專項訓(xùn)練八圖形折疊的相關(guān)計算

基礎(chǔ)夯實

1.（2024?唐山曹妃甸區(qū)模擬）如圖,在三角形紙片4BC中,NZD8=90。,把△48C沿翻折180。,若

點B落在點C的位置，則線段4D是（）

A.邊3c上的中線B.邊3c上的高

C.AABC的角平分線D.以上三種都成立

2.（2023?威海）如圖,四邊形4BCQ是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊:使D4邊落在DC

邊上，點A落在點H處,折痕為使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處,折痕為CF.若矩形

HEFG與原矩形ABCD相似則CD的長為（）

A.V2-1B.glC.^2+1D."\/5+l

3.（2024?廊坊廣陽區(qū)二模）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們用△ZBC紙片進(jìn)行折紙操作.按照下列各圖所示的折

疊過程，線段是△NBC中線的是（）

4.（2023?嘉興）如圖,已知矩形紙片45cA其中48=3,8C=4,現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作:第一步，如圖1

將紙片對折，使AB與DC重合,折痕為所,展開后如圖2;第二步，將圖2中的紙片沿對角線BD折

疊，展開后如圖3;第三步，將圖3中的紙片沿過點E的直線折疊，使點C落在對角線8。上的點笈

處，如圖4,則。X的長為)

A

B

圖3圖4

3859

A.2B后c.§D不

5.（2023?赤峰）如圖,把一個邊長為5的菱形4BCD沿著直線折疊，使點。與48延長線上的點

Q重合刀E交BC于點F,交AB延長線于點E.DQ交BC于點P,DM±AB于點四河=4.下列結(jié)論:

15

①②50=3;③80=萬;④8。〃/0淇中正確的是（）

A.①②③B.②④

C.①③④D.①②③④

6.（2024?唐山玉田縣二模）如圖1,在△48C中分別是的中點，將沿線段向

下折疊，得到圖2,下列關(guān)于圖2的結(jié)論中，不一定成立的是（）

圖1圖2

A.DE//BC

B.^DBA是等腰三角形

C.點Z落在8c邊的中點

D.Z5+ZC+Z1=18O°

7.（2024?邯鄲三模）觀察發(fā)現(xiàn):在三角形中，大角對大邊，小角對小邊.猜想證明:

如圖1,在△ZBC中,NONA

求證:

證明:將△48C沿直線①）折疊，使點B與點C重合，如圖2.

/.ZABC=ZMCN,

在AZCM中（③），

：.AM+BM>AC（@）,

：.AB>AC.

下列說法不正確的是（）

圖1圖2

A.①處的"N垂直平分BC

B.②表示等角對等邊

C.③表示三角形的兩邊之和大于第三邊

D.④表示等式的基本性質(zhì)

8.（2024?石家莊正定縣一模）如圖,在三角形紙片ABC中,4B=ZC,N8=20。,點D是邊上的動點,

將三角形紙片沿幺。對折，使點8落在點皮處，當(dāng)83,8c時，則/氏4。=（）

A.25°或115°B.35°或125°

C25。或125°D.35?；?15°

9.（2024?牡丹江）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD,AD=Ucm,0）=10cm,他進(jìn)行了如下操作:

第一步，如圖1,將矩形紙片對折，使2。與5c重合，得到折痕將紙片展平.

第二步，如圖2,再一次折疊紙片，把△NON沿ZN折疊得到交折痕"N于點E,則線段

EN的長為（）

圖1圖2

169

A.8cmB.—cm

16755

cmD-ocm

10.（2024?唐山三模）四邊形Z8CO的邊長如圖所示,/氏4。=90。,乙48。=120。,￡為邊/。上一動點

（不與A,D兩點重合），連接BE,將LABE沿直線BE折疊，點A的對應(yīng)點為點E,則點C與點F之間

的距離不可能是（）

A.3B.4C.5D.8

11.（2024?甘孜州）如圖,RtA4BC中,/。=90。,2。=8乃C=4浙疊△4BC,使點A與點B重合，折痕

DE與AB交于點D,與AC交于點瓦則CE的長為.

12.（2024?常州）如圖，在RtA^5C中,乙4。5=90。,2。=6乃。=4,。是邊ZC的中點乃是邊8C上一點,

連接BD,DE.將ACDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE=.

13.（2023港江）如圖，將邊長為3的正方形48C。沿直線EE折疊，使點B的對應(yīng)點M落在邊幺。

上（點〃不與點4。重合），點C落在點N處,跖V與CD交于點尸,折痕分別與邊4B,CD交于點

￡產(chǎn),連接BM.

(1)求證:N/AffinNEWP.

⑵若。尸=1,求"D的長.

能力提升

1.（2024?邯鄲叢臺區(qū)模擬）如圖,一根直的鐵絲28=20cm,欲將其彎折成一個三角形,在同一平面內(nèi)

操作如下：

①量出AP=5cm;

②在點P右側(cè)取一點。，使點。滿足PQ>5cm;

③將4P向右翻折,50向左翻折.

若要使48兩點能在點〃處重合，則PQ的長度可能是

A.12cmB.l1cmC.10cmD.7cm

2.（2024?滄州一模）如圖,E是菱形ABCD的邊BC上的點，連接ZE.將菱形ABCD沿AE翻折，點B

恰好落在的中點尸處，則tan/ZBE的值是

C.聲D.產(chǎn)

3.（2024?河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,正方形48co的邊48在x軸上，點/的坐標(biāo)為（-2,0）,點

E在邊CD上.將△8CE沿BE折疊，點C落在點F處若點F的坐標(biāo)為（0,6）,則點E的坐標(biāo)

為.

【詳解答案】

基礎(chǔ)夯實

1.D解析:?.?把△/SC沿翻折180。,點B落在點C的位置，

1

AB=AC,BD=CD,NBAD=ZCAD,ZADB=AADC=^180°=90°,

：.AD±BC,

：.線段AD是邊BC上的中線,也是邊BC上的高，還是△力5。的角平分線.故選D.

2.C解析:由折疊可得。由4Q,CG=5C.,??四邊形45cZ）為矩形,???4D=5C=1.??.m=CG=l.設(shè)CD的長為x,則

HG=x-2.,/四邊形HEFG為矩形,：.EH=\；：矩形HEFG與原矩形ABCD相似,...無=而即》=丁.解得x=^

+1（負(fù)值舍去）.+1.故選C.

3.C解析:A.沿4D折疊，點C落在8c邊上的點￡處,則D是CE的中點,不是△/水：的中線，故A選項

不符合題意；

B.沿AD折疊，點C落在AB邊上的點E處,不能得到CD=BD,故B選項不符合題意；

C.沿DE折疊使點C與點B重合，

：.BD=CD,

二。是8c的中點，

：.AD是△NBC的中線，故C選項符合題意；

D.沿4D折疊，點C落在三角形外的點E處，

.??。。=。瓦不能得至1]CD=BD,

；.D選項不符合題意.故選C.

4.D解析:如圖，連接C77.由折疊可知EB=EH=EC.：.點B,C,H在以點￡為圓心,8C為直徑的圓上.ZBHC=9Q°.

一?5-----7BCCD12

CHLBD.VABCD+35=3,5C=4,ACD=AB=3.：.BD=^BC+CD=5.：.CH=~^~=y.*.*tanZBDC=

BCCH

而=麗，???〃〃?故選D

5.A解析:由折疊性質(zhì)可知/CZW=

ZQDF,CD=DQ=5,VCD//AB,：.ZCDF=ZE,：.ZQDF=ZE,故①正確;

：.MQ=AM=4,\"AB=5,.^.Affi=/8-/M=5-4=l,.^.82=M。-Affi=4-l=3,故②正確;^.^CD〃/氏/\CDP^/\BQP,.\

CPCD5315-一ADFCD5EF8

而=箴=飛；：CP+BP=BC=5,???3PqBC=^~,故③正確;<CZ)〃AB,△CD77s^BEF,?,?而=彘=§,???麗=行，;

0E5EF0E

而，，，而發(fā)，:?BD與FQ不平行，故④錯誤.故選A.

6.C解析:A「.?在△NBC中,D,E分別是的中點,故本選項正確；

B.由折疊的性質(zhì)可得BD=AD,

:MBA是等腰三角形，故本選項正確；

C.由折疊的性質(zhì)可得/D=AD/E=EC,但不能確定42=/C,故本選項錯誤；

D.如題圖1,在△NBC中，

ZBAC+ZB+ZC=18O°,

如題圖2,由折疊的性質(zhì)可得/8/C=/l,

/8+/C+/l=180。,故本選項正確.故選C.

7.D解析:①處的MN垂直平分3C;②表示等角對等邊;③表示三角形的兩邊之和大于第三邊;都正確，不符合題意；

④表示等量代換，故④不正確，符合題意.故選D.

8.A解析:如圖且點9與點A在直線BC的異側(cè)，

由折疊得NAD2'=/4D民

AADB'+ZADB+N8OB'=360°,且ZBDB'=90°,

：.2ZADB+90°=360°,

：.ZADB=U5°,

NB=20。,

???ZBAD=180°-ZADB-ZB=180°-l35°-20°=25°;

圖1圖2

如圖2乃且點皮與點A在直線BC的同側(cè)，

NADB，=NADB,且/BDB'=90。,

：.ZADBr+ZADB=2ZADB=ZBDBr=90°,

：.ZADB=45°,

：.ZBAD=lS00-ZADB-ZB=180o-45o-20o=115°.

綜上所述,N54D=25?；?15。.故選A.

9.B解析:,??四邊形ABCD是矩形，

；.4B=CD=10cm,

1

由折疊可得AM=^AB=5cm4D=ADr=ncm,MNLAB,/DAN=/DAN,

???四邊形AMND是矩形，

:?MN〃ADMN=AD=Y1cm,

???NDAN=/ANM,

f

：.ZANM=ZDAN9

:?EA=EN,

設(shè)EA=EN=xcm,則EM=(12-x)cm,

在中，根據(jù)勾股定理可得AAfi+ME^AE2,

即52+(12-x)2=x2,解得x=w，即EN=-^cm.故選B.

10.D解析:如圖1所示，連接CF,

圖1

根據(jù)折疊的性質(zhì),我們可以得到△N8EgAFBE,

:.BF=AB=3,

\'BC=5,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系BC+BF>FC,

可以得到3+5>FC,

.*.FC<8,

當(dāng)折疊后尸落在8C上時，如圖2,

A

C

圖2

此時Cr為最小值，

CF=BC-BF=5-3=2,

故CF的取值范圍為2WCF<8.故選D.

11.3解析:由折疊的性質(zhì)，，/

'：AC=8,

；?AE=AC-CE=8-CE,

:.BE=8-CE,

在RSCE中,BO+CE-BE2,

，16+d(8-C￡)2,

解得CE=3.

3

12.2解析:「N4CB=900HC=6,BC=4,D是邊4c的中點，

1

CD=^AC=3,

BD=JBC2+CD2=5,

將沿DE翻折，點C落在3D上的點尸處，

/.CD=DF=3,CE=EF,ZEFD=90°,

：.BF=BD-DF=2,ZBFE=90°,

設(shè)C￡f貝l|EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在RSFE中，由勾股定理，得(4-X)2=X2+22,

33

解得x=^9/.CE=^.

13.解:⑴證明:由翻折和正方形的性質(zhì)可得/EW=N￡SC=90。同介EA

JZEMB=ZEBM.

：./EMP-NEMB=/EBC?/EBM,即NBMP=NMBC.

??,四邊形/SCO是正方形，

C.AD//BC.

：./AMB=/MBC.

：.ZAMB=ZBMP.

⑵如圖，延長AW,交2c的延長線于點Q.

AD//BC,：.ADMPs△CQP.

又尸=1,正方形/BCD的邊長為3,即CD=3,

：.CP=CD-DP=2.

.MDMPDP1

,9~QC=~QP=~CP=2'

：,QC=2MD,QP=2MP.

設(shè)MD=x,貝I]QC=2x.

：.BQ=3+2x.

由⑴知NAM/x/MSC,

即NBAQ/MS。,

MQ=BQ=3+2x.

13+2x

：.MP=^MQ=3.

在RtADMP^,MD2+DP2=MP2,

3+2x

.*.X2+12=