線性代數(shù)（第二版）12.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣22.1矩陣的概念32.1矩陣的概念2.1.1矩陣的概念矩陣是從許多實際問題中抽象出來的一個數(shù)學概念.從形式上看,矩陣就是一個矩形的數(shù)表.引例2.1.1線性方程組的解僅與變元的系數(shù)及常數(shù)項有關(guān)，因此可以考慮將方程組簡記為一個由系數(shù)及常數(shù)構(gòu)成的數(shù)表.例如對應的數(shù)表可記為4引例2.1.2現(xiàn)有5家企業(yè)生產(chǎn)某種商品，它們的產(chǎn)品都可以銷往4個地區(qū)，那么商品的調(diào)運方案可簡單地表示為其中aij表示商品由生產(chǎn)企業(yè)i(i=1,2,3,4,5)運到銷售地區(qū)j

(j=1,2,3,4)的數(shù)量.5定義2.1.1由m×n個數(shù)

構(gòu)成的m行(橫的)n列(縱的)的數(shù)表稱為m行n列的矩陣,簡稱為m×n階矩陣.數(shù)稱為矩陣的元素，角標i稱為行指標，j稱為列指標.矩陣通常用大寫黑體英文字母

或者

表示.在表達方式上，有時為了指明矩陣的行數(shù)與列數(shù)，可以將m×n階矩陣表示為

或.62.1.2一些特殊的矩陣所有元素都為實數(shù)的矩陣稱為實矩陣；所有元素都為復數(shù)的矩陣稱為復矩陣；所有元素都為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣一般記為O；所有元素均為非負數(shù)的矩陣稱為非負矩陣.如果矩陣的行數(shù)與列數(shù)都是n，則稱該矩陣為n階方陣，記為An.1×n階矩陣，即稱為行矩陣，也稱為n維行向量.或n×1階矩陣，即稱為列矩陣，也稱為n維列向量．7對角線元素均為1，其余位置的元素均為0的方陣，即稱為單位矩陣，記為E.對角線元素相同，其余位置的元素均為0的方陣，即稱為數(shù)量矩陣，記為kE.8非對角線元素均為0的方陣，即稱為對角矩陣，記為Λ或.若，則稱A為下三角形矩陣.(上三角形矩陣)(下三角形矩陣)設(shè)矩陣

，若，則稱A為上三角形矩陣；92.1.3矩陣相等若矩陣A和B的行數(shù)、列數(shù)分別相等，則稱A和B為同型矩陣.定義2.1.2若同型矩陣，

的對應元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為A=B.例2.1.1已知矩陣

，，A=B，求x，y的值.解由A=B，解得x=5，y=6，z=-1.10謝謝！11線性代數(shù)（第二版）122.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣132.2矩陣的運算142.2矩陣的運算2.2.1矩陣的加法定義2.2.1設(shè)兩個m×n階矩陣，

，稱矩陣為A與B的和，記為C=A+B.例2.2.1矩陣，則15設(shè)矩陣

，則稱

為矩陣A的負矩陣，記為-A.(1)A+B=B+A；(2)(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)A+O=A；(4)A+(-A)=O.矩陣的加法有如下運算律:矩陣的減法16定義2.2.2設(shè)k為常數(shù)，矩陣

，稱矩陣為k與A的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘，記為kA.2.2.2矩陣的數(shù)量乘法矩陣的數(shù)乘運算滿足如下運算律:(1)1A=A；(2)k(A+B)=kA+kB；(3)(k+l)A=kA+lA；(4)k(lA)=(kl)A.其中k，l均為常數(shù).17例2.2.2已知2A+3X=2B，，求矩陣X.解依題有

，從而182.2.3矩陣的乘法定義2.2.3設(shè)矩陣

，，稱矩陣為A與B的乘積，記為AB，這里矩陣乘法滿足如下運算律:其中k為常數(shù).(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).證

僅證明式(2)，19設(shè)，則20解由矩陣的乘法定義，有例2.2.3設(shè)，求AB.21例2.2.4設(shè)，，求AB和BA.解

由矩陣的乘法定義，有22例2.2.5設(shè)，

，求

和

．

解

由矩陣的乘法定義，有由例2.2.4和例2.2.5可以看出，矩陣的乘法一般不滿足交換律.定義2.2.4若矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B可交換.23例2.2.6已知矩陣，求與

可交換的一切矩陣．解設(shè)與A可交換的矩陣為

，則有由AB=BA，有整理可得，其中a,b,c為任意實數(shù).24例2.2.8證明：如果AC=CA，BC=CB，則有(A+B)C=C(A+B)；(AB)C=C(AB).證依題有2.2.4方陣的冪定義2.2.5設(shè)矩陣A為方陣，規(guī)定稱Ak為A的k次冪.25方陣的冪滿足如下運算律:(1)AkAl=Ak+l；(2)(Ak)l=Akl.其中k，l均為自然數(shù).例2.2.8設(shè)，求(n≥2為正整數(shù))解

由于從而26例2.2.9已知，，設(shè)

，求.

解

由題意，有再由矩陣乘法的結(jié)合律272.2.5方陣的多項式設(shè)是x的多項式，A為n階方陣，稱為矩陣A的多項式，顯然f(A)仍是一個n階方陣.2.2.6矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.2.6設(shè)矩陣

，稱矩陣為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT.28矩陣的轉(zhuǎn)置滿足如下運算律:(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT，;(4)(AB)T=BTAT.其中k為常數(shù).證

(4)，設(shè)

，(AB)T中第i行第j列的元素，即為AB的第j行第i列的元素BTAT中第i行第j列的元素為BT的第i行與AT的第j列對應乘積的和所以有.29例2.2.10設(shè),,求

和.

解

依題有

30設(shè)A為方陣，若A滿足AT=A，則稱A為對稱矩陣；若A滿足AT=-A，則稱A為反對稱矩陣.證

不妨設(shè)則例2.2.12設(shè)A，B分別為三階實對稱矩陣與反實對稱矩陣，且滿足A2=B2，證明.31由于

，因此有從而類似可得到故.322.2.7方陣的行列式定義2.2.7設(shè)矩陣A為方陣，由A中的元素按原順序構(gòu)成的行列式，稱為方陣A的行列式，記為.方陣的行列式滿足如下運算律:(1)；

(2)；

(3).其中A，B均為n階方陣，k為常數(shù).33謝謝！34線性代數(shù)（第二版）352.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣362.3可逆矩陣372.3可逆矩陣2.3.1可逆矩陣的概念定義2.3.1對于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，或稱A可逆，且稱B為A的逆矩陣.命題2.3.1若矩陣A可逆，則其逆矩陣唯一.設(shè)矩陣B，C均為A的逆矩陣，由定義有AB=BA=E，

AC=CA=E，

從而B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.記A的逆矩陣為A-1.38例2.3.1設(shè)，，A是否可逆？若可逆，求A-1.解

由于因此A可逆，且392.3.2伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系定義2.3.2設(shè)A為n階方陣，行列式A中所有元素的代數(shù)余子式Aij

構(gòu)成的矩陣稱為A的伴隨矩陣．例2.3.2設(shè)

，試求A*.40解

計算

中各元素的代數(shù)余子式有由定義例2.3.2設(shè)

，試求A*.41

伴隨矩陣的一個重要的運算性質(zhì)：定理2.3.1方陣A可逆的充分必要條件是.當A可逆時，

證

必要性若A可逆，則有AA-1=E，

進而

，所以.充分性.當

時，由整理可得42推論2.3.1若同階方陣A，B滿足AB=E(或BA=E)，則A，B均可逆，且互為逆矩陣.若

，則稱A為非奇異的(或非退化的)，否則稱A為奇異的(或退化的).證由AB=E，有

，從而，故A，B均可逆，再由因此A，B互為逆矩陣.43例2.3.3判斷例2.3.2中的方陣A是否可逆，若可逆，求A-1.解由于故

可逆，又因此，44例2.3.4設(shè)A和B均為方陣，且滿足，證明：(1)可逆；(2)A，B可交換.證(1)由

，整理有由推論2.3.1有

可逆，且其逆矩陣為.(2)由(1)有化簡得AB=BA，即A和B可交換.452.3.3可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.3.1如果方陣A可逆，則A-1可逆，且.性質(zhì)2.3.2如果方陣A可逆，數(shù)

，則kA可逆，且，.性質(zhì)2.3.3如果同階方陣A，B都可逆，則AB可逆，且.證

由于故46性質(zhì)2.3.4如果矩陣A可逆，則AT可逆，且.證由，兩側(cè)取轉(zhuǎn)置有

，從而.性質(zhì)2.3.5如果矩陣A可逆，則證

由，有，而，故47例2.3.5設(shè)A是可逆矩陣，證明

可逆，并且證由A可逆有

，，從而

．例2.3.6已知A，B均為可逆矩陣，證明

可逆，并求其逆．證

由A，B均可逆有．再由

可逆及性質(zhì)2.3.3，有可逆，并且482.3.4逆矩陣的應用含未知矩陣的等式稱為矩陣方程.常見的矩陣方程有(其中X為未知矩陣)，稱這三個矩陣方程為基本矩陣方程.至于其他形式的矩陣方程，可以通過矩陣運算轉(zhuǎn)化為基本矩陣方程.對于基本矩陣方程，如果A，B可逆，則在等式兩邊同時左乘

或右乘

，可將其分別整理為49例2.3.7已知

，矩陣X滿足

，求矩陣X.解首先在方程兩邊右乘A，有進一步化簡為基本矩陣方程由于

，且易見

可逆，從而有50謝謝！51線性代數(shù)（第二版）522.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣532.4分塊矩陣542.4分塊矩陣為了簡化矩陣的計算或便于矩陣性質(zhì)的分析，一種常用的技巧是矩陣的分塊，即將矩陣A用一些橫線和豎線分成若干個小矩陣，每個小矩陣稱為A的一個子塊，正如矩陣是由數(shù)組成的一樣，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣．2.4.1分塊矩陣的概念分塊矩陣為552.4.2分塊矩陣的運算(1)加法若有意義，則對A，B進行相同的分塊后得到的分塊矩陣可以相加，并且加法表現(xiàn)為對應的子塊相加．(2)數(shù)量乘法數(shù)與分塊矩陣相乘等于將數(shù)乘到分塊矩陣的每個子塊上．(3)矩陣乘法若AB有意義，則對A，B進行分塊時只要A的列分割方式與B的行分割方式相同，得到分塊矩陣可以相乘，并且乘法與普通矩陣的乘法運算一致．

(4)轉(zhuǎn)置設(shè)A的分塊矩陣為

，則其轉(zhuǎn)置為56例2.4.1設(shè)矩陣，計算AB.解對A，B進行如下分塊進而

572.4.3幾種特殊的分塊矩陣及性質(zhì)分塊矩陣

稱為分塊對角矩陣．（

為方陣）若A為如上的分塊對角矩陣，則有(1)(2)A可逆的充分必要條件為

可逆．若A可逆，則58分塊矩陣

，分別稱為分塊上三角形矩陣和分塊下三角形矩陣．

分塊上（下）三角形矩陣具有如下性質(zhì)：(1)(2)分塊上（下）三角形矩陣的和、差、乘積、數(shù)乘及逆仍為同型的分塊上（下）三角形矩陣．59例2.4.2已知矩陣，求.．解對A分塊，并記故60例2.4.4（克萊姆法則）若線性方程組的系數(shù)行列式則其有唯一解其中

是將D中的第j列的元素替換常數(shù)項b所得到的行列式．證

若

，則因此是方程組的解．另一方面，若，則A可逆，進而由整理得，表明若方程組有解它必為．故當時，方程組有唯一解，而6162謝謝！63線性代數(shù)（第二版）64642.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣652.5矩陣的初等變換662.5矩陣的初等變換(2)用數(shù)乘以矩陣的某一行；定義2.5.1矩陣的下述三種變換稱為矩陣的初等行變換．(3)將矩陣的某一行的k倍加到另外一行．將定義中的行換成列，則稱為矩陣的初等列變換，矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣初等變換．(1)交換矩陣的兩行；

2.5.1矩陣的初等變換定義2.5.2若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記作A→B.67等價具有下列基本性質(zhì):(1)自反性：A→A；

(2)對稱性：A→B，則B→A；

(3)傳遞性：A→B，B→C，則A→C.形如

的矩陣稱為行階梯形矩陣.其特點是：非零行（元素不全為零的行）排在矩陣的上方，且每行的非零首元（第一個非零元素）所在的列自上而下嚴格單調(diào)遞增．

68形如

的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣.

其特點是：非零行的第一個非零元都為1，的列的其他元素都為0.若矩陣可用分塊矩陣的形式記為

，稱該矩陣為標準形矩陣．69例2.5.1將

化為行階梯形，行最簡形，標準形矩陣．解

利用矩陣的初等行變換，有行階梯形矩陣70行最簡形矩陣標準形矩陣71證若A=O，則A已經(jīng)是標準形矩陣.以下設(shè)

為非零矩陣，不失一般性，設(shè)

，對A進行初等變換，將第1行的

倍加到第i行

，將第1列的

倍加到第j列

，然后將第1行乘以

，變換后的矩陣以分塊矩陣的形式表示為其中A1為

階矩陣，對A1

重復以上步驟，即可將A化為標準形矩陣.定理2.5.1任何一個矩陣A都可經(jīng)過有限次初等變換化為標準形矩陣.72證設(shè)A為n階方陣，且其標準形矩陣為由定理2.5.1的證明易見，其中k為非零常數(shù).若A可逆，則，從而

，這必要求r=n，所以D=E

.推論2.5.2如果A為可逆矩陣，則A可經(jīng)過有限次初等變換化為E，即A→E.推論2.5.1任何一個矩陣A都可經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣，進而化為行最簡形矩陣.73例2.5.2用初等變換將化為標準形．解

利用矩陣的初等變換，有742.5.2初等矩陣定義2.5.3由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.(1)交換E的第i，j行(列)，得75(2)用非零數(shù)c乘E的第i行(列)，得(3)將E的第j行的k倍加到第i行上，得76初等矩陣可逆具有如下性質(zhì)：定理2.5.2

對A施以一次初等行變換，等價于在A的左側(cè)乘以一個相應的初等矩陣；對A施以一次初等列變換，等價于在A的右側(cè)乘以一個相應的初等矩陣．證只證明行變換的情形.A為m×n階矩陣，其按行分塊記為77由矩陣的分塊乘法有這相當于交換A的第i行與第j行.這相當于用c乘以A的第i行.78這相當于將A的第j行的k倍加到第i行.79證由于初等矩陣可逆，充分性顯然.必要性.設(shè)方陣A可逆，由推論2.5.2有A→E，根據(jù)定理2.5.2，這等價于存在初等矩陣及使得整理有因為初等矩陣的逆仍然是初等矩陣，故A可以表示為初等矩陣的乘積.推論2.5.3方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為若干個初等矩陣的乘積.802.5.3用矩陣的初等變換求矩陣的逆公式如下：81例2.5.3設(shè)，求.解對矩陣(A

E)施以初等行變換所以82例2.5.4已知，，解矩陣方程.．解由

，整理可得

，而83所以84謝謝！85線性代數(shù)（第二版）862.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣872.6矩陣的秩882.6矩陣的秩2.6.1矩陣的秩的概念定義2.6.1在

中任取k行k列()，位于這些行列交叉位置的k2個元素按原次序構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式.命題2.6.1若矩陣A的k階子式全為零，則l(l≥k)階子式也全為零.定義2.6.2若A中存在一個不為零的r階子式，且所有r+1階子式(如果存在)均為零，則稱r為矩陣A的秩，記為R(A)(或r(A)).89(1)若A為m×n階矩陣，則

；

(2)；(3)；

(4)若A為n階方陣，則R(A)=n的充分必要條件為.設(shè)A為m×n階矩陣，當

時，稱A為滿秩矩陣；當R(A)=m時，稱A為行滿秩矩陣；當R(A)=n時，稱A為列滿秩矩陣.90矩陣的秩具有下列性質(zhì)：例2.6.1已知矩陣，求

．解顯然A的四階子式全為零，且由于即A存在三階子式不為零，所以R(A)=3.912.6.2

矩陣的秩的求法定理2.6.1初等變換不改變矩陣的秩．證

設(shè)A經(jīng)過一次初等行變換化為B，且R(A)=r.(1)當變換方式為

或

時，對于B的任意r+1階子式

，總能在A中找到r+1階子式

，使得或

或.而R(A)=r，因此A的任意r+1階子式均為零，所以

，因此R(B)≤r，從而有R(B)≤R(A).92(2)當變換方式為

時，若B的r+1階子式

中不包含B的第i行，或既包含