小題提速練(七)“12選擇＋4填空”80分練(時(shí)間：45分鐘分值：80分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若集合A＝{x∈N|x≤4}，B＝{x|x2－4＜0}，則A∩B＝()A．{x|0≤x＜2} B．{x|－2＜x＜2}C．{0,1} D．{－2,0,1,2}C[易知A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}．]2．已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝(1－i)2，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A．2 B．－2C．－1 D．1D[z＝eq\f(1－i2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,2)＝－1－i，所以eq\x\to(z)＝－1＋i，其虛部為1.]3．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，若a1＋2，a2＋5，a3＋13成等比數(shù)列，則a10＝()A．19 B．20C．21 D．22C[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0.因?yàn)閍1＋a2＋a3＝15，所以a2＝5.因?yàn)閍1＋2，a2＋5，a3＋13成等比數(shù)列，所以(a2＋5)2＝(a1＋2)(a3＋13)，所以(a2＋5)2＝(a2－d＋2)·(a2＋d＋13)，所以102＝(7－d)(18＋d)，解得d＝2，所以a10＝a2＋8d＝5＋8×2＝21.]4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＋x，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號：04024196】A．3 B．2C．1 D．0B[當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x－1＋x是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閒(0)>0，f(－1)<0，所以f(x)在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－1＋lnx是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閒(e)＝0，所以x＝e是函數(shù)的零點(diǎn)．綜上知，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．]5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x＜0，,gx＋1，x＞0，))若f(x)是奇函數(shù)，則g(3)的值是()A．－4 B．－2C．－3 D．2C[g(3)＋1＝f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2，所以g(3)＝－3.]6．已知平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)，從以這三個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)構(gòu)成的向量中任取一個(gè)向量，則這個(gè)向量與向量a＝(－1,1)構(gòu)成基底的概率為()A.eq\f(5,6)B.eqB.\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eqD.\f(2,3)D[以A，B，C三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)構(gòu)成的向量有6個(gè)，即eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))，其中與a＝(－1,1)不共線的向量有4個(gè)，即eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))，所以所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]7．若非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足ln(x＋y－1)≤0，則x－y的最大值和最小值分別是()A．2和1 B．2和－1C．1和－1 D．2和－2D[依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＋y－1≤1，,x≥0，,y≥0，))作出可行域如圖中陰影部分所示．易求得x－y的最大值在點(diǎn)C(2,0)處取得，最大值為2；最小值在點(diǎn)A(0,2)處取得，最小值為－2.故選D.]8．把“正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n”記為N≡n(modm)，例如8≡2(mod3)．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖后，輸出的i值為()【導(dǎo)學(xué)號：04024197】圖1A．14 B．17C．22 D．23B[程序運(yùn)行如下：第1步，i＝11，i≡2(mod3)成立，i≡2(mod5)不成立；第2步，i＝12，i≡2(mod3)不成立；第3步，i＝13，i≡2(mod3)不成立；第4步，i＝14，i≡2(mod3)成立，i≡2(mod5)不成立；第5步，i＝15，i≡2(mod3)不成立；第6步，i＝16，i≡2(mod3)不成立；第7步，i＝17，i≡2(mod3)成立，i≡2(mod5)成立．循環(huán)結(jié)束，所以輸出的i值為17.]9．已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx，ω＞0，x∈R，且其圖象上兩個(gè)相鄰最高點(diǎn)的距離為π，則下列說法正確的是()A．ω＝1B．曲線y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(π，0)對稱C．曲線y＝f(x)關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增D[f(x)＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))，依題意知函數(shù)f(x)的周期為π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，所以f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).驗(yàn)證知，選項(xiàng)D正確．]10．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f(x)＝logeq\f(1,2)x，則方程f(x)－1＝0在(0,6)內(nèi)的零點(diǎn)之和為()A．8 B．10C．12 D．16C[依據(jù)題意畫出f(x)的圖象如圖所示，方程f(x)－1＝0在(0,6)內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，這四個(gè)零點(diǎn)之和為2×1＋2×5＝12.]11．已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2，在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，不等式eq\f(fp－fq,p－q)＞1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()B.eq，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞))C．[15，＋∞) D．[1，＋∞)A[由eq\f(fp－fq,p－q)＞1可知，函數(shù)f(x)＝alnx－x2的圖象在區(qū)間(0,1)內(nèi)過任意兩點(diǎn)的割線的斜率都大于1，等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意一點(diǎn)的切線斜率大于1.由f′(x)＝eq\f(a,x)－2x，得eq\f(a,x)－2x>1恒成立，整理得a>2x2＋x(x∈(0,1))，因?yàn)楫?dāng)x∈(0,1)時(shí)，2x2＋x<3，所以a≥3.]12．已知實(shí)數(shù)p＞0，直線4x＋3y－2p＝0與拋物線y2＝2px和圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq\f(p2,4)從上到下的交點(diǎn)依次為A，B，C，D，則eq\f(|AC|,|BD|)的值為()【導(dǎo)學(xué)號：04024198】A.eq\f(1,8)B.eqB.\f(5,16)C.eq\f(3,8)D.eqD.\f(7,16)C[依題意知，直線4x＋3y－2p＝0過拋物線焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq\f(p2,4)的圓心為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，半徑為eq\f(p,2).設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，由拋物線定義得|AC|＝|AF|＋|FC|＝eq\f(p,2)＋x1＋eq\f(p,2)＝x1＋p，同理得|BD|＝x2＋p.將4x＋3y－2p＝0代入拋物線方程，整理得8x2－17px＋2p2＝0，解得x1＝eq\f(p,8)，x2＝2p，所以eq\f(|AC|,|BD|)＝eq\f(x1＋p,x2＋p)＝eq\f(3,8).]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．某單位有員工90人，其中女員工有36人，為做某項(xiàng)調(diào)查，擬采用分層抽樣的方法抽取容量為15的樣本，則應(yīng)抽取的男員工人數(shù)是________．[解析]應(yīng)抽取的男員工人數(shù)為eq\f(90－36,90)×15＝9.[答案]914．某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為________．圖2[解析]由三視圖可知，該幾何體是由橫放著的三棱柱截去一個(gè)三棱錐后得到的，其體積V＝eq\f(1,2)×1×1×2－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(5,6).[答案]eq\f(5,6)15．已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，則|2a＋b【導(dǎo)學(xué)號：04024199】[解析]|2a＋b|＝|(2,2t)＋(t，－6)|＝|(2＋t,2t－6)|＝eq\r(2＋t2＋2t－62)＝eq\r(5[t－22＋4])≥eq\r(5×4)＝2eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)取等號，所以|2a＋b|的最小值為2eq\r(5).[答案]2eq\r(5)16．如圖3所示，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，AC＝eq\r(3)，D為BC邊上一點(diǎn)．若AB＝AD，則△ADC的周長的取值范圍為________．圖3[解析]依題意知，△ABD是正三角形，所以∠ADC＝eq\f(2π,3).在△ADC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin\f(2π,3))＝eq\f(AD,sinC)＝eq\f(DC,sin∠DAC)，即eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(AD,sinC)＝eq\f(DC,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C)))，所以AD＝2sinC，DC＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C))，所以△ADC的周長為AC＋AD＋DC＝2sinC＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C))＋eq\r(3)＝sinC＋eq\r(3)cosC＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＋eq\r(3).因?yàn)椤螦DC＝eq