第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

§1.1電荷與電場

I、庫侖定律

(1)庫侖定律

如圖ITT所示，真空中靜止電荷Q'

對另一個靜止電荷。的作用力戶為

式中％是真空介電常數(shù)。

(2)電場強度后

靜止的點電荷0在真空中所產(chǎn)生的電場強度E為

(1.1.2)

(3)電場的疊加原理

N個分立的點電荷在了處產(chǎn)生的場強為

-3Q

E=￡—(1.1.3)

j=i4宓0r-ri

體積V內(nèi)的體電荷分布夕卜')所產(chǎn)生的場強為

一(-)(1.1.4)

E=——.3

4您。

式中,為源點的坐標(biāo)，廠為場點的坐標(biāo)。

2、高斯定理和電場的散度

高斯定理：電場強度E穿出封閉曲面S的總電通量等于S內(nèi)的電荷的代數(shù)和

(Z。,)除以4。用公式表示為

（分離電荷情形）(1.1.5)

匕0i

或

fEdS=—[pclV（電荷連續(xù)分布情形）（1.1.6）

其中V為S所包住的體積，dS為S上的面元，其方向是外法線方向。

應(yīng)用積分變換的高斯公式

^EdS=^-EdV（1.1.7）

由（1.1.6）式可得靜電場的散度為

%

3.靜電場的旋度

由庫侖定律可推得靜電場后的環(huán)量為

^Edl=0（1.1.8）

應(yīng)用積分變換的斯托克斯公式

§戶疝=卜乂巨而

從（1.1.8）式得出靜電場的旋度為

VxE=0(1.1.9)

§1.2電流和磁場

1、電荷守恒定律

不與外界交換電荷的系統(tǒng)，其電荷的代數(shù)和不隨時間變化。對于體積為丫，

邊界面為S的有限區(qū)域內(nèi)，有

針曲=-裁心(1.2.1)

或

▽+史=0

(1.2.2)

dt

這就是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2、畢奧一薩伐爾定律

/處的電流元//在尸處產(chǎn)生的磁感強度為

而二〃0心（尸一/）

(1.2.3)

44r-r3

參見圖由此得沿閉合”"0^^

曲線L流動的電流/所產(chǎn)生的磁感

強度為y

即）得￡加守（L2.4）/

f〃r—r\

L

如果電流是體分布，則電流元圖1?1?2

為卜!/',這時

(1.2.5)

4）r-r

x

B（r）=^f川）（7）dv,(1.2.6)

3、磁場的環(huán)量和旋度

(1)安培環(huán)路定理

磁感強度后沿閉合曲線L的環(huán)量等于通過L所圍的曲面S的電流代數(shù)和的〃。

倍；即

.全疝=〃。??曲(1.2.7)

(2)磁場的旋度

由安培環(huán)路定理和斯托克斯公式

可得磁場的旋度為

VxB=〃()/(1.2.8)

這是安培環(huán)路定理的微分形式。

4、磁場的散度

磁場的散度為▽?月二0(1.2.9)

§1.3麥克斯韋方程組

I、麥克斯韋對電磁感應(yīng)定律的推廣

按照法拉第電磁感應(yīng)定律，變化的磁場在一固定導(dǎo)體回路L中產(chǎn)生的感應(yīng)電

動勢為

￡=\B-dS(1.3.1)

dtdt's

依定義，感應(yīng)電動勢￡是電場強度后感沿導(dǎo)體回路L的線積分，因此(1.3.1)

式可寫做

iE.dl=--\BdS(1.3.2)

J，’dt卜

其中E是變化的磁場在導(dǎo)體中產(chǎn)生的感應(yīng)電場的電場強度。

麥克斯韋的推廣：當(dāng)導(dǎo)體回路不存在時，變化的磁場在空間仍然產(chǎn)生感應(yīng)電

場%,并且滿足(1.3.2)式。

應(yīng)用斯托克斯公式，可將(1.3.2)式化為微分形式

_dB

VxE=--(1.3.3)

i'dt

在一般情況下，既有靜電場后S，又有感應(yīng)電場及，則總電場便為

￡=+Et(1.3.4)

又因為▽xJgs=o,故得

_麗

Vx￡=-—(1.3.5)

dt

這就是麥克斯韋推廣了的法拉第電磁感應(yīng)定律。

2、麥克斯韋對安培環(huán)路定理的推廣

穩(wěn)恒電流的安培環(huán)路定理為Vx與="/，由此得出

VJ=—V(VxB)=O(1.3.6)

4。

這與電荷守恒定律

▽?/=-義工0

(1.3.7)

dt

相矛盾。

麥克斯韋的推廣：在一般情況下，安培環(huán)路定理的普遍形式為

▽xA=〃o(7+7〃)(1.3.8)

其中

JD=—(1.3.9)

口dt

叫做位移電流密度。即

-(-db}

▽xB=〃oJ+—(1.3,10)

I%)

3、麥克斯韋方程組

我們把電磁學(xué)中最基本的實驗定律概括、總結(jié)和提高到一組在一般情況下相

互協(xié)調(diào)的方程組，這便是麥克斯韋推廣了的安培環(huán)路定理。它與電荷守恒定律不

矛盾。

DK防

VxE=----

dt

--dE

NxB=//J+—

()ct(1.3.12)

▽.左二巨

%

▽?月二0

這組方程稱為麥克斯韋方程組。

4、洛倫茲力公式

帶電荷q的粒子以速度/在電磁場中運動時，它所受的力為

F=C{E+VXB}

作用在單位體積的電荷上的力(力密度)為

f=p(E+vxB)=pE+JxB

§1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)

I、介質(zhì)的極化

(1)極化強度戶

在外電場的作用下，?介質(zhì)的分子產(chǎn)生電偶極矩或固有的電偶極矩趨向有規(guī)則

的排列，這叫做介質(zhì)的極化。

極化強度「是描述介質(zhì)極化狀態(tài)的量，其定義是單位體積內(nèi)的電偶極矩，即

2,

P三」—(1.4.1)

AV

式中為包含有大量分子的物理小體積，2.為第，?個分子的電偶極矩。

如果每個分子的平均電偶極矩為九，則

P=np(1.4.2)

式中〃為分子數(shù)密度。

(2)極化電荷與極化強度的關(guān)系

極化電荷體密度必與極化強度戶的關(guān)系為

jPdS=-^pPdV(1.4.3)

或

pp=-VP(1.4.4)

極化電荷面密度。2與P的關(guān)系為

分二心便一區(qū))(1.4.5)

式中斤為交界面法線方向的單位矢量，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2o如果介質(zhì)2為真空,

則

(1.4.6)

均勻介質(zhì)內(nèi)的極化電荷

夕尸=一▽?戶=—▽?（力一/左）=」1一包p1(1.4.7)

即均勻介質(zhì)內(nèi)任意一點的極化電荷密度等于該點的自由電荷密度燈的

因此，若該點處無自由電荷分布，則夕尸=0>

（3）有介質(zhì)時的電場

在一般情況下，介質(zhì)中的電場E是自由電荷的電場號.，極化電荷的電場巨尸

以及變化磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電場片的和，即

E=E/+EP+E/（1.4.8）

在介質(zhì)中，電場的旋度和散度分別為

cB

VxE=VxE.=——（1.4.9）

'dt

和

11]|

NE=——Pf+—pP=—pf——VP（1.4.10）

%￡o￡o%

（4）電位移力及其與電場強度后的關(guān)系

電位移矢量力的定義為

D=￡（.E+P（1.4.11）

在各向同性的線性介質(zhì)中，戶與后成線性關(guān)系

P=%國立（1.4.12）

然叫做介質(zhì)的電極化型。代入（L4.ll）式得

力=%（1+乙）巨(1.4.13)

定義相對介電常教％和介電常數(shù)c分別為

J三1+乙，￡=￡，%(1.4.14)

這時

D=sE(1.4.15)

2、介質(zhì)的磁化

（1）磁化強度向

在外磁場的作用下，介質(zhì)分子產(chǎn)生的磁矩或固有磁矩趨向有規(guī)則排列，這叫

做介質(zhì)的磁化。磁化強度后是描述介質(zhì)磁化狀態(tài)的量，其定義是單位體積內(nèi)的

磁矩，即

_E見

M三」—（1.4.16）

AV

式中AV為含有大量分子的物理小體積，現(xiàn)為第I個分子的磁矩。

如果每個分子的平均磁矩為陽，則

M—nm(1.4.17)

式中n為分子數(shù)密度。

（2）磁化電流與磁化強度的關(guān)系

磁化電流體密度幾與磁化強度而的關(guān)系為

W疝=3￡(1.4.18)

上式可寫作

￡和/=/,“（1.4.19）

式中卻是積分環(huán)路七所套住的磁化電流的代數(shù)

和，如圖1-1-30

把斯托克斯公式用于（1.4.18）式，便得

圖1-1-3

(1.4.20)

磁化電流面密度與磁化強度后的關(guān)系：面電流是指在曲面上流動的電

流，面電流密度々的大小等于通過與々垂直的單位長度橫截線的電流。設(shè)介質(zhì)1

的磁化強度為后I，介質(zhì)2的磁化強度為后2,在兩介質(zhì)的交界面上，磁化面電流

密度為用W，交界面的單位法向矢量為萬，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2,則

aM=?ix(M2-M1)(1.4.21)

若介質(zhì)2為真空，則

=rtx(M2-M,)(1.4.21)

(3)有介質(zhì)時的磁場

自由電流乙、磁化電流幾和位移電流乙都產(chǎn)生磁場，這些磁場的疊加就

是介質(zhì)中的磁場月。因此，在一般情況下，磁場的旋度和散度分別為

VxB=A((J/+Jw+7。)=〃0(4(1.4.23)

和

VB=O(1.4.24)

(4)磁場強度月及其與磁感強度月的關(guān)系

磁場后定義為

-8一

H=--M(1.4.25)

Ao

對于各向同性的非鐵磁物質(zhì)，磁化強度而和。之間有簡單的線性關(guān)系

府=%“后(1.4.26)

XM叫做介質(zhì)的磁化率。把(1.4.26)式代入(1.4.25)式可得

與二〃。(救M)后(1.4,27)

定義相對磁導(dǎo)率〃,和磁導(dǎo)率〃分別為

人■三1+#M，〃=4M)(1.4.28)

這時

B=pH(1.4.29)

對于所有物質(zhì)來說，相對介電常數(shù)%都大于1,但相對磁導(dǎo)率4則可以大于

1(順磁質(zhì))，也可以小于1(抗磁質(zhì))。

3、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組

電磁場遵守的普遍規(guī)律為

--dD

(1.4.29)

dt

\7D=p

V-B=O

物質(zhì)方程：在各向同性的線性介質(zhì)中

b=點，(1.4.29)

§1.5電磁場邊值關(guān)系

由麥克斯韋方程組的積分形式得出介質(zhì)交接面兩側(cè)場量的關(guān)系為

冗X(后2—后1)=0(1.5.1)

nx(H-H)=a

21(1.5.2)

n?(D2一力1)=CT(1.5.3)

n(B-B.)=0

2(1.5.4)

式中萬是交接面法線上的單位矢量，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2；。和也分別是交界面

上的自由電荷和自由面電流密度。

在用交界面兩側(cè)的切向分量（下標(biāo)Q,和法向分量（下標(biāo)〃）表示時，邊值

關(guān)系可寫做

El\=用2(1.5.5)

(1.5.6)

D,2~?八=O-(1.5.7)

B-紇2(1.5.8)

§1.6電磁場的能量和能流

1.電磁系統(tǒng)的能量守恒定律

考慮圖1-1-4所示的空間區(qū)域V,其邊界面

為2c設(shè)V內(nèi)有電荷分布「和電流分布

(1)電磁場作用在單位體積電荷上的力為

f=p(E+vxB),這力的功率為

/?v=p(E+vxB)-v=pE-v=J-E(1.6.1)

式中/?后代表介質(zhì)單位體積消耗的焦耳熱。

(2)電磁場對體積V內(nèi)的電荷系統(tǒng)做功的功率為

(1.6.2)

(3)體積V內(nèi)電磁場能量的增加率為

—[axlV=—{-(ED+BHW

dl)vdtJ、'2

(4)單位時間內(nèi)從邊界面N流出體積V的電磁能量為

(1.6.4)

因為能量守恒，次于體積V內(nèi)的電磁場能量有

(1.6.5)

(1.6.6)

這便是電磁場的能量守恒定律。

2.電磁場的能量密度切

單位體積內(nèi)的電磁場能量為

(D=j(ED+HB)(1.6.7)

3.電磁場的能量密度S

單位時間流過垂直于能流方向的單位面積的電磁場能量為

S=ExH(1.6.7)

S通常叫做坡印廷矢量。

第二章靜電場

§2.1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程

1、靜電場的標(biāo)勢

(1)靜電場的基本方程

VD=p(2.I.1)

或^DdS=Q(2.1.2)

VxE=O(2.1.3)

或jEdl=0(2.1.4)

其中電荷。是封閉曲面S包住的自由電荷的代數(shù)知，0是自由電荷密度。

（2）靜電場的電勢

在靜電場中，根據(jù)（2.1.3）式知道有勢函數(shù)。存在，使得

E=（2.1.5）

如果在無窮遠(yuǎn)處的電場強度為零，一般便選工）=8為電勢參考點，這時由上

式得空間一點P（/）的電勢為

,耳方（2.1.6）

①點電荷的電勢

由庫侖定律可得/處（源點）的點電荷。在尸處（場點）產(chǎn)生的電勢為

市）=4^-（2.1.7）

4宓r-r

②電勢疊加原理

分立的點電荷系爐產(chǎn)生的電勢為

。0）=小工占（2.1.8）

4尼ir-r.

連續(xù)分布的電荷所產(chǎn)生的電勢為

桁)=」_[.(2.1.9)

4^Jv|r-r,

2、靜電勢所滿足的微分方程和邊值關(guān)系

(1)電勢的微分方程

電勢0滿足方程

▽?(漢°)=一夕(2.1.10)

在均勻介質(zhì)內(nèi)，(2.1.10)式可化為

寸(p=_2(2.1.11)

￡

這個方程叫泊松方程°式中0是自由電荷密度。如果0=0則(2.1.11)式便化

為拉普拉斯方程

V>=0(2.1.12)

(2)電勢的邊值關(guān)系

在介電常數(shù)不同的兩種介質(zhì)交界面上，電勢。滿足下列邊值關(guān)系

例=g(2.1.13)

￡粵_3=。(2.1.14)

dn“dn

其中”是由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的單位法向矢量，。是交界面上的自由電荷面密度。

如果介質(zhì)1是導(dǎo)體，則以上兩式分別化為

%二常量(2.1.15)

和￡、上”=-0(2.1.16)

■dn

3、靜電場能量

電荷分布在區(qū)域V內(nèi)，密度為夕(尸)，所具有的靜電能量為

卬二3「(祝(刖<2.1.17)

這能量分布在電場中，因此

W=-[EDdV=(2.1.17)

2J

式中E是上述電荷所產(chǎn)生的電場，積分遍及后不為零的全部空間。

§2.2唯一性定理

靜電學(xué)的基本問題是求出在所有邊界上滿足邊值關(guān)系或給定邊界條件妁泊

松方程的解。唯一性問題是討論在什么條件下，解是唯一的。這點很重要，因為

求解的方法不同，求出的解可能有不同的表達(dá)形式，有時要證明它們是同-解頗

非易事；但如果這些解都滿足相同的邊界條件，則它們必定相同。其次，對于有

些問題，可以根據(jù)經(jīng)驗提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求

的條件，它就是該問題的唯一正確解。

1.問題說明

假定空間v可以分為若干個小區(qū)域匕，每一個區(qū)域匕內(nèi)都是充滿均勻的，介

電常數(shù)為邑的各向同性介質(zhì)。設(shè)v內(nèi)的自由電荷分布夕卜）已知，則在匕內(nèi)，電勢

滿足泊松方程

N"、=~—p(2.2.1)

與

在兩區(qū)域匕和匕的交界面上，電勢滿足邊值關(guān)系

81=%?(2.2.1)

—圖(2.2.1)

2.唯一性定理

設(shè)區(qū)域V內(nèi)自由電荷的分布P。）已知，在V的邊界S上給定

（i）電勢為，

或

（ii）電勢的法向?qū)?shù)（案）（即E“），

則V內(nèi)的電場便唯一確定。

3.有導(dǎo)體存在時的唯一性定理

設(shè)區(qū)域丫內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布「(萬，并給定

(i)每個導(dǎo)體上的電勢化，

或

(ii)每個導(dǎo)體上的總電荷0,

以及V的邊界S上的外或(年］值，則V內(nèi)的電場便唯一地確定。

Ion人

§2.3拉普拉斯方程分離變量法

1、笛卡兒坐標(biāo)系

拉普拉斯方程（簡稱拉氏方程）的形式為

d~(pd~cpd-(p八

(2.3.1)

dx2/dz2

設(shè)電勢（p（x,y,z）可分離變數(shù)，即y,z）=X（x）Y（y）Z（z）,則拉氏方程可分

為以下三個方程

2

IdX/2

-----T=-k~(2.3.2)

Xdx2

1d2Y/

(2.3.3)

(2.3.4)

由此得方程的通解為

yyz)—Z(AAcoskx+A”sincosZx+13乂sinlx)

k.l

k+Cx.產(chǎn)二)(2.3.5)

式中各常數(shù)片一B”,B2/,Clu,C2H等由問題的具體條件決定。

2、柱坐標(biāo)系

拉氏方程為

\_d_,嗎+二拄+駕=0

(2.3.6)

rdrdr)r~30dz2

設(shè)電勢e（r，O，z）可分離變數(shù)，即°（r，O，z）二沖（0）Z（z）,代入上式求得Z（z）

的解為

Z(z)=GcoshZ?z+C>sinhbz(2.3.7)

①(。)的解為

①(0)=gcos。"。4sina。(2.3.8)

在0?。工2萬內(nèi)，符合物理實際的解必須是單值的，因此。必須是整數(shù)。

R(。的解為

R⑺=C：)+C6N.)(2.3.9)

式中

z.\a±2m

“1噌

(2310)

〃br)=E皿：--

和

叵竺必㈣二回(2.3.11)

sin。4

其中級數(shù)1(力。是。階第一類貝塞耳函數(shù)，如果。=〃(整數(shù))，則在累級數(shù)中的

伽瑪函數(shù)「(〃+〃7+1)可以用(〃+“)！來代替。N,(")是。階第二類貝塞耳函數(shù)。

函數(shù)N〃(Or)在r=0附近的奇異性與//相似，因此，只要已知r=()處的電

勢是有限的，在解中就不包含N<6),即系數(shù)。6為零。

3、球坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系中拉氏方程為

13(,6(p\1d(.^d(p\1d2(p..“°［八

r—廠？+F-sin6>-^-+—~~；v=°(2.3.12)

/3八dr)/sinOaeldO)r1s\n20d(/>2

設(shè)電勢雙二"。)可分離變數(shù)，即9G超且在，=o和萬時

0(八夕。)為有限值，則拉氏方程(2.3.12)的通解為

啟/。）=￡。/+經(jīng)上（

cosO)cosni(/f

/,m=0\

rJ(2.3.13)

+*"，+豺T（cos9）sin/

九0

式中Epcos。）是連帶勒讓德多項式。

如果問題具有軸對稱性（利=0）,通解為

9（幾0）=汽。/+L〉（cosO

)(2.3.14)

1=0\r）

式中q（cos。）是勒讓德多項式。

通解中的系數(shù)即"，％"，1，d加或〃等由問題的具體條件確定。

§2.4鏡像法

1、平面邊界

(1)無限大導(dǎo)體平面外的點電荷

點電荷。到電勢為零的無限大導(dǎo)體平面的距離為a,如圖1-2-1,電像

q=—q在導(dǎo)體平面的另一側(cè)，與導(dǎo)體平面的距離為。。則導(dǎo)體外的電勢為

*(x,y,z)=

4%口+4+&_dG+),2+(Z+〃)2

,(z>0)(2.4.1)

導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷面密度T

a

真空

“〃，〃〃，〃，//

導(dǎo)體

a

JLq'二_q

2乃(/+/+/￡

(2.4.2)

導(dǎo)體面上的總感應(yīng)電荷為

\odS=-q(2.4.3)

導(dǎo)體上感應(yīng)電荷吸引點電荷q的力為

P.q2

F=------——Yn

16-0。

感應(yīng)電荷與點電荷的相互作用能為

(2)劈形導(dǎo)體平面間的點電荷

如圖12-2,兩無限大導(dǎo)體平板電勢為零，夾角為。（夕《乃）。其間有一點電

荷q,點電荷夕的幅角為?！?與。角的頂點。的距離為a。,有多重電像，當(dāng)

夕=^（n為整數(shù)）時，電像的個數(shù)為（2n-l）個,

n

2九一。

=2/7-1(2.4.6)

~3~

所有電像均位于以。為圓心，〃為半徑的圓周上。諸電像的位置為

2兀4°4乃2(/2-1>

q：共（〃一1）個。

nnn

一q：0Q,4，....,2?！C，共〃個。

n---------n

圖1-2-2是。=工時電像的分布圖。共有七個電

4

像。

（3）介質(zhì)平面外的點電荷

兩無窮大的均勻介質(zhì)的介電常數(shù)分別為名和

名交界面為平面。在勺中有一自由點電荷“，距

交界面為。，如圖1-2-3所示。

求z4（）區(qū)域（㈢）的解時，可在z>0區(qū)域內(nèi)距界面為外處設(shè)置電像電荷％,

則所求電勢處為

夕2G，y,z)=—!——]名(2.4.8)

4宓2G+y2+(z_q)-

在z二。的交界面上任意一點處，電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系

臼=9?(2.4.9)

%迎=￡,也

(2.4.10)

dzdz

設(shè)6=42=。，則在原點處(x=y=z=O),應(yīng)用上式可得

(2.4.11)

￡]￡2

q-q?=q\(2.4.12)

解得

,￡\一￡?

%=-------二q(2.4.13)

白+e2

q=—jq(2.4.14)

5+4

因此

(PX=—--/q+i-―邑q(zNO)

4宓iyjx2+y2+(z-?)24%與+邑yjx2+y2+(z+a)2

(2.4.15)

―一「q(zWO)(2.4.16)

24(■十邑)yjx2+y2+(z-ci^

點電荷q所受的庫侖力為

F二H/

(2.4.17)

]6您](￡1+4)/

2、球面邊界

（1）導(dǎo)體球外的點電荷

有一電勢為零，半徑為R的

導(dǎo)體球，球外距球心。為/處的

A點有一點電荷q。

如圖1-2-4,在球內(nèi)A‘點設(shè)

置一電像夕，距球心為/。由邊

圖1?2-4

界條件得

/=一(2.4.18)

/

q=--q(2.4.19)

于是球外pb)處的電勢為

0(了)二—!—「一^――(r〉R)(2.4.20)

7

4^0Jr-/|/|r-/jj、

這里選取球心為原點，7和7'分別為電荷q和q的位置矢量。

球上的電荷密度面為

9________"_Ra

咐…。梁廿(2.4.21)

4〃/?(/?2+/2-2/?/COS6>)^

電荷4與導(dǎo)體球的相互作用能為

"1/次、

(2.4.22)

4%2「-R2)

電荷,所受的庫侖力為

dU___1q2Rl

(2.4.23)

式4%(/2.R2)2

(2)導(dǎo)體球形空腔內(nèi)的點電荷

導(dǎo)體內(nèi)有一球形空腔，腔內(nèi)距球心。為/'處有一點電荷，，導(dǎo)體的電勢為零。

由對稱性可知，這時圖『2-4中，位于A點的電荷q便是夕的電像，并且

R2

=T(2.4.24)

R.

q=-yq(2.4.25)

這時空腔內(nèi)的電勢為

qqR(r<R)(2.4.26)

§2.5格林函數(shù)

點電荷的密度：位于工'處的單位點電荷的密度為p(x)=^(x-r)0

格林函數(shù)：它是單位正點電荷在一定邊界條件下的電勢。它用G(￡,1')表示，括

號內(nèi)左邊的位矢元對應(yīng)場點，右邊的P代表點源夕=+1的位矢。它滿足方程

▽2G5,F)=一-!-S(工一1')(2.5.1)

%

第一類邊值問題的格林函數(shù)滿足邊界條件

G(x,x)|v=0(2.5.2)

第二類邊值問題的格林函數(shù)滿足邊界條件

儂出(2.5.3)

dn￡0S

其中〃為邊界面法線方向。

格林函數(shù)的對稱性

G(元1')=G(T,幻(2.5.4)

對于一定邊界條件下的格林函數(shù)，場點和源點交換時，格林函數(shù)的值不變。如球

外空間的第一類格林函數(shù)是

111

G(x,x)=-----/,-/(2.5.5)

4%"RjRR，c°sa片嬴兀嬴二

V

工與F互換(即互換)，從上式看出函數(shù)值不變。

含格林林函數(shù)的格林公式

(p(x)=￡G(x\x)p(xf)r/Vz￡[G(x；x)V)G(x\x)\dS1(2.5.6)

第一類邊值問題的解

9(f)=，G曰l)p?)”'—分，出(亍)*；31)6

⑵5.7)

式中的G(工'，均位為第一類邊值格林函數(shù)，邊界條件由°(工')I給定。

第二類邊值問題的解

,,

(p(x)=fG(Fl)p(F)dV'+/fG(x\x)—i(p(x)dS(2.5.8)

JvJsdn

式中的G(FR)為第二類邊值，邊界條件由名華|給定，S中應(yīng)包含尢限遠(yuǎn)處

dn'

的面。

§2.6電多極矩

1、電勢的多極展開

電荷分布在有限的區(qū)域v內(nèi)，體密度為夕（，），則它所產(chǎn)生的電勢為

雨）/苴絲（2.6.1）

4G八r-r

對于遠(yuǎn)場（即，?>>〃處的場），上式可展開為

式中0為電荷系的總電量，即

e=fp（rWV(2.6.3)

V

P為電荷系的電偶極矩，即

p=Jrp（r'}dV(2.6.4)

6為電荷系的電四極矩，即

5=1（3r7,-r,27）p（rW(2.6.5)

V

它的「分量為

(2.6.6)

點電荷系的電四極矩為

6=￡（3+/；"如

(2.6.7)

其）分量為

Dy==工（3工：/：「r：總””⑵6.8)

電四極矩張量》是對稱張量，又因為

=

D"+。22+。33。(2.6.9)

因而6只有五個獨立分量。

2、相互作用能

點電荷（7在外場夕,中的能量為

叱=q（pe

式中心是夕所在處外電場的電勢。

電荷系0（下）在外場中的能量為

叱=，/3（也丫

點電荷系的相互作用能為

I〃

叱,-￡（7⑼

zk=\

式中心是除外外所有其余的點電荷在以所在點產(chǎn)生的電勢。

第三章靜磁場

§3.1矢勢及其微分方程

1、矢勢

(1)穩(wěn)恒電流磁場的基本方程

VB=O(3.1.1)

或《月?dS=O(3.1.2)

Vx/7=J(3.1.3)

或￡/??/=/(3.1.4)

式中,是自由電流密度，/是被閉合環(huán)路L套住的自由電流的代數(shù)和。

(2)穩(wěn)恒磁場的矢勢

由▽.月=0知，存在空間矢量勢函數(shù)X,它滿足

B=VxA(3.1.5)

對于一個確定的磁場月，由(3.1.5)式確定的矢勢Z不是唯一的，可以有

一個附加的任意空間函數(shù)的梯度。通常用條件

VA=0(3.1.6)

來對這個任意函數(shù)加以限制。

(3)矢勢4的物理意義

￡,?/=[▽>,.而=[反。6=①(3.1.7)

即矢勢只沿任一閉合環(huán)路L的積分等于通過以L為邊界的曲面S的磁通量。

2、矢勢H的微分方程和邊值關(guān)系

在均勻介質(zhì)內(nèi)，矢勢H滿足泊松方程

V2A=-/J(3.1.8)

矢勢的邊值關(guān)系

在均勻介質(zhì)內(nèi)，該方卷的特解是

4=：(尸(3.1.9)

式中的積分遍及電流爐分布的空間V。

3、矢勢的近似

電流分布在區(qū)域v(線度為/)內(nèi)，電流密度為/(，)。

這電流在遠(yuǎn)處(即〃>>/)產(chǎn)生的磁場其矢勢可近似為

4=幺沅x=(3.1.10)

47rr3

式中

w=l￡rxJ(r)t/V(3.1.11)

叫做這電流的磁矩。木于一個載流為/的小線圈L,其磁矩為

w=l￡rX6//(3.1.12)

4、穩(wěn)恒電流磁場的能量

(1)自具能

電流分布在區(qū)域v內(nèi)，密度為7(，)，所具有的能量為

W=-{j-AdV(3.1.13)

2Jv

這能量分布在磁場中，因此

W=-\HBdV=-\juH2dV(3.1.14)

2Jv2J”

式中方是上述電流所產(chǎn)生的磁場，積分遍及后不為零的全部空間V。

(2)相互作用能

電流/9）在外磁場4中的能量為

叱(3.1.15)

載電流/的小線圈在外磁場瓦中的能量為

Wj—fn-B(3.1.16)

式中沅為小線圈的磁矩。

§3.2磁標(biāo)勢

1、磁標(biāo)勢

如果在某一閉合區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷(即J=o),這時穩(wěn)恒磁場的基本方程

為

Vx/7=0(3.2.1)

VB=O(3.2.2)

由后=。知，在該區(qū)域內(nèi)存在勢函數(shù)外，,它滿足

巨=7儲、(3.2.3)

這時，后在形式上與靜電場的E相對應(yīng)，而外則與靜電場的電勢。相對應(yīng)。

2、磁標(biāo)勢的拉氏方程和邊值關(guān)系

拉氏方程為

°(3.2.4)

在沒有傳導(dǎo)電流的兩介質(zhì)交界面上，由

(3.2.5)

穌=%(3.2.6)

得出磁標(biāo)勢的邊值關(guān)系為

化