專題7數(shù)的整除特征

小升初數(shù)學思維拓展數(shù)論問題專項訓練

（知識梳理+典題精講+專項訓練）

知的梳理

1、整除是整數(shù)問題中一個重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b,商是整數(shù)且余數(shù)為

0,我們就說a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,記作bIa.此時，b是a的一個

因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù)。

2、數(shù)的整除特征。

（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.

（2）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5,那么它必能被5整除.

（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，

那么它必能被3（或9）整除.

（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那

么它必能被4（或25）整除.

（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，

那么它必能被8（或125）整除.

（6）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大

減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除.

典教精餅

A.632254965B.632244965C.632234965D.632213965

【答案】A

【解答】解：632254965是3的倍數(shù)，

632244965不是3的倍數(shù)，

632234965不是3的倍數(shù)，

632213965不是3的倍數(shù)，

所以只有632254965是正確的。

故選：A?

【點評】解答此題通過發(fā)現(xiàn)55779是3的倍數(shù)，根據(jù)能被3整除的特征判斷。

【典例二】試問，能否將由1至100這100個自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5個相連

的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除？如果回答是“能”，則只要舉出一種排法；如果回

答是“不能”，則需給出說明。

【答案】不能。

【分析】根據(jù)題意，可采用假設的方法進行分析，100個自然數(shù)任意的5個數(shù)相連，可以分

成20個組，使得在任何5個相連的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除，那么會有40個數(shù)是

3的倍數(shù)，事實上在1至100的自然數(shù)中只有33個是3倍數(shù)，所以不能。

【解答】解：假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數(shù)，

按所排列順序?qū)⑺鼈兠?個分為一組，可得20組，

其中每兩組都沒有共同的數(shù)，于是，在每一組的5個數(shù)中都至少有兩個數(shù)是3的倍數(shù)。

從而一共會有不少于40個數(shù)是3的倍數(shù)。但事實上在1至100的這100個自然數(shù)中只有33

個數(shù)是3的倍數(shù)；

導致矛盾，所以不能。

答：不能。

【點評】此題主要考查的是在1至100的100個自然數(shù)中能被3整除的有多少。

【典例三】從自然數(shù)1,2,3,2015中，取出“個數(shù)，所取的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被

15整除。求〃的最大值。

【答案】135,

【解答】解：經(jīng)分析可知：

一共有J35o

〃的最大值為135o

【點評】本題考查數(shù)的整除特征。分類討論解決即可。

專項物I棟

選擇題（共8小題）

1.有三個兩位的連續(xù)偶數(shù)，它們的個位數(shù)字的和能被7整除，這三個數(shù)的和最小是（）

A.50B.52C.54D.56

2.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中選取四個組成一個四位數(shù)，使它能同時被3、5、7整除，

這個四位數(shù)是（）

A.1235B.1245C.2415

3.熊大和熊二一起摘了一籃草莓，最后它們分得的草莓個數(shù)同樣多。它們可能摘了多少個

草莓？（）

A.68個B.19個0.37個

4.四位數(shù)I―I舁|一|同時是2、3和5的倍數(shù)，第一個I―I里最大能填（）

A.9B.8C.7D.6

5.下面各數(shù)中，（）不是11的倍數(shù).

A.741741B.212357C.500423D.1112221

6.一個三位數(shù)能被7整除，如果在三位數(shù)的前后兩端分別加上一個數(shù)字5和2,生成一個

能被9整除的五位數(shù).則這樣的三位數(shù)有多少個？（）

A.15B.14C.13D.12

7.一個大廳里共有200盞彩燈.每兩盞燈與一個拉線開關相連（同時亮或同時熄）.現(xiàn)在，

所有開關按序號1-100安裝在同一個控制箱內(nèi)，所有的燈都處于“熄”的狀態(tài).李明先將

序號是3的倍數(shù)的開關拉一遍，接著劉強將序號是5的倍數(shù)的開關拉了一遍，這時，大廳里

共有（）盞燈亮著.

A.40B.80C.82D.94

8.如果一個正整數(shù)從前面讀起與從后面讀起數(shù)值相同，那么我們稱這樣的數(shù)叫做回文數(shù).例

如：55,101,8668,93344339等，在所有的四位數(shù)中共有90個回文數(shù)，這90個回文數(shù)中，

共有（）個可以被7整除.

A.7B.9C.14D.18

E.20

二.填空題（共8小題）

9.有一水果店進了6筐水果，分別裝著香蕉和橘子，重量分別為8,9,16,20,22,27千

克，當天只賣出一筐橘子，在剩下的五筐中香蕉的重量是橘子重量的兩倍，問當天水果店進

的有筐是香蕉.

10.工貿(mào)家電購買36臺同規(guī)格的洗衣機，但發(fā)票總價的萬位和個位數(shù)字被弄污不好辨認了，

是口711口元.已知進價每臺洗衣機2千多元.洗衣機的總價是元，每臺洗衣機的單價

是元.

12.有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們都小于2002,其中最小的數(shù)能被13整除，中間的數(shù)能被15

整除，最大的數(shù)能被17整除，這三個連續(xù)的自然數(shù)是.

13.弘文教育王老師買了28枝價格相同的鋼筆，共付出了9口.2口元，并且□處的數(shù)字相

同，請問每枝鋼筆元.

14.現(xiàn)有一花籃裝有若干枝花，賣花女從籃子里取花，若每次取11枝，正好取完，但若每

次取6枝或4枝，3枝，2枝時，籃子內(nèi)總剩一枝花.假如花籃里的花不超過200枝，那么

籃子里共有枝花.

15.從1,2,3,4,100中取出若干個數(shù)，使得它們中任意兩個數(shù)的和都不可能是9的

倍數(shù)，請問至多能取個.

16.一個六位數(shù)，它能被9和11整除，去掉這個六位數(shù)的首尾兩個數(shù)字，中間的四位數(shù)字

是1997,那么這個六位數(shù)是.

三.解答題（共14小題）

17.有八個連續(xù)三位數(shù)，第1個數(shù)被1整除、第2個數(shù)被2整除、第3個數(shù)被3整除、…

依此類推…；那么第7個數(shù)字是多少？

18.任意一個三位數(shù)連著寫兩次得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)一定同時都是7,11,13的倍

數(shù)。這句話對嗎？請舉例說明。

19.用式子表示十位上的數(shù)字無，個位上的數(shù)字是y的兩位數(shù)，再把這個兩位數(shù)的十位上的

數(shù)字與個位上的數(shù)交換位置，計算所得的數(shù)與原數(shù)的差，這個數(shù)能被9整除嗎？

20.173口是個四位數(shù)。數(shù)學老師說：“我在這個口中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四

位數(shù)，依次可被9、11、6整除?！睌?shù)學老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？

21.在1992后面補上三個數(shù)字，組成一個七位數(shù)，使它們分別能被2、3、5、11整除，這

個七位數(shù)最小是多少？

22.一個五位數(shù)，它的末三位為999,如果這個數(shù)能被23整除，那么這個五位數(shù)最小是多

少？

23.將1、2、3、4這四個數(shù)任意排列，可組成若干個四位數(shù)，在這些四位數(shù)中，能被11整

除的數(shù)最小是多少？能被4整除的數(shù)最小是多少？

24.現(xiàn)有四個數(shù)：76550,76551,76552,76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能

被12整除？

25.某工廠生產(chǎn)了十臺機器，重量（單位：噸）分別為：18,19,21,22,23,24,24,27,

33,34,兩次共運走9臺，并且第一次運走機器的總重量是第二次運走的2倍，求剩下的這

臺機器的重量是多少噸？

27.體育課上，30名學生站成一行，按老師口令從左到右報數(shù)：1,2,3,4,.......,30.

(1)老師先讓所報的數(shù)是2的倍數(shù)的同學去跑步，參加跑步的有多少人？

(2)余下學生中所報的數(shù)是3的倍數(shù)的同學進行跳繩訓練，參加跳繩的有多少人？

(3)兩批同學離開后，再讓余下同學中所報的數(shù)是5的倍數(shù)的同學去器材室拿籃球，有幾

個人去拿籃球？

(4)現(xiàn)在隊伍里還剩多少人？

28.把一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字互換位置后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)

的和能被11整除.試說明理由.

29.有一類六位數(shù)，組成每個數(shù)的六個數(shù)碼互不相同，并且每個數(shù)中任意兩個相鄰的數(shù)碼組

成的兩位數(shù)都能被3整除，這類六位數(shù)共有多少個？

參考答案

選擇題（共8小題）

1.【答案】C

【解答】解：因為它們的個位數(shù)字的和能被7整除，

設最小的偶數(shù)的個位是。,

因為10不能被7整除，

所以不滿足題意；

所以滿足題意的三個連續(xù)偶數(shù)的個位只能是：6、8、0,

因此當這三個數(shù)的和最小時，這3個兩位數(shù)為：16、18、20,

故選：C。

【點評】此題主要考查了數(shù)的整除特征問題的應用，解答此題的關鍵是判斷出：滿足題意的

三個連續(xù)偶數(shù)的個位數(shù)字的和只能是14.

故選：C.

【點評】此題主要考查了數(shù)的整除性的性質(zhì)，根據(jù)具體被整除的數(shù)字確定數(shù)的特征是做題的

關鍵，在數(shù)的選擇上要充分注意題目的要求.

3.【答案】A

【分析】根據(jù)題意，這個數(shù)能被2整除，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除；據(jù)此解

答即可。

【解答】解：A68能被2整除，符號題意；

B19不能被2整除，不符號題意；

C.37不能被2整除，不符號題意；

故選：Ao

【點評】此題考查了能被2整除的特征：被2整除則個位數(shù)字是偶數(shù)。

【解答】解：四位數(shù)II56||同時是2、3和5的倍數(shù)，第一個II里最大能填7；

故選：C.

【點評】本題主要是考查2、3、5的倍數(shù)的特征.2的倍數(shù)個位必須是偶數(shù)，5個倍數(shù)個位

必須是0或5,3的倍數(shù)，所有數(shù)字之和必須是3的倍數(shù).

5.【分析】能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的

差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除；據(jù)此解答即可.

故選：B.

【點評】靈活應用能被11整除的數(shù)的特征是解答本題的關鍵.

【解答】解：三位數(shù)能被7整除，可得：

三位數(shù)除以7余0；

除以9的余數(shù)是：

根據(jù)差同減差，

故選：B.

【點評】根據(jù)題意，利用“差同減差”是解題的關鍵.

7.【答案】C

【分析】李明將序號是3的倍數(shù)的開關拉一遍后，有33個開關開著(10093取整得33),

接著劉強又將序號是5的倍數(shù)的開關拉一遍后，有10095=20個開關動過，其中有6個是

由開變關，(1004-(3X5)取整得6),實質(zhì)上是有20-6=14個開關被打開了，并且關掉

了6個開關，兩輪以后，一共有33+14-6=41個開關開著，有41X2=82盞燈亮著.

【解答】解：由分析可知：有82盞燈亮著.

故選：C.

【點評】解答此題應結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)的整除特征，依次進行分析，進而得出結(jié)論.

故選：D.

【點評】本題主要考查被7整除的數(shù)的特征，如果一個數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)的差

能被7或13整除，那么這個數(shù)就能被7或13整除.根據(jù)特征繼續(xù)往下做即可.

二.填空題(共8小題)

【解答】解：根據(jù)題干可得：剩下的五筐水果的總重量是3的倍數(shù)，

故賣掉的一筐也應該是3的倍數(shù)，即賣掉了：9千克或27千克，

(1)若賣掉9千克的一筐，則剩下的桔子重量為：

但在剩下的五個數(shù)中沒有幾個數(shù)的和是31,不合題意.

(2)所以只能賣掉27千克的一筐，此時橘子重量為：

根據(jù)條件可知，9千克、16千克重的是桔子，剩下的是香蕉，

答：當天共進了3筐香蕉.

故答案為：3.

【點評】此題關鍵是關鍵題干找出賣出的水果重量與剩下的水果總重量都是3的倍數(shù)這一

特點，由此展開推理，即可解決問題.

答：洗衣機的總價是77112元，每臺洗衣機的單價是2142元.

故答案為：77112,2142.

【點評】此題應根據(jù)購進電冰箱的臺數(shù)進行分析，然后根據(jù)能被4或6整除的數(shù)的特征進行

判斷，進而列式計算得出問題答案.

11.【分析】由題意可知，這個四位數(shù)同時能被3和5整除，根據(jù)能被3、5整除的數(shù)的特

征，可以得出：該數(shù)的個位是5,即3是5；再根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征：即該數(shù)各個數(shù)

位上數(shù)的和能被3整除，并結(jié)合題意求出A.

同時能被3和5整除，根據(jù)能被3、5整除的數(shù)的特征，

所以百位A是0,個位是5最小.

可以得出：該數(shù)的個位是5,即B是5；

故答案為：5.

【點評】解答此題的關鍵是先根據(jù)能同時被3、5整除的數(shù)的特征，結(jié)合題意進而根據(jù)能被

3整除的數(shù)的特征，推斷出百位上的數(shù).

12.【分析】根據(jù)15,17和13這三個數(shù)都是奇數(shù)，且相鄰的兩個數(shù)都相差2,所以它們的

最小公倍數(shù)仍然是一個奇數(shù)，這個最小公倍數(shù)分別加上15,17和13所得到的和都是偶數(shù)，

且相鄰的兩個數(shù)仍然相差2,我們把這三個和分別除以2,就可以得到一組符合題目要求的

連續(xù)自然數(shù).

3328,3330,3332分別能被13,15,17整除，

這三個數(shù)都是偶數(shù)，且都相差2,

把這三個數(shù)分別除以2,

得到1664,1665,1666,它們也一定能分別被13,15,17整除.

答：這三個連續(xù)的自然數(shù)是1664,1665,1666.

故答案為：1664,1665,1666.

【點評】此題主要考查了約數(shù)與倍數(shù)的應用，解答本題關鍵是求出15,17,13的最小公倍

數(shù)，進而將最小公倍數(shù)與15,17,13相加得出偶數(shù)關系即可求出答案.

【解答】解：9口.2口元=9口2口分

9口2口既是4的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)

即口內(nèi)為0、4、8

當□內(nèi)為0時，即9020

因此□填0時不符合題意

當□內(nèi)為4時，即9424

因此□填4時不符合題意

當□內(nèi)為8時，即9828

因此口填8時符合題意

答：每枝鋼筆3.51元.

故答案為：3.51.

【點評】此題較難，因為“總價=單價x數(shù)量”，關鍵是明白總價9口2口分必須是28的倍

數(shù)，即同時是4、7的倍數(shù).

【解答】解：6、4、3、2的最小公倍數(shù)是12,

答：籃子里共有121枝花.

故答案為：121.

【解答】解：被9整除的有：9、18、27、…、99,共11個，

被9除余1的有：1、10、19、…、100,共12個，

被9除余2~8的各有11個，

共分成9組，其中被9整除那組最多取1個，其余的最多只能取4組：可以取被9除余1的

12個，被9除余2的11個，被9除余3的11個，被9除余4的11個，

答：請問至多能取46個；

故答案為：46.

【點評】此題考查了數(shù)的整除特征，通過題意，進行分析，明確：共分成9組，其中被9整

除那組最多取1個，其余的最多只能取4組，是解答此題的關鍵.

能被9整除的數(shù)的特征是：各個數(shù)位的數(shù)字之和能被9整除；

能被11整除的數(shù)的特征是：奇數(shù)位-偶數(shù)位等于0或11的倍數(shù)；

由此可得這個六位數(shù)是219978.

故答案為：219978.

【點評】本題考查能被9和11整除的數(shù)的特征的理解和靈活運用情況.

三.解答題（共14小題）

綜上，應從以7為結(jié)尾的7的倍數(shù)的三位數(shù)中找N,

所以，所求的N應是217、427、637、847中的一個；

綜上，應從以7為結(jié)尾的7的倍數(shù)的三位數(shù)中找N,

所以，所求的N應是217、427、637、847中的一個；

答：第7個數(shù)字是847.

【點評】本題主要考查了數(shù)的整除問題.解答此題關鍵是得出第7個數(shù)是以7為結(jié)尾的7的

倍數(shù).

18.【答案】對。

所以，任意一個三位數(shù)連著寫兩次得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)一定同時都是7,11,13的

倍數(shù)，這句話對。

【點評】解答此題的關鍵在于掌握幾個數(shù)的公倍數(shù)，一定是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

答：這個數(shù)能被9整除.

【點評】本題關鍵是根據(jù)題意找出合適的數(shù)量關系.

20.【答案】19。

【分析】可根據(jù)能被9、11、6整除的數(shù)的特征進行計算，可得出數(shù)學老師先后填入的3個

數(shù)，然后將3個數(shù)字相加即可得到答案。

所以□內(nèi)只能填7；

所以口內(nèi)只能填8；

所以口內(nèi)只能填4；

答：所填三個數(shù)字之和是19。

【點評】此題主要考查的是能被9、11、6整除的數(shù)的特征。

21.【答案】1992210。

【解答】解：設補上的三個數(shù)字組成三位數(shù)是必c,由這個七位數(shù)能被2,5整除，說明c=O;

所以這個最小七位數(shù)是1992210.

答：這個七位數(shù)最小是1992210。

【點評】解答此題應結(jié)合題意，根據(jù)能被2、3、5、11整除的數(shù)的特征進行分析，進而得出

結(jié)論。

22.【答案】20999c

【分析】這個五位數(shù)末三位為999,且能被23整除，五位數(shù)最小時，有一個三位數(shù)乘23的

積是該五位數(shù)。

□□□□□3

X23X23

口□□口□□□9

口口□□□□□6

□□999□口99

913□13

X23X23

□739□039

□□26□□26

□□999□□999

利用數(shù)字謎，從后往前逐位推算。

積的個位是9,23的個位是3,說明三位數(shù)乘數(shù)的個位是3;

積的十位是9,23的十位2乘以三位數(shù)乘數(shù)的個位3得6,說明三位數(shù)乘數(shù)的十位乘以23

的個位只能是3,則該十位數(shù)是1;

答：這個五位數(shù)最小是20999。

【點評】本題是一道有關乘法與除法的互逆關系、三位數(shù)乘兩位數(shù)的題目。

23.【分析】這四個數(shù)字組成的四位數(shù)，若能被11整除，個位數(shù)加百位數(shù)必須等于千位數(shù)

加十位數(shù)；如果一個數(shù)的末兩位能被4整除，那么這個數(shù)就能被4整除.據(jù)此找出末兩位數(shù)

即可解題.

【解答】解：(1)這四個數(shù)字組成的四位數(shù)若能被11整除，貝h

個位數(shù)加百位數(shù)必須等于千位數(shù)加十位數(shù).

根據(jù)題意，分為23和14這兩組，有:

2134

2431

3421

3124

1342

1243

4213

4321

最小的是1243.

(2)末兩位能被4整除，只有2和4,

那么最小的就是1324.

答：能被11整除的數(shù)最小是1243,能被4整除的數(shù)最小是1324.

【點評】此題主要考查了學生利用被11整除和被4整除的特征解題的能力，熟練掌握能被

11整除和被4整除的特征是解題關鍵.

24.【答案】能。

(1)找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除。

(2)找出一個數(shù)能6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除。

(3)找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。

然后對這三種情況分別討論，得出結(jié)論。

要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：

(1)找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除。

(2)找出一個數(shù)能6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除。

(3)找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。

容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第(1)種情況不存在。

對于第(2)種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶數(shù)，所以可

以選76554和76550,76554和76552。

對于第(3)種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所

以可以選76552和76551,76552和76554。

綜合以上分析,去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554,

76552和76554,76551和76552。

因此所有這樣的兩個數(shù)有3種可能。

答：從中能找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除。

【點評】此題解答的關鍵在于根據(jù)有關整除的性質(zhì)，分為三