專題5.7特殊平行四邊形章末重難點突破

【浙教版】

【考點1利用四邊形性質(zhì)求線段長度】

【例1】（張店區(qū)期末）如圖，在正方形ABC。中，AB=2^1.E,尸分別為邊A8,BC的中點，連接AF,

DE,同N,M分別為AROE的中點，連接MN,則MN的長為（）

A.苧B.1D.2

【分析】連接AM,延長AM交CD于G,連接FG,由正方形ABCD推出AB=C￡）=BC=2。，AB〃CZ）,

ZC=90°,證得△AKI修GZMf,得到AM^MG,AE=DG=^AB,根據(jù)三角形中位線定理得到MN=^FG,

由勾股定理求出FG即可得到MN.

【解答】解：連接AM,延長AM交CO于G,連接FG,

?..四邊形ABCO是正方形，

：.AB=CD=BC=2^2,AB//CD,ZC=90°,

NAEM=ZGDM,ZEAM=NDGM,

為OE的中點，

：.ME=MD,

在△AEM和GDM中，

=皿M

ME=MD

:.叢AEM學AGDM(AAS),

：.AM^MG,AE=DG=|AB=gcD,

：.CG=|CD=、2

?.?點N為AF的中點,

：.MN=~FG,

?.?尸為8c的中點，

CF=；BC=g,

.,.FG=?CF，+3=2,

:.MN=1,

故選：B.

【變式1-1］（越城區(qū)期末）如圖，邊長為10的菱形A3CZ）,E是的中點，。是對角線的交點，矩形

OEFG的一邊在AB上，且跖=4,則BG的長為（）

A.3B.2C.0D.1

【分析】由菱形的性質(zhì)得到B￡），AC,AB=AD=IO,由直角三角形的性質(zhì)可求OE=AE="。=5,由矩

形的性質(zhì)可求得FG=0E=5,根據(jù)勾股定理得到A/=3,即可求解.

【解答】解：：四邊形ABC。是菱形，

：.BDLAC,AB=AD=10,

：.ZAOD=90°,

是A￡＞的中點，

OE=AE=）=5；

.四邊形OEFG是矩形，

：.FG=OE=5,

VAE=5,EF=4,

???AF==g-16=3,

：.BG=AB-AF-FG=IO-3-5=2,

故選：B.

【變式1-2］（岳西縣期末）如圖，四邊形A8CZ）是矩形，點E在線段C8的延長線上，連接QE交48于

點RNAED=2/CED,點G是。尸的中點，若BE=1,CD=3,則。下的長為（）

D.2、南

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和點G是。尸的中點，可得AG=Z）G=GR由勾股定理列式求出4E,根據(jù)三

角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出NAGE=/Ar）G+NZMG=2NADG,然后求出

ZAED=AAGE,根據(jù)等角對等邊可得AE=AG,進而得出DP的長.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

/.ZDAF=90°,

???點G是是F的中點,

：.AG=DG=GF,

：.ZGAD+ZGDA,

在△ADG中，ZAG￡=ZADG+ZDAG^2ZADG,

又：ZAED=2ZCED,

：.ZAED=AAGE,

：.AE^AG,

VBE=1,CD=AB=3,

在RtzXAEB中，由勾股定理得，

AE==U1二二H，

：.AG=何，

2Vm.

故選：D.

【變式1-3】（河池）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點E,尸分別在CD,AC上，BFLEF,CE=1,

則AF的長是（）

刁S

A.2V2B.--^2C.-D.—5

234h

【分析】由于即tLER所以過廠作AB的垂線交A3于N,交C。于M,證明△〃//￡t安△NBF,設ME

=x,利用MN=4列出方程，即可求解.

【解答】解：過尸作的垂線交于N,交CD于如圖，

?.?ABC。是正方形，

：.NABC=NBCD=/BNM=90°,AB=BC=CD=4,

四邊形CMNB為矩形,

:.MN=BC=4,CM=BN,

■:BF工EF,

：.ZEFB=ZFNB=9Q°,

J/FBN+/NFB=/NFB+/EFM,

：.ZFBN=/EFM,

???四邊形A5C。是正方形，

AZACD=45°,

AZMFC=ZMCF=45°,

：?MF=MC=NB,

在AMEF與ANFB中,

WF=NB

:AMFEQ叢NBF(AAS),

:?ME=FN,

設ME=FN=x,則MC=MF=BN=1+x,

■:MN=MF+FN=4,

/.l+x+x=4,

,??尤Y=23，

-.FN=l，

,四邊形ABCD為正方形，MNLAB,

：.ZNAF=ZNFA=45°,

：.FN=AN,

+熱用;=QFN=蜉，

故選：B.

【考點2利用四邊形性質(zhì)求角的度數(shù)】

【例2］（靖宇縣期末）如圖，在正方形A2CD的外側(cè)，以為邊作等邊三角形ADE,連接BE,交正方

形的對角線AC于點孔連接。凡則/CF。的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)SAS證明aBC尸與△DCP全等，利用正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和

定理解答即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，

：.BC=CD,ZBCF=ZDCF=45°,

在△BCV與△DCF中,

.?.△BCF咨4DCF(SAS),

：.ZBFC=ZDFC,

在正方形ABCD中，以為邊作等邊三角形ADE,

：.AE=AD=DE=AB,

；.NABE=NAEB=g(180°-90°-60°)=15°,

:.NFBC=90°-15°=75°,

VZACB=45°,

：.ZBFC=l80°-75°-45°=60°,

ZDFC=60°,

故選：C.

【變式2-1］（九龍坡區(qū)期末）如圖，矩形ABC。中，點G是的中點，GELBG交CD于點、E,CB=CE,

連接CG交BE于點尸，則/ECF的度數(shù)為（）

【分析】取2E的中點O,連接。G,OC,則OG為四邊形的中位線，可得AB〃OG〃OE,進而

求得/OGC=NECE根據(jù)直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半可證明OG=OC得到/OGC=/

OCG,,進而得到/OCG=NECF=1/OCE.

【解答】解：取BE的中點O,連接OG,OC,

?：O,G為中點,

OG為四邊形ADEB的中位線，

.".AB//OG//DE,

：.ZOGC=ZECF,

"：CE=BC,ZBCE=90°,

J△BCE是等腰直角三角形，

：.ZCBE=ZBEC=45°,

VZBCE=90°,。為BE的中點，

OC=OE=LBE,

2

：.ZOCE=ZOEC=45°,

VGE1BG,。為BE的中點，

JOG=±BE,

：.OG=OC,

：?N0GC=/0CG,

；./OCG=NEC尸=2NOCE=22.5。，

【變式2-2](靈山縣期末)如圖，在正方形ABC。中，E,尸分別是BC,CD上的點，連接AE,EF,AF,

若DF+BE=EF,則ZEAF的度數(shù)為.

【分析】延長C2到G,使BG=DF,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NO=NA2E=90°,求得/ABG

=NQ=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=ARZGAB=ZDAF,求得GE=EF,推出△AGEqA

AFE(SSS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/GAE=/E4F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：延長CB到G,使BG=DF,

?..四邊形ABC。是正方形，

J.AD^AB,ZD=ZABE^9Q°,

ZABG=ZD=90°,

在△AOF與AASG中，

AB=AD

/iABG=zD，

血=DF

/.AADF^AABG(SAS),

：.AG=AF9/GAB=NDAF,

■:DF+BE=EF,EG=B/BE=DF+BE,

：?GE=EF,

在aAGE與△AbE中,

(AG-AF

4E=AE，

IGf=EF

/.AAGE^AAFE(SSS)，

：.ZGAE=ZEAFf

：.ZGAE=ZGAB-^-ZBAE=ZDAF+ZBAE=/EAF,

'：ZBAD=90°,

：.ZEAF=45°，

ZA=60°,E為AO邊上的一個動點，連接3E,將

AB沿著BE折疊得到A5,A的對應點為A,連接4D,當A'時，NAOE的度數(shù)為.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得A3=4O,可證△A3。是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得A8垂直平

分AD,ZABA'=30°,由折疊的性質(zhì)可得A5=A8,可得NA4A=75°,即可求解.

【解答】解：如圖，連接AA,BD,

B

???四邊形ABC。是菱形，

：.AB^AD,

VZA=60°,

：.AABD是等邊三角形，

VA'BXAZ),

???A5垂直平分AD乙45A=30°,

：.AA'=A'D,

：.ZA'AD=ZA'DAf

*/將AB沿著BE折疊得到A3,

：.AB=A'B,

：.ZBAA'=75°,

AZA'AD=ZA'DA=15°,

故答案為：15°.

【考點3利用四邊形性質(zhì)求面積】

【例3】(沙坪壩區(qū)校級期末)如圖，在菱形ABC7)中，對角線8。、AC交于點O,AC=6,BD=4,ZCBE

是菱形ABC。的外角，點G是N3CE的角平分線8尸上任意一點，連接AG、CG,則△AGC的面積等于

D.無法確定

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC_L&),30=00=2,ZCAB=iZZ)AB,AD//BC,由平行線的性質(zhì)和角

平分線的性質(zhì)可得NCAB=NGB￡,可證AC〃BG,可得SAABC=SZXAGC,即可求解.

【解答】解：：四邊形4BC。是菱形，

：.AC±BD,BO=DO=2,ZCAB=^ZDAB,AD//BC,

：.ZDAB=ZCBE,

,:BG平分NCBE,

ZGBE=IZCBE,

2

:./CAB=NGBE,

：.AC//BG,

：.S^ABC=S^AGC=.\KACXBO-AX6X2=6,

故選:A.

【變式3-1】（西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD中，/。=60°.點E、尸分別在邊8C、C。上，且

BE=CF.若所=4,則△AEF的面積為（）

A.。B.2HC.3GD.

【分析】證△ABC、△AOC都是等邊三角形，得AB=AC,ZBAC=ZACF=60°,再證△ABEgZxACF

(SAS),得AE=ARZBAE=ZCAF,然后證尸是等邊三角形，即可解決問題.

【解答】解：：四邊形是菱形，

：.AB=BC,AD=DC,ZB=ZD=60°,

.,.△ABC、△ADC都是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZACF=60°,

：.ZB=ZACF,

在△ABE和△ACF中，

AB-AC

Z-B=Z-ACF>

VBE=CF

AABE^AACF(SAS),

：.AE=AF,ZBAE=ZCAF,

：.ZCAE+ZCAF=ZCAE+ZBAE=ZBAC=60°,

即NEAF=60°,

.?.△AE尸是等邊三角形，

：.AE=EF^4,

過點A作AHLE尸于X,如圖所示：

則EH=FH=；EF=2,

在RtZXAEH中，由勾股定理得：AH=、厲產(chǎn)7市5冢二W=2/，

?*.SAAE^^EF-AH=14X2b=4y/3，

【變式3-2】（淮陽區(qū)校級期末）王老師把兩張長為9,寬為3的矩形紙條按如圖所示的形狀交叉疊放在一

起,根據(jù)所學的知識,我們可以判定重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是菱形.則隨著紙條的轉(zhuǎn)動,菱形ABCD

的面積的最大值與最小值的和為（）

A.22B.24C.26D.28

【分析】由題意可得，AB//CD,AD//BC,所以四邊形ABCD時平行四邊形，所以/A￡）C=NABC,分

另U過A作AEJ_CO于E,AFLBC^-F,則AE=A尸=3,可以證明ZkAOE絲/XABF,得至I]所以

口ABCZ）是菱形，菱形ABC。的面積為3AD,當AZ）取最小值時，AD±BC,所以AD=3,面積的最小值

為9,當旋轉(zhuǎn)至如圖位置時，AO取得最大值，設AO=x,在直角△AOM中，利用勾股定理列方程，即

可求解.

【解答】解：分別過A作AELCD于E,AfUBC于R

AZAED=ZAFB=90°,

由題意可得，AB//CD,AD//BC,AE=AF=3,

四邊形ABCD是平行四邊形，

NADE=ZABF,

在△ADE與△ABB中,

(zADE—zABF

l^AED=￡AFB>

(AE=AF

.'.△ADE注AABF(AAS),

：.AD=AF,

...□ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

；.S菱形ABCD=C￡)?AE=3CZ>=3AD,

當A。越小時，3A。越小，菱形48CD的面積越小，

.?.ADLCD時，AD取最小值3,菱形的面積最小值為9,

當越大時，34。越大，菱形ABC。的面積越大，

旋轉(zhuǎn)如圖位置時，此時4。取最大值，

設AD^AC^x,則AM=9-AC=9-x,

在RtZiADM中，DM1+AM1=AD1,

32+(9-x)2=x2,

??x=5,

.\AD=x=5,

??S菱形ABCD=3AD=15,

此時菱形ABC。的面積取得最大值為15,

.*.9+15=24,

故選：B.

【變式3-3】（靈石縣期末）如圖，正方形A2B2C2D2,A323c3。3、A424c4。4的邊長分別為2、4、

6、4,四個正方形按照如圖所示的方式擺放，點A2、A3、A4分別位于正方形481C1O1、A282c2。2、4383c3。3

對角線的交點，則陰影部分的面積和為（）

C.14D.18

【分析】如圖，因為四邊形AiBiCiOi,A282c2。2是正方形，所以可以得到四邊形A2MC1N是對角互補

的四邊形，過A2作BiCi,C1D1的垂線，垂足分別為E,F,先證△A2EMq△A2FM從而推得四邊形A2MC1N

的面積為正方形ALBIGDI面積的四分之一，同樣的方法，求得另外兩個陰影部分面積，即可解決.

【解答】解：設正方形AIBICLDI、A2B2C2D2,4323c3。3中的面積分別為Si,S2,S3,

如圖，設4232與21cl交于點M,42。2與C1D1交于點N,

G過42分別作AiELBxCx于E,A2F±CIDI于F,

連接A2C1,AA2B1,

.四邊形ALBI&DI是正方形，42是對角線的交點，

2cl平分N31C1O1,且△A2B1CI是等腰直角三角形，

VA2￡±B1CI,A2FI.C1D1,

'.AiE=AiF=1SjC-

,/ZA2EC1=ZBiCiDi=ZA2FC1=900,

四邊形A2EC1F為正方形，

??GE=^E

四邊形4222c2。是正方形,

；.NB2A2D2=/EA2F=90°,

：.ZEA2M=AFAIN,

在△A2EM與△A2/W中，

\AIE=AIF

IZL|,M=￡FAJN

：./\A2EM^/\A2FN(ASA),

?，,&=卬*?+%MEfaN^>=

??&=C尸=@尻3工=打33m=L

同理，SN=：S=±$&=：SwM3g=9'

；.陰影部分的面積和為：1+4+9=13,

故選：C.

【考點4利用四邊形性質(zhì)求周長】

【例4】（巴南區(qū)期中）如圖，點E、尸分別在正方形ABCD的邊C。、AD上，且EF垂直于BE,若AB=

8,BE=W,則△/）￡1尸的周長為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】連接BF,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CD=AO=BC=AB=8,ZC=ZD=ZA=90°,根據(jù)勾股定

理可得CE=6,設AF=x,則DF=AD-AF=8-x,根據(jù)EF1=BF1-BE1=DF1+DE1,列出82+7-102

=（8-尤）2+22,解得x的值，進而可得△￡）斯的周長.

【解答】解：如圖，連接

?..四邊形ABCO是正方形，

：.CD=AD=BC=AB=8,ZC=ZD=ZA=9O°,

,；BE=1Q,

CE-^BE2-BC2=6,

:.DE=CD-CE=8-6=2,

AF=x,貝/=AO-A/=8-x,

BF1^AB2+AF2=82+X2,EF1=BF2-BE2=DF2+DE2,

.\82+?-102=(8-x)2+22,

解得H號，

：.DF^S-x=

??在"(1)3+2*之率

則△￡)￡1/的周長=DE+￡)F+E尸=2+2+多=6.

故選：B.

【變式4-1］（新蔡縣期末）如圖，矩形ABC。的周長為20%AC交8。于點。，過點。作AC的垂線EF,

分別交A。、BC于點、E、F,連結(jié)CE,則△CDE的周長為（）cm.

A.6B.8C.10D.12

【分析】由矩形的性質(zhì)得出Ar>+DC=10c“z,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CE=CR由ASA證明△ODE

QXOBF,得出。E=BF,△?）￡1的周長=OE+CE+￡）C=BC+OC,即可得出結(jié)果.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，

：.AB=DC,BC=AD,OA=OC=OB=OD,AD//BC,

：.ZEDO=ZFBO,

:矩形ABC。的周長為20a”,

.\BC+DC=10cm,

VEFXAC,

:?CE=CF,

在△ODE和aOB/中，

[z￡DO=zTBO

\OD-OB

lzUOff=ZlM?F

:?△ODEWXOBF(ASA),

:?DE=BF,

：.ACDE的周長=0E+CE+DC=3/+C/+DC=5C+DC=10cm.

故選：C.

【變式4-2】（錦江區(qū)期末）如圖，菱形ABC。的邊長A3=3,對角線8D=4V：,點E,尸在8。上，且BE

=DF=Q,連接AE,AF,CE,CF.則四邊形AECT的周長為.

【分析】連接AC,交8。于0,依據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到AC,8。，依據(jù)勾股定理即可得到AE,CE,

CF,AF的長，進而得出四邊形AECF的周長.

【解答】解：如圖，連接AC,交8。于0,

.四邊形是菱形，

J.ACLBD,BO=14-v5=方號，

在RtAABO中，AO-京一EG■132T2@Q1，

又?；BE=、Z

E0=2通一&=△,

在Rt^AOE中，AE-三。1+4。/=JcM尸+G=

同理可得，CE=CF=AF=U，

，四邊形AECF的周長4Vm.

故答案為：4、？.

【變式4-3】（香洲區(qū)校級三模）有兩個全等矩形紙條，長與寬分別為10和6,按如圖所示的方式交叉疊放

在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形8GQ”的周長為.

【分析】由題意得出/A=90°,AB=BE=6,AD//BC,BF//DE,AD=10,再證四邊形BGDH是菱形,

得BH=DH=DG=BG,設BH=DH=x,則AH=10-x,然后在RtAAB//中，由勾股定理得出方程，

解方程求出8G,即可求解.

【解答】解：由題意得：矩形ABCDg矩形8￡￡）尸，

AZA=90°,AB=BE=6,AD//BC,BF//DE,A￡>=10,

四邊形BGLW是平行四邊形,

，平行四邊形BGDH的面積=BGXAB=BHXBE,

：.BG=BH,

...四邊形8GOH是菱形，

:.BH=DH=DG=BG,

設BH=DH=x,則A8=10-x,

在RtZXABH中，由勾股定理得：6?+（10-尤）2=/,

解得：』茅

四邊形BGDH的周長=48"=號，

故答案為：-

S

【考點5四邊形判定的條件】

【例5】（長豐縣二模）四邊形ABC。的對角線AC、8。相交于點O,從以下四個條件：①OA=OC,OB

=OD；?AB//CD,AD=BC；?AB=BC；④A8_LBC中選兩個，能推出四邊形A8CD是矩形的是（）

A.①②B.②③C.①④D.①③

【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：'：OA=OC,OB=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

再由AB〃C。，AD=BC無法判斷四邊形4BCD是矩形，故選項A不符合題意；

B、由②CD,AD=BC-,③AB=BC無法判斷四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；

C'：OA^OC,OB=OD,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

'：AB±BC,

：.ZABC=90°,

???平行四邊形ABCD是矩形，故選項C符合題意；

D、'：OA=OC,OB=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又〈AB=BC,

平行四邊形ABC。是菱形，故選項。不符合題意；

故選：c.

【變式5-1】（通州區(qū)二模）如圖，四邊形ABC。中，E,尸分別是邊A。，BC的中點，G,以分別是對角

線BD,AC的中點，若四邊形EGF”為矩形，則四邊形ABC。需滿足的條件是（）

A.AC=BDB.AC±BDC.AB=DCD.AB1DC

【分析】先由三角形中位線定理證四邊形EG尸H是平行四邊形，再證/G/7/=90°,即可得出結(jié)論.

【解答】解：若四邊形EGM為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是A8LDC,理由如下：

,:E,G分別是A。，的中點，

EG是的中位線，

：.EG=\AB,EG//AB,

同理，F(xiàn)H-\AB,FH//AB,GF//DC,

：.EG=FH,EG//FH,

...四邊形EGFH是平行四邊形，

'：AB±DC,GF//DC,FH//AB,

：.GF±FH,

：.ZGFH=90°,

平行四邊形EG尸H是矩形，

故選：D.

【變式5-2］（長安區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB^AD,BC=DC,AC,BD交于點0.添加一個

條件使這個四邊形成為一種特殊的平行四邊形，則以下說法錯誤的是（）

A.添加“A8〃C。"，則四邊形ABC。是菱形

B.添加“/A4D=90°,則四邊形ABC。是矩形

C.添加“OA=OC"，則四邊形ABCZ)是菱形

D.添加“NA8C=/BCD=90°”，則四邊形ABC。是正方形

【分析】根據(jù)A8=AZ),BC=DC,可以得到AC垂直平分2D,然后再根據(jù)各個選項中的條件，可以判

斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題.

【解答】?：'：AB=AD,BC=DC,

；.AC垂直平分2。，

當添加：，則

NBDC=ZDBC,

：.ZABO=ZCBO,

又,：BO=BO,ZBOA=ZBOC,

：./\ABO^/\BOC(ASA),

：.BA=BC,

：.AB=BC=CD=DA,

四邊形ABCD是菱形，故選項A不符合題意；

當添加“/54。=90°,無法證明四邊形ABCO是矩形，故選項8符合題意；

當添加條件“OA=OC”時，

：08=00,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又；ACLBD,

四邊形ABC。是菱形，故選項C不符合題意；

當添加條件“NABC=/2CD=90°”時，

貝!］乙4g+/88=180°,

J.AB//CD,

由證選項A可知四邊形ABC。是菱形，

VZABC=90°,

四邊形ABCO是正方形，故選項D不符合題意；

故選：B.

【變式5-3］（石獅市期末）如圖，在口A8CD中，對角線AC與8。相交于點0,對于下列條件：①N1+

Z3=90°；@BC2+C￡）2=AC2；③Nl=/2；@AC±BD.能判定四邊形ABC。是矩形的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由矩形的判定、菱形的判定分別對各個條件進行判斷即可.

【解答】解：?VZ1+Z3=9O°,

A90°,

.?.□ABC。是矩形，故①正確；

②：四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB^CD,

'：BC1+Cb1=AC2,

：.BC2+AB2=AC2,

：.ZABC=90°,

.?.□ABCO是矩形，故②正確；

③丁四邊形ABC。是平行四邊形，

OA=OC=\AC,OB=OD=\BD,

VZ1=Z2,

：.OA=OB,

：.AC=BD,

.?.□ABCD是矩形，故③正確；

④：四邊形48co是平行四邊形，AC±BD,

...□ABC。是菱形，故④錯誤；

能判定四邊形ABCD是矩形的個數(shù)有3個，

故選：C.

【考點6四邊形判定的證明】

【例6】(利川市期末)如圖，在等腰AABC中，。是底邊8c上異于C點的任意一點，AN是△ABC的外

角/CAM的平分線，CE〃AD交AN于E.

(1)求證：四邊形AOCE是平行四邊形；

(2)將題中“O是底邊BC上異于C點的任意一點”改為“。是底邊8c上的中點”，則四邊形AOCE

是什么四邊形？為什么？

(3)在(2)中，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AOCE是正方形？并證明.

【分析】⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)得到NMAC=/B+/ACB=2/ACB,根據(jù)角平分線

的定義得到NMAC=2NW4C,求得NM4C=NACB,由平行線的判定定理得到AN〃BC,于是得到結(jié)論;

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到4OLBC,求得NAQC=90。，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AOLBC,AD=CD,由正方形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???△ABC是等腰三角形，

ZMAC=ZB+ZACB=2ZACB,

是AABC的外角NCW的平分線，

：.ZMAC=2ZNAC,

：.NNAC=ZACB,

：.AN//BC,

"：CE//AD,

四邊形ADCE是平行四邊形；

(2)解:四邊形ADCE是矩形，

理由：：是底邊BC上的中點，

C.ADLBC,

：.ZADC=90°,

.”AOCE是矩形；

(3)解：當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ADCE是正方形,

證明：???△ABC是等腰直角三角形,

J.AD1BC,AD=CD,

四邊形ADCE是平行四邊形，

.?.□AOCE是正方形.

【變式6-1】(廈門期末)在口ABC。中，對角線AC、BD交于點O,E是邊2C延長線上的動點，過點E

作EFLBD于F,且與CD、AD分別交于點G、H,連接0H.

(1)如圖，ACLAB,OF=OC,求證：FG=CG；

(2)若在點E運動的過程中，存在四邊形0CG8是菱形的情形，試探究口的邊和角需要滿足的條

件.

【分析】(1)連接OG,UERtAOFG^RtAOCG(HL),即可得出FG=CG；

(2)證口42co是菱形，CD=AD,OA=OC,再證△AC。是等邊三角形，得NADC=60°即可.

【解答】(1)證明：連接0G,如圖1所示：

四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,

'JACLAB,

：.AC±CD,

：.ZOCG=90°,

'CEFLBD,

：.ZOFG=90°,

在RtAOFG和RtAOCG中，

iOG=0G

SF=OC'

：.RtAOFG^RtAOCG(HL),

：.FG=CG；

(2)解:如圖2所示：

若四邊形0CG8是菱形，

貝|OH=OC,OH//CG,OC//GH,

?；EF±BD,

：.ACLBD,

???□A3C。是菱形，

：.CD=AD,OA=OC,

：.OA=OH,

；?NOAH=NOHA,

U

：OH//CG9

：.ZOHA=ZADC,

??S=A。，

：.ZCAD=ZDCA,

：.ZCAD=ZADC=ZDCA,

???△AC。是等邊三角形，

AZADC=60°,

即要使四邊形OCG”是菱形，口A8CD的邊和角需要滿足的條件是：CD=AD,ZADC=60°.

【變式6-2】(渦陽縣期末)如圖，在平行四邊形ABC。中，G,"分別是AO,BC的中點，E,O,b分別

是對角線上的四等分點，順次連接G,E,H,F.

(1)求證：四邊形GE5是平行四邊形.

(2)當平行四邊形A3CQ滿足什么條件時，四邊形GE族是菱形？請說明理由.

(3)若50=2AB探究四邊形GEH尸的形狀，并說明理由.

G

D

//

BHC

【分析】(1)連接AC,由三角形中位線定理可得G/〃。4,GF=\OA,EH//OC,EH=\OC,可得EH

//GF,EH=GF,可得結(jié)論；

(2)先證四邊形ABHG是平行四邊形，可得AB〃GH,可得可得結(jié)論；

(3)由平行四邊形的性質(zhì)可得A2=G#=所，可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)如圖1,連接AC,

圖1

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD.

，：E,O,尸分別是對角線8。上的四等分點，

：.E,尸分別為08,0。的中點,

是A￡＞的中點，

:.GF為4A0D的中位線，

J.GF//OA,GF=10A,

2

同理即〃0C,EH=1OC,

J.EH//GF,EH=GF,

...四邊形GEHF是平行四邊形；

(2)當口ABC。滿足AB_LB。時，四邊形GEHF是菱形.理由如下:

如圖2,連接AC,GH,

?..四邊形ABC。是平行四邊形，G,“分別是A￡>,BC的中點，

：.AG=BH,AG//BH,

...四邊形ABHG是平行四邊形，

.,.AB//GH,

\'AB±BD,

：.GH.LBD,BPGHA.EF,

又,:四邊形GE/m是平行四邊形，

四邊形GEH尸是菱形.

（3）四邊形GEH尸是矩形.

理由如下：如圖2,由（2）得，四邊形A2HG是平行四邊形，

：.GH=AB,

'：BD=2AB,

：.AB=}BD=EF,

：.GH=EF,

四邊形GEHP是矩形.

【變式6-3］（即墨區(qū)期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,過點C的直線A/N〃A8,。為AB邊上

一點，過點。作。垂足為尸，交直線于E,連接CO,BE.

（1）求證：CE=AD；

（2）當。為A8中點時，四邊形8EC。是什么特殊四邊形？說明你的理由；

（3）在滿足（2）的條件下，當△A8C滿足什么條件時，四邊形8EC。是正方形？（不必說明理由）

【分析】（1）先求出四邊形AOEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可;

（2）求出四邊形BEC。是平行四邊形，求出根據(jù)菱形的判定推出即可；

（3）當NA=45°,四邊形8ECO是正方形.

【解答】（1）證明：

：.ZDFB=90°,

VZACB=90°,

：.ZACB=ZDFB,

：.AC//DE,

\'MN//AB,即CE//AD,

四邊形ADEC是平行四邊形，

CE=AD；

（2）解:四邊形BECD是菱形，

理由是：???。為AB中點，

:.AD=BD,

CE=AD,

：.BD=CE,

,JBD//CE,

四邊形BECD是平行四邊形，

VZACB=90°,。為AB中點，

CD=BD,

：.四邊形BECD是菱形；

（3）解:當/A=45°時，四邊形BECO是正方形，

理由：VZACB=90°,

/.ZABC=45°,

由（2）可知，四邊形8ECD是菱形，

AZABC=ZCBE=45°,

/.ZDBE=90°,

四邊形8EC。是正方形.

【考點7四邊形中的多結(jié)論問題】

【例7】（佳木斯模擬）如圖，矩形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，4。=入3，ZCOB=60°,

BFLAC,交AC于點M,交CD于點F,延長FO交AB于點E,則下列結(jié)論：?FO=FC-,②四邊形EBFD

是菱形；③四④MB=3.其中結(jié)論正確的序號是（）

A.②③④B.①②③C.①④D.①②③④

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出△08。是等邊三角形，進而判斷①正確;

根據(jù)ASA證明△AOE與△CO77全等，進而判斷②正確；

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可.

【解答】解：???四邊形A3C0是矩形，

：.AC=BD,

：.OA=OC=OD=OB,

u：ZCOB=60°,

：.AOBC是等邊三角形，

：,OB=BC=OC,ZOBC=60°,

VBF±AC,

：.OM=MC,

???FM是OC的垂直平分線，

：.FO=FC,故①正確；

VOB=CB,FO=FC,FB=FB,

:?△OBFmACBFCSSS),

；?/F0B=/FCB=9U°,

TN03。=60°,

/.ZABO=30°,

：.ZOBM=ZCBM=30°,

???ZABO=ZOBF,

9

：AB//CD9

：?/OCF=/OAE,

\'OA=OC,ZAOE=ZFOC,

...△AOE之△COF（ASA）,

：.OE=OF,

'COBLEF,

四邊形EBFD是菱形，故②正確；

,/△OBE沿△OBFm△CBF,

.?.③正確；

"：BC=AD=2y,f3,FMLOC,ZCBM=30°,

：.BM=3,故④正確；

故選：D.

【變式7-1】（沙依巴克區(qū)期末）如圖，已知在正方形A8CZ）中，對角線AC與2。相交于點O,AE,DF

分別是/OA。與/OOC的角平分線，AE的延長線與。/相交于點G,則下列結(jié)論：?AG±DF；②EF

//AB；?AB=AF；@AB=2EF.其中正確的有（）個.

D

BC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①證明NZME=NCDR進而得NZM尸+NAZ）G=90°,便可判斷①的正誤；

②證明△AGF四/XAG。（ASA）,得AG垂直平分。R得ED=EF,得NEFD=NEDF=NCDF,得EF

//CD,便可判斷②的正誤；

③由△AGFgZVIG。得AF=A。，便可判斷③的正誤；

④證明EF=ED=G，由平行于三角形一邊的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例

便可得與所的數(shù)量關系，進而判斷④的正誤.

【解答】解：①：四邊形A8CD是正方形，

：.ZCAD=ZBDC=45°,

'：AE,。歹分別是N04D與/ODC的平分線，

ZDAE=/CDF,

VZADF+ZCDF=90°,

：.ZDAF+ZADG=90°,

/.ZAGD=90°,BPAG±DF,

故①結(jié)論正確；

②在△AGF和△AG。中，

(￡￡AF=z￡AD

"F=3D=90*，

VAG=AG

：./\AGF^/\AGD(ASA),

：.GF=GD,

■:AG上DF,

：.EF=ED,

：.NEFD=ZEDF=ZCDF,

C.EF//CD//AB,

故②正確；

@VAAGf^AAGD(ASA),

：.AD=AF=AB,

故③正確；

@'：EF//CD,

：.ZOEF=ZODC=45°,

'：ZCOD=90a,

:.EF=ED=COE,

.Ef0￡OBr-

??—1=1~■——=-------=\：=J1>

￡POD(V2+1)C7E

：.AB^CD=(〃+1)EF,

故④錯誤.

故選：C.

【變式7-2](來鳳縣期末)如圖，正方形ABC。中，點E在邊AD上，點尸在邊C。上，若/BEF=NEBC,

A8=3AE,則下歹!]結(jié)論：?DF=FC；?AE+DF=EF-,③NBFE=NBFC；?ZABE+ZCBF=45°；⑤

ZDEF+ZCBF=ZBFC；?DF：DE：EF=3：4：5.其中結(jié)論正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.6B.5C.4D.3

【分析】如圖，過點5作/于H.利用角平分線的性質(zhì)定理證明E4=BH,再利用HL證明Rt4

ABE^RtAHBE(HL),RtABFH^RtABFC(HL),利用全等三角形的性質(zhì)，——判斷即可得出③④

⑤正確，設AE=〃.則A3=5C=CO=A0=3〃，DE=2a,設。尸=x,貝!］。/=3。-羽利用勾股定理求

出％即可判斷①②⑥正確.

【解答】解：如圖，過點B作BHLEF于H.

???四邊形ABC0是正方形，

???NA=NC=ND=NA3C=90°,AB=AD=CD=BC,AD//CB,

：./AEB=/EBC,

?:/FEB=/EBC,

：./AEB=/BEF,

VBAXAE,BH2EF,

；?AB=BH=BC,

VZA=ZBHE=ZBHF=ZC=90°,BE=BE,BF=BF,

?-BEmRtAHBE(HL),RtABFH^RtABFC(HL),

:?AE=EH,FH=CF,NBFE=NBFC,故③正確，

JAE+CF=EH+HF=EF,

:?NABE=NHBE,/FBH=/FBC,

AZABE+ZCBF=45°,故④正確，

?：/DEF+NAES180°,ZAEH+ZABH=180°,

???ZDEF=/ABH,

：.ZDEF+ZFBC=/ABH+/FBH=ZABF,

9

：AB//CDf

：.ZABF=/BFC,

ZDEF+ZCBF=ZBFC,故⑤正確,

\'AB=3AE,

可以假設AE=a,則A8=AO=CO=3mDE=2a,設。/=尤，貝!]FH=CF=3a-尤，EF=a+3a-x=4a

'：EF2=DE2+DF2,

(4a-x)2=(2a)

解得x=

：.DF=CF,故①正確，

：.AE+DF=EF,故②正確,

35

-

2「,DE=2a,EF=2

：.DFtDE：EF=3：4：5,故⑥正確.

故選：A.

【變式7-3］（澄海區(qū)期末）如圖，分別以直角△A8C的斜邊AB,直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△A3。

和等邊△ACE,尸為的中點，OE與交于點G,EF與AC交于點H,ZACB=9Q°,ZBAC=30°,

給出如下結(jié)論:

@EF1AC；②四邊形ADFE為菱形;

@AD=4AG；?4FH=BD；其中正確結(jié)論的是（）

C.①③④D.②③④

則ZAEF=ABAC,得出EFLAC,易證FH>AABC的中位線,

得出FH=^BC,再由BC=^AB,AB=BD,推出BD=4FH,由等邊三角形的性質(zhì)得出NBO尸=30°,

22

然后由A4S證得△08/名△ER1,則AE=r>E證出四邊形AOEE為平行四邊形，最后由平行四邊形的

性質(zhì)得出AD=4AG,從而得到答案.

【解答】解：：△ACE是等邊三角形，

AZEAC=60°,AE=AC,

;NA4c=30°,

：.ZEAF=ZACB=90°,AB=2BC,

?.?/為AB的中點，

：.AB=2AF,

：.BC=AF,

在△ABC和△項弘中，

(AC=AE

\zACB=^JEAF'

<BC=FA

：.(SAS),

：.FE=AB,/AEF=/BAC=30°,

AZAH￡=180°-ZEAC-ZA￡F=180°-60°-30°=90°,

：.EF±AC,故①