《課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題（第一課時）》如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？依據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，路線（3）是最近的.知識回顧如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.l(1)(2)(3)A如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？ABlC依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”知，

AC=BC.1.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用,感受由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)相傳古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.lBA課堂導(dǎo)入這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.BlA知識點1兩點一線型你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達(dá)的意思嗎？新知探究如圖：點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當(dāng)點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？BlA作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖，點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當(dāng)點C在什么位置的時候，AC+BC的值最小？BlAC你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應(yīng)該怎么找呢？BlA如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最小？B′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.ABlC你能證明這個結(jié)論嗎證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.CB′ABlC′如圖,A,B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè),現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水,如何選擇自來水廠的位置,可使用的水管最短？解：如圖,作點B關(guān)于河邊a的對稱點B′,連接AB′交河邊a于點P,則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.ABaB′P跟蹤訓(xùn)練新知探究知識點

兩線一點型如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到A地,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？A新知探究這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.l1l2A你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達(dá)的意思嗎？如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2Al1l2A作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.A1NA2M如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2AA1NA2M解析：通過軸對稱的原理，把周長最小值轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短的問題.△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？B知識點3兩線兩點型A新知探究這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.l2l1BA你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達(dá)的意思嗎？如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.l2l1BA作法：分別作點A，B關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，B1，連接A1B1分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.B1MA1N如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.解析：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短問題，四邊形AMNB的周長的最小值為AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依據(jù)的是兩點之間，線段最短.l2l1BAB1MA1N1.某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表示桌面，其中OA桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，使其所走的路程最短.?CABO隨堂練習(xí)解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；（2）作點C關(guān)于OB的對稱點C2；（3）連接C1C2，分別交OA，OB于點D，E，連接CD，CE.所以小明先到點D處拿橘子，再到點E處拿糖果，最后回到點C處，按照這樣的路線所走的路程最短.?CABOC1EC2D2.如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？?Al1l2B?解析：（1）如圖，作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′；（2）作點B關(guān)于直線l2的對稱點B′；（3）連接A′B′，分別交直線l1，l2于點C，D，連接AC，BD.所以先到點C設(shè)卡檢查，再到點D設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，按照這樣的路線所走的路程最短.?Al1l2B?B′A′CD1.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.隨堂練習(xí)解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E，則點E即為所求.也可作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′同樣交AB于點E的位置，則點E即為所求.2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.分析：點C，D為線段AB同側(cè)的兩點，在線段AB上找到一點E使得CE+DE的值最小.ACDBE解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求.ACDD′BE2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.3.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.ACBADBEPCBP+EP的最小值CP+EP的最小值CE的長最短路徑問題兩線一點型點在直線同側(cè)兩線兩點型兩點一線型點在直線異側(cè)BlACB′ABlCl1l2AA1NA2Ml2l1BAB1MA1N課堂小結(jié)如圖,牧童在A處放牛,家在B處,A,B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD,若點A到河岸CD中點距離為600,則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家,所走的最短距離為多少？ACDB分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.拓展提升ACDBEA′.解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，連接A′B交CD于點E.∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.

∠A′CE=∠BDE，在△A′CE和△BDE中,

∠A′EC=∠BED，

A′C=BD，∴△A′CE≌△BDE（AAS），∴CE=DE，A′E=BE.∴AE=600，則AE+BE=A′E+BE=1200.

垂線段最短1.

已知在平面直角坐標(biāo)系中點

M

(－4，2)，若點

N

是

y

軸上一動點，則

M

，

N

兩點之間的距離最小值為(

C

)A.

－4B.

2C.

4D.

－2C1234567891011

兩點之間線段最短2.

A

，

B

是直線

l

上的兩點，

P

是直線

l

上的任意一點，要使

PA

＋

PB

的

值最小，那么點

P

的位置應(yīng)在(

A

)A.

線段

AB

上B.

線段

AB

的延長線上C.

線段

AB

的反向延長線上D.

直線

l

上A12345678910113.

(唐山期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點

A

(－2，4)和

B

(4，2)，在

x

軸上取一點

P

，使點

P

到點

A

和點

B

的距離之和最小，則點

P

的坐標(biāo)是(

B

)A.

(－2，0)B.

(2，0)C.

(0，－2)D.

(0，3)B1234567891011【解析】如圖，作點

A

關(guān)于

x

軸的對稱點

C

，連接

BC

交

x

軸于點

P

，連

接

AP

，則此時

AP

＋

PB

的值最小，由圖知

P

(2，0).12345678910114.

如圖，在△

ABC

中，

AB

⊥

AC

，

AB

＝3，

BC

＝5，

AC

＝4，

EF

垂

直平分

BC

，

P

為直線

EF

上的任意一點，則△

ABP

周長的最小值是

(

C

)A.

12B.

6C.

7D.

8C1234567891011【解析】∵

EF

垂直平分

BC

，

∴

B

，

C

關(guān)于

EF

對稱，

設(shè)

AC

交

EF

于

點

D

，

∴當(dāng)點

P

和點

D

重合時，

AP

＋

BP

的值最小，最小值等于

AC

的

長.∵

AB

＝3，

AC

＝4，∴△

ABP

周長的最小值是

AB

＋

AC

＝3＋4＝7.12345678910115.

如圖，已知∠

AOB

的大小為α，

P

是∠

AOB

內(nèi)部的一個定點，且

OP

＝5，點

E

，

F

分別是

OA

，

OB

上的動點，若△

PEF

周長的最小值等于

5，則α＝(

A

)A.

30°B.

45°C.

60°D.

90°A1234567891011【解析】如圖，分別作點

P

關(guān)于

OA

的對稱點

C

，關(guān)于

OB

的對稱點

D

，

連接

CD

，交

OA

于點

E

，

OB

于點

F

.

此時，△

PEF

的周長最小.連接

OC

，

OD

，

PE

，

PF

.

∵點

P

與點

C

關(guān)于

OA

對稱，∴

OA

垂直平分

PC

.

∴∠

COA

＝∠

AOP

，

PE

＝

CE

，

OC

＝

OP

.

同理，可得∠

DOB

＝∠

BOP

，

PF

＝

DF

，

OD

＝

OP

.

1234567891011∴∠

COA

＋∠

DOB

＝∠

AOP

＋∠

BOP

＝∠

AOB

＝α，

OC

＝

OD

＝

OP

＝5.∴∠

COD

＝2α.又∵△

PEF

的周長＝

PE

＋

EF

＋

FP

＝

CE

＋

EF

＋

FD

＝

CD

＝5，

∴

OC

＝

OD

＝

CD

＝5.∴△

COD

是等邊三角形.∴2α＝60°.∴α＝30°.1234567891011

垂線段最短和兩點之間線段最短6.

如圖，點

P

在銳角∠

AOB

的內(nèi)部，在

OB

邊上求作一點

D

，在

OA

邊

上求作一點

C

.

(1)使

PD

＋

CD

最小，并說明依據(jù)的數(shù)學(xué)道理；解：(1)如圖1所示，作點

P

關(guān)于直線

OB

的對稱點

P

'，過點

P

'向直線

OA

作

垂線，垂足為

C

，與

OB

交于點

D

.

點

C

，

D

即為所求.原理：

PD

＋

CD

＝CP'，垂線段最短.1234567891011(2)使

PD

＋

PC

＋

CD

最小，并說明依據(jù)的數(shù)學(xué)道理.解：(2)如圖2所示，分別作點

P

關(guān)于直

線

OA

，

OB

的對稱點P'，P''，連接

P'P''分別交

OA

，

OB

于點

C

，

D

，點

C

，

D

即為所求.原理：

PC

＋

PD

＋

CD

＝P'P''，兩點之間，線段最短.1234567891011

平移和軸對稱解決最短問題7.

如圖，已知

A

，

B

是兩個定點，在定直線

l

上找兩個動點

M

與

N

，且

MN

等于定長

d

(動點

M

位于動點

N

左側(cè))，使

AM

＋

MN

＋

NB

最小.1234567891011解：如圖，過點

A

作

l

的平行線l'，取

AA

'＝

d

，作點

B

關(guān)于

l

的對稱點

B

'，連接

A

'

B

'交

l

于點

N

，連接

BN

，將

A

'

N

向左平移定長

d

得到

AM

，

點

M

，

N

即為所求.(根據(jù)平移和軸對稱的性質(zhì)可得

BN

＝

B

'

N

，

AM

＝

A

'

N

.

則

AM

＋

MN

＋

NB

＝

A

'

N

＋

B

'

N

＋

MN

＝

A

'

B

'＋

MN

，此時值

最小.)1234567891011

8.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BC

＝4，面積是16，

AC

的垂直平

分線

EF

分別交

AC

，

AB

于點

E

，

F

，若

D

為

BC

的中點，點

M

為線段

EF

上一動點，則△

CDM

的周長的最小值為(

C

)A.

6B.

8C.

10D.

12C1234567891011【解析】如圖，連接

AD

，

AM

.

∵

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中點，∴

AD

⊥

BC

.

12345678910119.

(唐山第九中學(xué)期末)如圖，在五邊形

ABCDE

中，∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∠

B

＝∠

E

＝90°，在

BC

，

DE

上分別找一點

M

，

N

，

當(dāng)△

AMN

的周長最小時，∠

BAE

的度數(shù)為(

D

)A.

96°B.

106°C.

126°D.

138°D1234567891011【解析】如圖，分別作點

A

關(guān)于

BC

的對稱點

P

，關(guān)于

DE

的對稱點

Q

，

連接

PQ

與

BC

相交于點

M

，與

DE

相交于點

N

，∴

AM

＝

PM

，

AN

＝

QN

.

∴∠

P

＝∠

PAM

，∠

Q

＝∠

QAN

.

∴△

AMN

的周長＝

AM

＋

MN

＋

AN

＝

PM

＋

MN

＋

QN

＝

PQ

.

由軸對稱確定最短路徑，

PQ

的長度為△

AMN

的周長的最小值.∵∠

AMN

＝∠

P

＋∠

PAM

＝2∠

P

，∠

ANM

＝∠

Q

＋∠

QAN

＝2∠

Q

，∴∠

AMN

＋∠

ANM

＝2(∠

P

＋∠

Q

).1234567891011∵∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∴∠

P

＋∠

Q

＝42°，∴∠

BAE

＝180°－42°＝138°.123456789101110.

如圖，∠

AOB

＝30°，∠

AOB

內(nèi)有一定點

P

，且

OP

＝15，若在

OA

，

OB

上分別有動點

M

，

N

，則△

PMN

周長的最小值是

?.15

1234567891011【解析】如圖，作點

P

關(guān)于

OA

的對稱點

D

，關(guān)于

OB

的對稱點

E

，連接

DE

交

OA

于點

M

，交

OB

于點

N

，連接

PM

，

PN

，則此時△

PMN

的周

長最小，連接

OD

，

OE

，

OP

.

∵

P

，

D

關(guān)于

OA

對稱，

1234567891011∴

OD

＝

OP

，

PM

＝

DM

，

OA

⊥

PD

.

同理，

OE

＝

OP

，

PN

＝

EN

，∴

OD

＝

OE

＝

OP

＝15.∵

OD

＝

OP

，

OA

⊥

PD

，∴∠

DOA

＝∠

POA

.

同理，∠

POB

＝∠

EOB

，∴∠

DOE

＝2∠

AOB

＝2×30°＝60°.∵

OD

＝

OE

，∴△

DOE

是等邊三角形.∴

DE

＝

OD

＝15.∴△

PMN

的周長是

PM

＋

MN

＋

PN

＝

DM

＋

MN

＋

EN

＝

DE

＝15.1234567891011

11.

如圖，已知∠

MON

內(nèi)有一點

A

，

AB

⊥

OM

于點

B

，

AC

⊥

ON

于點

C

，點

E

，

F

分別為

OB

，

OC

上的動點，若∠

MON

＝50°，則當(dāng)△

AEF

周長最小時，∠

EAF

的度數(shù)是多少.1234567891011解：如圖，分別作點

A

關(guān)于

ON

，

OM

的對稱點A'，

A

″，連接

A'A″，分別交

OM

，

ON

于點

E

，

F

，連接

AE

，

AF

，此時△

AEF

的周長最小.1234567891011∵∠

MON

＝50°，

AB

⊥

OM

，

AC