第48講用樣本估計(jì)總體

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1.（人A必二P203例2改）某射擊運(yùn)動(dòng)員7次訓(xùn)練的成績(jī)分別為86,88,90,89,88,

87,85,則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為（B）

A.88.5B.89

C.91D.89.5

【解析】因?yàn)?次訓(xùn)練的成績(jī)從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,且7X80%

=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個(gè)數(shù)據(jù)，即89.

2.（2024?南通一調(diào)X多選）抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次成績(jī)（單位：環(huán)），得到

如下數(shù)據(jù)：

運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

貝11（BC）

A.甲成績(jī)的樣本極差小于乙成績(jī)的樣本極差

B.甲成績(jī)的樣本平均值等于乙成績(jī)的樣本平均值

C.甲成績(jī)的樣本中位數(shù)等于乙成績(jī)的樣本中位數(shù)

D.甲成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差小于乙成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】甲成績(jī)的極差為93—87=6,乙成績(jī)的極差為92—88=4,故A錯(cuò)誤；甲成

績(jī)的平均值為87+91+90+89+93=9°,乙成績(jī)的平均值為業(yè)4邈±^=90,故B

55

正確；甲成績(jī)的中位數(shù)為90,乙成績(jī)的中位數(shù)為90,故C正確；甲成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為

\---------5---------=2,乙成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為、/-------------=弋2,故D錯(cuò)誤.

3.（多選）已知一組樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，X2,X3,必，X5,X6的平均數(shù)是'，方差是S?,極差為及,

則下列判斷正確的是（AC）

A.若oxi+b,ax2~\~b,辦3+b,辦4+b,axs~\~b,。祀+人的平均數(shù)是x0，貝！J%o=a'

+b

B.若xi,2%2,3%3,4x4,5格，6x6的極差是Ri,則

C.右方差$2=0,則XI=X2=X3=%4=X5=X6

D.若2V%3<%4<工5Vx6，則第75百分位數(shù)是生士上

2

【解析】對(duì)于A,xQ=^ax\ax2ax3ax^~\~b+axs~\rb~\~axe~\~b)=^a(x\

~\~X2~\-X3+%4~\~xs+%6)+6b]=a-(xi+%2~\~X3+%4+%5H-X6)~\~b~aX+Z?,即X0=4x~\~b

69

所以A正確；對(duì)于B,若樣本數(shù)據(jù)為一io,-4,-3,-2,-1,0,可得極差為R=10,

則數(shù)據(jù)XI,2X2,3X3,4X4,5X5,6X6的極差為&1=10,此時(shí)R=R1,所以B不正確；對(duì)于C,

52=-[(Xl-X>+(X2—X)2+(冷-X尸+制一X)2+a5—X下+你一》)2],若$2=(),可得

6

X1=X2=X3=X4=X5=%6,所以C正確；對(duì)于D,由6X75%=4.5,知這組數(shù)據(jù)的第75百分

位數(shù)為X5,所以D錯(cuò)誤.

4.(人A必二P216習(xí)題T2)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺(tái)機(jī)床

每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：

甲0102203124

乙2311021101

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，從計(jì)算結(jié)果看，機(jī)床的性能更好.

【解析】甲機(jī)床的平均數(shù)苫甲=0+1+0+…+4=].5,標(biāo)準(zhǔn)差5=

10

^J^[(0-1.5)2+(l-1.5)2H------b(4-1.5)2]^1.28；乙機(jī)床的平均數(shù)X^=2+3^"+1=1.2,

標(biāo)準(zhǔn)差s乙=一七[(2一L2)2+(3—1.2)2+…+(1—1.2)2]g0.87.比較發(fā)現(xiàn)乙機(jī)床的平均數(shù)較小

而且標(biāo)準(zhǔn)差也較小，說(shuō)明乙機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)比甲機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)少，而且更為穩(wěn)定，所

以乙機(jī)床的性能較好.

聚焦知識(shí)

1.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

名稱定義

一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為H,打，…，

YN,則稱Y=?+>+…+以=1￡匕為總體均值,又稱

NN'=1——

總體均值總體平均數(shù)

(總體平均數(shù))若總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有網(wǎng)上WN)個(gè)，不妨記

為H,匕，…，丫上其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為力。=1,2,…，機(jī)

則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式Y(jié)

若從總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，它們的變量值分別為

樣本均值

(樣本平均數(shù))歹1，>2，…，％，則稱>>''為一樣本均

nnl=[

值」又稱樣本平均數(shù)

說(shuō)明：(1)在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)y去估計(jì)總體平均數(shù)Y;

(2)總體平均數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性(因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性);

(3)一般情況下，樣本量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確

2.百分位數(shù)

一般地，一組數(shù)據(jù)的第4百分位數(shù)是這樣一個(gè)值?，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有/空的

數(shù)據(jù)小于或等于pk，且至少有(100—肩％_的數(shù)據(jù)大于或等于力.如果將樣本數(shù)據(jù)從小到大排

列成一行，那么第左百分位數(shù)必所處位置如圖所示.

k0/A?

3.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

(1)平均數(shù)：X=1(X1+X2H----Fxn).

n

(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最一中間一的一個(gè)數(shù)據(jù)

(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的一平均數(shù)」當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))叫做這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù).

(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)一量紀(jì)的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).

4.標(biāo)準(zhǔn)差與方差

設(shè)一組數(shù)據(jù)XI，X2,X3,…，X“的平均數(shù)為X,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是S=

X

—X)2+(X2-X)2H---------\-(Xn~)2],

11n

2X2

S=~[(X1~)2+(X2-%)2+…+(』—%%.

nnl=]

5.常用結(jié)論

(1)若數(shù)據(jù)xi,xi,…，x”的平均數(shù)為％，則冽XI+Q,mx2~\~a,mxs+a,…，mxn-\~a

的平均數(shù)是手工土人.

(2)若數(shù)據(jù)XI，X2,…，％〃的方差為則:

①數(shù)據(jù)XI+Q,的方差為史；

②數(shù)據(jù)辦1,axi,,,,,冰〃的方差為

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目幀u百分位數(shù)的估計(jì)

例1（1）（2024?蘇州期末）棉花的纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機(jī)

抽測(cè)了20根棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm）,按從小到大排序結(jié)果如下：

25283350525859606162

8286113115140143146170175195

則估計(jì)這批棉花的第45百分位數(shù)為應(yīng)工.

【解析】由題意知20X45%=9,所以這批棉花的第45百分位數(shù)為從小到大排列的第

9個(gè)數(shù)與第10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即回土出=615

2

（2）（2024?安慶二模）在一次學(xué)科核心素養(yǎng)能力測(cè)試活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成

績(jī)（評(píng)分滿分為100分），將所有數(shù)據(jù)按[40,50],（50,60],（60,70],（70,80],（80,90],

（90,100]進(jìn)行分組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分

位數(shù)為（B）

頻率

獺

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

405060708090100評(píng)分/分

(例1(2))

【解析】由0.005X10+0.015X10+0.020X10=0.4,0.005X10+0.015X10+0.020X10

+0.030X10=0.7,故這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)位于（70,80],設(shè)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64

百分位數(shù)為x,則有匚乃二0,64一°，,解得x=78.

100.7-0.4

＜總結(jié)提煉A

計(jì)算一組"個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟：

第一步，按從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù)；

第二步，計(jì)算，="Xp%;

第三步，若，不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為/,則第P百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i

是整數(shù)，則第〃百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第a+i）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

變式1（2024?日照一模）有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3,5,7,8,9,10,則

這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為_(kāi)2_.

【解析】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個(gè)，且6義40%=2.4,所以這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為第三

個(gè)數(shù)，即為7.

目幀日總體集中趨勢(shì)估計(jì)

例2（1）（2024?新高考II卷）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型

水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理得下表：

畝產(chǎn)[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1100)1150)1200]

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是(C)

A.100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【解析】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表知，6+12+18=36<50,所以100塊稻田畝產(chǎn)量中

位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的稻田頻數(shù)為24+10=34,

所以畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例為比3=66%,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,畝產(chǎn)量的

100

極差最大值為1200—900=300,最小值為1150—950=200,所以極差介于200kg至300kg

之間，故C正確；對(duì)于D,估計(jì)平均數(shù)為x=^X(6X925+12X975+18X1025+30X1075

+24X1125+10X1175)=1067,故D錯(cuò)誤.

(2)(2024?泰安三模X多選)某燈具配件廠生產(chǎn)了「種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)

抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值(單位：分)作為一個(gè)樣本，得到如圖所示的頻率分布直方

圖，貝!1(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表XACD)

A.加=0.03

B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75

C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)

D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85

【解析】由題意知(0.010+0.015+0.035+m+0.010)X10=l,解得加=0.030,故A正

確;樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為55X0.1+65X0.15+75X0.35+85X0.3+95X0.1=76.5,

故B錯(cuò)誤;樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是四詈=75<76.5,故C正確；前3組的頻率之和為(0.010

+0.015+0.035)X10=0.60,前4組的頻率之和為0.60+0.030X10=0.90,故第75百分位

數(shù)位于第4組，設(shè)其為f,則Q-80)X0.030+0.60=0.75,解得f=85,即第75百分位數(shù)為

85,故D正確.

<總結(jié)提煉A

頻率分布直方圖中的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)估計(jì)值：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.

(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.

變式2(2023?新高考I卷X多選)有一組樣本數(shù)據(jù)修，％2,…，枇，其中的是最小值，

配是最大值，貝11(BD)

A.X2,X3，%4，X5的平均數(shù)等于修，12，…，祀的平均數(shù)

B.X2，X3，X4，工5的中位數(shù)等于修，X2，…的中位數(shù)

C.X2,%3,X4，%5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于X2,…，％6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2，X3，X4，X5的極差不大于Xl，X2，…，工6的極差

【解析】對(duì)于A,設(shè)X2,%3,X4,%5的平均數(shù)為加，XI,%2,…，的平均數(shù)為小則〃

X1+丁2+%3+%4+%5+%6及+冷+必+必2(X1+%6)-(%2+%3+%4+工5)因?yàn)闊o(wú)法確定

-m

6412

2(XI+%6),X2+X3+X4+X5的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷冽，〃的大小，如1,2,3,4,5,6,

可得加=〃=3.5；如1,1,1,1,1,7,可得加=1,n=2；如1,2,2,2,2,2,可得冽

11

=2,n故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,不妨設(shè)X1WX2WX3WX4WX5WX6,可知％2,%3,、4,%5的中

6

位數(shù)等于XI,X2,…，X6的中位數(shù)，均為烏土少，故B正確.對(duì)于C,因?yàn)閄I是最小值，X6

2

是最大值，則X2,X3,X4,X5的波動(dòng)性不大于Xl,X2,…，枇的波動(dòng)性，即%2,13,X4,工5的

標(biāo)準(zhǔn)差不大于XI,X2,…，X6的標(biāo)準(zhǔn)差，如2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)〃=:義(2+4+6

6

+8+10+12)=7,標(biāo)準(zhǔn)差si=

-X[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=^^,4,6,8,10的平

63

均數(shù)加=；義(4+6+8+10)=7,標(biāo)準(zhǔn)差S2=｛：X[(4—7)2+(6—7)2+(8—7)2+(10—7月=弱,

顯然寸石，即S1>S2,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,不妨設(shè)X1WX2WX3WX4WX5WX6,則X6—

3

—X2,當(dāng)且僅當(dāng)X1=X2,工5=X6時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

目棘團(tuán)總體離散程度估計(jì)

例3(2023?全國(guó)乙卷理)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)

行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工

藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的

橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為如MG=1,2,-10),試驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)

序號(hào)12345678910

Z

伸縮

545533551522575544541568596548

率方

伸縮

536527543530560533522550576536

率M

記Zj=Xj—%(z.=l,2,10),記Zl，Z2，…，Zio的樣本平均數(shù)為Z,樣本方差為§2.

⑴求Z,

【解答】x(545+533+551+522+575+544+541+568+596+548)=552.3,>

=±X(536+527+543+530+560+533+522+550+576+536)=541.3,z=x—y=

552.3-541.3=11,z尸巷一％的值分別為9,6,8,一8,15,II,19,18,20,12,故s?

[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-II)2+0+(19-II)2+(18-11)2+

(20-11)2+(12-11)2]=61.

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否

有顯著提高(如果z?2；^,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的

橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

【解答】由(1)知z=11,2\^=2加=也不，故有z?亮,所以認(rèn)為甲工藝

處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

，總結(jié)提煉A

標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)

的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

目幀E!分層隨機(jī)抽樣的均值與方差

視角1分層隨機(jī)抽樣中的均值

例4-1記樣本Xi,必…,%的平均數(shù)為工，樣本加方,…,力的平均數(shù)為y(XW>).

若樣本H，物…，有”%…，場(chǎng)的平均數(shù)為z=:+：,則:的值為(D)

A.3B.4

C4D3

【解析】由題意知X1+%2+…+x加=冽X,/+^2+…+力=〃V,

(xi+x2-\----\-Xm)+(yi+y2~\----\~yn)mx+nymx,ny1.3匕匕修加1

--------------------------------------------------=----------------=H------=-AT-―yv,9以----=-

m-\~nm-\~nm-\-nm-\-n44m-\~n4

可得3加=〃，所以m=：

m+n4n3

樣本容量各層樣本容量

(1)抽樣比=

總體容量各層個(gè)體總量

(2)如果第一層的樣本量為m,平均值為x；第二層的樣本量為n,平均值為>,則樣

本的平均值為加x+"y.

加+"

視角2分層隨機(jī)抽樣中的方差

例4-2(2024?荊州模擬節(jié)選)某果園產(chǎn)蘋(píng)果，其中一堆蘋(píng)果中大果與小果的個(gè)數(shù)比例為

4：1.若選擇分層隨機(jī)抽樣，抽出100個(gè)蘋(píng)果，其中大果的單果平均質(zhì)量為240克，方差為

300,小果的單果平均質(zhì)量為190克，方差為320,則可估計(jì)果園蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量為"_

克，方差為704.

【解析】因?yàn)榇蠊c小果的個(gè)數(shù)比例為4：1,所以100個(gè)蘋(píng)果中，大果的個(gè)數(shù)為:義100

=80,小果的個(gè)數(shù)為:X100=20.設(shè)大果的單果平均質(zhì)量為工1克，方差為小果的單果

平均質(zhì)量為克，方差為設(shè)100個(gè)蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量為勿克，方差為小,則x1

=240,s?=300,x2=190,s夕=320,所以100個(gè)蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量*80X240+20X190

100

=230(克)，100個(gè)蘋(píng)果質(zhì)量的方差s2=^x[300+(240—230)2]+言X[320+(190—230)2]

=704,故估計(jì)果園蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量為230克，方差為704.

<總結(jié)提煉A

設(shè)樣本容量為〃，平均數(shù)為x,其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為小，n2,兩層的平均數(shù)分別

為X1,X2,方差分別為S*,si則這個(gè)樣本的方差為S2=里?+(X]-X)2]+校區(qū)+(X2

nn

-x)2].

變式4-2(2024?南昌一模)(多選)某環(huán)保局對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)

行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)(單位：ng/nP)不超過(guò)100,則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)

境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).已知甲、乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)

特征是：甲地區(qū)平均數(shù)為80,方差為40,乙地區(qū)平均數(shù)為70,方差為90.則下列推斷一定

正確的是（ACD）

A.甲、乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75

B.甲、乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個(gè)數(shù)據(jù)的方差是65

C.甲地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)

D.乙地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)

【解析】甲地區(qū)平均數(shù)為80,乙地區(qū)平均數(shù)為70,則甲、乙兩地區(qū)這10天檢查所得

共20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8°X10+70義10=75,故A正確.[（80-75）2+40]+—[（70-

202020

75）2+90]=90,故B錯(cuò)誤.甲地區(qū)平均數(shù)為80,方差為40,如果這10天中有一天空氣質(zhì)

量指數(shù)大于100,那么它的方差就一定大于±X（100—80）2=40,所以能確定甲地區(qū)連續(xù)10

天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò)100,所以甲地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，故C正確.乙地區(qū)平均數(shù)為

70,方差為90,如果這10天中有一天空氣質(zhì)量指數(shù)大于100,那么它的方差就一定大于

；義（100—70）2=90,所以能確定乙地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò)100,所以乙

地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，故D正確.

隨堂內(nèi)化

1.（2024?蘇中蘇北八市三調(diào)）某同學(xué)測(cè)得連續(xù)7天的最低氣溫（單位：。C）分別為1,2,2,

m,6,2,8,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的2倍，則加=（D）

A.2B.3

C.6D.7

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1+2+2+加+6+2+8=升《,除優(yōu)外，將數(shù)據(jù)按升

77

01—I—m

序排列可得1,2,2,2,6,8,結(jié)合加的任意性可知中位數(shù)為2,則"包=2X2,解得加

7

=7.

2.（2025?蘇州期初）“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲

得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共500人參加，若參賽

學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是

（D）

A.至少為300人B.至少為200人

C.至多為300人D,至多為200人

【解析】由題意，500X60%=300,因此競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)至多為500—300

=200.

3.（2024?福州質(zhì)檢）（多選）在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環(huán)數(shù)如下表，則下

列說(shuō)法正確的是（ABC）

甲乙

87909691869086928795

A.甲選手射擊環(huán)數(shù)的極差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差

B.甲選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)等于乙選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)

C.甲選手射擊環(huán)數(shù)的方差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的方差

D.甲選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)

【解析】甲選手射擊環(huán)數(shù)從小到大排列：86,87,90,91,96,則甲選手射擊環(huán)數(shù)的

極差等于96—86=10；平均數(shù)等于，X(86+87+90+91+96)=90；方差等于[(86—90)2

+(87—90y+(90—90>+(91—90)2+(96—90)2]=12.4；第75百分位數(shù)等于91.乙選手射擊環(huán)

數(shù)從小到大排列：86,87,90,92,95,則乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差等于95—86=9；平均數(shù)

等于^義(86+87+90+92+95)=90；方差等于gx[(86—90)2+(87—90)2+(90—90)2+(92—

90)2+(95—90)2]=10.8；第75百分位數(shù)等于92.

4.(2024,常州期末)(多選)已知一組樣本數(shù)據(jù)由，Xi,…，X”(〃三4),其中若

由/=2弘+1(左=1,2,幾)生成一組新的數(shù)據(jù)歹1,H，…，％，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可

能相等的量有(BC)

A.極差B.平均數(shù)

C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】對(duì)于A,不妨設(shè)XIV%2<…則樣本數(shù)據(jù)對(duì)，X2,?,,,(〃三4)的極差為

xn-xi9樣本數(shù)據(jù)yi,歹2,…，力的極差為力一yi=(2x〃+l)—(2%i+l)=2(x〃一xi).因?yàn)閤〃一xi

>0,則處一yi=2(x〃-%1，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,設(shè)樣本數(shù)據(jù)、2,…，

的平均數(shù)為X,即X=X-X",所以樣本數(shù)據(jù)/，/,…，力的平均數(shù)為>=

n

V+歹2H-----=(2xi+1)+(2%2+1)H---------1-(2x〃+1)=2(用+土H------?[=2x十1當(dāng)x=

nnn

—1時(shí)，y=2x+1=—1,即兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確.對(duì)于C,當(dāng)〃=2m

—IMzWN*)時(shí)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，x〃(“24)的中位數(shù)為x加，則樣本數(shù)據(jù)yi,外,…，yn

的中位數(shù)為2%+1.同理可知當(dāng)x加=—1時(shí)，中位數(shù)相等.當(dāng)〃=2冽(>￡N*)時(shí)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)

XI,X2,…，X"(〃三4)的中位數(shù)為加?以=q,則樣本數(shù)據(jù)>2,…，y“的中位數(shù)為人?2

=2xm+1^2xm+i+l=xm+x^i+i=2q+h同理可知當(dāng)《=—i時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，

故C正確.對(duì)于D,設(shè)樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,…，24)的標(biāo)準(zhǔn)差為Sx,樣本數(shù)據(jù)>2,…，

L[(X1—X>+(X2—X)2+…+(x,—X)2],2V)2

力的標(biāo)準(zhǔn)差為如則雇=5=1[(y1->>+標(biāo)一

nn

+…+@"—y)2]=-{[(2xi+1)-(2X+l)]2+[(2x+1)-(2X+l)]2+-+[(2x+1)-(2x

n2H

+I）］2}=-［（XI—*）2+（X2—X）2H-------F（x—X）2］=4嬴,又用V0V,所以以=

nn

［（XLX）2+（x2—72+…+（x〃—X丫〉。,故“=2底＞底，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不

可能相等，故D錯(cuò)誤.

「溫馨提示,

i

練案?趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們及時(shí)完成《配套精練》.

練案?1.補(bǔ)不足、提能力，老師可增加訓(xùn)練《抓分題?高考夯基固本天天練》（提高版）

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配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?臨沂二模）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,m,12,14,21,若該組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)是極差的j則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（A）

A.4B.6

C.8D.12

【解析】根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是葉".根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)

2

的極差是21—1=20.依題意得生上2=20義2,解得機(jī)=4,6X0.45=2.7鈕，根據(jù)百分位數(shù)

25

的定義，該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是從小到大排列的第3個(gè)數(shù)，即4.

2.（2024?莆田四檢）已知數(shù)據(jù)以,檢,心，…，X"的平均數(shù)為x,方差為s?,數(shù)據(jù)3.一1,

3x2—L3x3—1,…，3x〃一1的平均數(shù)為x1,方差為肝，則（C）

A.%1=3%,s?=9s2

B.*i=3%,sl=9s2~l

C.xi=3%—1,s^=9s2

D.%i=3x—1,s?=9s2—1

3.（2024?贛州二模）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為22,21,24,23,25,20和25,22,a,

26,23,24.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大2,則(C)

A.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差不同

B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24

C.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同

D.甲組數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)為21.5

【解析】由乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大2,設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)分

別為XI,X2,方差分別為6，通貝I]X1=22+21+24+23+25+20=22.5,x2=

6

25+22+°+26+23+24由12=7+2,即25土22"26土”=22.5+2=24.5,解

66

得。=27,所以兩組數(shù)據(jù)極差均為5,故A錯(cuò)誤；乙組數(shù)據(jù)按從小到大排列為22,23,24,

25,26,27,則中位數(shù)為------=24.5,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,s?=4(22—22.5)2+(21—22.5>

26

351

+(24—22.5)2+(23—22.5>+(25—22.5)2+(20—22.5)2]=型，5?=-[(25-24.5)2+(22-24.5)2

126

+(27—24.5)2+(26—245)2+(23-24郎+(24—24.5)2]書(shū),所以f所以甲、乙兩組數(shù)

據(jù)的方差相同，故C正確；對(duì)于D,甲組數(shù)據(jù)按從小到大排列為20,21,22,23,24,25,

由i=6xl=L5,知第一四分位數(shù)為21,所以D錯(cuò)誤.

4

4.(2024?鷹潭一模)某單位為了解職工體重情況,采用分層隨機(jī)抽樣的方法從800名職工

中抽取了一個(gè)容量為80的樣本.其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體

重為56千克，方差為159,男、女人數(shù)之比為5：3,則單位職工體重的方差為(D)

A.166B.167

C.168D.169

【解析】依題意，單位職工平均體重為X=364+356=61(千克)，則單位職工體

88

重的方差為52=-[151+(64-61)2]+2[159+(56-61)2]=169.

88

二、多項(xiàng)選擇題

5.(2025?惠州二調(diào))某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次

品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3,

則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是(AD)

A.極差是4

B.眾數(shù)小于平均數(shù)

C.方差是2

D.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為4.5

【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的極

差為5T=4,故A正確；對(duì)于B,眾數(shù)為3,平均數(shù)為“2+2+3"+4+5X2」,所

以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,方差為|[(l—3)2X2+(2—3)2Xl+(3—3)2X4

+(4-3)2Xl+(5-3)2X2]=1.8,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由10X80%=8,8是整數(shù)，則這組數(shù)

據(jù)的第80百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即故D正確.

2

6.(2024?武漢4月調(diào)研)(多選)如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形

態(tài).圖(1)形成對(duì)稱形態(tài)，圖(2)形成“右拖尾”形態(tài)，圖(3)形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給

圖作出以下判斷，正確的是(ACD

(第6題)

A.圖(1)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

B.圖(2)的平均數(shù)〈眾數(shù)〈中位數(shù)

圖(2)的眾數(shù)V中位數(shù)<平均數(shù)

D.圖(3)的平均數(shù)<中位數(shù)〈眾數(shù)

【解析】圖(1)的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖(2)

眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；圖(3)左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)

小于中位數(shù)，故D正確.

7.(2024?嘉興二模)已知一組數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,其中位數(shù)為0,平均數(shù)為工，極差為

b,方差為s2.現(xiàn)從中刪去某一個(gè)數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為平均數(shù)為X，，極差

為〃，方差為『2,則下列說(shuō)法中正確的是(ACD)

A.若刪去3,貝!J

B.若刪去9,則x<x，

C.無(wú)論刪去哪個(gè)數(shù)，均有6》，

D.若X=X，,則s2<丁2

【解析】對(duì)于A,若刪去3,根據(jù)中位數(shù)的定義，a=5,優(yōu)=5-土1-7=6,滿足?！磧?yōu)，故

2

」+3+5+7+9=5,xJ+3+5+7

A正確；對(duì)于B,若刪去9,根據(jù)平均數(shù)的定義，x

54

=4,x>x，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,根據(jù)極差的定義，若刪去的數(shù)是3,5,7中的一個(gè)，

顯然去掉前后極差都是9—1=8,滿足6=〃，若去掉1,〃=9—3=6<6=8,若去掉9,b'

=7—1=6<6=8.綜上，bWb,故C正確；對(duì)于D,原數(shù)據(jù)平均數(shù)x=5,去掉一個(gè)數(shù)后平

均數(shù)保持不變，即x-5,則剩下的四個(gè)數(shù)之和為5義4=20,顯然去掉的數(shù)只能是5,由方

差的定義，52=^[(1—5)2+(3—5)2+(5—5)2+(7—5)2+(9—5)2]=8,5,2=^[(1—5)2+(3—5)2

+(7-5)2+(9-5)2]=10,滿足s2<s%故D正確.

三、填空題

8.(2024?三明三模)已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：1,5,0,10,11,13,15,21,42,

57,若這組數(shù)據(jù)的極差是其第30百分位數(shù)的7倍，則。=￡.

【解析】由題知這組數(shù)據(jù)的極差是57—1=56.由于10X30%=3,故第30百分位數(shù)為

-----,故56=7X--------,所以a=6.

22

9.(2024?深圳二模)已知樣本xi,雙，冷的平均數(shù)為2,方差為1,則品3x撤平均數(shù)

為工.

【解析】由題知吐二=2,所以Xi+X2+X3=6,由魚(yú)二堂土丘工良二殳=1,

33

得宕+￡+x4=15,所以X'+X2+.=5.

3

10.(2025?大同期初)中國(guó)跳水隊(duì)素有“夢(mèng)之隊(duì)”稱號(hào).單人跳水比賽的計(jì)分規(guī)則為：運(yùn)

動(dòng)員做完一套入水動(dòng)作后，由7位專業(yè)裁判進(jìn)行打分，從打出的分?jǐn)?shù)中按照高低去掉前兩個(gè)

和后兩個(gè)，剩余3個(gè)分?jǐn)?shù)的總和再乘以這套動(dòng)作的難度系數(shù)即為該運(yùn)動(dòng)員的最終得分.若某

位運(yùn)動(dòng)員在一輪比賽中入水動(dòng)作的難度系數(shù)為3.2,7位裁判給他打出的分?jǐn)?shù)分別為9.5,9.5,

9,8,9,9.5,8.5,則這7個(gè)數(shù)據(jù)的方差為該運(yùn)動(dòng)員本輪比賽的得分為⑶」

【解析】7位裁判給他打出的分?jǐn)?shù)分別為9.5,9,5,9,8,9,9.5,8.5,則這7個(gè)數(shù)的

平均數(shù)x=25義3+9；2+8.5+8=9,方差『=’(9.5—9>X3+(8.5—9>+(8—9月=彳從

打出的分?jǐn)?shù)中按照高低去掉前兩個(gè)和后兩個(gè)，則剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)為9,9,9.5,則該運(yùn)動(dòng)員

本輪比賽的得分為(9+9+9.5)X32=88.

四、解答題

11.隨著老年人消費(fèi)需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變.消費(fèi)層次不斷提升，“銀發(fā)

經(jīng)濟(jì)”成為社會(huì)熱門(mén)話題之一,被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注.某企業(yè)為了解該地老年人消費(fèi)能力情況,

對(duì)該地年齡在［60,80)的老年人的年收入按年齡［60,70),［70,80)分成兩組進(jìn)行分層隨機(jī)抽

樣調(diào)查，已知抽取了年齡在［60,70)的老年人500人，年齡在［70,80)的老年人300人.現(xiàn)

作出年齡在［60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如圖所示).

頻率

麗

0.26

20

O.

S—8

S15

O8

O5

O4

O

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年齡在［60,70)的老年人年收入的平均數(shù)及第95百

分位數(shù)；

【解答】根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年齡在［60,70)的老年人年收入的平均數(shù)約

為0.04X2+0.08X3+0.18X4+0.26X5+0.20X6+0.15X7+0.05X8+0.04X9=5.