線性代數(shù)（第二版）12.1矩陣的概念2.2矩陣的運(yùn)算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣22.3可逆矩陣32.3可逆矩陣2.3.1可逆矩陣的概念定義2.3.1對(duì)于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱(chēng)A為可逆矩陣，或稱(chēng)A可逆，且稱(chēng)B為A的逆矩陣.命題2.3.1若矩陣A可逆，則其逆矩陣唯一.設(shè)矩陣B，C均為A的逆矩陣，由定義有AB=BA=E，

AC=CA=E，

從而B(niǎo)=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.記A的逆矩陣為A-1.4例2.3.1設(shè)，，A是否可逆？若可逆，求A-1.解

由于因此A可逆，且52.3.2伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系定義2.3.2設(shè)A為n階方陣，行列式A中所有元素的代數(shù)余子式Aij

構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為A的伴隨矩陣．例2.3.2設(shè)

，試求A*.6解

計(jì)算

中各元素的代數(shù)余子式有由定義例2.3.2設(shè)

，試求A*.7

伴隨矩陣的一個(gè)重要的運(yùn)算性質(zhì)：定理2.3.1方陣A可逆的充分必要條件是.當(dāng)A可逆時(shí)，

證

必要性若A可逆，則有AA-1=E，

進(jìn)而

，所以.充分性.當(dāng)

時(shí)，由整理可得8推論2.3.1若同階方陣A，B滿(mǎn)足AB=E(或BA=E)，則A，B均可逆，且互為逆矩陣.若

，則稱(chēng)A為非奇異的(或非退化的)，否則稱(chēng)A為奇異的(或退化的).證由AB=E，有

，從而，故A，B均可逆，再由因此A，B互為逆矩陣.9例2.3.3判斷例2.3.2中的方陣A是否可逆，若可逆，求A-1.解由于故

可逆，又因此，10例2.3.4設(shè)A和B均為方陣，且滿(mǎn)足，證明：(1)可逆；(2)A，B可交換.證(1)由

，整理有由推論2.3.1有

可逆，且其逆矩陣為.(2)由(1)有化簡(jiǎn)得AB=BA，即A和B可交換.112.3.3可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.3.1如果方陣A可逆，則A-1可逆，且.性質(zhì)2.3.2如果方陣A可逆，數(shù)

，則kA可逆，且，.性質(zhì)2.3.3如果同階方陣A，B都可逆，則AB可逆，且.證

由于故12性質(zhì)2.3.4如果矩陣A可逆，則AT可逆，且.證由，兩側(cè)取轉(zhuǎn)置有

，從而.性質(zhì)2.3.5如果矩陣A可逆，則證

由，有，而，故13例2.3.5設(shè)A是可逆矩陣，證明

可逆，并且證由A可逆有

，，從而

．例2.3.6已知A，B均為可逆矩陣，證明

可逆，并求其逆．證

由A，B均可逆有．再由

可逆及性質(zhì)2.3.3，有可逆，并且142.3.4逆矩陣的應(yīng)用含未知矩陣的等式稱(chēng)為矩陣方程.常見(jiàn)的矩陣方程有(其中X為未知矩陣)，稱(chēng)這三個(gè)矩陣方程為基本矩陣方程.至于其他形式的矩陣方程，可以通過(guò)矩陣運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基本矩陣方程.對(duì)于基本矩陣方程，如果A，B可逆，則在等式兩邊同時(shí)左乘

或右乘

，可將其分別整理為15例2.3.7已知

，矩陣X滿(mǎn)足