專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類

知識五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點01等差等比數(shù)列基本量的計算

2024·上海2023·新課標Ⅰ卷

知識1等差等

2022·新高考全國Ⅱ卷

比數(shù)列基本量

2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江

的計算及證明

考點02等差等比數(shù)列的證明

（5年5考）

2022·全國甲卷2022·上海2022·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計算是必

2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·上海考內容，要求學生熟練掌握數(shù)列的

考點03含絕對值的數(shù)列求和通項公式、前n項和公式等基礎知

2023·全國乙卷識，能夠運用方程思想，通過已知

條件建立關于首項、公差、公比等

考點04分組求和法

基本量的方程或方程組并求解。

2024·全國甲卷2023·新課標Ⅱ卷

2.數(shù)列求和是解答題的重點，分組

知識2數(shù)列求2021·新高考全國Ⅰ卷

求和法、裂項相消法、錯位相減法

和

考點05裂項相消法求和等求和方法頻繁考查，要求學生能

（5年5考）

2022·新高考全國Ⅰ卷夠根據(jù)數(shù)列的通項公式特征，選擇

考點06錯位相減法求和合適的求和方法。

2025·全國一卷2025·天津2024·天津3.數(shù)列與其他知識的綜合考查愈發(fā)

2024·全國甲卷2023·全國甲卷2021·全國乙卷常見，這不僅要求學生掌握數(shù)列本

2021·天津身的知識，還需具備良好的知識遷

移能力和綜合運用能力，能夠從整

考點07等差、等比數(shù)列的綜合

體上把握數(shù)學知識體系。

2023·天津2022·天津

知識3數(shù)列綜

合考點08數(shù)列與其他知識的綜合

新課標卷上海新課標卷

（5年5考）2024·Ⅱ2023·2023·Ⅰ

考點09數(shù)列新定義

2024·新課標Ⅰ卷2024·北京2023·北京

2022·北京2021·北京

考點01等差等比數(shù)列基本量的計算

n2n

1．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設等差數(shù)列an的公差為d，且d1．令bn，記Sn,Tn分別為數(shù)

an

列an,bn的前n項和．

(1)若3a23a1a3,S3T321，求an的通項公式；

(2)若bn為等差數(shù)列，且S99T9999，求d．

2．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和，若a3S5,a2a4S4．

（1）求數(shù)列an的通項公式an；

（2）求使Snan成立的n的最小值．

3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知an為等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且

a2b2a3b3b4a4．

(1)證明：a1b1；

(2)求集合kbkama1,1m500中元素個數(shù)．

9

4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列a的前n項和為S，a，且4S3S9.

nn14n1n

（1）求數(shù)列an的通項；

*

（2）設數(shù)列bn滿足3bn(n4)an0(nN)，記bn的前n項和為Tn，若Tnbn對任意nN恒成立，

求實數(shù)的取值范圍.

5．（2024·上?！じ呖颊骖}）若fxlogax(a0,a1)．

(1)yfx過4,2，求f2x2fx的解集；

(2)存在x使得fx1、fax、fx2成等差數(shù)列，求a的取值范圍．

考點02等差等比數(shù)列的證明

21

6．（2021·全國乙卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列Sn的前n項積，已知2．

Snbn

（1）證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列;

（2）求an的通項公式．

7．（2021·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0,a23a1，且數(shù)列Sn是等差數(shù)

列，證明：an是等差數(shù)列.

2S

8．（2022·全國甲卷·高考真題）記S為數(shù)列a的前n項和．已知nn2a1．

nnnn

(1)證明：an是等差數(shù)列；

(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．

9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記Sn為an的前n項和，從下面①②③中

選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

①數(shù)列an是等差數(shù)列：②數(shù)列Sn是等差數(shù)列；③a23a1．

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．

10．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列{an}滿足an0，對任意n2，an和an1中存在一項使其為另一項與

an1的等差中項

（1）已知a15，a23，a42，求a3的所有可能取值；

（2）已知a1a4a70，a2、a5、a8為正數(shù)，求證：a2、a5、a8成等比數(shù)列，并求出公比q；

（3）已知數(shù)列中恰有3項為0，即arasat0，2rst，且a11，a22，求ar1as1at1的最大

值.

11．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d1．記an的前n項和為SnnN．

(1)若S42a2a360，求Sn；

(2)若對于每個nN，存在實數(shù)cn，使ancn,an14cn,an215cn成等比數(shù)列，求d的取值范圍．

*

12．（2022·上?！じ呖颊骖}）數(shù)列an對任意nN，且n2，均存在正整數(shù)i1,n1，滿足

an12anai,a11,a23.

(1)求a4可能值；

(2)命題p：若a1,a2,...a8成等差數(shù)列，則a930，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是

假，說明理由：

m*

(3)若a2m3,mN成立，求數(shù)列an的通項公式.

考點03含絕對值的數(shù)列求和

13．（2023·全國乙卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a211,S1040．

(1)求an的通項公式；

(2)求數(shù)列an的前n項和Tn．

考點04分組求和法

14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且2Sn3an13.

(1)求an的通項公式；

(2)求數(shù)列Sn的前n項和.

為奇數(shù)

an6,n

．（新課標卷高考真題）已知a為等差數(shù)列，b，記S，Tn分別為數(shù)列a，

152023·Ⅱ·nn為偶數(shù)nn

2an,n

bn的前n項和，S432，T316．

(1)求an的通項公式；

(2)證明：當n5時，TnSn．

為奇數(shù)

an1,n,

．（新高考全國卷高考真題）已知數(shù)列a滿足a1，a

162021·Ⅰ·n1n1為偶數(shù)

an2,n.

（1）記bna2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列bn的通項公式；

（2）求an的前20項和.

考點05裂項相消法求和

Sn1

17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a11,是公差為的等差數(shù)

an3

列．

(1)求an的通項公式；

111

(2)證明：2．

a1a2an

考點06錯位相減法求和

18．（2023·全國甲卷·高考真題）設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a21,2Snnan．

(1)求an的通項公式；

an1

(2)求數(shù)列的前n項和Tn．

2n

aa1

19．（2025·全國一卷·高考真題）設數(shù)列a滿足a3，n1n

n1nn1n(n1)

(1)證明：nan為等差數(shù)列；

2Lm

(2)設f(x)a1xa2xamx，求f(2)．

20．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，a1b12,a2b21,a3b3．

(1)求an，bn的通項公式；

*

(2)nN，I0,1，有Tnp1a1b1p2a2b2...pn1an1bn1pnanbn|p1,p2,...,pn1,pnI，

（i）求證：對任意實數(shù)tTn，均有tan1bn1;

（ii）求Tn所有元素之和．

21．（2024·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知4Sn3an4．

(1)求an的通項公式；

n1

(2)設bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn．

22．（2024·天津·高考真題）已知an為公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a11,S2a31．

(1)求an的通項公式及Sn；

k,nak

(2)設數(shù)列bn滿足bn，其中kN*．

bn12k,aknak1

*且

（?。┣笞C：當nak1kN,k1時，求證：bn1akbn；

Sn

（）求．

ⅱbi

i1

nan

23．（2021·全國乙卷·高考真題）設a是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列b滿足b．已知a1，3a，9a

nnn323

成等差數(shù)列．

（1）求an和bn的通項公式；

Sn

（2）記S和Tn分別為a和b的前n項和．證明：T．

nnnn2

24．（2021·天津·高考真題）已知an是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．bn是公比大于0的等比

數(shù)列，b14,b3b248．

（I）求an和bn的通項公式；

1

*

（II）記cnb2n,nN，

bn

2

（i）證明cnc2n是等比數(shù)列；

naa

kk1*

（ii）證明222nN

k1ckc2k

考點07等差、等比數(shù)列的綜合

25．（2023·天津·高考真題）已知an是等差數(shù)列，a2a516,a5a34．

2n1

求的通項公式和．

(1)anainN

i2n1

*k1k

(2)設bn是等比數(shù)列，且對任意的kN，當2n21時，則bkanbk1，

kk

（Ⅰ）當k2時，求證：21bk21；

（Ⅱ）求bn的通項公式及前n項和．

26．（2022·天津·高考真題）設an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且a1b1a2b2a3b31．

(1)求an與bn的通項公式；

(2)設an的前n項和為Sn，求證：Sn1an1bnSn1bn1Snbn；

2n

求k．

(3)ak1(1)akbk

k1

考點08數(shù)列與其他知識的綜合

22

27．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C:xymm0，點P15,4在C上，k為常數(shù)，0k1．按

照如下方式依次構造點Pnn2,3,...：過Pn1作斜率為k的直線與C的左支交于點Qn1，令Pn為Qn1關于y軸

的對稱點，記Pn的坐標為xn,yn.

1

(1)若k，求x,y；

222

1k

(2)證明：數(shù)列xy是公比為的等比數(shù)列；

nn1k

(3)設Sn為PnPn1Pn2的面積，證明：對任意正整數(shù)n，SnSn1.

28．（2023·上?！じ呖颊骖}）令fxlnx，取點a1,fa1過其曲線yfx作切線交y軸于0,a2，取

點a2,fa2過其作切線交y軸于0,a3，若a30則停止，以此類推，得到數(shù)列an．

(1)若正整數(shù)m≥2，證明amlnam11；

(2)若正整數(shù)m≥2，試比較am與am12大?。?/p>

(3)若正整數(shù)k3，是否存在k使得a1,a2ak依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試

說明理由．

29．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)

投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命

中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

nn

(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且PXi11PXi0qi,i1,2,,n，則EXiqi．記

i1i1

前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求EY．

考點09數(shù)列新定義

30．（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）設m為正整數(shù)，數(shù)列a1,a2,...,a4m2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪

去兩項ai和ajij后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列

a1,a2,...,a4m2是i,j可分數(shù)列．

(1)寫出所有的i,j，1ij6，使數(shù)列a1,a2,...,a6是i,j可分數(shù)列；

(2)當m3時，證明：數(shù)列a1,a2,...,a4m2是2,13可分數(shù)列；

(3)從1,2,...,4m2中任取兩個數(shù)i和jij，記數(shù)列a1,a2,...,a4m2是i,j可分數(shù)列的概率為Pm，證明：

1

P．

m8

31．（2024·北京·高考真題）已知集合

且為偶數(shù)

Mi,j,k,wi1,2,j3,4,k5,6,w7,8,ijkw．給定數(shù)列A:a1,a2,,a8，和序

列:T1,T2,Ts，其中Ttit,jt,kt,wtMt1,2,,s，對數(shù)列A進行如下變換：將A的第i1,j1,k1,w1項均

加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作T1A；將T1A的第i2,j2,k2,w2項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作

T2T1A；……；以此類推，得到TsT2T1A，簡記為A．

(1)給定數(shù)列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，寫出A；

(2)是否存在序列，使得A為a12,a26,a34,a42,a58,a62,