①?、诙、邸雹蹻

jr+4r>1

⑵請將"和諧分式化為一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡過程;

⑶應(yīng)用：先化簡',9并求X取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù).

【答案】⑴②③

"3-

（2）過程見解析

該式的值是整數(shù),

【分析】（1）由"和諧分式"的定義對①②③④變形即可得；

（2）根據(jù)“和諧分式”的定義進(jìn)行變形即可求解；

1.....-

（3）將原式變形為根據(jù)題意求得存勺值，根據(jù)分式有意義的條件取舍即可求解.

什3_].1

【詳解】（1）解：①‘一\不是"和諧分式"，

—=1_w

@x~是"和諧分式",

f-1"27

=1一二

".，是"和諧分式",

r+1_I+1

④F-**,不是“和諧分式〃,

故答案為：②③;

(2)解：

(x+3)-€

-x+3-

&_工1一工二

⑶解：4T*7…

卜

—x.{r+3JCr-3>x+1

x(x^4>+6]

r{x+：lXr+3Xx-3j

1中+1總-瀏-6：|

x+3

=776

x+6-3

=x+6

1---

"'為整數(shù),

.x+6=±1,±3

時，”1是整數(shù),

又..xh0,-1,3,-3,-6

時，原式的值是整數(shù).

【點睛】本題主要考查分式的化簡及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算法則及對

和諸分式的定義的理解.

【變式7-1］（2022?江蘇?八年級）定義：若兩個分式的和為n（”為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為"”階分

3_lr

式"，例如分式而與K互為“3階分式

IQx

分式775與_____互為“5階分式〃;

(1)

2x2y

設(shè)正數(shù)互為倒數(shù)，求證：分式而與"互為“2階分式，;

(2)

若分式E與K互為階分式〃（其鏟,為正數(shù)），求e的值.

【答案】（1）“，（2）詳見解析；（3）2

【分析】（1）根據(jù)分式的加法，設(shè)所求分式為4,然后進(jìn)行通分求解即可；

（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將達(dá)），進(jìn)行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解;

（3）根據(jù)1階分式的要求對兩者相加進(jìn)行分式加法化簡，通過通分化簡即可得解.

u十4~5

【詳解】（1）依題意，所求分式為A,即：,

（2）???正數(shù)'’互為倒數(shù)

1x=!

?=1,即，

三+工=±.工=」+工=上二2

.什鏟戶屋產(chǎn)=i+r*yJ+it+r*

2x2y

???分式而與K3互為“2階分式〃;

（3）由題意得R+衣豆一，等式兩邊同乘（0+'"）（"+2m

，笛汨a（（r42b）+2b（a+4b2）=（a、2b）（a+4⑻

，間1號：

2ob+8bJ=4a:ir+8bJ

nlJ:

.4Mb2-2ab=02ab（2ab-1）=0

--，

ab=；

?或o

為正數(shù)

ab=；

???

【點睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運算知識是解決此類問題的關(guān)鍵.

【變式7-2］（2022?江蘇?灌南縣揚州路實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）定義：若分式與分式"的差等于它們的

11J_____l_=1

積，即必-\=嗎則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式如川尸，因為葉，z—,

■^―X——=?

r+lx*2(r+lXx+2)日

所以JTZrM的“關(guān)聯(lián)分式〃.

⑴已知分式E,則KK的，，關(guān)聯(lián)分式，，（填，，是，，或，，不是〃）.

（2）小明在求分式不于的“關(guān)聯(lián)分式”時，用了以下方法:

N=

設(shè)7^3/的“關(guān)聯(lián)分式”為N,則'

舟+1”=力

??，

請你仿照小明的方法求分式的“關(guān)聯(lián)分式