河南省新鄭市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編單元測(cè)試考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，所有陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面積依次為2，4，3，則正方形D的面積為()A．9 B．8 C．27 D．452、如圖，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，連接AE，BD交于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3、如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為（

）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米4、如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F，已知EF=，則BC的長(zhǎng)是（）A． B．3 C．3 D．35、兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm6、如圖，矩形中，的平分線交于點(diǎn)E，，垂足為F，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7、如圖，在中，，兩直角邊，，現(xiàn)將AC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則CD長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，鐵路MN和公路PQ在O點(diǎn)處交匯，公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN120米，如果火車行駛時(shí)，周圍兩百米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間是_______s2、我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個(gè)圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長(zhǎng)為3尺,有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處,則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_______尺.

3、如圖，滑竿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，∠ACB為直角，已知滑竿AB長(zhǎng)2.5米，頂點(diǎn)A在AC上滑動(dòng)，量得滑竿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，滑竿頂端A下滑________米．4、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點(diǎn)D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．5、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為_(kāi)____尺．6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AB＝15，Rt△ABC的周長(zhǎng)為15+9，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)____．7、《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題：“今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地，問(wèn)木長(zhǎng)幾何？”其意思為：今有墻高1丈，倚木桿于墻，使木之上端與墻平齊，牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．問(wèn)木桿是多長(zhǎng)？（1丈=10尺）設(shè)木桿長(zhǎng)為x尺根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)_____．8、如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為_(kāi)______．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過(guò)程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______．2、若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.3、我們知道，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．（1）如圖1，點(diǎn)P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準(zhǔn)外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長(zhǎng)．4、如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？5、如圖，某商家想在商場(chǎng)大樓上懸掛一塊廣告牌，廣告牌高．根據(jù)商場(chǎng)規(guī)定廣告牌最高點(diǎn)不得高于地面20m，經(jīng)測(cè)量，測(cè)角儀支架高，在F處測(cè)得廣告牌底部點(diǎn)B的仰角為30°，在E處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂部點(diǎn)A的仰角為45°，，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明，商家這樣放廣告牌是否符合規(guī)定？（圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H在同一平面內(nèi)）6、如圖，在四邊形中，，，于，（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．7、閱讀與思考：請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．若直角三角形的三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，則三邊的長(zhǎng)為“勾股數(shù)”．構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找3個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“其中兩個(gè)數(shù)的平方和（或平方差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”．通過(guò)觀察常見(jiàn)勾股數(shù)“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想當(dāng)一組勾股數(shù)中（），最小數(shù)為奇數(shù)時(shí)，另兩個(gè)正整數(shù)和滿足比且，解得，．任務(wù)：(1)請(qǐng)證明猜想成立，即證明，，構(gòu)成勾股數(shù)．(2)若一組勾股數(shù)中，最小數(shù)為9，則另兩個(gè)數(shù)分別是________和________．-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】設(shè)正方形D的面積為x，根據(jù)圖形得出方程2+4=x-3，求出即可．【詳解】∵正方形A、B、C的面積依次為2、4、3，∴根據(jù)圖形得：2+4=x?3．解得：x=9．故選A．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，根據(jù)圖形推出四個(gè)正方形的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2、B【解析】【分析】由已知證得，進(jìn)而確定三個(gè)內(nèi)角的大小，求得，進(jìn)而可得到答案．【詳解】解：∵∴∴又∵∴∴∵在等腰直角三角形中∴∴∴∵∴故選：B．【考點(diǎn)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理計(jì)算出直角邊，即可求出小巷寬度.【詳解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故選：C．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的運(yùn)用，利用梯子長(zhǎng)度不變找到斜邊是關(guān)鍵.4、B【解析】【分析】折疊的性質(zhì)主要有：1.重疊部分全等；2.折痕是對(duì)稱軸,對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.由折疊的性質(zhì)可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性質(zhì)可知,所以,的長(zhǎng)可求，再利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：AB＝AC，,故選B.【考點(diǎn)】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出∠AFB=90°是解題的關(guān)鍵．5、D【解析】【分析】畫出圖形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，cm，cm，∴在中，cm，故選：D【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．6、D【解析】【分析】根據(jù)AE平分∠DAE，可得，從而得到AB=BE，進(jìn)而得到，可得①正確；然后證明△ABE≌△AFD，可得AB=BE=AF=FD，從而得到∠AED=∠CED，故②正確；再證得△DEF≌△DEC，可得③正確；再根據(jù)△ABF≌△DCF，可得BF=CF，故④正確；過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得⑤正確；即可求解．【詳解】解：在矩形中，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AD∥BC，∵AE平分∠DAE，∴，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=45°，∴∠AEB=∠BAE=45°，∴AB=BE，∴，∵，∴AE=AD，故①正確；在△ABE和△AFD中，∵∠BAE=∠DAE，∠ABE=∠AFD，AE=AD，∴△ABE≌△AFD（AAS），∴BE=DF，∴AB=BE=AF=FD，∴，∴∠AED=∠CED，故②正確；∵∠DAE=45°，DF⊥AE，∴∠ADF=45°，∴∠CDF=45°，∠EDF=∠ADE-∠ADF=22.5°，∴∠CDE=∠FDE=22.5°，∵∠AEB=45°，∠AED=67.5°，∴∠CED=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵DE=DE，∴△DEF≌△DEC，∴DF=CD，∴DE⊥CF，故③正確；∵AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，AF=DF，∴△ABF≌△DCF，∴BF=CF，故④正確；如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，∴FG∥AB，∴∠EFG=∠BAE=45°，∴∠EFG=∠FEG，∴FG=GE，∵△DEF≌△DEC，∴CE=EF，∴，∴，∵BF=CF，∴BG=CG，∴，∵AB=1，，∴，，解得：，∴．故⑤正確；∴正確的有5個(gè)．故選：D【考點(diǎn)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7、A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），由折疊的性質(zhì)得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm?6cm＝4cm，∠BED＝90°，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝8?x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8?x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故選：A．【考點(diǎn)】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟記折疊性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題1、8【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，根據(jù)題意可知AC的長(zhǎng)與200米相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過(guò)點(diǎn)A作AD=AB=200米，求出BD的長(zhǎng)即可得出居民樓受噪音影響的時(shí)間．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN120米，∴AC=120米，當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小時(shí)=40米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷40=8秒．故答案為：8．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．2、25.【解析】【詳解】解：這種立體圖形求最短路徑問(wèn)題，可以展開(kāi)成為平面內(nèi)的問(wèn)題解決，展開(kāi)后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是直角三角形求斜邊的問(wèn)題.根據(jù)勾股定理可求出葛藤長(zhǎng)為（尺）．故答案為：25．3、0.5【解析】【詳解】結(jié)合題意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案為0.5.點(diǎn)睛：本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．4、5【解析】【分析】根據(jù)角度轉(zhuǎn)換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理計(jì)算出DE的長(zhǎng).【詳解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考點(diǎn)】本題主要考查到運(yùn)用勾股定理求長(zhǎng)度，說(shuō)明三角形ADE是直角三角形是解題的關(guān)鍵.5、13【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺，答：蘆葦長(zhǎng)13尺．故答案為：13．【考點(diǎn)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．6、6【解析】【分析】由已知條件得出AC＋BC＝9，由勾股定理得出AC2＋BC2＝AB2＝152＝225，求出AC×BC＝90，由三角形面積即可得出答案．【詳解】解：∵Rt△ABC的周長(zhǎng)為15＋9，∠ACB＝90°，AB＝15，∴AC＋BC＝9，AC2＋BC2＝AB2＝152＝225，∴（AC＋BC）2＝（9）2，即AC2＋2AC×BC＋BC2＝405，∴2AC×BC＝405?225＝180，∴AC×BC＝90，∵AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝6；故答案為：6．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，完全平方公式，三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算，熟記直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時(shí)，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長(zhǎng)為x尺，則木桿底端離墻有（x-1）尺，根據(jù)勾股定理可列出方程．【詳解】解：如圖，設(shè)木桿AB長(zhǎng)為x尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長(zhǎng)有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案為：102+（x-1）2=x2．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問(wèn)題抽象出直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．8、【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)和相關(guān)線段的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，即可求出-1和A之間的線段的長(zhǎng)，即可知A所表示的數(shù)．【詳解】圖中直角三角形的兩直角邊為1，2，所以斜邊長(zhǎng)為，那么-1和A之間的距離為，那么數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為：．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題1、(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進(jìn)而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．2、三角形為直角三角形,理由見(jiàn)解析【解析】【分析】這是一道有關(guān)勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答題．把已知條件寫成三個(gè)完全平方式的和的形式，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀.【詳解】，，即．，，，，，．，，．，，該三角形為直角三角形．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式.此題的關(guān)鍵就是靈活掌握完全平方公式的特點(diǎn)，用配方法進(jìn)行恒等變形，在恒等變形的過(guò)程中不要改變式子的值.3、（1）見(jiàn)解析；（2）AP的長(zhǎng)為或2或【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）先利用勾股定理計(jì)算AC=4，再進(jìn)行討論：當(dāng)P點(diǎn)在AB上，PA＝PB，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PA＝PC，易得對(duì)應(yīng)AP的值；當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PB＝PC，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時(shí)AP的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，PA＝PB，則APAB；當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PB＝PC，如圖2，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時(shí)AP，綜上所述，AP的長(zhǎng)為或2或．【考點(diǎn)】