1．1.6棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積的概念，了解它們的側(cè)面展開(kāi)圖.2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的表面積公式，并會(huì)求它們的表面積.3.掌握球的表面積公式并會(huì)求球的表面積．知識(shí)點(diǎn)直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)和旋轉(zhuǎn)體的表面積幾何體側(cè)面積公式表面積(全面積)直棱柱S直棱柱側(cè)＝________棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積＝________＋________正棱錐S正棱錐側(cè)＝________正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)＝________圓柱S圓柱側(cè)＝2πRh圓錐S圓錐側(cè)＝πRl球S球＝________其中c′，c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h′表示斜高，R表示球的半徑．類型一柱、錐、臺(tái)的側(cè)(表)面積eq\x(命題角度1多面體的側(cè)表面積)例1現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積．反思與感悟多面體表面積的求解方法(1)棱錐、棱臺(tái)的表面積為其側(cè)面積與底面積之和，底面積根據(jù)平面幾何知識(shí)求解，求側(cè)面積的關(guān)鍵是求斜高和底面周長(zhǎng)．(2)斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長(zhǎng)等，往往可以構(gòu)成直角三角形(或梯形)，利用好這些直角三角形(或梯形)是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和6，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該正四棱臺(tái)的高是()A．2B.eq\f(5,2)C．3D.eq\f(7,2)(2)已知正三棱錐V－ABC的主視圖、俯視圖如圖所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，求該三棱錐的表面積．eq\x(命題角度2圓柱與圓錐的側(cè)表面積)例2(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4(2)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等．若圓柱的底面半徑為r，圓柱的側(cè)面積為S，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．反思與感悟由圓柱、圓錐的側(cè)面積公式可知，要求其側(cè)面積，必須已知(或能求出)它的底面圓的半徑和它的母線長(zhǎng)．跟蹤訓(xùn)練2(1)一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)(2)軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍B．3倍C.eq\r(2)倍D．2倍類型二簡(jiǎn)單組合體的表面積例3(1)如圖是一建筑物的三視圖，現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，問(wèn)需要油漆多少千克？(尺寸如圖，單位：米，π取3.14，結(jié)果精確到0.01千克)(2)已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積．反思與感悟求組合體表面積的三個(gè)基本步驟(1)要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成的，組成形式是什么．(2)根據(jù)組合體的組成形式設(shè)計(jì)計(jì)算思路．(3)根據(jù)公式計(jì)算求值．跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______．類型三球的表面積例4有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．反思與感悟(1)在處理球和長(zhǎng)方體的組合問(wèn)題時(shí)，通常先作出過(guò)球心且過(guò)長(zhǎng)方體對(duì)角面的截面圖，然后通過(guò)已知條件求解．(2)球的表面積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造熟悉的正方體，長(zhǎng)方體等，通過(guò)彼此關(guān)系建立關(guān)于球的半徑的等式求解．跟蹤訓(xùn)練4已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為_(kāi)_______．1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長(zhǎng)度：cm)，則此幾何體的表面積是()A．(80＋16eq\r(2))cm2 B．84cm2C．(96＋16eq\r(2))cm2 D．96cm22．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為()A.eq\f(3,2)π B．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3) D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)3．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1 B．2C．3 D．44．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2π，則該圓柱的表面積為_(kāi)_______．5．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)_______．1．多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面積．2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解．

答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)cheq\f(1,2)ch′eq\f(1,2)(c＋c′)h′側(cè)面積底面積4πR2題型探究例1解如圖，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝(eq\f(AC,2))2＋(eq\f(BD,2))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側(cè)面積為4×8×5＝160.跟蹤訓(xùn)練1(1)A[如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺(tái)的高，連接OE、O1E1，作E1H∥O1O，由題意，得eq\f(3＋6EE1,2)×4＝9＋36，∴EE1＝eq\f(5,2)，在Rt△EHE1中，E1H2＝EEeq\o\al(2,1)－EH2＝eq\f(25,4)－eq\f(9,4)＝4，∴E1H＝2，∴O1O＝2，故選A.](2)解由主視圖與俯視圖可得正三棱錐的直觀圖，如圖所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq\r(3).取BC的中點(diǎn)D，連接VD，則VD⊥BC，所以VD＝eq\r(VB2－BD2)＝eq\r(42－\r(3)2)＝eq\r(13)，則S△VBC＝eq\f(1,2)VD·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)＝eq\r(39)，S△ABC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，所以三棱錐V－ABC的表面積為3S△VBC＋S△ABC＝3eq\r(39)＋3eq\r(3)＝3(eq\r(39)＋eq\r(3))．例2(1)D[由三視圖可知，原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為S＝2×eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.](2)eq\f(\r(4π2r4＋S2),2)解析設(shè)圓柱的高為h，則2πrh＝S，∴h＝eq\f(S,2πr).設(shè)圓錐的母線為l，∴l(xiāng)＝eq\r(r2＋h2)＝eq\r(r2＋\f(S2,4π2r2)).∴圓錐的側(cè)面積為πrl＝πreq\r(r2＋\f(S2,4π2r2))＝eq\f(\r(4π2r4＋S2),2).跟蹤訓(xùn)練2(1)A[設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，∴l(xiāng)＝2πr，r＝eq\f(l,2π)，則圓柱的表面積為2πr2＋l2＝2πeq\f(l2,4π2)＋l2＝eq\f(2π＋1,2π)l2，側(cè)面積為l2，∴圓柱的表面積與側(cè)面積的比是eq\f(2π＋1,2π)l2∶l2＝eq\f(2π＋1,2π).故選A.](2)D[設(shè)圓錐底面半徑為r，由題意知母線長(zhǎng)l＝2r，則S側(cè)＝πr×2r＝2πr2，∴eq\f(S側(cè),S底)＝eq\f(2πr2,πr2)＝2.]例3(1)解建筑物為一組合體，上面是底面半徑為3米，母線長(zhǎng)為5米的圓錐，下面是底面邊長(zhǎng)為3米，高為4米的正四棱柱．圓錐的表面積為πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(平方米)．四棱柱的一個(gè)底面積為32＝9(平方米)，四棱柱的側(cè)面積為4×4×3＝48(平方米)．所以外壁面積S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．(2)解由題意，線段AB旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱的側(cè)面，線段CB旋轉(zhuǎn)一周形成圓C，線段CD旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐的側(cè)面，線段AD旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓環(huán)，∵∠DCB＝60°，∴圓錐的底面半徑為r＝a，母線l＝2a，高為eq\r(3)a，∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S圓柱側(cè)＋S圓C＋S圓錐側(cè)＋S圓環(huán)＝2π·2a·eq\r(3)a＋π·(2a)2＋π·a·2a＋π[(2a)2－a2]＝(9＋4eq\r(3))πa2.跟蹤訓(xùn)練338解析如圖所示，該幾何體是長(zhǎng)為4，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分．∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.例4解設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面正方形的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖①，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.(2)球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖②，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖③，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.跟蹤訓(xùn)練4eq\f(9,2)π解析如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AH∶HB＝1∶2，得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面積為π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋