專題5.1矩形-重難點題型

【浙教版】

砂尢H?三

【知識點1矩形的定義】

有的平行四邊形是矩形.

【知識點2矩形的性質(zhì)】

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對

角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的

直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

【題型1矩形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】

【例1】（南京月考）如圖，在矩形ABC。中，AC,3。交于點。，DELAC于點E,ZA<9D=110°，則/

CDE大小是（）

A.55°B.40°C.35°D.20°

【變式1-1］（天津期中）如圖，在矩形A8CD中，點￡是。的中點，點歹是BC上一點，且FC=28F,

連接AE,EF,AF.若AB=2,AO=3,則NA所的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.不能確定

【變式1-2】（秦淮區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,BZ）相交于點。，若AE平分NBA。

交于點E,且BO=BE,則NCAE=

【變式1-3】（蘇州期中）已知：如圖，在矩形A8CD中，點E在邊上，且EC平分/8E。，若AB=1,

BC=a，則/EC￡)=

【題型2矩形的性質(zhì)（求線段長度）】

【例2】（江陰市月考）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=8,對角線AC、8。相交于點O,過點。作

OE垂直AC交A。于點E,則。E的長是（）

A.3B.5C.2.4D.2.5

【變式2-1】（鄴州區(qū)校級期中）矩形ABC。與ECFG如圖放置，點8,C,尸共線，點C,E,。共線，連

接AG,取AG的中點打，連接若A2=CP=4,BC=CE=2,則E8=（）

A.在B.2C.v"D.、,專

【變式2-2】（玄武區(qū)期中）如圖，矩形ABC。中，對角線AC的垂直平分線所分別交BC,于點E,F,

若BE=2,AF=苧，則AC的長為.

【變式2-3】（蘇州期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,E是上一點，AE=1,P是8c上

一動點，連接AP,取AP的中點/，連接ER當線段所取得最小值時，線段尸。的長度是.

【總結(jié)】

【題型3矩形的性質(zhì)綜合】

【例3】（余杭區(qū)月考）已知：如圖，在矩形ABC。中，E是BC上一點,,且AE=A。，AE于點尺

（1）求證：CE=FE；

（2）若尸￡）=5,CE=1,求矩形的面積.

D

【變式3-1](渝中區(qū)校級期中)如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、BD交于點O,AE平分NBA。，交

BC于點E,交.BD于點、F.己知/CAE=15°,AB=2.

(1)求矩形ABC。的面積；

(2)求證：OE=FE.

【變式3-2](天心區(qū)期末)如圖所示，在矩形ABC。中，E,歹分別是邊AB,C。上的點，AE=CF,連接

EF,BF,EF與對角線AC交于點O,MBE=BF,ZBEF=2ZBAC.

(1)求證：OE=OF；

(2)若AC=6y3求AB的長.

【變式3-3](越秀區(qū)校級期中)如圖，矩形A8C。中，AB=2V1，8C=3,點E射線8C上一動點，AABE

關(guān)于AE的軸對稱圖形為△物E.

(1)當點尸在對角線AC上時，求PC的長；

(2)當△尸CE是直角三角形時，求BE的長.

【總結(jié)】

【知識點3直角三角形斜邊中線】

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【題型4直角三角形斜邊中線】

【例4】（海淀區(qū)校級期中）如圖，在中，ZACB=90°,AC=6,CD為中線，延長C8至點E,

使BE=BC,連接。E,尸為。E的中點，連接若3P=3,則BC的長為（）

A.6V另B.3同C.8D.6

【變式4-1】（海淀區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCZ）中，,M、N分別為對角線8。、

AC的中點，連接MN,判定與AC的位置關(guān)系并證明.

【變式4-2］（東湖區(qū)期中）如圖，在△A8C中，BDLAC于點。，CELA8于點E,點M,N分別是BC,

OE的中點.

（1）求證：MNA.DE；

（2）若/A=60°,連接EM,DM,判斷的形狀，并說明理由.

D

BC

【變式4-3］（邛蛛市期中）如圖，△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M,N分別是線段BC、

的中點.

（1）求證：MNLDE-,

（2）連接。M,ME,猜想/A與/OWE之間的關(guān)系，并寫出推理過程.

【總結(jié)】

【知識點4矩形的判定方法】

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形;

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）；

【題型5判定矩形成立的條件】

【例5】（陽谷縣期末）在四邊形A8C。中，AC,80交于點O.在下列各組條件中，不能判定四邊形ABC。

為矩形的是（）

A.ZA=ZC,ZB+ZC=180°,ACLBD

B.AO^CO,B0=D0,NA=90°

C./A=NB=90°,AC=BD

D.AB=CD,AD=BC,AC=BD

【變式5-1］（招遠市期中）如圖，下列條件不能判定四邊形ABC。是矩形的是（）

A.NDAB=NABC=NBCD=9Q°B.AB//CD,AB=CD,ABLAD

C.AO=BO,CO=DOD.AO=BO=CO=DO

【變式5-2】（涿鹿縣期中）在四邊形ABC。中，對角線AC,BD交于點。且AC,8?；ハ嗥椒?，若添加

一個條件使得四邊形A8CD是矩形，則這個條件可以是一（填寫一個即可）.

【變式5-3］（房山區(qū)期末）在四邊形A8CD中，有以下四個條件:

?AB//CD-,②AO=BC；③AC=8￡)；@ZA￡)C=ZABC.

從中選取三個條件，可以判定四邊形為矩形.則可以選擇的條件序號是

【總結(jié)】

【題型6矩形的判定證明（根據(jù)直角判定）】

【例6】（龍口市期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC,是角平分線，尸為54延長線上的一點，AE

平分/曲C,DE〃BA交AE于E.求證：四邊形4OCE是矩形.

【變式6-1］（南京月考）如圖，在△ABC中，點。是BC的中點，點E是AD邊的中點，過點A作A尸〃

CB交CE的延長線于點F連接

（1）求證：AF=BD；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形BD4尸為矩形，并說明理由.

【變式6-2］（連云港模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點。，點E,F分別

為0B,的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

（1）求證：4ABE24CDF；

（2）當線段與線段AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCE是矩形？請說明理由.

【變式6-3］（鄂州期中）如圖，ZVIBC中，點。是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN〃8C,交/

ACB的平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F.

（1）判斷0E與。尸的大小關(guān)系？并說明理由；

（2）當點。運動到何處時，四邊形AECB是矩形？并說出你的理由；

【題型7矩形的判定證明（根據(jù)對角線判定）】

【例7】（靜海區(qū)月考）如圖，將口A3C。的邊延長至點E,使連接。E,EC,BD,DE交BC

于點。.

（1）求證△A3。烏△BEC；

（2）若求證四邊形8ECZ）是矩形.

D

【變式7-1】(丹東期末)如圖，A。是△ABC的中線，AE//BC,且4￡=陋7,連接。E,CE.

(1)求證：AB=DE；

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AOCE是矩形？并說明理由.

【變式7-2】(蘭州期末)如圖，AC,2。相交于點0,且。是AC、3。的中點，點E在四邊形A8C。外,

且NAEC=/8EO=90°,求證：四邊形4BC。是矩形.

【變式7-3】(鎮(zhèn)江期中)如圖，在△ABC中，。是AC上的任意一點(不與點A、C重合)，過點。平行

于8C的直線/分別與/8CA、/DCA的平分線交于點E、F.

(1)0E與。尸相等嗎？證明你的結(jié)論.

(2)試確定點。的位置，使四邊形AECB是矩形，并加以證明.

RD

【總結(jié)】

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】

【例8】(崇川區(qū)校級月考)如圖，在四邊形ABC。中，AC,2。相交于點。，AD//BC,ZADC=AABC,

OA=OB.

(1)如圖1,求證：四邊形為矩形；

(2)如圖2,尸是AD邊上任意一點，PE±BD,PF±AC