高等代數(shù)考試題庫及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于多項(xiàng)式的說法正確的是（）A.零多項(xiàng)式次數(shù)為0B.次數(shù)相同的多項(xiàng)式相等C.多項(xiàng)式的加法滿足交換律D.零次多項(xiàng)式就是零多項(xiàng)式答案：C2.若矩陣\(A\)可逆，則（）A.\(|A|=0\)B.\(A\)是方陣且\(|A|\neq0\)C.\(A\)是三角矩陣D.\(A\)是對稱矩陣答案：B3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.存在全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.任何一個向量都可由其余向量線性表示D.向量組中至少有一個零向量答案：B4.\(n\)階方陣\(A\)與對角矩陣相似的充要條件是（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值B.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量C.\(A\)是實(shí)對稱矩陣D.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)答案：B5.若\(f(x)\)和\(g(x)\)是兩個多項(xiàng)式，且\((f(x),g(x))=1\)，則（）A.存在\(u(x),v(x)\)使得\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)B.\(f(x)\)與\(g(x)\)無公共根C.\(f(x)\)和\(g(x)\)都是不可約多項(xiàng)式D.\(f(x)\)整除\(g(x)\)或者\(yùn)(g(x)\)整除\(f(x)\)答案：A6.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是（）A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltn\)D.\(r(A)\ltm\)答案：C7.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\)答案：D8.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)是正定的，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((-1,1)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)答案：A9.設(shè)\(V\)是數(shù)域\(P\)上的\(n\)維線性空間，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一組基，\(\beta\inV\)，則\(\beta\)在這組基下的坐標(biāo)（）A.唯一B.不唯一C.可能不存在D.與基的選取無關(guān)答案：A10.矩陣\(A\)的特征多項(xiàng)式\(f_A(\lambda)\)的根是（）A.\(A\)的不變因子B.\(A\)的初等因子C.\(A\)的特征值D.\(A\)的最小多項(xiàng)式的根答案：C多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于多項(xiàng)式運(yùn)算的有（）A.加法B.減法C.乘法D.除法答案：ABCD2.下列關(guān)于矩陣的說法正確的有（）A.兩個同型矩陣可相加B.矩陣乘法滿足結(jié)合律C.單位矩陣與任何方陣相乘都等于該方陣D.對稱矩陣的轉(zhuǎn)置等于其本身答案：ABCD3.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.存在不全為零的數(shù)使線性組合為零向量B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于向量個數(shù)D.向量組中含有零向量答案：ABCD4.下列哪些矩陣一定是方陣（）A.可逆矩陣B.對稱矩陣C.正交矩陣D.伴隨矩陣答案：ABCD5.關(guān)于二次型，以下說法正確的是（）A.可通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形B.正定二次型的矩陣是正定矩陣C.標(biāo)準(zhǔn)形不唯一D.規(guī)范形唯一答案：ABD6.線性空間\(V\)中，以下說法正確的有（）A.基向量線性無關(guān)B.不同基下向量坐標(biāo)一般不同C.維數(shù)等于基向量個數(shù)D.任一線性無關(guān)向量組可擴(kuò)充為基答案：ABCD7.以下關(guān)于矩陣的秩說法正確的有（）A.矩陣的秩等于其行向量組的秩B.矩陣的秩等于其列向量組的秩C.初等變換不改變矩陣的秩D.滿秩方陣可逆答案：ABCD8.多項(xiàng)式\(f(x)\)與\(g(x)\)互素的性質(zhì)有（）A.\((f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))\)B.若\(f(x)\)整除\(g(x)h(x)\)，則\(f(x)\)整除\(h(x)\)C.存在\(u(x),v(x)\)使\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)D.\(f(x)\)與\(g(x)\)的最大公因式為1答案：ACD9.矩陣\(A\)相似于矩陣\(B\)，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(A\)與\(B\)有相同的行列式D.\(A\)與\(B\)有相同的跡答案：ABCD10.以下屬于線性變換的性質(zhì)有（）A.保持向量加法B.保持向量數(shù)乘C.在不同基下的矩陣相似D.把零向量映射到零向量答案：ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.零多項(xiàng)式?jīng)]有次數(shù)。（√）2.若矩陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則\(A\)可逆。（×）3.線性無關(guān)向量組的部分組一定線性無關(guān)。（√）4.實(shí)對稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)。（√）5.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)是唯一確定的。（×）6.數(shù)域\(P\)上\(n\)維線性空間中任意\(n\)個線性無關(guān)向量都是基。（√）7.矩陣\(A\)的秩等于它非零子式的最高階數(shù)。（√）8.若\(f(x)\)整除\(g(x)\)，則\((f(x),g(x))=f(x)\)。（√）9.相似矩陣一定合同。（×）10.線性變換在一組基下的矩陣是唯一的。（√）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求矩陣\(A\)的逆矩陣的方法。答案：可通過伴隨矩陣法，\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\)（\(|A|\neq0\)）；也可用初等行變換法，對\((A|I)\)作初等行變換，當(dāng)\(A\)變?yōu)閈(I\)時，\(I\)就變?yōu)閈(A^{-1}\)。2.說明判斷向量組線性相關(guān)還是線性無關(guān)的常用方法。答案：定義法，看是否存在不全為零的數(shù)使線性組合為零向量；利用向量組的秩，秩小于向量個數(shù)則線性相關(guān)，等于則線性無關(guān)；還可根據(jù)行列式（向量個數(shù)與維數(shù)相等時），行列式為零線性相關(guān)，不為零線性無關(guān)。3.簡述將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。答案：常用配方法和正交變換法。配方法是通過配方消去交叉項(xiàng)；正交變換法是先求二次型矩陣的特征值和特征向量，將特征向量正交化、單位化，構(gòu)造正交矩陣\(P\)，作變換\(x=Py\)化為標(biāo)準(zhǔn)形。4.簡述線性空間的定義要點(diǎn)。答案：非空集合\(V\)，對數(shù)域\(P\)上的兩種運(yùn)算（加法和數(shù)乘）封閉，且滿足加法的交換律、結(jié)合律、有零元、有負(fù)元，數(shù)乘滿足分配律、結(jié)合律以及數(shù)乘單位元性質(zhì)。討論題（每題5分，共4題）1.討論多項(xiàng)式理論在高等代數(shù)中的地位和作用。答案：多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容。它為矩陣、線性方程組等提供工具。如用多項(xiàng)式研究矩陣特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式。在解線性方程組中也有應(yīng)用，還與線性空間、線性變換等概念緊密相連，是理解和研究高等代數(shù)其他內(nèi)容的基石。2.探討矩陣相似與合同的關(guān)系及區(qū)別。答案：相似與合同都是矩陣間等價關(guān)系。相似矩陣有相同特征值，合同矩陣有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。相似強(qiáng)調(diào)特征性質(zhì)，合同側(cè)重二次型性質(zhì)。實(shí)對稱矩陣既相似又合同于對角陣，但一般矩陣相似不一定合同，合同也不一定相似。3.分析線性變換在不同基下矩陣不同，但具有某些不變性質(zhì)的意義。答案：線性變換在不同基下矩陣不同，反映其表現(xiàn)形式隨基選取而變。但秩、特征值等不變性質(zhì)很關(guān)鍵。秩不變保證線性變