第二講圓柱的表面積和體積

板塊一：趣味數(shù)學(xué)

旋轉(zhuǎn)雜技表演

“咚咚口匡、咚咚眠，”隨著陣陣鑼鼓聲,幾何城中在進(jìn)行晚會。在高大的舞臺上,豎立著一根根

又高又大的柱子,柱子旁邊有各種各樣的圖形“各位觀眾，你們好！”主持小姐走到舞臺前,用清

脆的聲音向大家說，“旋轉(zhuǎn)雜技表演現(xiàn)在開始!”

話音剛落，在舞臺的中央,排出了一列被隱藏了半邊的圖形:怎么全是半個圖形呀？”有的觀眾

議論。

“咚咚口匡!”又一陣鑼鼓聲響，隨著動聽的音樂，舞臺上的半個圖形，全部都旋轉(zhuǎn)起來奇跡出現(xiàn)

了，原來,臺上的半個圖形，一旋轉(zhuǎn),就變成了美麗的立體圖了：“真好看啊！”大家情不自禁地鼓

起掌來“你們看,長方形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)周，就成為圓柱了?！薄爸苯侨切卫@一條直角邊旋轉(zhuǎn)

一周，就形成了圓錐！”“哈哈!旋轉(zhuǎn)雜技真有趣??！”“圓的一半以直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周就成球形

了?！薄斑€有花瓶啊,”大家邊議論邊欣賞,臺上臺下一片歡騰。

板塊二：知識精講

m

1.圓柱的特征

【知識點(diǎn)歸納】

圓柱就是由兩個大小相同的圓和一個側(cè)面組成的.它的底面是完全相同的兩個圓，側(cè)面是一個曲面.

2.圓柱的展開圖

【知識點(diǎn)歸納】

圓柱的側(cè)面沿高剪開的展開圖是一個長方形（或正方形），這個長方形（或正方形）的長等于圓柱底面的周

長，寬等于圓柱的高.

3.圓柱的側(cè)面積、表面積和體積

【知識點(diǎn)歸納】

圓柱的側(cè)面積=底面的周長X高，用字母表示：

S=Ch（C表示底面的周長，7z表示圓柱的高）,或S=2冗山

側(cè)側(cè)

圓柱的底面積

圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個底面積，用字母表示：

表

圓柱的體積=底面積X高，用字母表示：

V—nr^h.

板塊三：典例好題

m

例1：水運(yùn)是世界上最省力的木材運(yùn)輸方法，伐木工人將采伐的木材并排捆扎在一起，利用木材的浮力和水

流的動力運(yùn)輸木材，從而節(jié)約成本。如圖，把8根直徑約為1米的圓木用鐵絲緊緊地并排捆扎在一起，

像這樣前、后各捆1圈一共要用鐵絲多少米？（接頭處忽略不計(jì)）

【分析】由圖可知鐵絲緊緊地捆綁一圈，最左邊和最右邊各一個半圓，上面的鐵絲是7個直徑，下面的

鐵絲是7個直徑，所以總的長度實(shí)際上是由一個圓的周長加上14個直徑的長度，前、后各捆1圈是2

圈，再乘2即可得解。

【解答】解：3.14X1=3.14（米）

[3.14+1X（7+7）]X2

=（3.14+14）X2

=17.14X2

=34.28（米）

答：像這樣前、后各捆1圈一共要用鐵絲34.28米。

【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生的觀察能力以及求圓的周長的方法。

練習(xí)1：

1.今天是紅紅的生日，同學(xué)們送給她一個大蛋糕，蛋糕是圓柱形的.服務(wù)員阿姨說要配上十字形的絲帶才

漂亮.你知道至少要多長的絲帶才合適嗎？（打結(jié)處要10所）

4dm

k—6din------4

2.轉(zhuǎn)動長方形ABC。.形成右邊的兩個圓柱，說一說它們分別是以長方形的哪條邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的？底面

半徑和高分別是多少？

MA

BIcmC°------

3.一個圓柱形飲料罐的底面直徑是8c%高是12cM把12罐這種飲料放在長方體箱子里，放兩層，從內(nèi)

部量這個箱子的長、寬、高分別是多少？你能寫出兩種不同的答案嗎？

例題2：有一個圓柱形無蓋鐵皮水桶，底面半徑是2加1,高是4加1.用這個鐵皮水桶裝了一些水，水的高度

是桶高的

（1）做這個水桶需要鐵皮多少平方分米？

（2）把這些水倒入下面這個長方體玻璃魚缸中，水面的高度是多少分米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

【分析】(1)做一個圓柱形無蓋鐵皮水桶，需要多少平方分米鐵皮，只需要計(jì)算側(cè)面積加一個底的面積

即可，底面積等于3.14乘半徑的平方，側(cè)面積等于底面周長乘高，然后相加即可；

(2)桶內(nèi)水的高度占桶高度的求這個桶盛多少升水就是求這個桶的容積是多少，用底面積乘水高再

乘列式計(jì)算即可算出有多少立方分米水，因?yàn)榘堰@些水倒入下面這個長方體玻璃魚缸中，再根據(jù)長方體

體積+底面積=高，據(jù)此解答解答.

【解答】解：

(1)3.14X22+3.14X2X2X4

=12.56+50.24

=62.8(平方分米)

答：做這個水桶需要鐵皮62.8平方分米.

Q

(2)3.14X22義(4X-)+(6X3)

4

=37.684-18

^2.1(分米)

答：水面的高度是2.1分米.

［點(diǎn)評】本題考查了圓柱體的表面積和體積及長方體體積的計(jì)算方法的靈活運(yùn)用.

練習(xí)2

1.用一張長16.56厘米的長方形紙制作一個圓柱，且按圖中所示充分利用紙張。利用紙張做好的圓柱底面

半徑是多少厘米，高是多少厘米？

2.一個圓柱的側(cè)面展開后是一個邊長為25.12分米的正方形，這個圓柱的一個底面積是多少平方分米?

3.少先隊(duì)隊(duì)鼓是一個圓柱形的，側(cè)面由鋁皮圍成，上下底面是羊皮，做一個這樣的隊(duì)鼓至少需要鋁皮和羊

例題3：一個底面半徑是20c機(jī)、高是30c優(yōu)的圓柱形魚缸里裝有一些水，向魚缸里放入一塊鵝卵石（完全

浸入水中），水面上升了1.5c/"。這塊鵝卵石的體積是多少立方厘米？

【分析】根據(jù)題意可知：把鵝卵石放入魚缸中完全浸沒，上升部分水的體積就等于鵝卵石的體積，根據(jù)

圓柱的體積公式：V=m2h,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【解答】解：3.14X202X1.5

=3.14X400X1.5

=1256X1.5

=1884（立方厘米）

答：這塊鵝卵石的體積是1884立方厘米。

【點(diǎn)評】此題主要考查圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

練習(xí)三：

1.一個底面直徑為10cm的圓柱形容器中裝有一部分水，水中浸沒著一個底面直徑為6c小高為10cm的圓錐

形鉛錘，把鉛錘從水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？

2.一個圓柱形玻璃缸，底面直徑20厘米，把一個鋼球放入水中，缸內(nèi)水面上升了3厘米，求這個鋼球的體

積。

3.一個裝有水的圓柱形容器，底面直徑是10厘米，高是12厘米，一塊石頭全浸沒在水里，量得水深9.5

厘米，將石頭取出后，水深是7.5厘米，這塊石頭的積體積是多少？

例題4：如圖，一個醋瓶，底面直徑為8c〃z,瓶里醋深12cm,把瓶蓋蓋緊后倒置（瓶口向下），無醋部分高

10cmo你能算出醋瓶的容積是多少毫升嗎？（醋瓶的厚度忽略不計(jì)）

【分析】據(jù)圖可知，右邊空白部分的體積等于左邊空白部分的體積，所以醋瓶的容積就等于左邊醋的體

積加上右邊空白部分的體積，據(jù)此解答。

【解答】解：8+2=4（厘米）

3.14X42X12+3.14X42X10

=3.14X42X(12+10)

=3.14X16X22

=50.24X22

=1105.28（立方厘米）

1105.28立方厘米=1105.28毫升

答：醋瓶的容積是1105.28毫升。

【點(diǎn)評】解答本題需熟練掌握圓柱體體積公式，分析出醋瓶的容積就等于左邊醋的體積加上右邊空白部

分的體積是關(guān)鍵。

練習(xí)4：

1.一輛載重6噸的卡車，車廂內(nèi)裝有1000根空心鋼管,每根鋼管的外半徑是3cm,內(nèi)半徑是2cm,長是50cm,

這輛卡車超載了嗎？（每立方厘米鋼重7.8克）

2.兩個底面積相等的圓柱，一個高為3.5分米，體積為56立方分米。另一個高為5分米，另一個圓柱的體

積是多少立方分米?

3.把一塊長3AAdm,寬2dm,高3dm的長方體鐵塊熔鑄成一個底面直徑是2dm的圓柱形鐵塊，這個圓柱

形鐵塊的高是多少分米？

板塊四：數(shù)學(xué)故事

m

阿基米德與圓柱容球

阿基米德是古希臘偉大的百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家，他為數(shù)學(xué)和物理的

發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，對社會進(jìn)步和人類發(fā)展有著不可磨滅的影響。阿基米德是舉世公認(rèn)的

偉大的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上有著極為光輝的成就,留下的幾何著作，堪稱希臘數(shù)學(xué)的頂峰。他一

生熱愛科學(xué)，熱愛自己的國家，最終獻(xiàn)出了生命，并留下了“圓柱容球”的故事。

公元前212年，古羅馬軍隊(duì)攻陷敘拉古城，阿基米德被殺害了。傳說阿基米德在生命的最

后時(shí)刻,仍然在潛心研究畫在地上的幾何圖形,這足以證明阿基米德對科學(xué)的熱愛。

統(tǒng)率羅馬大軍的馬塞拉斯將軍得知阿基米德被殺的消息后，為阿基米德舉行了隆重的葬

禮,并在墓地上立了一塊碑在上面刻著“圓柱容球”的幾何圖形。

板塊五：答案解析

m

練習(xí)1：

1.【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】通過觀察，捆扎這個盒子至少用去4個底面直徑和4個高長度的和，再加上打結(jié)用去絲帶的長

度10分米，由此得解.

【解答】解：6X4+4X4+10

=24+16+10

=50（分米）

答：至少要50分米的絲帶才合適.

【點(diǎn)評】此題要求學(xué)生要有空間想象力，能夠想到底面和背面也有和我們現(xiàn)在看到的一樣多的絲帶.

:2.【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)面動成體，轉(zhuǎn)動長方形ABCD,以A8或C。邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱高為0.5厘米,

底面半徑為1厘米，生成圓柱①；以AD或BC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱高為1厘米，底面半徑為0.5厘

米，生成圓柱②.

【解答】解：圓柱①是長方形A8CD以A8或C。邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，底面半徑為1厘米，圓柱高

為0.5厘米.

圓柱②是長方形ABCD以AO或8c邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，底面半徑為0.5厘米，圓柱高為1厘米.

【點(diǎn)評】一個長方形繞長（或?qū)挘樾D(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動一周，將得到一個以長（或?qū)挘楦邔挘ɑ蜷L）為底面

半徑的圓柱.

3.【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意，可以把圓柱形的飲料罐橫放，一排6罐，放2層，這樣箱子的長等于圓柱底面直徑

6倍，箱子的寬等于圓柱的高，箱子的高等于圓柱底面直徑的2倍；還可以豎放，一排6罐，放2層，

這樣箱子的長等于這個圓柱底面直徑的6倍，寬等于圓柱的底面直徑，高等于圓柱高的2倍；據(jù)此解答.

【解答】解：方法一：可以把圓柱形的飲料罐橫放，一排6罐，放2層，這樣箱子的長等于圓柱底面直

徑6倍，箱子的寬等于圓柱的高，箱子的高等于圓柱底面直徑的2倍；

箱子的長是8X6=48（厘米），寬是12厘米，高是8X2=16（厘米）；

方法二：可以豎放，一排6罐，放2層，這樣箱子的長等于這個圓柱底面直徑的6倍，寬等于圓柱的底

面直徑，高等于圓柱高的2倍；

箱子的長是8X6=48（厘米），寬是8厘米，高是12X2=24（厘米）；

答：從內(nèi)部量這個箱子的長、寬、高分別是48厘米、12厘米、16厘米或48厘米、8厘米、24厘米.

【點(diǎn)評】此題考查的目的是理解掌握圓柱的特征，并且能夠根據(jù)圓柱的特征解決有關(guān)的實(shí)際問題.

練習(xí)2：

1.【答案】2厘米，8厘米。

【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖的特征，圓柱的側(cè)面沿高展開是一個長方形，這個長方形的長等于圓柱的

底面周長，長方形的寬等于圓柱的高，這張長方形紙的長也就是圓柱的底面周長與底面直徑的和，長方

形紙的寬等于圓柱的高，根據(jù)圓的周長公式：C=2m,把數(shù)據(jù)代入公式求出圓柱的底面半徑，進(jìn)而求出

高。

【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r厘米。

2nr+2r=16.56

8.28r=16.56

r=2

2X2=4（厘米）

4X2=8（厘米）

答：利用紙張做好的圓柱底面半徑是2厘米，高是8厘米。

【點(diǎn)評】此題考查的底面是理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征及應(yīng)用，圓的周長公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記

公式。

2.【答案】785立方厘米。

【分析】根據(jù)題意可知，把這個圓柱形鋼材截去10厘米長的一段后，表面積減少了314平方厘米，表面

積減少的是高為10厘米的圓柱的側(cè)面積，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S=2TU7?,據(jù)此可以求出圓柱的底面

半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式：V=^h,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【解答】解：3144-104-3.144-2

=31.44-3.144-2

=5（厘米）

3.14X52X10

=3.14X25X10

=78.5X10

=785（立方厘米）

答：體積減少了785立方厘米。

【點(diǎn)評】此題主要考查圓柱的側(cè)面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式，重點(diǎn)是先求出圓柱

的底面半徑。

3.【答案】48.984平方分米；56.52平方分米。

【分析】求鋁皮的面積，就是求這個圓柱的側(cè)面積，根據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面周長X高，列式計(jì)算。

求羊皮的面積，就是求這個圓柱兩個底面積之和，根據(jù)圓的面積公式：S=irr2,列式計(jì)算。

【解答】解：6X3.14X2.6

=18.84X2.6

48.984（平方分米）

3.14X(64-2)2X2

=3.14X9X2

=28.26X2

=56.52(平方分米)

答：做一個這樣的隊(duì)鼓至少需要鋁皮48.984平方分米，羊皮56.52平方分米。

【點(diǎn)評】本題解題關(guān)鍵是熟練掌握圓柱的側(cè)面積與底面積的計(jì)算方法。

練習(xí)3：

1.【答案】2厘米。

【分析】根據(jù)題意可知，把圓錐形鐵塊從圓柱形玻璃容器中取出后，水面下降的高等于圓錐的體積除以

圓柱的底面積。根據(jù)圓錐的體積公式：1工九心團(tuán)圓的面積公式：5=僦2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

【解答】解：iX3.14X(104-2)2X64-[3.14X(104-2)2]

3

=三X3.14X25X64-[3.14X25]

3

=1574-78.5

=2(厘米)

答：容器中水面高度將下降2厘米。

【點(diǎn)評】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，圓的面積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。

2.【答案】942立方厘米。

【分析】分析題意，水面上升部分是圓柱體，它的底面直徑是20厘米，高是3厘米，并且水面上升部分

的體積就是鋼球的體積。據(jù)此，根據(jù)圓柱的體積公式：V=^fih,把數(shù)據(jù)代入公式求出鋼球體積。

【解答】解：3.14X(204-2)2X3

=3.14X100X3

=314X3

=942(立方厘米)

答：這個鋼球的體積是942立方厘米。

【點(diǎn)評】此題考查了不規(guī)則物體的體積計(jì)算，可以轉(zhuǎn)換成圓柱體積進(jìn)行計(jì)算，圓柱的體積=底面積X高。

3.【答案】157cm3。

【分析】根據(jù)題意可知，取出石頭后，下降的水的體積就是石頭的體積，先求出圓柱的底面半徑，然后

用圓柱的底面積X下降的水位高度=下降的水的體積，也是石頭的體積，據(jù)此列式解答。

【解答】解：10+2=5(cm)

3.14X52X(9.5-7.5)

=3.14X5?X2

=3.14X25X2

=78.5X2

=157(?！?)

答：這塊石頭的體積是157°"3。

【點(diǎn)評】本題考查了圓柱的