2.1曲線與方程

敖挈教法分析教學(xué)助

明課標(biāo)分共解讀觀“致法”

教區(qū)I

(教師用書獨(dú)具)

?三維目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)理解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

(3)學(xué)會(huì)根據(jù)已有的資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論：

(4)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法.

2.過(guò)程與方法

(1)通過(guò)直線方程的引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)；

(2)在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索出結(jié)論,

并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；

(3)在構(gòu)建曲線和方程概念的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力、知識(shí)遷移能力、

合情推理能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化的思想方法.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

(1)通過(guò)概念的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律；

(2)通過(guò)反例辨析和問(wèn)題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì).

?重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.

難點(diǎn)：曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教案設(shè)

敖孥方案設(shè)計(jì)按方略流程細(xì)解用“教案”

計(jì)區(qū)J

(教師用書獨(dú)具)

?教學(xué)建議

“曲線和方程”這節(jié)教材揭示了幾何中的形與優(yōu)數(shù)中的數(shù)相統(tǒng)一的關(guān)系，表達(dá)了解析幾何的根本思

相，對(duì)解析幾何教學(xué)有著深沅的影響.從知識(shí)上說(shuō)，曲線與方程的概念對(duì)后面所學(xué)的求出曲線的方程的

準(zhǔn)確性來(lái)說(shuō)是很關(guān)鍵的，它在下節(jié)課中起到根底性的作用，不僅是本節(jié)的重點(diǎn)概念，也是高中學(xué)生較難

以理解的一個(gè)概念.從能力上說(shuō)，通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對(duì)概念的理解能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、

分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有重要作用，是培養(yǎng)高二學(xué)生的觀察分析能力和邏輯思維能力的重要訓(xùn)練內(nèi)

容.

“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念是本節(jié)的重點(diǎn)，本節(jié)課是由幾個(gè)實(shí)例上升到抽象概念的過(guò)

程，學(xué)生容易對(duì)定義中為什么要規(guī)定兩個(gè)關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一-都將擴(kuò)大概念的外延，

也就是曲線上的點(diǎn)?與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解透徹問(wèn)題.因此可用舉反例的方法來(lái)解決困

惑，通過(guò)反例揭示“兩者缺一”與直覺(jué)的矛盾，從而促使學(xué)生對(duì)概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索，加強(qiáng)認(rèn)識(shí)

曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而突破難點(diǎn).

?教學(xué)流程

復(fù)習(xí)舊知識(shí)，提出新問(wèn)題：所給曲線與方程有什么關(guān)系？0

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象及方程得出曲線的方程和方程的曲線的概念.

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生I可憶求軌跡的方法，總結(jié)出求曲線方程的一般步驟.

通過(guò)例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握對(duì)曲線的方程和方程的曲線的定義的理解.

通過(guò)例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)牛掌握由方程研究曲線的方法.今

回憶求曲線方程的步驟，完成例3及其變式訓(xùn)練，從而解決直接法求軌跡方程問(wèn)題.

歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).

完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，穩(wěn)固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反應(yīng)矯正.

口主導(dǎo)學(xué)理教材自查自測(cè)固“基礎(chǔ)”自主學(xué)

習(xí)區(qū)\

課

標(biāo)1.理解曲線的方程與方程曲線的概念，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的曲線方程.（重點(diǎn)）

解2.理解曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.（難點(diǎn)）

讀

Wifi也...............曲線的方程與方程的曲線

【問(wèn)題導(dǎo)思】

1.在平面直角坐標(biāo)系中，平分一、三象限的直線與方程二一y=0有什么關(guān)系？

【提示】直線上任一點(diǎn)M（xo,刈），那么出=加即點(diǎn)M（xo,阿是方程彳一），=0的解；如果（xo,

yc）是X—y=0的解，那么以（即，光）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上.

2.以（小份為圓心，「為半徑的圓和方程（X—0）2+°，一與2=/有什么關(guān)系？

【提示】圓上的任一點(diǎn)M（xo,和）的坐標(biāo)是方程（x—ay+GL/DZuf2的解；反之，假議（xo,yo）是

方程（x—a）:+（y—Z?）2=/的解，那么以a。，）,0）為坐標(biāo)的點(diǎn)在圓上.

一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程.“X,y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下

的關(guān)系：

（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;

（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn),那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條由線叫做方

程的曲線.

合作探

互動(dòng)探究破疑難師生互動(dòng)提“知

AN”究區(qū)

廉整1|...............對(duì)曲線的方程和方程的曲線的定義的理解

?151分析以下曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：

(1)過(guò)點(diǎn)42,0)平行于)，軸的直線與方程|x|=2之間的關(guān)系；

(2)到兩坐標(biāo)軸的距離的積筆于5的點(diǎn)與方程沖=5之間的關(guān)系；

(3)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)與方程x+)，=0之間的關(guān)系.

【思路探究】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解嗎？以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上？

【自主解答】(1)過(guò)點(diǎn)4⑵0)平行于)，軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|=2的解，但以方程|工|=2

的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定都在過(guò)點(diǎn)A(2,0)且平行于y軸的直線上.因此國(guó)=2不是過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的

直線的方程.

(2)到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程何=5,但以方程與，=5的解為坐標(biāo)的

點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的距離之積一定等于5.因此到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的枕跡方程不是,D，=5.

(3)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x+)，=0,反之，以方程x+.v=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都

在第二、四象限角平分線上，因此第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x+y=0.

I規(guī)律方法I

1.分析此類問(wèn)題要嚴(yán)格按照曲線的方程與方程的曲線的定義.

2.定義中有兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可.條件(1)保證了曲線上所有的點(diǎn)都適

合條件/U,_y)=0；條件(2)保證了適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上，前者是說(shuō)這樣的軌跡具有純粹性，后

者是說(shuō)軌跡具有完備性.兩個(gè)條件同時(shí)成立說(shuō)明曲線上符合條件的點(diǎn)既不多也不少，才能保證曲線與方

程間的相互轉(zhuǎn)化.

變式訓(xùn)練

判斷以下命題是否正確，并說(shuō)明原因.

⑴到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為產(chǎn)X；

(2)/1.8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一1,0)和(1,0),那么滿足NAC8=90。的動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為/+)2=]

【解】(1)不正確.

因?yàn)榈絻勺鴺?biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡是兩條直線，

即/1:y=x和，2：y=~x.

直線./i上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程y=x的解，

而直線已上的點(diǎn)(除原點(diǎn)外)妁坐標(biāo)都不是方程.y=x的解.

這顯然與曲線和方程關(guān)系中的條件(1),即“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”不相符.

(2)不正確.

根據(jù)題意可知，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以線段A8為直徑的圓(但要除去4,B兩點(diǎn)、),

因此，盡管動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)都滿足方程F+),2=],但以方程/+),2=1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都在動(dòng)點(diǎn)。

的軌跡上.

一..........................................■由方程研究曲線

?例以下方程分別表示什么曲線：

(1)(x+y—1)y/x—I=0；

(2)2?+/-4A+2y+3=0.

【思路探究】(1)方程(x+y—1八g=0中“x+y—1”與“五二？'兩式相乘為0可作怎樣的等

價(jià)變形？

(2)我們?cè)谘芯啃稳鏏x2+By--hCx+Dy+E=0的方程時(shí)常采用什么方法？

(自主解答](1)由方程Q+y-1八「二T=0可得

{x-1^0,x+y-l=O或"-120,x-l=0,

即x+y~1=0(x21)或x=1.

故方程表示一條射線x+y—1=0(x21)和一條直線x=1.

(2)對(duì)方程左邊配方得2(%—I尸+()，+1產(chǎn)=0.

V2(x—1)2>0,(>-4-1)2>0,

.\{2(X-I)2=0,。+1)2=0,解得{x=l,y=-l.

從而方程表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(1,-I).

I規(guī)律方法I

1.判斷方程表示什么曲線，就要把方程進(jìn)行同解變形，常用的方法有：配方法、因式分解或化為

我們熟悉的曲線方程的形式，然后根據(jù)方程、等式的性質(zhì)作出準(zhǔn)確判定.

2.方程變形前后應(yīng)保持等價(jià)，否則，變形后的方程表示的曲線不是原方程代表的曲線，另外,

當(dāng)方程中含有絕對(duì)值時(shí)，常借助分類討論的思想.

>變式illl練

以下方程分別表示什么曲線，為什么？

(Ox2+劃一x—y=0；(2)(x—2)2+由2.4—0.

【解】⑴原方程化為(x+y)(x-l)=0,

/.x+y=0或x=1.

因此，原方程表示x+y=O和x=1兩條直線.

(2)由。一2)2+，9-4=0,得

{.V—2=0,y2—4=0,/,{.r=2,y=2,或{x=2,y=—2.

因此，原方程表示兩個(gè)點(diǎn)(Z2)和(2,-2).

類里3求曲線方程

》例設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為18,|A8|=8,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

【思路探究】(1)如何建立坐標(biāo)系？(2)根據(jù)題意列出怎樣的等量關(guān)系？(3)化簡(jiǎn)出的方程是否為所

求軌跡方程？

【自主解答】以線段A8所■在的直線為x軸，以的垂直平分線為)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

那么A(-4.0),仇4.0),設(shè)C(x,y).

曲線的幾何特征是|AC]+|6cl=18一|A陰=10.

用兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程

4Q+4>+0-0)2+、Q——4尸+(y-0產(chǎn)=10

化簡(jiǎn)上式，得%2+25)2=225.

由于點(diǎn)C不能在x軸上，所以yKO.

故所求頂點(diǎn)C的方程為9『+25)2=225。孚0).

I規(guī)律方法I

1.求曲線方程的一般步驟為:

(1)建系設(shè)點(diǎn);

(2)寫幾何點(diǎn)集;

(3)翻譯列式;

(4)化簡(jiǎn)方程;

(5)查漏排雜：即證明以化筒前方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

2.一般情也下,化簡(jiǎn)前前方程的解集是相同的.步驟(5)可以省略不寫,如有特殊情況，可適當(dāng)予

以說(shuō)明，另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟(2),直接列出曲線方程.

3.沒(méi)有確定的坐標(biāo)系時(shí)，要求方程首先必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，由于建立的坐標(biāo)系不同，同一曲

線在坐標(biāo)系的位置不同，其對(duì)應(yīng)的方程也不同，因此要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

>變直訓(xùn)練

一曲線在x軸上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(0,2)的距離減去它到x軸的距離的差都是2,求這條

曲線的方程.

【解】設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為)，)，作軸，〃為垂足，

那么點(diǎn)M屬于集合P={MIMAI—|M8|=2}.

由距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為

..+()-2)2一尸2.化簡(jiǎn)得x2=8y.

???曲線在x軸上方，.“>0.

顯然(0.0)是這個(gè)方程的解，但不屬于曲線.

???所求曲線的方程為f=8)<yK0).

易討易誤辨析巧分辨解疑辨謀避“陷井”坐，尸

/I

忽略題設(shè)條件對(duì)變量的限制致誤

卜典例直線/：y=A(x—5)伏云0)與圓O：?+)2=16相交于A,8兩點(diǎn)，。為圓心，當(dāng)上變化時(shí)，

求弦48的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【錯(cuò)解】設(shè)M(x,y),易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0),再由OM上MP,得|0/>|2=|0必2+|必/>|2,.?.『

525

+)?+(A—5)2+y2=25,整理得(、-+產(chǎn)=亍.

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中未注意到點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故所求的航跡應(yīng)為圓內(nèi)局部，應(yīng)對(duì)其加以條件限

制.

【防范措施】由曲線求方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，反充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，

求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，防止因考慮不全面致誤.

【正解】設(shè)M(x,y),易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0),再由OM工MP,得|。砰=|0加|2+1必用，工『

2

+r+(A—5)+/=25,整理得G一孑+產(chǎn)=竽.???點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故所求的枕跡為圓內(nèi)的局部.解方程

組,一|)2+)2=學(xué)/+戶16得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為戶號(hào)，故所求軌跡方程為。一學(xué)+產(chǎn)苧

(0?竽).

1.曲線與方程的定義的實(shí)質(zhì)是平面曲線的點(diǎn)集和方程J（x,y）=0的解集為（（戈，y）

=0｝之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.由曲線與方程的這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，既可以求出曲線的方程，又可以通過(guò)方程研

究曲線的性質(zhì).

2.求曲線方程的一般步驟為：（1）建系設(shè)點(diǎn)，（2）寫集合（找條件），（3）列方程，（4）化簡(jiǎn)，（5）證明（查

缺補(bǔ)漏）.

3.求曲線的方程與求軌跡是有不同要求和區(qū)別的.假設(shè)是求軌跡，那么不僅要求出方程，而且還

要說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處等，即圖形的形狀、位置.、大小都要加以說(shuō)明、討論等.

交流學(xué)

當(dāng)，雙基達(dá)標(biāo)陸堂練生生互動(dòng)達(dá)“雙標(biāo)”

習(xí)區(qū)I

1.圓C：（X—2）2+（），+1）2=4及直線/：x+2y-2=0,那么點(diǎn)M（4,-1）（）

A.不在圓。上，但在直線/上

B.在圓C上，但不在直線/上

C.既在圓。上，也在直線/上

D.既不在圓。上，也不在直線/上

【解析】把M（4,—1）代入圓、直線方程時(shí)，均使方程成立，故點(diǎn)M既在圓C上，也在直線/上.

【答案】C

2.方程（x—2產(chǎn)+（），+2尸=0表示的圖形是（）

A.圓B.兩條直線

C.一個(gè)點(diǎn)D.兩個(gè)點(diǎn)

【解析】由（工一2）2+（），+2）2=0得x=2,y=-2,故方程表示點(diǎn)（2,—2）.

【答案】C

3.動(dòng)點(diǎn)0到點(diǎn)(1,—2)的距離為3,那么動(dòng)點(diǎn)夕的軌跡方程為.

【解析】由題意P的軌跡是以(1,一2)為圓心，以3的長(zhǎng)為半徑的圓，其方程應(yīng)為。-1)2+°，+

2r=9.

【答案】(x-l)2+(y+2)2=9

4.觀察下表中的方程與曲線，判斷它們有怎樣的關(guān)系：

【解】①曲線只是方程所表示曲線的一局部：②方程所表示的曲線是曲線的一局部；③方程與曲線相

對(duì)應(yīng).

演練提

1?后知能檢測(cè)課下測(cè)自我評(píng)怙提“考能”

升區(qū)I

一、選擇題

1.曲線x2—xy—/—3x+4v—4=0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(4,0)和(一1,0)B.(4,0)和(一2,0)

C.(4,0)和(1,0)D.(4,0)和(2,0)

【解析】在曲線x2—xy—)1—3x+4y—4=0中，令y=0,那么x?—3x—4=0,.,.工=-1或x=4.

,交點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0)和(4,0).

【答案】A

2.(2013?蒙陰高二期末)方程①—4)()2—4)=0表示的圖形是()

A.兩條直線B.四條直線

C.兩個(gè)點(diǎn)D.四個(gè)點(diǎn)

【解析】由(『一4)(./-4)=0得。+2)(工一2)。+2)。，-2)=0,所以％+2=0或A—2=0或)，+2=0

或y—2=0,表示四條直線.

【答案】B

3.（2013?吉林高二檢測(cè)）方程x+|），一1|=（）表示的曲線是（）

【解析】??3+|)，一1|=0,???xW0,應(yīng)選B.

【答案】B

4.到42,—3）和B（4,-1）的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程牯（）

A.X—>-1=0B.X—j,-F1=0

C.x+y-I=0D.x+y+l=0

【解析】與A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在AB的垂直平分線上，即：Z=一卷=-1且過(guò)人8的中點(diǎn)

(3,—2),

，凱跡方程為），+2=一（工一3）,即x+y-1=0.

【答案】C

5.如下圖，圖形與方程對(duì)應(yīng)正確的選項(xiàng)是（）

lgx+lgy=l

C

【解析】A項(xiàng)不正確，因?yàn)?+尸=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，以方程『+）2=|的解

為坐標(biāo)的點(diǎn)不都是曲線上的點(diǎn)，如（乎，一堂）適合方程/+產(chǎn)=1,

但不在所給的曲線上；B項(xiàng)不正確,

理由同上，如點(diǎn)（一1,1）適合f-y2=0,但不在所給的曲線上；C項(xiàng)不正確，因?yàn)榍€上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都

是方程lgx+lgy=1的解；D項(xiàng)正確.

【答案】D

二、填空題

6.“曲線c上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程yu，>0=0的解”是“方程人->1）=0是曲線c的方程”的

條件.

【解析】“方程./u,），）=o是曲線C的方程”n“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程人乜），）=0的解"，

反之不成立.

【答案】必要不充分

7.方程，￡石。+丁+1)=0表示的幾何圖形是.

x+v+1=0

【解析】由方程得或L3=0,

k-3^o

即x+y+1=0(x23)或x=3.

【答案】一條射線和一條直線

8.兩定點(diǎn)A(—2,0),8(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)尸滿足照|=2儼陰,那么點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等

于.

[解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)F(x,y),

依題意|以|=2|P8|,

,\^/(x4-2)2+/=2^(x-1)2+/,

化簡(jiǎn)得。-2)2+V=4,

方程表示半徑為2的圓，

因此圖形的面積S=TV22=4TT.

【答案】4冗

三、解答題

9.(2013?福州高二檢測(cè))方程方+。-1)2=10.

(1)判斷點(diǎn)2(1,-2),Q(Q3)是否在此方程表示的曲線上；

(2)假設(shè)點(diǎn)M&,一⑼在此方程表示的曲線上，求〃?的值.

【解】(1)???尸+(—2—1)2=10,(5產(chǎn)+(3-1)2為0,

，點(diǎn)尸(1,一2)在方程1+[y-l)2=10表示的曲線上，而點(diǎn)。(也，3)不在方程1+。一])2=]0表

示的曲線上.

(2)假設(shè)點(diǎn)M(y,一〃。在方程M+G，-1y=1()所表示的曲線上，

那么啰+(一小-1)2=10,

1Q

解之得m=2或m=-彳.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P(x,)，)，PMJ_)，軸，垂足為“，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，口而疝

=4,求動(dòng)點(diǎn)P的凱跡方程.

【解】由得M(0,y),N(局-y),???謝V=(x,-2y)f

：,OPMN={x,y)(x,—2)，)=/一2爐，

依題意知，/一2產(chǎn)=4,

因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為f—2)2=4.

11.過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線八、/2,假設(shè)八交八軸于A點(diǎn)，/2交)，軸于8點(diǎn)，求線段AB

的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【解】法一設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),

為線段4B的中點(diǎn),

AA點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,O),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y).

V/l±/2,且/|、，2過(guò)點(diǎn)

“2,4),

：.PA.LPB,即Av依8=一1,

4-0

而kpA=

2-2x1人

4—2)，2-y

^?=—=-p

22—v

一]?1)，

人■

整理，得x+2)，-5=0(xWl).

???當(dāng)x=l時(shí)，A、8的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,4),

???線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程x+2y—5=0.

綜上所述，點(diǎn)M的航跡方程是％+2)，-5=0.

法二設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),那么A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(210)、(0,2))，連結(jié)PM.

V/|±/2,：.2\PM\=\AB\.

而|PM|=V(X-2)2+(J-4)2,

|AB|=^(2A)2+(2>')2,

:.M1―2)2+()，-4)2=14f+4產(chǎn),

化簡(jiǎn)，得x+2y—5=0,即為所求的點(diǎn)M的軌跡方

資源直

敖岬備課資源冬拓展因材施教闊“視野”

程.找區(qū)I

(教師用書獨(dú)具)

當(dāng)k為何值時(shí)，曲線.D，+)，+(&-5)x+2=0和直線x-y-k=0的交點(diǎn)在第一?象限？

孫+,，+"一5"+2=0,

【自主解答】由

L)，T=0

得f—4x+2—#=0.

假設(shè)曲線的交點(diǎn)落在第一象限，那么應(yīng)滿足

「4=4?一4(2—攵)20,

<^=2±71+2>0,

ly=2±\/FF2-Z:>0,

解得一2W&V±嚴(yán).

工當(dāng)一ZWkC，一用時(shí),兩曲線的交點(diǎn)在第一象限.

》備選變直

曲線C)，=一『+""一1,點(diǎn)A(3,0),8(0,3),求曲線C與線段A8有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)〃?的取值范圍.

【解】線段A8所在的直線方程為x+y-3=0(04W3).

工+廠3=0,

聯(lián)立

y=一『+〃LL1

消去義得『一(〃?+1反+4=0.

令風(fēng)行=/一(加+l)x+4,疥么以0=0在［0,3］內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件是

<J=(/ZZ+1)2-4X1X4>0,

5+1

0<^-<3,

X0)=4>0,

、/(3)=32—3(〃?+1)+420,

解得3Vm《亍.

故所求m的取值范圍是3<后學(xué).

2.2橢圓

2.2,1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

敖挈教法分析教學(xué)助

明課標(biāo)分共解讀現(xiàn)“致法”

教區(qū)［

(教師用書獨(dú)具)

?三維目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情景中抽象出橢圓模型的過(guò)程;

(2)理解橢圓的定義，掌握梢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程.

2.過(guò)程與方法

(1)讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的獲取過(guò)程，掌握求曲線方程的方法和數(shù)形結(jié)合的思想：

(2)學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問(wèn)題，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

(1)通過(guò)主動(dòng)探究、合作學(xué)工，感受探索的樂(lè)趣與成功的喜悅；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體

意識(shí)和樂(lè)于探索創(chuàng)新的科學(xué)精神.

(2)通過(guò)橢圓知識(shí)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美，幾何圖形的對(duì)?稱美，提高學(xué)生的審美情

趣.

?重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.

橢圓定義是通過(guò)它的形成過(guò)程進(jìn)行定義的，揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，也是橢圓方程建立的基石，因

此給學(xué)生提供動(dòng)手操作、合作學(xué)習(xí)的時(shí)機(jī)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生去探究橢圓的形成過(guò)程，進(jìn)而順理成章的可

以推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，以實(shí)現(xiàn)重、難點(diǎn)的化解與突破.

教案設(shè)

方案設(shè)計(jì)控方略流根細(xì)解用“教案”

計(jì)區(qū)J

(教師用書獨(dú)具)

?教學(xué)建議

本節(jié)課宜采取的教學(xué)方法是“問(wèn)題誘導(dǎo)一啟發(fā)討論一探索結(jié)果”以及“直觀觀察一歸納抽象一總

結(jié)規(guī)律”的一種探究式教學(xué)方法，注重“引、思、探、練”的結(jié)合.引導(dǎo)學(xué)生改變學(xué)習(xí)方式，采用激發(fā)

興趣、主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究的學(xué)習(xí)，形成師生互動(dòng)的教學(xué)氣氛.學(xué)法方面，通過(guò)利用圓的定

義及圓的方程的推導(dǎo)過(guò)程，從而啟發(fā)橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)到類比思想的應(yīng)

用；通過(guò)利用橢圓定義探索橢圓方程的過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，產(chǎn)生主動(dòng)運(yùn)用的意識(shí);

通過(guò)揭示由于橢圓位置的不確定所引起的分類討論，進(jìn)行分類討論思想運(yùn)用的指導(dǎo).

?教學(xué)流程

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出問(wèn)題：按問(wèn)題要求畫出什么樣的圖形？今

引導(dǎo)學(xué)生共同畫圖，觀察、分析，畫出的圖形的特點(diǎn)與滿足的要求，引出橢圓定義.今

通過(guò)觀察橢圓的形狀，結(jié)合定義，引導(dǎo)學(xué)生求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解參數(shù)m'c,的意義.

通過(guò)例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生理解橢圓的定義，學(xué)會(huì)使用定義解決問(wèn)題.今

通過(guò)例2及互動(dòng)探究，使學(xué)牛掌握用待定系數(shù)法求橢圓方程.=>

探究求與橢圓有關(guān)的軟跡方程的方法，完成例3及其變式訓(xùn)練，從而解決如何求軌跡方程問(wèn)題.=>

歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).今

完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，穩(wěn)固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反應(yīng)矯正.

口主導(dǎo)學(xué)理教材自查自測(cè)固“基礎(chǔ)”

1.了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

課標(biāo)

2.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)）

解讀

3.掌握用定義和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

知識(shí)?橢圓的定義

【問(wèn)題導(dǎo)思】

I.取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這

時(shí)筆尖畫出的軌跡是一個(gè)什么圖形？

【提示】圓.

2.如果把細(xì)繩兩端拉開(kāi)一段距離,分別固定在圖板上的兩點(diǎn)八、尸2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移

動(dòng)筆尖.阿出的軌洲是什么圖形？

【提示】橢圓.

送

3.在問(wèn)題2中，移動(dòng)的筆尖始終滿足怎樣的幾何條件？

【提示】筆尖到兩定點(diǎn)木、&的距離和等于常數(shù)（繩長(zhǎng)）.

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)H、巳的距離的和等于常數(shù)（大于IRBD的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫

做橢圓的焦點(diǎn),兩隹點(diǎn)間的距忠叫做桶圓的隹距.

g識(shí)21...................................橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【問(wèn)題導(dǎo)思】

1.觀察橢圓形狀，你認(rèn)為怎樣建系才能使橢圓的方程簡(jiǎn)版？

【提示】以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)Q、尸2的直線為X軸，線段的垂直平分線為y軸，感立直角坐

標(biāo)系.

2.在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，。2和從能相等嗎？你能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判定橢圓的焦點(diǎn)位置？

【提示】

不能相等.否則就表示網(wǎng)而不是桶圓了.可以根據(jù)寸與）,2的分母的大小判定橢圓的

焦點(diǎn)位置.假設(shè)廣項(xiàng)的分母大，那么焦點(diǎn)在X軸上：假設(shè)）2項(xiàng)的分母較大，那么焦點(diǎn)在），軸上.

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在），軸上

I+\=1(。>力>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程，+5=13>b>0)

住占

Z*、、八、、(一c,0)與(c,0)(0,-C)與(0,與

a,b,c

°2=〃2——

的關(guān)系

合作探

互動(dòng)探究破疑難師三互動(dòng)提“知AN”

究區(qū)I

HMt.....一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

》例求適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一4,0)和(4,0),且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5.0)；

⑵佳點(diǎn)在y釉卜.口經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0.2)和(1.0)：

(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(小,一2)和點(diǎn)8(—2小，1).

【思路探究】(1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？(2)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

怎樣的？(3)假設(shè)焦點(diǎn)位置不確定該怎么辦？

【自主解答】(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，

7,2

?,?設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=1(。>>>0).

???2.=#5+4)2+d(5—4)2=10.：.a=5.

又c=4,/./>2=tz2-c2=25-16=9.

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為++]=1.

(2)由于楠圓的焦點(diǎn)在y軸上，

22

???設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0),

「4J),

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+『=1.

(3)法一①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，

、2

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+*=

(5)2,(-2)2

/+b2=1a2=15

依題意有,解得

(一2小匕1

〃2十7=1

99

故所求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為言+5=1.

②當(dāng)焦點(diǎn)在)，軸上時(shí)，

，2

設(shè)桶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+3=

（一2產(chǎn)（4）2

~ir+/=1

a2=5

依題意有廣，,解得

1,（一24）2b2=15'

U+b-

因?yàn)?>。>0,所以無(wú)解.

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為第T

51.

3〃?+4〃=1

法二設(shè)所求橢圓的方程為nix1+ny2=I{m>0,〃>(),依題意有,解得

12m+n=1

所以所求梢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為去+方=1.

I規(guī)律方法I

1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)先確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)匕方程；(3)尋求a,b,。的等量關(guān)系；(4)求a,〃的值，代入所設(shè)方程.

2.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)橢圓方程為g'+〃)2=](切片〃，〃?>(),n>0).因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x

軸上?！ā础?或焦點(diǎn)在y軸上⑺7>〃)兩類情況，所以可以防止分類討論，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

〉變五訓(xùn)緣

求適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在x軸上，且a=4,c=2；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,2)和尾，/).

【解】(1)/=16,C2=4,,\b2=16—4=12

22

且焦點(diǎn)在X軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為京+方=1.

(2)設(shè)所求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

Mr+/V)'2=l(M>0,N>0,MWN).

???楠圓經(jīng)過(guò)A(0,2)和仇；，小)兩點(diǎn),

A/0+?V-4=1(M=1

?,J1,解得《1

A/^4-yV-3=1N/.

???所求橢圓方程為f+9=1.

橢圓的定義及其應(yīng)用

>例-設(shè)2是橢圓六十卷=1上一點(diǎn)，入、尸2是橢圓的焦點(diǎn)，假設(shè)ZQ尸危=60。，求△尸后2的面

T

積.

【思路探究】（1）由橢圓方程，你能寫出|PFi|+|PBI與IRBI的大小嗎？（2）在△RPB中，根據(jù)余弦

定理可以得到歷F2|、IPBI、IPBI之間的關(guān)系式嗎？（3）怎樣求△KPB的面積?

【自主解答】由橢圓方程知，/=25,力2=泉.?.02=?,...c=',2C、=5.

在△PR后中.

IF.BF=|PQF+『Bl?一2|PFI|.|PF2|COS60°,

22

即25=|PQ|+|PF2|-|PFI||PF2|.?

由橢i圓的定義得IO=|PK|+|P&|,

即100=|PFIF+|PF2F+2|PRH尸尸2I.②

②一①，得3|PF#|PBI=75,

所以|PQHP3|=25,

所以S△尸i尸尸2=夕尸F(xiàn)ill刊引sin60°=甲士

I規(guī)律方法I

1.橢圓定義的應(yīng)用技巧

（1）橢圓的定義具有雙向作用，即假設(shè)|MQ|+|MF2l=2a（2a>|QF2l）,那么點(diǎn)"的軌跡是橢圓；反之,

橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.

（2）橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.因此，解題過(guò)程中遇到涉及曲線上的

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.

2.橢圓中的焦點(diǎn)三角形

橢圓上一點(diǎn)?與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)Q,B構(gòu)成的△PFiB,稱為焦點(diǎn)三角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角

形的問(wèn)題，通常要利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解.

、巨曲探交

在本例中，假設(shè)把橢圓方程改為“5+弓=1"，把/QPB=60。，改為“NPQB=90。"，其余

條件不變，試求△PQB的面積.

o2

【解】橢圓方程，+]=1,知a=2,c=l,由橢圓定義，得|PP]|+|PBI=2a=4,且|QBI=2,

在△尸回巳中，ZPF|F2=90°.

???|PF2F=|PFI|2+歷FF

3

從而（4一|PFI|）2=|PQF+4,那么儼

|3

因此SAPFiF2=y|F|F2|-|^i|=2.

故所求6的面枳為京

—ft...............與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

》例圖

圖2—2—1

如圖2—2—I所示，圓/+)2=1上任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作.》軸的垂線段尸P',P'為垂足.M為

直線PP'上一點(diǎn)，且|P'M=4PP'IG為大于零的常數(shù)).當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么？

為什么？

【思路探究】(1)本例適用什么方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程？(2)所求軌跡一定是橢圓嗎？

【自主解答】設(shè)M(x,)，)，P(x(),yo),

*：PP'6軸,且|P'M=WI,

：.x=x0,y=2yo,即的=x,)'()=%?

???點(diǎn)P(xo,yo)在圓x2+/=l上，，石+)B=I.

I?

把M)=x,比=?，代入上式得f+>=l.

當(dāng)0V/IV1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是圓：

當(dāng)4>1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.

I規(guī)律方法I

1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例所用方法為代入法.

2.代入法(相關(guān)點(diǎn)法)

假設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與另一個(gè)曲線C：F(x,y)=()上的動(dòng)點(diǎn)。(由，州)存在著某種聯(lián)系，

可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)尸的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入曲餞。的方程F(x,y)=0,化簡(jiǎn)即得所求軌跡方

程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法).

代入法的主要步驟：

①設(shè)所求軌跡上任意一點(diǎn)?(x,)，)，相對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)設(shè)為Q(xi,yi);

②建立關(guān)系式?X?:g.(x,y),(X)

ly\=h(xty)

③將(X)代入曲線方程化簡(jiǎn)就得所求軌跡方程.

變立訓(xùn)絳

動(dòng)點(diǎn)P在)，=2?+1上移動(dòng)，那么P點(diǎn)與Q(0,-1)連線中點(diǎn)的軌跡方程是什么？

【解】設(shè)P(xo,yo),PQ的中點(diǎn)M(x,y)

尸2，

那么j

yo—1

[)=2，

x0=2x,

**bo=2>,+l.

???P(沏，3)在y=2?+l上，

:,2(2x)2+l=2y+l,

.,.^=4^7.

即PQ中點(diǎn)的軌跡方程為：y=4.r.

易說(shuō)易誤辨析巧分辨解疑辨誤避“陷井”技能提

升區(qū)I

忽略橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的隱含條件致誤

卜典例假設(shè)方程m+工=1表示橢圓，求人的取值范圍.

5~kk-3

[5-k>0,

【錯(cuò)解】由得34V5.

快一3>0

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中》這個(gè)條件，當(dāng)〃=〃時(shí)，方程并不表

示橢圓.

【防范措施】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，分母都大于零且不相等，在解題時(shí)，不僅要注意分母都大于零，

還要注意分母相等時(shí)該方程就變成了圓的方程.

5T>0,

【正解】由題意可知,一3>0,解得3V&V5且

5—3,

C課堂小結(jié)

C

C

C

C

C

1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法.首先，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點(diǎn)的位

置，可用兩種方法來(lái)解決問(wèn)題.

2.求軌跡方程的常用方法：

(1)直接法

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直接與條件發(fā)生聯(lián)系時(shí)，在設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,〉，)后，可根據(jù)幾何條件轉(zhuǎn)換成-)，

間的關(guān)系式，從而得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為直接法.

(2)定義法

假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這

種求軌跡方程的方法稱為定義法.

(3)相關(guān)點(diǎn)法

有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”

到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法.

交流學(xué)

雙基達(dá)標(biāo)的堂練生三互動(dòng)達(dá)“雙標(biāo)”

習(xí)區(qū)I

I.到兩定點(diǎn)尸i(一2,0)和尸2(2,0)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡是()

A.橢圓B.線段

C.圓D.以上都不對(duì)

【解析］|+\MF2\=|FIF2|=4,

???點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2.

【答案】B

2.設(shè)戶是橢畸+若

=1上的?點(diǎn)，R,乃是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，那么|尸人|IIPHI等于()

A.10B.8C.5D.4

【解析】由標(biāo)準(zhǔn)方程得爐=25,???2。=10,由橢圓定義知伊川+|戶田|=24=10.

【答案】A

3.橢圓4『+9產(chǎn)=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(±^5,0)B.(0,±\/5)

C.(±^,0)D.(土親0)

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