第八單元數(shù)學廣角——數(shù)與形【思維導圖+知識點講解+鞏固練習】思維導圖知識點講解知識點一：從圖形中抽象出數(shù)的規(guī)律1.意義/方法：通過觀察由小正方形拼成的大正方形或其他圖形的個數(shù)變化，發(fā)現(xiàn)其中隱藏的數(shù)的規(guī)律。例1（連續(xù)奇數(shù)的和）：1個小正方形：1=121+3個小正方形：1+3=4=22（組成2×2的大正方形）1+3+5個小正方形：1+3+5=9=32（組成3×3的大正方形）1+3+5+7個小正方形：1+3+5+7=16=42（組成4×4的大正方形）規(guī)律：從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和等于n的平方，即1+3+5+...+(2n-1)=n2。例2（從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和與三角形數(shù)）：1個小圓圈：11+2個小圓圈：31+2+3個小圓圈：61+2+3+4個小圓圈：10規(guī)律：從1開始的前n個連續(xù)自然數(shù)的和是n(n+1)/2，這些數(shù)也被稱為“三角形數(shù)”。易錯點提示：1.規(guī)律找錯：容易將連續(xù)奇數(shù)的和與連續(xù)偶數(shù)的和，或者與連續(xù)自然數(shù)的和混淆。關鍵在于仔細觀察圖形是如何構成的，是每次增加幾個，增加的數(shù)有什么特點。2.n的確定錯誤：在“1+3+5+...+(2n-1)=n2”中，n代表的是奇數(shù)的個數(shù)，而不是最后一個奇數(shù)。例如1+3+5，有3個奇數(shù)，n=3，和是32=9。不要誤認為最后一個奇數(shù)是幾，n就是幾。3.計算錯誤：在根據(jù)規(guī)律計算較大數(shù)的和時，容易出現(xiàn)計算錯誤，尤其是當n較大時。知識點二：從數(shù)的規(guī)律聯(lián)想到圖形的變化1.意義/方法：根據(jù)給出的數(shù)列或算式，分析其內(nèi)在規(guī)律，并嘗試用圖形（如線段、小棒、圓圈等）來直觀地表示這個規(guī)律或算式的意義。例： 擺1個三角形需要3根小棒。擺2個獨立的三角形需要6根小棒（3×2）。但如果是擺2個連著的三角形（共用一條邊），則需要3+2=5根小棒。擺3個連著的三角形，則需要3+2×2=7根小棒。規(guī)律：擺n個連著的三角形需要小棒根數(shù)：3+2(n-1)=2n+1。這里的數(shù)的規(guī)律（3,5,7,9...）可以用圖形中“每次增加2根小棒”來解釋。易錯點提示：1.圖形構建錯誤：不能正確理解數(shù)的規(guī)律所對應的圖形是什么樣子，導致畫出的圖形與數(shù)的規(guī)律不符。例如，是獨立的圖形還是連續(xù)的、有公共邊的圖形。2.規(guī)律歸納不全面：只觀察了前幾個簡單的情況，就輕易下結論，沒有考慮到后續(xù)圖形的變化是否符合該規(guī)律。3.混淆不同情境下的規(guī)律：例如，同樣是三角形，獨立擺放和連續(xù)擺放的規(guī)律是不同的，要注意區(qū)分具體情境。知識點三：利用圖形直觀解釋數(shù)的運算或變化趨勢1.意義/方法：對于一些復雜的或抽象的數(shù)的運算，可以借助圖形（如圓形、正方形、線段圖等）的面積或長度來直觀表示，幫助理解運算過程和結果，特別是對于無限數(shù)列求和的初步認識。例（分數(shù)求和）：計算12+14+18+116+...12表示將正方形平均分成2份，取其中1份。14表示將剩下的12再平均分成2份，取其中1份（即原正方形的118表示將剩下的14再平均分成2份，取其中1份（即原正方形的1以此類推，這些分數(shù)的和越來越接近整個正方形的面積“1”。規(guī)律：當這個加法算式無限進行下去時，其和無限接近于1。易錯點提示：1.對“無限接近”理解困難：小學階段對于“極限”思想只是初步感知，學生可能難以理解為什么“和”永遠達不到1，或者錯誤地認為最終會等于2。2.圖形分割錯誤：在畫圖表示分數(shù)時，不能準確地進行平均分，導致對分數(shù)大小的理解出現(xiàn)偏差。3.混淆分數(shù)單位：在連續(xù)相加時，不清楚每個后續(xù)分數(shù)是前一個分數(shù)的幾分之幾，導致規(guī)律判斷錯誤。知識點四：運用數(shù)形結合的思想解決問題1.意義/方法：“數(shù)”和“形”是數(shù)學的兩個基本概念，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題途徑。（1）以形助數(shù)：如利用線段圖解決分數(shù)應用題、利用正方形圖理解完全平方公式（本單元側重基礎）、利用圖形理解分數(shù)求和等。（2）以數(shù)解形：如根據(jù)圖形的邊長、角度等數(shù)據(jù)計算圖形的周長、面積、體積等。（本單元側重前者）易錯點提示：1.不知如何“結合”：面對問題時，想不到可以用畫圖的方法來幫助理解，或者不知道用什么圖形來表示。2.圖形表達不規(guī)范：畫圖時沒有按比例，或者關鍵信息標注不清，導致圖形不僅沒有幫助，反而造成誤解。3.過度依賴圖形：雖然圖形很直觀，但有些復雜的數(shù)量關系最終還是需要通過精確的計算來解決，不能完全依賴圖形的“大概”印象。鞏固練習一、填空題1．已知1+3=22，1+3+5=32，……，那么1+3+5+7+9+11+13=。2．用火柴棒按下圖的方式搭正方形，搭4個正方形需要小棒，搭10個正方形需要小棒。3．用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，擺第5個圖形需要枚圍棋子，擺第n個圖形需要枚用棋子。4．一張餐桌坐4人，2張餐桌拼在一起可以坐6人，3張餐桌拼在一起可以坐8人，按這樣拼下去，4張餐桌拼在一起可以坐人，n張餐桌拼在一起可以坐人。5．觀察下圖，照這樣的規(guī)律截下去，第4次截去后剩下，第次截去后剩下164第1次截去后剩下第2次截去后剩下第3次截去后剩下……1×12＝12×1214×126．如圖，每個小正方形的邊長是2厘米，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個圖形的周長是厘米，面積是平方厘米。7．如下圖，畫2個正方形能得到4個直角三角形，畫3個正方形能得到8個直角三角形，畫4個正方形能得到個直角三角形，畫n個正方形能得到個直角三角形。8．下圖中圖①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②，再分別連接圖②中間的小三角形三邊的中點得圖③，按這樣的方法繼續(xù)下去，第⑥個圖形有個三角形。9．某工廠接到面粉加工任務。加工面粉質量(t)與工作時間(h)之間的關系如圖所示。按這樣的速度，工作8h結束時，加工了面粉t。10．觀察前四個算式的規(guī)律，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律巧算最后一題。1＝121+3＝221+3+5＝321+3+5+7＝421+3+5+7+…+45+47+49=.21+23+25+…+45+47+49＝2﹣2＝．二、判斷題11．12+12．有5個點（任意3點不在同一直線上），過其中任意兩點畫直線，最多可練出10條直線。（）13．照這樣畫下去，第10個圖形中黑色方塊有10個，白色方塊有53個。（）14．已知表示65，表示86，那么表示58。（）三、選擇題15．用火柴按照如圖的方法擺正方形(每條邊擺1根火柴)，照這樣擺下去，擺15個正方形共需要（）根火柴。A．45 B．46 C．60 D．6416．如圖是由大小相同的棋子按照一定規(guī)律排列組成的圖形，擺第1個圖需要6枚棋子，擺第2個圖需要9枚棋子，擺第3個圖需要12枚棋子，……按此規(guī)律，擺第32個圖需要（）枚棋子。A．93 B．96 C．99 D．10217．下面各圖是由棱長1dm的小正方體拼成的，根據(jù)前4個圖形表面積的排列規(guī)律，第6個圖形的表面積是（）dm2。

A．26 B．28 C．32 D．3618．張靈家的熱水器中有60L水，晚上，爸爸先洗了10分澡，用了一半的水。5分后，張靈也去洗澡，她洗了15分，把熱水器中的水剛好用完了，下面能描述熱水器中水的體積隨時間變化的情況的是（）。A． B．C． D．19．按如圖規(guī)律擺放三角形則第⑥個圖三角形的個數(shù)為（）。A．15 B．17 C．20 D．24四、解決問題20．觀察下面圖形的變化，如果按照下面3幅圖的規(guī)律繼續(xù)畫圖，第12幅圖長多少厘米？第n幅圖長多少厘米？將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用喜歡的方式表達出來。21．如圖，這是一輛汽車的速度隨時間變化而變化的關系圖。（1）汽車出發(fā)后2分鐘到8分鐘之間，可能發(fā)生了什么情況？把你的想法寫下來。（2）這輛汽車在出發(fā)后8分鐘到20分鐘這段時間里，行駛了多少千米？22．如圖，堆三角形積木。（1）如果下層放6個，一共需要多少個三角形?（2）如果有169個三角形積木塊，下層應放幾個？23．先觀察下面的算式，再回答問題。我們知道：3+25+4×12+7×(100+98)×(100-98)=1002-982。（1）請你根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)并填空：(x+y)×(x-y)=()（2）請應用上面的發(fā)現(xiàn)簡算2001×1999。(寫出計算過程)（3）計算：1?12×

參考答案1．722．13根；31根3．17；3n+24．10；2n+25．116；66．88；2647．12；（4n-4）8．219．54010．252；25；10；52511．正確12．正確13．正確14．錯誤15．B16．C17．A18．C19．C20．解：4×(12+1)=52(厘米)4(n+1)厘米

答：第12幅圖長52厘米，第n幅圖長4（n+1）厘米。21．（1）解：汽車出發(fā)后2分鐘到8分鐘之間，車速剛提到60km/h，可能發(fā)現(xiàn)忘記帶東西了，又降速回家去拿，經(jīng)過2分鐘后汽車到家，靜止2分鐘，下車拿東西；重新又上路，從0km/h提高到100km/h。（2）解：（20-8）÷60×100

=12÷60×100

=0.2×100