專題03軸對稱與等腰三角形

￡）@??

藩思維導(dǎo)圖

軸對稱圖形

成軸對稱圖形

軸對稱的性質(zhì)

軸對稱

r畫軸對稱圖形

點（x,y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x,-y）.

關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征

｛點（x,y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（-x,y廠

定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線

性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

-線段的垂直平分線

軸對稱與判定與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分魏上

等腰三角定義有兩條邊相等的三角形

形I件.等邊對等角

、等腰三角形-------卜三一-

判定等角對等邊

定義三條邊都相等的三角形

等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°

等邊三角形的每條邊都存在三線合一

等邊三角形

三條邊都相等的三角形

判定三個角都相等的三角形

有一個角是60?的等腰三角形

A核心考點聚焦

1、軸對稱圖形

2、軸對稱的性質(zhì)

3、軸對稱與坐標(biāo)變換

4、線段垂直平分線的性質(zhì)

5、等腰三角形的性質(zhì)

6、等邊三角形的性質(zhì)

7、直角三角形的性質(zhì)

8、翻折變換

9、等腰三角形的判定

10、等邊三角形的判定

11、等腰三角形的綜合問題

12、等邊三角形的綜合問題

1.軸對稱

(1)軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就稱這個圖形

是軸對稱圖形；這條直線叫做它的對稱軸；也稱這個圖形關(guān)于這條直線對稱；

(2)兩個圖形關(guān)于這條直線對稱：一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就

說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點；

(3)軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區(qū)別：軸對稱圖形是指一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩

部分能完全重合；而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關(guān)系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能

夠重合；

(4)軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的聯(lián)系：把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形

關(guān)于這條軸對稱；把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形；

(5)畫軸對稱圖形的方法：

找一在原圖形上找特殊點(如線段的端點)；

畫一畫各個特殊點關(guān)于對稱軸對稱的點；

連一依次連接各對稱點.

2.垂直平分線

(1)垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；

(2)如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；

(3)軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；

(4)對稱的兩個圖形是全等的；

(5)垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；

(6)逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3.坐標(biāo)與軸對稱

(1)點(x,y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x,-y)；

(2)點(尤，y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-尤，y)；

(3)P(a,b)關(guān)于直線x=:"的對稱點P'的坐標(biāo)為(2/7?-a,b)；

(4)P(a,b)關(guān)于直線y="的對稱點尸'的坐標(biāo)為(a,2n-Z?).

4.等腰三角形的性質(zhì)與判定

(1)等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角“).

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等角對等邊】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的平分線，但不能作未來底邊的中線.

5.等邊三角形

（1）等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形.（等邊三角形是特殊的等腰三角形）

（2）等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形的三個內(nèi)角都是60。；

②等邊三角形的每條邊都存在三線合一.

（3）等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

1.關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點：

（1）點（尤，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x,-y）；

（2）點（尤，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（-尤，y）.

已知兩個點的坐標(biāo)分別為PlCX1，yi）,尸2（尬，＞2），若Xl=%2，＞1+竺=0，則點P，B關(guān)于x軸對稱；

若無1+&=0，丫1=y2，則點Pi，尸2關(guān)于y軸對稱.反之也成立.

2.判定等腰三角形的方法：

（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊“）.

【注意】①"等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等.因為在

沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.

②“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由

三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

3.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一種非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同時等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的

性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30。角的

直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個

60。的角判定.

回回叵J回

?考點剖析

考點1、軸對稱圖形

例1.人教版數(shù)學(xué)教材中有“探究、歸納、觀察與猜想、思考”等欄目圖標(biāo)，其中屬于軸對稱圖形的是（）

探究歸納觀察與猜想思考

【答案】D

【解析】A.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

D.該圖形是軸對稱圖形，故此選項符合題意.

故選D.

考點2、軸對稱的性質(zhì)

例2.如圖，直線AB,8相交于點0,P為這兩條直線外一點，連接OP.點P關(guān)于直線A3,8的對稱

點分別是點4，P2.若0尸=3.5,則點片，鳥之間的距離可能是（）

0

A.0B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】如圖，連接。匕。鳥/心，

?.?點尸關(guān)于直線A5,。的對稱點分別是點4，且OP=3.5,

-_OPt=OP=3.5,OP2=OP=3.5,

在△6。鳥中，oq-Og<。4+。2，

0<PyP2<7,

故選B.

考點3、軸對稱與坐標(biāo)變換

例3.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位，△A6C的三個頂點都在格點上.

m

⑴在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移3個單位得到的△4片G；

(2)在網(wǎng)格中畫出△AB|G關(guān)于直線m對稱的△人&G；

(3)在直線機上畫一點P,使得C/+GP的值最小.

【解析】(1)如圖，△A與G即為所求；

(2)如圖，△43G即為所求；

(3)連接CC2交直線于點P,則點尸即為所求點.

考點4、線段垂直平分線的性質(zhì)

例4.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點O,邊AC的垂直平分線EN交8c于點E.已

知VADE的周長為8cm,則BC的長為()

【答案】D

【解析】：是的垂直平分線，

/.DA=DB,

YEN是AC的垂直平分線，

EA=EC,

：VADE的周長為8cm,

AD+DE+AE=8cm,

/.BD+DE+EC=8cm,

BC=8cm,

???3C的長為8cm；

故選D.

考點5、等腰三角形的性質(zhì)

例5.如圖，在△ABC中，AB=AC,點。，E分別在邊AC,8C上，^AD=AE,ZDEC=W°,則N54E

的度數(shù)為.

【解析】VAD=AE,

：.ZADE=ZAED,

,：AB^AC,

：.ZB=ZC,

設(shè)/3=NC=c,貝UNAT>E=NAED=(Z+10。，

,/ZAEC=ZAED+ZDEC=a+20°,ZAEC=ZB+ZBAE=a+ZBAE,

ZBAE=20。，

故答案為：20°.

考點6、等邊三角形的性質(zhì)

例6.如圖，△ABC為等邊三角形，AD平分NBAC,VADE是等邊三角形，下列結(jié)論中：①ADLBC；

@EF=FD；③BE=BD；?ZABE=60°,正確的個數(shù)為（）

【答案】A

【解析】?.?△ABC為等邊三角形，4)平分/B4C,

：.AD±BC,BD=DC,Zfim)=30°,...①正確；

又是等邊三角形，

:.AF±ED,EF=FD,.?.②正確；

由②得AP_LEE>,EF=FD,

:.BE=BD,.?.③正確；

易證得人鉆石名人48￡>，ZABE=ZABC=60°,...④正確，

①②③④都正確，故選A.

考點7、直角三角形的性質(zhì)

例7.如圖，CO是等邊ZkABC邊AB上的中線，AC的垂直平分線交AC于點E,交CD于點、F,若DF=1,

則8的長為.

【答案】3

【解析】如圖，連接鏟,

,/8是等邊ZkABC邊45上的中線,

CDA.AB,ZAC￡)=-ZACB=30°,

2

,/所是AC的垂直平分線，

AF=CF,

：.ZFAC=ZACD=30°,

：.NDAF=ABAC-ZFAC=30°,

CF=AF=2DF=2,

：.CD=DF+CF=3,

故答案為：3.

考點8、翻折變換

例8.如圖，在△ABC中，點。在邊BC上，將△ABD沿AD翻折得到△血)，設(shè)3c與AE交于點尸.

⑴若△ABb的周長為12,ADFF的周長為4,求AF的長；

(2)若NAOC=NZMC,證明：DE//AC.

【解析】(1)設(shè)BD=a,DF=b,EF=c,AF=x,

由翻折的性質(zhì)得：DE=BD=a,AB^AE^AF+EF^x+c,

：AZ)EF的周長為4,

:.DE+DF+EF^4,即：a+b+c=4,

△鉆/的周長為12,

:.AB+BF-\-AF=12,BP：x+c+〃+b+x=12,

:.2x+a+b+c=12,

/.2x+4=12,

解得：％=4,

.\AF=4.

(2)由翻折的性質(zhì)得：ZBAD=ZEAD，ZB=ZE,

???NADC=NB+NA4O,ZDAC=/EAD+/CAE,ZADC=ZDAC,

Z.B+ABAD=AEAD+ACAE,

即：ZB=ZCAE,

.\ZE=ZCAE,

/.DE//AC.

考點9、等腰三角形的判定

例9.如圖，AA5c是等腰三角形，AB=AC,點。是A5上一點，過點。作OEL3c交3c于點E,交C4

延長線于點F.

(1)求證：尸是等腰三角形；

(2)若/8=60。，且BD=2BE,BD=4,AD=2,直接寫出￡。的長為.

【解析】(1)VAB=AC,??.N3=NC,

??,DELBC,

：.NF+NC=90°,ZBDE+ZB=90°,

；?/F=/BDE,

???ZBDE=ZFDA,

：.ZF=ZFDA,

：.AF=AD,

???△ADb是等腰三角形；

(2)VBD=2BE,BD=4,：.BE=-BD=2,

2

?：AB=AC,^B=60°,

???AA5c是等邊三角形，

BC=AB=AD+BD—6,

EC=BC-BE=4.

考點10、等邊三角形的判定

例10.如圖，在等腰ZiABC中，AB^AC,4。是八43。的中線，。石，至于點￡,于點兒

(1)若/BDE=30。，求證：ZkABC是等邊三角形;

(2)求證：ABDE/MDF；

⑶若NB=60。，BD=4,求”的長.

【解析】(1)VD￡±AB，

???/BED=90。,

VZBDE=30°,

???ZB=180o-90O-30o=60°,

'：AB=AC,

???AA3C是等邊三角形；

(2)DELAB.DFLAC,

:.ZBED=ZCFD=90°f

\-AB=AC,

.?.NB=NC,

???AT＞是AWC的中線，

:.BD=CD,

/BED=ZCFD

在ABDE與ACDF中，＜NB=/C,

BD=CD

.\/\BDE^ACr)F(AAS)；

(3)-AB=AC,AO是中線，

:.AD.LBC.:.ZADB=90°f

vZB=60°,

,\ZBAD=30°f

.-.AC=AB=2BD=8,

.DE工AB,:.ZBED=90。,

.\ZBDE=30°,

:.BE=-BD=2,

2

1.?ABDE^ZXCDF,

：.CF=BE=2,

:.AF=AC-CF=S-2=6.

考點11、等腰三角形的綜合問題

例ILAA3C和△。前都是以點B為頂點的等腰直角三角形，ZABC=ZDBE=90°.

c

G

圖3

(1)如圖1,當(dāng)邊8D恰好在ZkABC的BC邊上時,連接AD,CE,易證△ABD電/XCBE,從而證明

CE1AD；(寫出證明過程)

(2)如圖2,當(dāng)△ABC和如圖擺放，連接CO,AD,CE,其中AD與CE相交于點H那么AO與CE

的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，請說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)△A5C和△DfiE如圖擺放，尸為AC的中點，連接AD,CE,FD,并在FD的延長線卜.取

一點G,連接CG,使CG=CE,求證：ZFDA=ZCGF.

【解析】(1)延長AD交CE于點「如圖，

???AABC和△QBE是等腰直角三角形,

/.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=90°,

AB=CB

在△ABD和ACBE中，＜NABD=NCBE,

BD=BE

：.AABD色ACBE(SAS),

ZBAD=NBCE,

ABAD+ZAFE+ZFEA=ZBCE+ZEBC+ZBEC=180°,且NFEA=NBEC,

：.ZAFE=ZEBC=90°,

即CELAD.

(2)沒有發(fā)生變化，理由如下：如圖，

ZABC=ZDBE=90°,

ZABD=/CBE,

AB=CB

在△ABD和△CHE中，＜ZABD=ZCBE,

BD=BE

???△ABD四△CBE(SAS),

???ZBAD=ZBCE,

ZAOB=ZCOFf

：.ZABO=ZCFO=90°,

即AD_LCE.

(3)延長。/到”，使得=O尸，連接C77.如圖,

???尸為AC的中點,

:.FA=FCf

FA=FC

在和△CFW中，＜ZAFD=ZCFH,

FD=FH

：.AAFD^AC777(SAS),

AZADF=ZH,AD=CH,

:ZABD+ZDBC=NDBC+ZCBE=90°,

:.ZABD=NCBE,

AB=CB

在△ZMB和△￡C3中，＜/ABD=/CBE,

DB=EB

：.ADAB^AECB(SAS),

???AD=CE,

,:CG=CE,

：.CG=CE=AD=CH,

則NOGC=N”,

那么NCG/=NAZ^.

考點12、等邊三角形的綜合問題

例12.已知等邊△A8C，點。是直線上一點，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊連接C￡.

(1)如圖1,若點。在線段5C上，求證：CE+CD=AB；

(2)如圖2,若點。在CB的延長線上，直接寫出線段C￡,CD,AB的數(shù)量關(guān)系為；

(3)在(2)問條件下，把沿翻折得到△板7,連接ED,BE,若砥恰好平分NC8D,8=6,

求線段即'的長.

【解析】(1),??△ABCZkAD石都為等邊三角形，

AZBAC=ZDAE=60°fAB=AC=BC,AD=AE,

：.ZBAD=ZCAEf

"AB=AC

在和ZkACE中，＜/8AO=NCA瓦

AD=AE

：.△ABD也△ACE(SAS),

BD=CE,

：.CE+CD=BD+CD=BC=AB,

^CE+CD=AB.

(2)???AABC^ADE都是等邊三角形，

AZBAC=ZDAE=60°fAB=AC=BC,AD=AE,

：.ZBAD=ZCAE,

'AB=AC

在△AB。和ZkAC石中，＜/BAD=NCAE,

AD=AE

：.△ABD右△ACE(SAS),

???BD=CE,

：.CD=BC+BD=AB+CE；

故答案為：CD=AB+CE.

(3)延長C￡,BD'交于點F,如圖所示：

A

'；F

'：△ABC為等邊三角形,

ZABC=ZACB=60°,

：.ZABD'=ZABD=180°-60°=120°,

ZCBD'=120°-60°=60°,

ZCBD'=ZABC,

根據(jù)解析（2）可知，△ABD^AACE,

根據(jù)折疊可知，，

AABD^AACE^AABDr,

：.ZACE=ZABD=ZABD'=120°,BD=BD',

ZBCF=120°-ZACB=60°,

ZCBD'=ZBCF=60°,

???ABCF為等邊三角形,

：.CB=CF=BF,

'：BE平分NCBD,

:.BELCF,CE=EF=LcF,CB,

22

,/△ABD^AACE,

CE=BD,

：.BD=-BC,

2

,/CD=6,

:.BD=LCD=2,BC=4,

3

:.Biy=BD=2,BF=BC=4,

：.UF=BF—Biy=2,EF=2,

又NF=60°，

???△￡>'所為等邊三角形，

/.DE=DF=EF=2.

》過關(guān)檢測

一、單選題

1.下列新能源汽車品牌圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）

%G0

智己蔚來理想.

零跑

【答案】B

【解析】由題意知，，^是軸對稱圖形，故選B.

蔚來

2.如圖，△ABC中，AC邊的垂直平分線分別交AC,A3于點D,E,AD=3cm,△ABC的周長為18cm,

則△5EC的周長為（）

C.12cmD.15cm

【答案】C

【解析】：AC邊的垂直平分線分別交AC,A3于點E,

:?AE=CE,AD=CD=-AC

2f

AD=3cm,

AC=6cm,

△ABC的周長為18cm,

/.AB+BC=12cm,

△BEC的周長為3E+CE+BC=AB+BC=12cm,故選C.

3.如圖，在△ABC中，AB=AC=6,則△ABC的面積為（)

9D.16

【答案】C

過8作3D，AC交CA的延長線于。，

VAC=6,ZDAB=ZABC+ZACB=30°,

：.BD^-AB^3,

2

.??△ABC的面積=gxAC.BO=gx6*3=9,故選C.

4.如圖，△ABC中，AB=2AC,AD是/SAC的平分線，延長AC至E,使得CE=AC,連接。區(qū)BE.下

列判斷：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分NCEB；@SAABDSAEBD,不一定成立的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】如圖，延長AO交BE于尸，

CE=AC,

：.AE=2AC=AB,即△ABE是等腰三角形，

AD是ZBAC的平分線，

AF是線段班的垂直平分線，也是8E邊上的中線，

ABD=ED,①一定成立，故不符合要求；

8c是邊AE上的中線，

???O為中線交點，則②一定成立，故不符合要求;

二DE是邊AB上中線的一部分，

-4￡E＞與/BED不一定相等，即ED不一定平分/CEB；③不一定成立，故符合要求；

?^AABC=S^EBC,S4Aoe=SAEDC，

:?S△.（：—S&QC=S&EBC—SAEDC，即=SAEBD，④?■定成立，故不符合要求?

故選D.

5.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點“E分別在邊48、2C上，CD、AE交于點F,ZAFD=60°,

FG為△AFC的角平分線，點H在FG的延長線上，“G=CD,連接曲、HC.①3。=支；②NAHC=60。；

③FC=CG；@S.CBD=SACGH，其中說法正確的是（）

A.①②④B.①③④C.②④D.①②③④

【答案】A

【解析】①?.?△ABC是等邊三角形，.1々二以值二60。，BC=AC,

ZAFD=ZCAE+ZACD=60°,/BCD+ZACD=ZACB=60°,

:.ZBCD=ZCAE,

ZB=ZACE

在△BCD和VC4E中，\BC=AC,

NBCD=ZCAE

.?.△BCC^AG4E（ASA）,

:.BD=CE,故①正確，符合題意；

②如圖，作CMJ_AE交AE的延長線于作av^HF于N,

■.■ZEFC=ZAFD=60P,ZAFC=120°,

?.?PG為△的＜7的角平分線，

.-.ZCFH=ZAFH=6OP,

:.ZCFH=ZCFE=60°,

VCM1AE,CN1HF,

:.CM=CN,

?/Z.CEM=ZACE+ZCAE=60°+ZCAE,ZCGN=ZAFH+ZCAE=60°+ZCAE,

:.ZCGN=ZCEM,:.ZHGC=ZAEC.

ZCGN=ZCEM

在△石CM和△GGV中，v/CME=NCNG=90。，

CM=CN

.?.△瓦加烏△GCN（AAS）,

:.CE=CG.

由①知△5CD四△C4￡,

AE=CD,

:HG=CD,

:.AE=HG.

AE=HG

在△AEC和△HGC中，＜"EC=NHGC,

CE=CG

.-.AAEC^AHGC（SAS）,

:.NACE=NHCG=60°，AC=HC,

.1△ACH是等邊三角形，

:.ZAHC=60°,故②正確，符合題意；

③由②知，NCFH=ZAFH=60°,

若FC=CG,貝iJ/CGr=60。，從而NFCG=60。，這與NACB=60。相矛盾，故③錯誤，不符合題意；

④?.△AECdHGC，

,?S&ACE=^ACGH，

?.△CAE冬ABCD,

'''S&BCD=S^CGH=^AACE,故④正確，符合題意.

綜上所述，正確的有①②④，故選A.

二、填空題

6.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美.如圖，蝴蝶剪紙是一幅

軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點E的坐標(biāo)為（2加,-〃），其關(guān)于y軸對稱的點尸的坐標(biāo)

為（3-—機+1）,則（〃-相廣3的值為.

EF

【答案】-1

【解析】二?點E的坐標(biāo)為（2%f）,其關(guān)于y軸對稱的點尸的坐標(biāo)為（3-〃,-m+l）,

[2m=-（3-H）「,fm=-4

IJ,解得<,

=-m+1[n--5

一嗎T=j5+4嚴(yán)3=7,故答案為：一1.

7.已知等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為40。，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為.

【答案】40°或70°

【解析】分兩種情況：

①當(dāng)40。的角為等腰三角形的頂角時，

底角的度數(shù)=（180。-40。）+2=70。；

②當(dāng)40。的角為等腰三角形的底角時，其底角為40。.

故它的底角度數(shù)是40?；?0。.故答案為：40?；?0。.

8.如圖，在△A3C中，AC=BC,ZC=50°,。石_1_4。于點￡,于點。，則的度數(shù)

【答案】65°

【解析】??.ACuBC,

AZA=ZB,而NC=50°,

AZA=ZB=1x(180o-50°)=65°,

：。于點E,死＞，M于點。，

ZAED=ZFDA=90°,

：.Z.EDF=90°-NEDA=ZA=65°.

故答案為：65°.

9.如圖，/MON=30。，點A，A,A3,L在射線ON上，點B],B2,B3,L在射線0M上，△44人,

△人與4，△A&4，L均為等邊三角形.如果。4=1,則△4023耳0234024的邊長為

【答案】22°22

【解析】?.?△48昌是等邊三角形,

/.=600,

???/MON=30。,

.?.NO3]A=60。—30。=30。,

AMON=NOqA,

44=。4.

又???。4=1,

4與=1.

故的邊長為1.

同理可得，4與=04=2=2，

故的邊長為21

A3B3=0A3=4=22,

故△4與4的邊長為22.

△4聾4+1的邊長為2"土

當(dāng)場=2023時，△4023320234024的邊長為22022.故答案為：漕.

10.如圖，在四邊形ABCD中，ZC=40°,NB=ND=90。，點、E、歹分別是線段BC、DC上的動點.

(1)ZBAD=°；

(2)當(dāng)△AEF的周長最小時，NE4F的度數(shù)為

【答案】140100

【解析】（1）???四邊形內(nèi)角和為360。,

ZBAD+NB+ND+NC=360°,

VZC=40°,ZB=ZD=90°,

：.ZA4T>=360°-(ZB+Z￡>+ZC)=140°,故答案為：140:

(2)如圖，作點A關(guān)于CD,BC的對稱點N,延長DA到點G,

則詼=MF,AE=NE,ZDAF=ZM,?BAE?N,

△AE尸的周長=”+砂+AE=MF+EF+2VE,

.??當(dāng)M,F,E,N四點共線時，△AEF的周長最小，

???ZBAD=14O°,

ZGAN=180°-140°=40°,

:.ZN+ZM=ZGAN=4Q0,

\-ZAEF=ZBAE+ZN=2ZNfZAFE=ZDAF+ZM=2ZM,

.\ZEAF=1SO°-ZAEF-ZAFE

=1SO0-2ZN-2ZM

二180。-2（NN+ZM）

=180°-80°

=100°.

故答案為：100.

三、解答題

11.已知：如圖，角的兩邊上的兩點"、N,求作：點尸，使點尸到。4、05的距離相等，且=.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

【解析】如圖所示:

A

12.如圖，△ABC中，石尸垂直平分AC,交AC于點尸，交3C于點瓦ADLBC,垂足為。，且BD=DE,

連接AE.

⑴求證：AB=EC；

(2)若ZkABC的周長為20cm,AC=7cm,則DC的長為多少？

【解析】(1),??斯垂直平分AC,

:.AE=EC,

VADLBC,BD=DE,

：.AB=AEf

：.AB=EC；

(2)?△ABC的周長為20cm,

AB+BC+AC=20cm,

AC=7cm,

???AB+BC=13cm,

VAB=EC,BD=DE,

：.AB+BD=DE+EC=DC,

AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,

DC=—cm.

2

13.如圖，點。在座上，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.

⑴說明△Afi。段A4CE的理由;

⑵若N54D=25。，NACE=30。，求NZME的度數(shù).

【解析】(1)VZBAC=ZZM￡,

ABAC-NCAD=NDAE-NCAD,

即NBAD=NCAE,

AB=AC

在△ABD和AACE中，/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AAfiD^AACE(SAS)；

(2)：△ABD四△ACE,

NABD=NACE=30°,

ZADE=ABAD+ZABD=25°+30°=55°,

,/AD=AE,

：.ZADE=ZAED=55°,

：.ZZM￡=180o-2ZADE=180°-2x55o=70°.

14.如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長3C至點N,使OV=4W,連接"N交AC

于點尸，上ff/_LAC于點”.

(1)求證：MP=NP；

⑵若AB=8,求線段P"的長.

【解析】(1)如圖，過點N作NGLAC,交AC的延長線于點G,

「△ABC是等邊三角形，MHYAC,

：.ZA=ZACB=ZGCN=6O°,ZAHM=ZCGN=90°,