中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《特殊平行四邊形中折疊問題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附

答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.如圖，在正方形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊上，DE=2CE,將正方形紙片折疊，點(diǎn)8

落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF.若AD=6cm,求CF的長.

2.如圖，將矩形ABCD沿直線EE折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E、交3C于

點(diǎn)、F.

(1)求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)若AB=6,BC=8,求3P的長.

3.如圖，己知在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)、,將正方形的邊CD沿DE折疊到DF,

延長斯交于點(diǎn)G,連接DG.

(1)求證：AG=FG；

⑵求證：NGDE=45。；

(3)若AB=8,求△3GE的周長.

4.四邊形ABCD中，^ADC=ZDAB=90°,AB=DC,

AFD

⑴如圖1,求證：四邊形ABC。為矩形.

⑵如圖1,M為AD延長線上一點(diǎn)，連CM,3M,P,G分別為的中點(diǎn)，。0=18,求

PG.

（3）如圖2,點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，將A3CE沿BE折疊到△BQE,點(diǎn)C落點(diǎn)。在，射線8Q交邊AD

于￡BC=8,CO=12,則Ab=.

5.取一張矩形紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如圖：

（1）【課本再現(xiàn)】

第一步：如圖①，對(duì)折矩形紙片A2CD,使AD與BC重合，折痕為EF,把紙片展平；

第二步:在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊紙片,使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處,連接PM,BM,

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EP上時(shí)，如圖①，連接AM,判斷AAW的形狀并證明.

（2）【類比應(yīng)用】如圖②，現(xiàn)將矩形紙片換成邊長為8cm正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片A2CD按照（1）中的方式操作，并延長交。于點(diǎn)。，連接BQ,當(dāng)點(diǎn)M

在跖上時(shí)，求NM8Q與NPQD的數(shù)量關(guān)系是_（用數(shù)學(xué)式子表示）；

（3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改變點(diǎn)「在公。上的位置（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,。重合），沿

3P折疊紙片，如圖③，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接PM,BM,并延長尸“交CD

于點(diǎn)Q,連接8。.當(dāng)Q尸=1cm時(shí)，請(qǐng)求出”的長.

6.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，正方形403。邊長為2,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,2）.

(1)如圖1,動(dòng)點(diǎn)。在。8邊上，將△38沿直線DC折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)9處，連接并延

長，交A0于點(diǎn)E.

①當(dāng)=07)時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)是」

②若點(diǎn)E是線段0A的中點(diǎn)，求此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)3’的坐標(biāo)；

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)D,G分別在邊。8,AC上，將四邊形DBCG沿直線DG折疊，使點(diǎn)8的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'始終落在邊0A上(點(diǎn)8'不與點(diǎn)。，A重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，3'C'交AC于點(diǎn)

E.設(shè)0?=乙四邊形Afi'DG的面積為S,直接寫出S與f的關(guān)系式.

7.如圖，矩形ABC0中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(-6,8).

⑵點(diǎn)。是A0上一點(diǎn)，矩形45co沿直線折疊，使得點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線08上的點(diǎn)E

處，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從

點(diǎn)C出發(fā)，沿C。方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一

個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)(0</<3).

①當(dāng)點(diǎn)C在線段P。的垂直平分線上時(shí)，則f的值為秒；

②連接"，PQ,是否存在某一時(shí)刻r,使”=PQ?若存在，求出r的值，并求出此時(shí)41尸。

的度數(shù).

8.已知正方形ABCD,點(diǎn)E,尸分別為邊3C,C。上兩點(diǎn).

圖1

【建立模型】

(1)如圖1,連接3尸，AE,如果AE_L斯，求證：AE=BF；

【變式應(yīng)用】

(2)如圖2,點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE,作AE的垂直平分線交48于點(diǎn)G,交CD于

點(diǎn)、F,AE與GF是否相等？說明理由；

【模型遷移】

(3)如圖3,將AABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在所上的點(diǎn)G處，AE與8尸交于點(diǎn)若

AB=n,CF=5,求GP的長.

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BCulZ,點(diǎn)E在AB上，AE=5,尸是AO上一點(diǎn)，

將矩形沿PE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處.連接AC,與PE相交于點(diǎn)/，設(shè)AP=x.

(1)AC=；

⑵求線段AO的最小值，并求此時(shí)tanNAPE的值；

(3)若點(diǎn)H在VABC的內(nèi)部，求x的取值范圍.

10.小紅學(xué)習(xí)矩形的性質(zhì)及判定后，綜合運(yùn)用相似、全等、勾股定理等知識(shí)對(duì)矩形中的折疊

問題進(jìn)行探究：

【問題解決】(1)如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,將AABE沿

直線BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在邊的垂直平分線MG上時(shí)，求

的度數(shù)；

【操作探究】(2)如圖②，在(1)的條件下，折痕8E交MG于點(diǎn)N,延長所交邊C。于

點(diǎn)H,若MN=1,BC=5,求四邊形DEFH的面積：

【拓展延伸】(3)如圖③，在矩形ABC。中，A3=3,BC=4,點(diǎn)E是射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，

連接3E,將AME沿直線8E折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)產(chǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在邊BC的垂直平

分線上時(shí)，求AE的長.

11-將一個(gè)矩形紙片ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)4(-2,0),點(diǎn)3(4,0),

點(diǎn)。卜2,2月)，點(diǎn)C在第一象限，CO與y軸交于點(diǎn)G,P為線段03上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直

線/交C。于點(diǎn)Q,4針。=60。，沿直線尸。折疊該紙片，折疊后點(diǎn)4。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,

(1)填空：如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為,點(diǎn)A

的坐標(biāo)為

(2)設(shè)折疊后與矩形03CG重疊部分的面積為S.設(shè)=

①如圖②，當(dāng)折疊后四邊形ADQP與矩形O8CG重疊部分為五邊形時(shí)，A'D與CG交于點(diǎn)

F,尸。與0G交于點(diǎn)E,試用含r的式子表示線段A尸的長，并直接寫出f的取值范圍；

②當(dāng):vtw：時(shí)，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

22

12.如圖1,在矩形ABCL(中，P是BC上的點(diǎn)，AABP沿AP折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)

延長尸河交直線AD于點(diǎn)E.

⑴求證：EA=EP-,

(2)。是AD上的點(diǎn)，DQ=BP,ACOQ沿C0折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N,且尸，M,N,Q

在同一直線上.

①如圖2,若N互相重合，求一的值;

②若AB=4,MN=4,求3尸的長.

13.在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，李老師要求同學(xué)們以正方形的折疊與某些線段的折疊為例探究圖

形間存在的關(guān)系.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊3c上運(yùn)動(dòng)，連接DE,把ACDE沿OE所

在直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，連接AC并延長與。E的延長線交于點(diǎn)尸，沿。尸所在直線

折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)C'重合，點(diǎn)/在AC'上.

&--34--力4K——力

⑴如圖1,ZEDP的度數(shù)不變，請(qǐng)你求出該角的度數(shù)；

(2)如圖2,連接3尸，發(fā)現(xiàn)三條線段AP,3尸尸之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn);

(3)如圖3,連接AC,CC,若正方形A3CD的邊長4,請(qǐng)直接寫出△ACC面積的最大值

14.綜合與探究:如圖，已知射線AM〃BN,ABLBN于點(diǎn)、B,點(diǎn)D在射線AM±.,AD=AB,

過點(diǎn)。作射線于點(diǎn)C.

ADMAPDMADM

----------*----p_____.??

BNBN

圖①圖②備用圖

(1)【操作判斷】根據(jù)題意在如圖①中補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)，則四邊形ABC。的形狀為二

(2)【拓廣探索】點(diǎn)尸為射線All上一動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得到AAB尸.延

長3A交射線OC于點(diǎn)E.

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)A在A8的垂直平分線上時(shí)，求蘭CF的值；

②探究線段8E,AP,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

15.已知在長方形ABCZ)中，AB=4,BC=3.按下列要求折疊，試求出所要求的結(jié)果.

(1)如圖(1)所示，把長方形A2CD沿對(duì)角線3￡>折疊得△EB。，BE交CD于點(diǎn)F,求品8?,：

(2)如圖(2)所示，折疊長方形ABC。，使AD落在對(duì)角線80上，求折痕的長；

(3)如圖(3)所示，折疊長方形ABCD,使點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，求折痕所的長.

參考答案

1.^10-2^/13jcm

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.先求出￡>E=4cm,CE=2cm,在RIAADE中，由勾股定理求出AE=2"耳cm,根據(jù)折疊

的性質(zhì)可知AG=A5=6cm,ZAGFZEGF^90°,班'"G,進(jìn)而求出GE.而-6km,

設(shè)3尸=彳，則》G=x,CF=4-x,在Rt^GEF,RtAFCE中，利用勾股定理可得

E尸=(2舊-6『+X2,EF2=(6-X)2+22,得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解.

【詳解】解：???正方形紙片ABCD中，4)=6cm,DE=2CE,

?D90?,CD=AB=BC=AD=6cm,

DE+CE=3CE=CD=6cm,

DE=4cm,CE=2cm,

在RMADE中，AE=j3+DE2=2而cm,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=Afi=6cm,/AGE=/EGF=90。，BF=FG,

：.GE=AE-AG=(2y/13-6)cm,

^BF=x,則fU=x,CF=6-x,

在R6GEF中，￡F2=[2A/13-6)2+X2,

在RtAFCE中，EF2=(6-X)2+22,

則(29-6『+X2=(6-X)，22,

解得：x=2屈-4,

CF=6-(2V13-4)=(10-2A/13)cm.

2.(1)證明過程見解析；

7

(2)8斤的長為了.

4

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得線段長度相等，結(jié)合菱形的判定定理即可證得

結(jié)論；

(2)找出線段之間的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理解直角三角形即可.

【詳解】(1)證明：,??四邊形ABCD是矩形，

/.AD\\BC,

：.ZAEF=/CFE,

由折疊的性質(zhì)可知，NCEF=ZAEF,CE=AE,CF=AF,

：.NCEF=NCFE,

:.CE=CF,

：.AE=EC=CF=FA,

四邊形AFCE為菱形.

(2)解：?.?四邊形ABCD是矩形，

4=90。，

設(shè)3/=工，

"：AB=6,BC=8,

AF=CF=8—x,

在RMA8尸中，AB2+BF2=AF2,

：.62+X2=(8-X)\

._7

??x=一,

4

7

BF=—,

4

答：5方的長為一7.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定定理.

3.(1)詳見解析

(2)詳見解析

⑶16

【分析】題目主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，理解題意,

熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=CD,ZA=ZB=ZC=90°,再由全等三角形的判定和性

質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/AD尸+NCZ甲=90。，再由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合各角之間的

關(guān)系求解即可；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=3C=8,利用折疊得出EC=EF,結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

:.AD^CD,ZA=Z.B=ZC=90°

由折疊可知，CD=FD,NC=/EFD=90。,

：.ZA=ZDFG=90°,AD=DF

又rDG=DG,

Rt△ADG^RtAFDG(HL),

AG=FG

(2)?.?四邊形ABC。是正方形，

:.ZADC=90°,

:.ZADF+ZCDF=9G°

由折疊可知，^CDE=ZFDE=-ZCDF,

2

-,-^ADG^FDG,

/.ZADG=ZFDG=-ZADF

2

/.ZGDE=ZFDG+ZFDE=-ZADF+-ZCDF=-(ZADF+ZCDF)=-x90°=45°；

2222

(3)?.?四邊形ABC。是正方形，

.\AB=BC=8f

由折疊可知，EC=EF

?/AG=FG,

:.ABGE的周長=BE+EG+BG=BE+EF+FG+BG=BE+EC+AG+BG=BC+AB

=8+8=16.

4.(1)見解析

(2)9

【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股

定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形A5CD為平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是90。的平行四邊形是矩形即可

證明結(jié)論；

(2)如圖：延長ZM至E,使得=連接BE,則NA4E=NCDM=90。，易證

AAEB^ADMC(SAS)可得BE==18,再證明PG是AMBE的中位線，最后根據(jù)中位線

的性質(zhì)即可解答.

(3)如圖：連接所，由矩形的性質(zhì)、中點(diǎn)的定義、折疊的性質(zhì)可得。E=EQ、ZEQF=90°,

易證RUEQ9/RUEDR(HL)可得跳'=/￡>跖，進(jìn)而得到/3EF=90°；設(shè)=則

FD=3-x、BF2=%2+144>EF2=(8-x)2+36,BE2=100,再由勾股定理列方程求解即

可.

【詳解】(1)證明：VZADC=ZDAB=90°,

：.ZADC+ZZMB=180°,

AB//CD,

?/AB^DC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

VZZMB=90°,

四邊形ABCD為矩形；

(2)解：如圖：延長D4至E,使得=連接BE,則/&場(chǎng)=NCDM=90。，

:.BE=MC=18,

?「G為AD的中點(diǎn)，

:.AG=DG,

：.AG+AE=DG+DM,即AG=MG,

???尸為3M的中點(diǎn)，

PG是的中位線，

???PG=-BE=9.

2

(3)解：如圖：連接EF,

AFD

E

C

???四邊形ABCD為矩形，

.??AD=BC=8,AB=CD=12,ZC=90°,

???E為co的中點(diǎn)，

：?DE=CE=6,

??,將區(qū)沿座折疊到ABQE,點(diǎn)。落點(diǎn)。在，

CE=EQ,ZBEC=ZBEQ,ZBQE=ZC=90°,即NEQ歹=90。，

:.DE=EQ,

在Rt^EQF和RUEDF中，

[EQ=DE

[EF=EF'

RtAEQF=RtAEDF(HL),

.??ZQEF=/DEF,

.??NQEF+ZDEF+/BEC+ZBEQ=180°,

：?/QEF+/BEQ=90°,即ZB跖=90。，

設(shè)AF=x,貝！JFD=8—%，

在R3AB廠中，BF2=AF2+AB2=x2+144,

在R/ED/中，EF2=FD2+DE2+36,

222

在RtABCE中，BE=BC+CE=100,

?/NBEF=90。,

BF2=EF2+BE2>

7

.?,x2+144=(8-%)9+36+100,解得：x=-.

AF=-.

2

5.(1)等邊三角形，證明見解析

(2)2NMBQ=NPQD

小40?24

⑶五cm或五加

【分析】⑴由折疊的性質(zhì)得=AB=BM,從而得到AABM是等邊三角形即可

求解；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=8C=CD=AD,ZA=ZC=ZABC=90°,根據(jù)折疊得出

AB=BM,EF垂直平分AB,ZBMP=ZA=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)證明=,

證明RtABM^RtABCe(HL),得出ZCBQ=ZMBQ,即可證明ZMBC=2ZMBQ；

(3)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)下的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時(shí)，分別畫出圖形，利

用勾股定理解方程即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接AM,

:對(duì)折矩形紙片ABC。，使AD與BC重合，折痕為所,

E尸垂直平分A8,

：.AM=BM,

:沿3尸折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，

AB=BM,

AM^BM=AB,

A△ABM是等邊三角形；

（2）解：?.?四邊形ABC。為正方形，

AB=BC=CD=AD,=/C=AABC=90°,

根據(jù)折疊可知：AB=BM,跖垂直平分A5,ZBMP=ZA=9Q°,

：.ZAEF=ZABC=90°,

:?EF〃BC,

：.Z.EMB=Z.MBC,NEFC=180。—NC=90°,

?.,ZBMQ=180。—ZBMP=90°,

.??ZEMB+ZFMQ=ZFMQ+ZPQD,

.??NEMB=/PQD,

：.ZMBC=ZPQDf

■:AB=BM,AB=BC,

:.BM=BC,

???BQ=BQ,

：.RtABM2=RtABC2（HL）,

ZCBQ=ZMBQ,

：.ZMBC=2ZMBQ

：.2NMBQ=NPQD；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，如圖所示：

,正方形ABCD中，AD=CD=8cm,

/.DQ=QF+DF=1+^CD=1+4=5（cm）,

：.CQ=CD-DQ=8-5=3（cm）,

由（2）知RtABMQ絲RtABCQ（HL）,

MQ=CQ=3cm,

設(shè)AP=xcm,由折疊知MP=AP=xcm,

/.PQ=MP+MQ=^x+3)cm,PD=AD-AP=(8-x^cm,

在Rt^POQ中，PD-+DQ2=PQ2,

：.（8-%）2+52=（%+3）\

解得尤=4洋0

即AP=—cm；

11

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時(shí)，如圖,

則。。=￡>產(chǎn)一。尸=gco-l=4-l=3(cm),

CQ=CD-￡)0=8-3=5(cm),

MQ=CQ=5cm,

設(shè)AP=MP=xcm,

貝"D=AD-AP=(8—x)cm,PQ=A/P+MQ=(x+5)cm,

在Rt△尸。。中，PD2+DQ2=PQ2,

：.(8-x)2+32=(x+5)2,

2424

解得“二百，W^=—cm；

綜上可知，”的長為^40cm或2黃4cm.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判

定等，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，是解題的關(guān)鍵.

6.⑴①（1,0）；②點(diǎn)。的坐標(biāo)為（：刀］，點(diǎn)8'的坐標(biāo)為42

555

111

(2)S=-t3--t92+-t+2(0<t<2)

【分析】（1）①由折疊的性質(zhì)得出OD=goB=l,則可得出答案;

②連接CE.證明RtVB'CE0RtVACE(HL),得出8E=AE=1,設(shè)。3,0),貝U

OD=d,B'D=2-d,DE=3-d,由勾股定理可求出￡)點(diǎn)坐標(biāo)，證出現(xiàn)神/)，：Sv”)=3：2,由

可得出答案；

(2)連接B'GIBBG,設(shè)03'=/,貝?。軦B'=Q4—O8=2—r,設(shè)BD=B'D=m,貝U

產(chǎn)+4.

OD=OB—BD=1—m,解得機(jī)=----.由梯形的面積公式可得出答案.

4

【詳解】(1)解：①：正方形AOBC邊長為2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),

:.OB=BC=AC=OA=2,

:將ABCD沿直線0c折疊，

:.B'D=BD,

又?:B'D=OD,

BD=OD,

:.OD=-OB=1,

2

...點(diǎn)D的坐標(biāo)是(LO),

故答案為：(1,。)；

②如圖，連接CE,

:點(diǎn)E是線段。4的中點(diǎn)，

:.OE=AE=—OA=1,

2

由折疊的性質(zhì)可得B'C=BC,ZDB'C=ZDBC=90°,

又VAC^BC,

:.B'C^AC,

在Rt^B'CE和RtAACE中，

(B'C=AC

\CE=CE，

RtVB'CE也RtVACE(HL),

:.B'E=AE=1,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為3，。)，則。。=d,

:.BD=BD=OB—OD=2—d,

:.DE=B'E+B'D=l+2-d=3-d,

在R/AEOD中，OE?+OD?=DE\

,仔+屋=(3-療，

4

解得d=；,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為g，。)，

EB':DB'=1:^2-^=3:2,

??S^OEBS^ODB'=3:2,

11x1=2

又S&OED=-X

233

2

=lxlx.,,±=lxlxys，,

52B1523B

42

XB'=g=y

點(diǎn)8'的坐標(biāo)為

設(shè)OB'=r,則AB'=Q4—OB'=2—f.

設(shè)BD=B'D=tn,貝!]OD=O/?-Z?￡)=2—

在Rt^OB'D中，OB°+OD2=B'D2,

Z2+(2-m)2=m2,

戶+4

解得3T

11(

■-S^=-OB'.OD=-t-\2--\―/+4/

OD-8-

設(shè)CG=〃，則AG=AC-CG=2-〃，

在Rt^AB'G中，B'G2=AB'2+AG2=(2-r)2+(2-?)2.

在AMBCG中，BG2=CG2+BC2=?2+22=/r+4,

由折疊可知DG垂直平分BB'，

:.B'G=BG,

BG2=B'G2，即(2—1)~+(2—+4,

產(chǎn)—4/+4

解得：

11/r_4,+4/+4X2="2，+4

，S梯形"BCGMBCG+OBABCMJ+——

442

32

--t+4tt-2t+413121c

S=SjE方形CMCB—S-B，OD-S梯形。BCG=2----------------------------=-t一一f+-t+2,

82822

即S='戶一!》+!才+2(0</<2).

822

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.(1)(0,8),(-6,0)；

(2)0(0,5)；

(3)①2；②存在，r=l,止匕時(shí)NAPQ=90°

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)解答即可求解；

(2)在Rt/XABO中，根據(jù)勾股定理可得30=10,再由折疊可得8E=AB=6,

/BED=NBAO=90°,ED=AD,從而得到EO=4,/OED=90°；設(shè)D(0,a),貝|OD=。，

ED=AD=8-a,在Rt^EOD中，由勾股定理求出a的值，即可求解；

(3)①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得PC=QC,即可求解；②證明也Rt△尸CQ,

可得AB=PC,ZAPB=ZPQC,可求出f=l,即可求解.

【詳解】(1)解：矩形ABCO中，軸，軸，

???點(diǎn)8的坐標(biāo)是(-6,8),

OA=8,OC=6,

.?.4(0,8),C(-6,0)；

故答案為：(0,8),(-6,0)；

(2)解：：四邊形ABC。是矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(-6,8),

AZBAO=ZBCO=90°,AB=OC=6,3c=04=8,

.,.在Rt^ABO中，BO=y/AC^+AB2=782+62=10；

由折疊得：BE=AB=6,/BED=NBAO=90°,ED=AD,

：.EO=BO-BE=10-6=4,ZOED=90°,

設(shè)0(0,a),則OD=a,ED=AD=8-a,

在RtAEOD中,由勾股定理得：DE2+OE2=OD2,

即(8-a)2+4=a2,解得：。=5,

。(。,5)；

(3)解：根據(jù)題意得：CP=8-2t,CQ=2t,

①：點(diǎn)C在線段P。的垂直平分線上，

PC=QC,

8-2,=2%,

解得：t=2-

②存在某一時(shí)刻f,使AP=PQ,

由題意得，BP=CQ=2t,PC=S-2t,

?.?四邊形A3CD是矩形，

ZABP=ZPCQ=90°,

在RtAABP與RtAPCQ中，

AP=PQ,BP=CQ

RtAABP^RtAPCQ(HL),

/.AB=PC,ZAPB=ZPQC,

??8—2%=6,

t=1,

?：ZPQC+ZQPC=90°,

??.ZAPB+NQPC=90。,

.?.ZAPQ=90。，

???存在，t=l,此時(shí)ZAPQ=90。.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

49

8.（1）證明見解析；（2）AE=GF,理由見解析；（3）可

【分析】（1）證明AABE絲ABCWASA）即可求證；

（2）過點(diǎn)G作G//JLCD于可得四邊形3SG是矩形，即得AB=GH,再證明

△ABE%GHF（ASA）即可求證；

（3）由折疊可得至_LB尸，BM=MG,同理（1）可證/△BCF,得到/1=N2,

BE=CF=5,AE=BF,由勾股定理得AE=BF=s/AB2+BE2=13.再根據(jù)三角形面積可

得BM=MG=加BE=黑，進(jìn)而根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解.

AE13

【詳解】（1）證明：如圖，

:四邊形是正方形，

；.ZABE=NBCF=90°,AB=BC,

：.Z2+ZABF=90°,

,/AE.LBF,

4+NABF=90°,

/.Z1=Z2,

△ABE均BCF(ASA),

/.AE=BF；

(2)解：AE=GF,理由如下：

如圖，過點(diǎn)G作GHLCD于//,則/GHF=/GHC=90。,

圖2

:四邊形ABC。是正方形，

AZS=ZC=90°,AB=BC,

四邊形3C//G是矩形，

ZBGH=ZAGH=90°,GH=BC,

：.ZHGF+ZAGF=90°,AB=GH,

'：AEAGF,

：.ZBAE+ZAGF=9Q°,

：./BAE=NHGF,

又：ZB=ZGHF=90°,

/.AABE均GHF(ASA),

AE=GF；

(3)解：如圖，

由折疊可得，AEA.BF,BM=MG,

同理(1)可證△"￡1絲△BCF,

AZ1=Z2,BE=CF=5,AE=BF,

-AE=BF=4A^-BE2=A/122+52=13,

*.?-BMxAE=-ABxBE,

22

ABxBE12x560

BM=MG=

AE1313

6049

???GF=BF-BM-MG=13——

131313

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的

性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

9.(1)4713

3

(2)取小值為8,tanZAPE=-

(3)y<X<10

【分析】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)利用勾股定理求解即可；

(2)利用勾股定理求出DE,根據(jù)ZM-DE-可得結(jié)論；

(3)如圖2中，當(dāng)點(diǎn)H落在AC上時(shí)，求出AP的長，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)A落在上時(shí)，求

出AP,可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：,??四邊形4J8為矩形，

.\ZB=90°.

???AB=8,BC=n,

AC=^AB2+BC2=Vs2+122=4713?

故答案為：4A/13.

(2)如圖1中，連接DE,DA!.

圖1

在RtAAflE中，ZE4D=90°,AE=5,AD=BC=12,

DE=\lAE2+AD2=^52+122=13.

■：EA=EN=5,

:.DA^DE-EA=8

.?.D4'的最小值為8.止匕時(shí)E,A,。共線.

PA=PA'=x,則有(12—x)~=x?+8",

解得x=

/.AE3

「.tanZAPE=----=—

AP2

(3)如圖2中，當(dāng)點(diǎn)4落在AC上時(shí),

vZAEP+Z￡AC=90°,NACB+NE4c=90。，

:.ZAEP=ZACB.

pA4R

/.tanZAEP=——=tanZACB=——,

AEBC

PA_^_

~T~12

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)H落在BC上時(shí)，過點(diǎn)P作尸于H.

四邊形9CD為矩形,

圖3

ZDAB=NB=ZBHP=ZAPH=90°.

四邊形AB/7P為矩形.

則尸〃=AB=8,PA=BH

在RtVBEA中，BE=AB—AE=3,EA'=EA=5,

BA'=-JA'E2-BE2=4?

ZB=NEAP=APHA=90°,

;.ABA!E+APA;H=90°,NPA'H+ZA'PH=90°.

ZBA'E=ZA'PH.

:./\BA!E^/\HPA!.

.BEBA

.3_4

"AT/"8'

/.AH=6.

:.AP=BH=BA+AH=10.

綜上可知當(dāng)gvxvlO時(shí)，點(diǎn)A在VABC的內(nèi)部.

10.(1)30°;(2)生星(3)AE=9-3石或9+3君

622

【分析】(1)由折疊可知4?=跖=2MB,再根據(jù)三角函數(shù)得到sin4WW=H=1,

ZMBF=60°,再根據(jù)折疊即可解答.

(2)由矩形的性質(zhì)得N/ffiC=30。，由三角函數(shù)得到〃。二生后，再根據(jù)垂直平分線和中位

3

線得AE*=2,AB=-r=2A/3,再根據(jù)S四邊形小尸”=S矩形-25a8七-S&5cH即可解答.

tan30

(3)如圖③，在矩形ABCD中，45=3,50=4,由垂直平分線得

BH=gBC=2,NBHF=NEGF=90。,再由勾股定理得m=斤工？=6，GF=3-逐,

由折疊設(shè)AE=Eb=x,則EG=2-x,得(2-x>+(3-遙了=/,解得關(guān)=匕3叵；如圖

2

④，點(diǎn)E在射線4。上時(shí)，點(diǎn)尸恰好落在邊的垂直平分線上時(shí)，由垂直平分線得

BH=gBC=2,/BHF=/EGF=90。,再由勾股定理得M==占，GF=3+5

設(shè)￡)E=a,由折疊得AE=￡F=4+〃,EG=2+。，得(2+〃>+(3+行了=(4+〃)2,解得

a=a￡即可解答.

【詳解】解：(1)如圖①，;MG是A3的垂直平分線,

AB=2MB,ZBMF=90°

圖①

由折疊得，AB=BF=2MB,

■.在RtABMF中,sinNBFM=—=

BF2

:.ZBFM=30°f

:.ZMBF=60°,

二由折疊得，ZABE=ZEBF=1x60°=30°；

(2)如圖②，由(1)得/ABE=NEB尸=30°,

圖②

在矩形A3CZ）中，/ABC=90。,

:.ZHBC=30°,

...在R/ABC”中，tanZHBC=—=—,BC=5,

BC3

3

?.?MG是A5的垂直平分線，MN=1,

:.MN\\ADf

：.AM\BM=EN\BN=\,

：.EN=BN,

.,.ACV是ABAE的中位線,

AE—2,

/.AB=---------=2A/3,

tan30°

=273x5-2x-lx2x273--x5x—

一S四邊形DEF”=S矩形ABC。-2sAABE-^BCH

223

…邛；

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3,3C=4,

由折疊得，AB=BF=3,

根據(jù)勾股定理，得FH=/3J*=小，

:.GF=3-y/5,

由折疊設(shè)AE=EF=x,則EG=2T,

...在RLEGb中，（2-尤丁+（3-退）2=,，解得x=9-3g

2

2

如圖④，點(diǎn)E在射線AD上時(shí)，點(diǎn)尸恰好落在邊BC的垂直平分線上時(shí),

圖④

在矩形ABCD中，A3=3,BC=4,

?.?G”是BC的垂直平分線，

BH=-BC=2,ZBHF=ZEGF=90°,

2

由折疊得，AB=BF=3,

根據(jù)勾股定理，得〃/=序與=君,

:.GF=3+非,

設(shè)DE=a,由折疊得AE=ER=4+a,EG=2+。，

.,.在RMEGb中，(2+。)2+(3+退)2=(4+。)2,解得”童石,

2

夕，1+3君9+3指

AE=4+-----=-----；

22

綜上得，AE=2或X.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù),

熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.(1)(4,273),(1,73)

(2)(1)A'F=2y[3—\/3t-其中，的取值范圍是g<r<2；②丁為

38

【分析】(1)作4M，加?于加，由四邊形ABC。為矩形，由勾股定理可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),

運(yùn)用折疊和含30。角的直角形性質(zhì)，勾股定理，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)①由已知條件和折疊，勾股定理，含30。角的直角形性質(zhì)可先得出2石>A尸>0,得

2

出0<t<2.當(dāng)AD過點(diǎn)G時(shí)，(G于尸重合)為四邊形，/=由重疊部分為五邊形，得

出1<r<2；

②陰影部分可能為五邊形、三角形、四邊形三種情況分別求出S的取值范圍，綜合在一起即

可.

【詳解】(1)解：作于M,

.-.ZAW=90°.

■.?點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)3(4,0),點(diǎn)。卜2,2g),四邊形A5CD為矩形,

AD=2A/3,AD_Lx軸，AB=4-(-2)=6,AO=2,AD=BC.

二點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為2VL

四邊形ABC。是矩形，

BC=AD=273,AB=CD=6.

:.CG=CD-DG=4.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,2g）.

DO=^AD'+AO-=,+（2用2=4,

DO=2AO.

:.ZADO=30°.

ZAOD=90°-ZADO=60°.

???沿直線尸。折疊該紙片，

:.ZAOD=ZAOD=6Q°,AO=AO=2.

:.ZMAO=90°-ZA'OD=30°.

:.OM^-A'O^].

2

AM==百.

二點(diǎn)4的坐標(biāo)為（L⑹.

故答案為：（4,2有），（1,73）.

（2）解：①由（1）可知：04=2,03=4,AD=BC=OG=2A/3.

由折疊可知：ZAPQ=ZAPQ=60°,ZD'QP=ZDQE,DQ=D'Q,PA=PA!,AD=AD.

NOEP=90°-ZAPQ=30°.

VOP=t,

:.EP=2t,OE=yf3t.

:.EG=OG-OE=2y/3-y/3t.

?rNGEQ=NOEP=30。,

:.GQ=2-t.

：.D'Q^DQ^DG-GQ^2-（2-t）^t.

■：四邊形ABC。是矩形，

:.AB//CD.

AD'QP=NDQE=180°-ZAPE=120°,ZEQG=NAPE=60°.

ZD'QF=ZD'QP-ZEQG=60°.

ZD'FQ=90°-ZD'QF=30°.

:.FQ=2D'Q=2t.

D'F=^FQ'-D'Q1=R.

A'F=A'D'-D'F=2也-?.

2y/3>A'F>0,

0<t<2.

當(dāng)AD過點(diǎn)G時(shí)，（G于尸重合）為四邊形,

GQ=2-t,

DQ=D'Q=-GQ=l--t.

22

￡>G=GQ+OQ=（2-f）+H=2,

2

1?

???重疊部分為五邊形，

-AB\\CD,

ZFMN=180°-ZPNM=90°.

?二四邊形OMVfG為矩形.

:.ON=GM,MN=OG.

：.AP=AP=AO+OP=2+t.

-.-ZAPE=ZAPE=6Q09

ZAPN=180。一ZAPE-ZAPE=60°.

ZPAN=90°-ZAPN=30°.

-_PN=-A'P=l+-t.

22

A'N=yjA'P2-PN2=611+5

A'M=MN-A'N=2sf3-43^+^=s/3-^-t.

■.?ZD'FG=ZAFM=30°,

/.FM=y/3ArM=3——t.

2

??S=S矩形ONMG-S&OPE-S抑尺—S^FMA，

=1，+;++26-6+與-j

、2

，1+口-—?

2A/3-旦2—立

2222

I27

=T&+4-產(chǎn)-[1+；）

=-底2+4?

379

*/-</<-,且此時(shí)一<，<2,

223

當(dāng)％=3時(shí)，S=—A/3.

24

當(dāng)，=2時(shí)，S=4右.

???重疊部分為五邊形’s的取值范圍：9&4<4百.

當(dāng)重疊部分為三角形時(shí)，如圖

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜,2若卜四邊形ABC。是矩形,

:.CG=4,CB=2退,ZBCD=90°,

.?.S=Sm=gcGQ=；x4x2百=46.

可知此時(shí)7=2.

7

當(dāng)重疊部分為四邊形時(shí)，則此時(shí)2V.

四邊形BCQR為矩形，四邊形ORQG為矩形.

QR=BC=2^/3,BR=CQ,OR=QG.

ZAPQ=60°,

ZPQR=90°-ZAPQ=30°

:.PR=^PQ.

?1-QR2+PR2=PQ2,

:.PR=；PQ=2.

■：OP=t,

/.OR=t—2,.BP=AB—AO—OP=6—2,—t=A—t.

.\BR=AB-AO-RO=6-2-（t-2）=6-t.

由折疊可知：ZAPQ=ZAfPQ=60°.

/.ZBYP=90°-ZBPY=30°.

/.PY=2BP=S-2t.

BY=y/PY2-BP2=^（8-2r）2-（4-Z）2=4指—圓

「S二S矩形ORQG-S&RPQ—S#PY

^BCBR-^PRQR-^BPBY

=28（6一f）_；x2x2g_gx（4T）x（44一網(wǎng)

=-—?2+2A/3/+2A/3

2

當(dāng)f=2時(shí)，S=一與。+20+2+=4上.

當(dāng)時(shí)，5=-—Z2+2A/3/+2A/3=—V3.

228

綜上所述：字GVSV4后

8

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，平面直角坐標(biāo)系中矩形的性質(zhì)、勾股定理、折疊

問題及幾何圖形的坐標(biāo)計(jì)算.

12.⑴見解析

⑵①0②！或4

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD〃BC,求得NEAP=ZAPB,由翻折的性質(zhì)可知

ZAPB=ZAPE,得至UNE4P=ZAPE,于是得到E4=EP；

（2）①當(dāng)M,N重合時(shí)，PB=PM,求得AP=AQ,推出△APQ是等邊三角形，得到

ZAPB=ZAPQ=60°,設(shè)尸3=。，則AP=AQ=PC=2a,BC=AD=3a,AB=6a,于

是得至盧=四=①；

AD3a3

②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時(shí)，^PB=PM=x,則。4=。尸=/^=8-》，根據(jù)勾股定理求出

4

BP=—?當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，同理求出BP=4.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是矩形，

.'.AD//BC,

.\ZEAP=ZAPB,

由翻折的性質(zhì)可知ZAPB=ZAPE,

,\ZEAP=ZAPE,

,\EA=EP；

（2）解：①當(dāng)M,N重合時(shí)，DQ=BP

由折疊得：PB=PM,NB=ZAMP=900,QD=QM,

AM±PQ,PM=QM,

:.AP=AQ,

由(1)得：QA=QP,

:.AP=AQ=PQ,

??.△AP。是等邊三角形,

:.ZAPB^ZAPQ^60°,

設(shè)