第05講圓的基本概念和性質(zhì)

蚓內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

匕教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

R-思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

穩(wěn)提升〈小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

s知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和性質(zhì)

圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)長(zhǎng)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形

成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段OA叫做半徑。

圓的表示方法：以0點(diǎn)為圓心的圓記作。0,讀作圓0。

圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。

備注：圓心確定圓的位置，半徑度確定圓的大小。

【補(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓。

圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；

2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

3）

S知識(shí)點(diǎn)2圓的有關(guān)概念

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（例如：右圖中的AB）。;?

直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。

備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作如，讀作圓弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

能知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)◎。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心0的距離為d,則有：

d<ro點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=r。點(diǎn)P在。0上；

d>ro點(diǎn)P在。0外。

8練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01

解題方法

如圖，在RtAABC中，NC=90°,AC=4,

B①勾股定理

BC=3,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn).以

點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫圓，判斷點(diǎn)A、//②點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

C、E、F與。B的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.A-F——c

【答案】

??,在班/XACB中，"=90。，4C=4BC=3

AB=7c&+BC2="42+32=5

???E是48的中點(diǎn)

15

BE=—AB=—<3

22

BF=x/BC2+CF2="32+22=V13>3

以B為圓心，3為半徑的圓中，4F兩點(diǎn)在OB的外

部；。點(diǎn)在03上；E點(diǎn)在08內(nèi)

故答案為力R兩點(diǎn)在。8的外部；。點(diǎn)在。8上；E點(diǎn)、

在。B內(nèi)

教材習(xí)題02

如圖，。。的直徑AB=4,半徑OC_LAB,點(diǎn)D在江:上，

解題方法

DE_LOC,DF±AB.垂足4:別為E、F.求EF的長(zhǎng).

①矩形的性質(zhì)

②勾股定理

【答案】

【解析】如圖，連接。。，

.圓。的直徑48=4

:.OD=2

?：OC±AB,DE1.OC,DFLAB

???四邊形OEOF是矩形

:.EF=OD

；.EF=2

答：E耶］長(zhǎng)是2.

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)練題型強(qiáng)知識(shí)

考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念

1.（2025?湖南婁底?三模）“轉(zhuǎn)化”是一種重要的解決問題策略，在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到.例如探索

圓的面積計(jì)算公式時(shí)，許多同學(xué)會(huì)將圓形紙片剪成16等份，拼成一個(gè)近似的平行四邊形（如圖①），然

后推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算方法.小亮在研究時(shí),將圓形紙片剪成16等份,拼成一個(gè)近似的梯形（如圖②）.請(qǐng)

仔細(xì)觀察拼成的這個(gè)梯形，梯形的上底與下底的和與梯形的高分別是（）

圖①圖②

A.圓周長(zhǎng)，圓的半徑B.圓周長(zhǎng)，圓的直徑

C.圓周長(zhǎng)的一半，圓的半徑D.圓周長(zhǎng)的一半，圓的直徑

【答案】D

【分析】本題考查圓的面積的推算，觀察圖形可知梯形的上底與下底的和為圓周長(zhǎng)的一半，梯形的高為

圓的直徑，據(jù)此解答.

【詳解】解：由圖可得梯形的上底與下底的和為圓周長(zhǎng)的一半，梯形的高為圓的直徑，

故選：D.

2.（2025?江蘇連云港?二模）一張圓形的紙，要想找到它的圓心，至少要對(duì)折（）次.

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】本題主要考查了找圓心，沿不同的折痕把圓對(duì)折兩次，這兩條折痕的交點(diǎn)即為圓心，據(jù)此可得

答案.

【詳解】解：：圓的圓心一定在其直徑上，

沿不同的折痕把圓對(duì)折兩次，這兩條折痕的交點(diǎn)即為圓心，

.?.一張圓形的紙，要想找到它的圓心，至少要對(duì)折2次，

故選：B.

3.（2025?云南西雙版納?一模）如圖，AB是。。的直徑，ACCD,^AOC=50°,則NB。。=（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明AAOC三△C。。，則NC。。=NAOC=50°,結(jié)合

AB是。。的直徑，列式計(jì)算，得NBOD=80。，即可作答.

【詳解】解：VXO=CO=DO,ACCD,

：.AAOC=ACOD,

C./.COD=^.AOC=50°,

；48是。。的直徑，

"BOD=180°-50°-50°=80°,

故選：C.

考點(diǎn)二求圓中弦的條數(shù)

1.（2025?湖南張家界?一模）如圖，在。。中，點(diǎn)力，0,。在一條直線上，點(diǎn)B,0,。在一條直線上，那么

圖中有弦（）

C

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】B

【分析】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，根據(jù)弦的定義進(jìn)行判斷.掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、

半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）.

【詳解】解：弦為28、CE、BC.

故選：B.

2.（2024九年級(jí)上.江蘇.專題練習(xí)）如圖，2,B,C,E四點(diǎn)在上，點(diǎn)40,B,點(diǎn)C,0,D,點(diǎn)、B,D,E

分別共線，則圖中弦的條數(shù)為（）

【答案】B

【分析】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有AC,AB,BE共三條，

故選：B.

3.（23-24九年級(jí)下.全國(guó).課后作業(yè)）如圖，在。。中，弦的條數(shù)是（）

D

【答案】c

【分析】本題主要考查了圓的弦.熟練掌握弦的定義是解決問題的關(guān)鍵.弦的定義：連接圓上任意兩點(diǎn)

的線段叫做弦.

根據(jù)圓的弦的定義解答.

【詳解】在。。中，有弦4B、弦DB、弦CB、弦CD,

共有4條弦.

故選：C.

4.（22-23九年級(jí)上?北京?單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)4,0,D,點(diǎn)、C,D,E以及點(diǎn)B,0,C分別在一條直線

上，則圓中弦的條數(shù)為（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】A

【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有BC,CE共2條.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦

1.（24-25九年級(jí)上?浙江寧波?開學(xué)考試）已知。。中最長(zhǎng)的弦為6cm,則。。的半徑為（）cm.

A.2B.3C.6D.12

【答案】B

【分析】本題考查了圓的基本知識(shí)；熟練理解圓中最長(zhǎng)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓中最長(zhǎng)的弦是直徑以及同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：：。。中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為6cm,

?■?O。的直徑的長(zhǎng)為6cm,

??.O。的半徑為3cm.

故選B.

2.（23-24九年級(jí)下?吉林松原?階段練習(xí)）如圖，在。。中，AB是直徑，BC是弦，點(diǎn)P是劣弧BC上任意一

點(diǎn).若AB=4,48=30°,貝的長(zhǎng)不可能是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查直徑是最長(zhǎng)的弦，由48是。。直徑得是。。中最長(zhǎng)的弦，且4B=4,故有4P<

AB,所以可得結(jié)論.

【詳解】解：48是。。直徑，

.,.4B是O。中最長(zhǎng)的弦，

：.AP<AB,

?：AB=4,

：.AP<4,

..?只有選項(xiàng)D符合題意，

故選：D.

3.（24-25九年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試）已知。。的半徑為5,4B是。。的弦，貝U4B的長(zhǎng)度a的取值范圍

是.

【答案】0<aW10

【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)，明確圓中最長(zhǎng)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵.

利用直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦即可求解.

【詳解】解：???O。的半徑為5,

O。的弦4B的長(zhǎng)度的取值范圍為：0<aW2x5=10,

故答案為：0<aW10.

4.（24-25九年級(jí)上?河北唐山?期中）。。外一點(diǎn)P到圓周上一點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為8cm,最短距離為2cm,則。。

的直徑長(zhǎng)為cm.

【答案】6

【分析】本題考查了圓的直徑，半徑，熟練掌握直徑是圓的最大弦是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直徑是圓中最大的弦解答即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)圓的圓心為點(diǎn)。，

:直徑是圓中最大的弦，

...過(guò)P,。作圓的直徑4B,則P4=8cm,PB=2cm,

?"?AB=PA-PB=6cm,

，圓的直徑為6cm,

故答案為：6.

考點(diǎn)四求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值

1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為。，點(diǎn)￡、廠分別在BC、上，S.BE=CF,AE與互相交于點(diǎn)G,連接

CG,則CG的最小值為

［答案］(6-1)"

2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握90。

的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解答本題的關(guān)鍵.通過(guò)證明△ABE0)b(SAS),可證NAG3=90。，則點(diǎn)G在

以AB為直徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G在OC與弧的交點(diǎn)處時(shí)，CG最短，然后根據(jù)勾股定理求出OC的長(zhǎng)即

可求解.

【詳解】解：四邊形ABCO是正方形，

:.ZABC=ZBCF=90°,AB=BC=a,

???在石和△BCF中

AB=BC

<ZABC=ZBCF

BE=CF

/.△ABE^ABCF(SAS),

,\ZBAE=ZCBF,

QZABF-^ZCBF=90°,

ZABF-^-ZBAE=90°,

???ZAGB=9Q°,

???點(diǎn)G在以AB為直徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)AB的中點(diǎn)為0,則當(dāng)點(diǎn)G在。。與弧的交點(diǎn)處時(shí)，CG最短，

:.CG=OC—OG=

故答案為：5山.

2

2.如圖，四邊形A3CO為矩形，AB=8,A￡>=12.點(diǎn)E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)尸為線段CE上

一點(diǎn)，連接若NCBF+NCED=90°,則￡>尸的最小值為

【答案】4

【分析】本題考查了圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最小距離，勾股定理，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造圓.由

NCBF+NCED=90?？傻肗CBF+N3CF=90。，/BFC=90°,點(diǎn)P在以為直徑的圓弧上，點(diǎn)。在圓外,

可求O尸的最小值.

【詳解】解：作的中點(diǎn)。，連接OD.

:"BCE=NCED,

-.-ZCBF^ZCED=9Q°,

/.ZCBF+ZBCF=90°,

.\ZBFC=90°,

???當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸在以3c為直徑的圓弧上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸在0D上時(shí)，有最小值.

■,OD2=CD2+OC2,OB=OC=^BC=^AD=6,CD=AB=8,

.-.Or>=V82+62=10-

,.?10-6=4,

尸有最小值為4.

故答案為：4.

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊8C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將AABE沿AE

翻折得到AE4E，連接GB.當(dāng)GF最小時(shí)，BE的長(zhǎng)是.

【答案】46-4/-4+40

【分析】本題主要考查了圓的性質(zhì)，正方形和折疊的性質(zhì)，勾股定理，確定當(dāng)點(diǎn)G、F、4三點(diǎn)共線時(shí)，GF

最小是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意運(yùn)用面積法求垂線段的長(zhǎng)度.

由翻折知跖=班=8,得點(diǎn)/在以8為圓心，8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)G、F、A三點(diǎn)共線時(shí)，GF

最小，連接GE,再勾股定理求出AG的長(zhǎng)，然后利用等面積法即可求出3E.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,

/.ZC=90°,AB=CD=BC=8,

將.ABE沿AE翻折得到AE,

/.AF=BA=8,

.?.點(diǎn)尸在以2為圓心，8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)G、尸、A三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小，如圖，連接GE

,?,點(diǎn)G是邊8的中點(diǎn),

DG=CG=-CD=4,

2

由勾股定理得，AG=y/Alf+DG2=V82+42=475-

+

?S正方形ABC。=S&AGD+S4ABE+^AEG^GCE

：.ABAD=-ADDG+-ABBE+-AGBE+-GCCE

2222

解得BE=46-4.

故答案為：475-4.

4.如圖，在正方形A5CD中，AB=2,M,N分別為邊AD,CD的中點(diǎn)，E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)E

為圓心，A8的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)FP為EF的中點(diǎn)，。為線段上任意一點(diǎn)，則P。長(zhǎng)度的

最小值為（）

A.曲B.|>/2-1C.272-2D.也一2

22

【答案】B

【分析】如圖，連接PB,P為麻的中點(diǎn)，可得尸2=1斯=1,則尸在以8為圓心，3P為半徑的圓弧上運(yùn)

2

動(dòng)，當(dāng)民尸,。,。四點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小，再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：如圖，連接PB,

；B/T-C

'，

\\/

、X/

J

:正方形ABC。，AB=2,

：.AB=BC=CD=AD=EF=2,ZABC=ZADC=90°,

分別AD,8的中點(diǎn)，

:.DM=DN=\,MN=Vl2+12=-72>

：P為E尸的中點(diǎn)，

PB=-EF=1,

2

，尸在以B為圓心，3P為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)氏P,Q,O四點(diǎn)共線時(shí)，尸。最小，

止匕時(shí)8￡）=，2?+22=20，ZADB=ZCDB=45°,

1B

：.QD=-MN=--,

；?PQ=20一￥-1=乎一1,

即尸。的最小值為：述-1,

2

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的

性質(zhì)，圓的確定，熟練的確定尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五求圓弧的度數(shù)

1.（24-25九年級(jí)上?山東淄博?期末）如圖，已知AB,CD是。。的兩條直徑，弦CE||4B,^BOD=112°,則十

的度數(shù)為（）

A.38°B.44°C.48°D.54°

【答案】B

【分析】由對(duì)頂角相等得乙40C=乙BOD=112°,由CEIIAB得至!UDCE=180°-ZXOC=68°,由OC=

OE得至IJ/OCE=NOEC=68。，即可求出/COE=180。-NOCE—4。承？=44。，得到盛1的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接。E,

■:乙BOD=112°,

：.^AOC=乙BOD=112°,

,?CEWAB

:.乙DCE=180°-AAOC=68°,

OC=OE

:.乙OCE=乙OEC=68°,

：./.COE=180°-/.OCE-Z.OEC=44°,

二啰的度數(shù)為44。.

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓心角和弧的度數(shù)

的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A心角和弧的度數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇徐州?期中）如圖，在RtAABC中，乙4=25。，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交48于

點(diǎn)。，交4C于點(diǎn)E,則的的度數(shù)為（）

A.50°B.40°

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形性質(zhì)，求圓弧度數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助

線解決問題.連接CD,利用直角三角形性質(zhì)得到N4BC=65。，結(jié)合圓的特點(diǎn)和等腰三角形性質(zhì)得到

NCOB=N4BC=65。，進(jìn)而即可求得E0的度數(shù).

【詳解】解：連接C。，

???BC=CD,

ZCDB=^ABC=65°,

.-.乙BCD=180°—2x65°=50°,

即FS的度數(shù)為50。，

故選：A.

3.(23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)已知AB,CD是。。的直徑，弦CE||AB,NCOE=40。，則的的度數(shù)是

()

A.70°B.110°C.40°D.70?；?10。

【答案】D

【分析】本題考查了考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫圖分情

況分析即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，

"：OC=OE,

zl=乙2,

■:人COE=40°,

Azi=Z2=jx(180°-乙COE)=jx(180°-40°)=70°,

?.,弦C￡W，

^AOE=Z2=70°,

:.乙BOD=AAOC=4COE+AAOE=110°

9的度數(shù)是110。；

如圖,

D

二

c

?：0C=OE,

AzC=Z.E,

'：MOE=40°,

：./.C=NE=；x(180°-乙COE)=；x(180°-40°)=70°,

「弦陽(yáng)|AB,

ZXOC=ZC=70°,

:.乙BOD=/.AOC=70°

的的度數(shù)是70。；

綜上可知：的度數(shù)是70?；?10。，

故選：D.

考點(diǎn)六點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.(24-25九年級(jí)上?北京西城?階段練習(xí))如果。。的半徑為3,OA=2,則點(diǎn)4在O。()

A.外B.內(nèi)C.±D.不確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)與圓心的距離為d,圓的半徑為r,則當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)

在圓外；當(dāng)d=??"時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：：0。的半徑為3,OA=2,且2<3,

.?.點(diǎn)A在。。內(nèi)，

故選：B.

2.(24-25九年級(jí)上?山西忻州?階段練習(xí))已知。。的半徑為4cm,若。4=5cm,則點(diǎn)力與。。的位置關(guān)系是

()

A.點(diǎn)a在。。外B.點(diǎn)4在oo上

c.點(diǎn)a在o。內(nèi)D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.若O。的半徑為r,一點(diǎn)P和圓心。的距離為d,當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)P

在0。上；當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)P在。。內(nèi)；當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)P在。。外.熟記相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】解：,；。4=5cm>4cm,

.?.點(diǎn)A在。。外

故選：A

3.（24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí)）如圖，A,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在4C中點(diǎn)。處建一

個(gè)5G基站，其覆蓋半徑為300m,則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.A,B,C都不在B.只有BC.只有力，CD.A,B,C

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)勾股定理的逆

定理證得A4BC是直角三角形，取47中點(diǎn)O,連接BD,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得BD=得力。=

250m,以點(diǎn)。為圓心，300m長(zhǎng)為半徑畫圓，再根據(jù)圖形即可判斷求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：'：AB=300m,BC=400m,AC=500m,

：.AB2+BC2=AC2,

二.△ABC為直角三角形，AABC=90°,

取AC中點(diǎn)。，連接BD,則=250m,

以點(diǎn)。為圓心，300m長(zhǎng)為半徑畫圓，如圖所示：

由圖可知，點(diǎn)4、B、C都在O。內(nèi)

/.這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi),

故選：D.

4.(22-23九年級(jí)下?上海?階段練習(xí))在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，M(2,0),圓M的半徑為4,那么點(diǎn)P(—2,3)與圓M

的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)尸在圓內(nèi)B.點(diǎn)尸在圓上C.點(diǎn)尸在圓外D.不能確定

【答案】C

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.求得線段MP的長(zhǎng)后與圓M的半徑比較即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：；”(2,0),P(-2,3),

：.MP=J(2+2)2+32=5,

:圓M的半徑為4,

.?.點(diǎn)P在圓外，

故選：C.

考點(diǎn)七利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

1.(24-25九年級(jí)上?河南商丘?期中)已知圓外一點(diǎn)到圓的最大距離為9cm,最小距離為3cm,則圓的半徑為

()

A.10cm或5cmB.6cm或3cmC.3cmD.5cm

【答案】C

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之差等于圓的直徑

是解題關(guān)鍵.將最大距離與最小距離作差，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：?圓外一點(diǎn)到圓的最大距離為9cm,最小距離為3cm,

???圓的半徑為(9一3)+2=3cm,

故選：C.

2.(2024八年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí))在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(a,0),圓A的

半徑為2.若點(diǎn)B在圓上，則。值為()

A.2或3B.—1或3C.-3或1D.-3或2

【答案】B

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)

和圓A的半徑以及兩點(diǎn)之間的距離即可求出答案.

【詳解】??-71(1,0),圓A的半徑為2,

???AB—2,

|a-1|=2,

解得a=-1或3.

故選：B.

3.(24-25九年級(jí)上?浙江杭州?期末)數(shù)軸上有點(diǎn)4、點(diǎn)B,點(diǎn)4表示實(shí)數(shù)6,點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)6,G)B半徑為4,

若點(diǎn)a在08內(nèi).則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A.6<2B.b>10C.b<2或b>10D.2<b<10

【答案】D

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已

知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.首先確定4B的取值范圍，然后根據(jù)點(diǎn)A

所表示的實(shí)數(shù)寫出6的取值范圍，即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】解：半徑為4.若點(diǎn)A在OB內(nèi)，

：.AB<4,

..?點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為6,

：.2<b<10,

故選：D.

4.（24-25九年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末）在RtANBC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心，r

為半徑作。C.若點(diǎn)A在OC內(nèi)，且點(diǎn)8在OC外，則7?可能為（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

【答案】B

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系，即可求得3<r<4,由此即可判斷答案.

【詳解】解：,點(diǎn)A在OC內(nèi)，

r>3,

?.?點(diǎn)3在OC外，

?1?r<4,

?1?3<r<4,

二只有r=3,5cm符合題意.

故選：B.

串知識(shí)識(shí)框架

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1.圓的有關(guān)概念

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

3.圓弧角度的計(jì)算

4.點(diǎn)到圓距離的最值問題

■:口H應(yīng)天4AH則ll楣提4B升T1

一、單選題

1.（2025?吉林?二模）在△48C中，N8=40。，ZC=70°,以B為圓心，8c長(zhǎng)為半徑畫圓，則點(diǎn)4和G）B的

位置關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)4在OB外B.點(diǎn)A在OB上

C.點(diǎn)2在08內(nèi)D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】本題考查的是等腰三角形的判定，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，先證明44=180。一40?！?0。=70。=

NC,可得B4=BC即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，：在△ABC中，Z.B=40°,ZC=70°,

ZX=180°-40°-70°=70°=乙C,

：.BA=BC,

A

BC

...以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓，則點(diǎn)4在OB上,

故選：B.

2.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB,CD是O。的弦，且力B=CD,若乙8。。=84。，則乙4C。的度數(shù)

為（）

A.38°B.46°48°

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的相關(guān)定義，掌握相關(guān)

知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.先證明△力。B三ACOZHSSS）,推出NB0D=N40C=84。，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】解：在AAOB和△CO。中,

OA=0C

OB=0D,

AB=CD

.■.AAOBdCOD(SSS),

Z.AOB=Z-COD,

??Z-AOB-Z-AOD=Z.COD-Z-AOD,

???乙BOD=^AOC=84°,

???OA=OC,

180°—乙40c

Z-ACO=Z-CAO==48°,

2

故選：D.

3.（2025?浙江寧波?一模）圖1是阿基米德的滑動(dòng)曲尺模型，圖2是其抽象成的幾何圖形.48為。。的直徑,

其延長(zhǎng)線與弦DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,CE=CO.若乙4。。=60。，貝1J乙4ED的度數(shù)為（）

D

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓的基本概念、等邊對(duì)等角，熟練掌握?qǐng)A的基本概念是解題的關(guān)鍵.利用等邊對(duì)

等角得到4E="OE,由。。=C。得至此。=/。。。=2/E,利用三角形的外角的性質(zhì)得到NA。。=

3ZE,結(jié)合乙4。。=60。即可求解.

【詳解】解：???CE=CO,

???Z-E=乙COE,

???Z.OCD=Z-E+乙COE=2/-E,

???DO=CO,

???Z-D=Z-OCD=2Z-E,

???Z-AOD=Z-E+Z-D=3zE,

???乙AOD=60°,

???3NE=60°,

???乙E=20°,即4AED=20°.

故選：B.

4.（2025?云南保山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，4B是O。的直徑，CD為弦,AB1CD,垂足為E.如果82=8,DE=12,

那么。。的半徑是（）

C.12D.13

【答案】D

【分析】本題考查圓的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題

的關(guān)鍵.連接0D,。。為半徑，在RtAED。中根據(jù)勾股定理可得出。D的值.

【詳解】解：連接。。，

A

OB=OD.

??,AB1CD,

???乙DEO=90°.

???OE2+DE2=OD2.

OE=OB-BE=OD-8,

-8尸+122=。。2,解得：。。=13.

故選：D.

5.(24-25九年級(jí)上?河南鄭州?期末)0。的半徑為5,圓心。的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),則點(diǎn)P與O。

的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。上

C.點(diǎn)P在。。外D.點(diǎn)P在。。上或。。外

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

運(yùn)用勾股定理得到0P=5,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),

OP=V32+42=5,

：O。的半徑為5,圓心。的坐標(biāo)為(0,0),

...點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是點(diǎn)P在。。上,

故選：B.

6.(24-25九年級(jí)上?天津?期中)如圖，在AABC中，乙4cB=90。，zX=40°,以C為圓心，CB為半徑的圓

交48于點(diǎn)。，連接CD,則乙4CD=(

A.15°B.10°50°

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單.先求得48=50。,

再由等腰三角形的性質(zhì)求出N8CD=180°-2x50。=80°,貝!|乙4。￡）與/BCD互余.

【詳解】解：=90°,NA=40°,

：./-B=50°,

VCD=CB,

"BCD=180°-2X50°=80°,

2LACD=90°-80°=10°；

故選：B.

7.（24-25九年級(jí)上?青海西寧?期中）下列命題是真命題的是（）

A.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

B.圓中最長(zhǎng)的弦是經(jīng)過(guò)圓心的弦

C.一條弦把圓分成兩條弧，分別是優(yōu)弧和劣弧

D.平分弦的直徑垂直于弦

【答案】B

【分析】本題考查了命題，圓中的有關(guān)概念，熟練掌握?qǐng)A的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

根據(jù)圓的概念和性質(zhì)分析即可.

【詳解】解：A.在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，是偽命題，不符合題意；

B.圓中最長(zhǎng)的弦是經(jīng)過(guò)圓心的弦，說(shuō)法正確，是真命題，符合題意；

C.一條弦（非直徑）把圓分成兩條弧，分別是優(yōu)弧和劣弧，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，是偽命題，不符合題意;

D.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，是偽命題，不符合題意；

故選：B.

二、填空題

8.（23-24九年級(jí)上.江蘇宿遷?階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表

示折痕，則弧BC的度數(shù)是

【答案】150。/150度

【分析】本題考查了求弧的角度，連接B。，過(guò)點(diǎn)。作OE14B于點(diǎn)E,設(shè)圓的半徑為「，根據(jù)題意可得

OE=^OB,進(jìn)而得NOBE=30。，根據(jù)AB||CD得NB。。=NOBE=30。，即可求解；

【詳解】解：如圖所示：連接80,過(guò)點(diǎn)O作。E1AB于點(diǎn)E,

設(shè)圓的半徑為r,

AC

由題意可得：OE=%,ABWCD

1

：.0E=-OB

2

C.Z.OBE=30°

AZ.BOD=Z.OBE=30°

ABOC=180°-乙BOD=150°

...弧BC的度數(shù)是150。

故答案為：150°

9.（2025?甘肅隴南?三模）已知矩形4BCD的頂點(diǎn)8,C在半徑為5的半圓。上，頂點(diǎn)A,。在直徑EF上.若

ED=2,則矩形力BCD的面積為.

【答案】24

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)概念，掌握矩

形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

連接OC,OB,可由勾股定理求得CD=y/CO2-DO2=4,再證明RtACD。三RtABAO,貝1]4。=DO=3,

那么AD=6,即可求解矩形面積.

【詳解】解：連接。&。8,貝UOC=OE=5,

VED=2,

OD=3,

:矩形ABCD,

：./.CDO=^BAO=90°,CD=AB,

：.CD=7c02—DO2=4

9：0C=OB,

??Rt△CDO=Rt△BAO,

：.A0=DO=3,

?.AD=6,

，矩形2BCD的面積為4X6=24,

故答案為:24.

10.（2025?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形4BCD的頂點(diǎn)A,8分別與數(shù)軸上表示數(shù)0,2的點(diǎn)重合，點(diǎn)C在。4

上，則04與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)E表示的數(shù)為

【答案】2V2

【分析】本題主要查了圓的基本性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸.連接4C,根據(jù)正方形

的性質(zhì)可得BC=A8=2,/,ABC=90°,再由勾股定理可得AC=2&,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接2C,

..?正方形2BCD的頂點(diǎn)A,B分別與數(shù)軸上表示數(shù)0,2的點(diǎn)重合,

：.BC=AB=2,/.ABC=90°,

：.AC=7AB2+BC2=2V2,

:點(diǎn)C在上，

，O4的半徑為2/，

O4與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)E表示的數(shù)為2e.

故答案為：2&

11.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，在。。中，已知/。48=50。，則弦28所對(duì)的圓心角的度

數(shù)是

B

【答案】800

【分析】本題考查了圓心角，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握相關(guān)知識(shí).由。4=。8,

可得N04B=AOBA=50°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出乙4OB,即可求解.

【詳解】解：???。4=OB,^OAB=50°,

?-?AOAB=AOBA=50°,

???^AOB=180°-50°-50°=80°,

即弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)是80。,

故答案為：80°.

12.（24-25九年級(jí)上?山西大同?期中）如圖,2B為O。的直徑，點(diǎn)。在。。上,連接2。，在A8上截取4C=AD,

連接DC并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)￡若乙4=30°,AB=8,則DE的長(zhǎng)為.

【答案】4V2

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.先證明ADOE是等腰

直角三角形，再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OD,OE.

■■■OA=OD,

Z.ADO=Z.A=30°,

???(ODE=乙ADC-A.ADO=45°.

OD=OE,

???(OED=乙ODE=45°.

???乙DOE=180°-乙OED-乙ODE=90°,

則△DOE是等腰直角三角形.

AB=8,

??.OD=OE=lAB=4.

DE=y/OD2+OE2=V42+42=4V2.