期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)事件的相互獨(dú)立性

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?遼寧期末）太空站內(nèi)有甲，乙，丙三名航天員依次出艙進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)，每次只派一人，每人

最多出艙一次，若前一實(shí)驗(yàn)不成功，則返艙后派下一人重復(fù)進(jìn)行該實(shí)驗(yàn)；若實(shí)驗(yàn)成功，則終止實(shí)驗(yàn).已

732

知甲，乙，丙各自出艙實(shí)驗(yàn)成功的概率分別為77、每人出艙實(shí)驗(yàn)?zāi)芊癯晒ο嗷オ?dú)立，若按照甲、

1043

乙、丙的順序依次出艙，則該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)最終成功的概率為（）

773739

A.—B.—C.—D.——

20104040

2.（2024秋?洛陽(yáng)期末）甲、乙兩名同學(xué)參加了班級(jí)組織的數(shù)學(xué)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)，二人從各自的10道題

中（這20道題均不相同）各自獨(dú)立地隨機(jī)抽取2道題現(xiàn)場(chǎng)回答，已知在每人的10道題中，均有5道是

代數(shù)題，5道是幾何題，則甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為（）

251113

A.—B.-C.——D.—

812274

3.（2025?武漢模擬）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖（1）,某公園的六角亭是中國(guó)常見的一種供

休閑的古建筑，六角亭屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖（2）所示的六棱錐P-ABCDEF.該公園

管理處準(zhǔn)備用風(fēng)鈴裝飾六角亭屋頂尸-ABC。跖的六個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,現(xiàn)有四種不同形狀的

風(fēng)鈴可供選用，則在相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴的條件下，頂點(diǎn)A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴

的概率為（）

912217

—B.—C.—D.—

61616112

4.（2024秋?自貢校級(jí)期末）某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽,比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參

3

加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率力，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)

秀的概率為泉?jiǎng)t該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

17——

5.（2024秋?日照期末）已知事件A,B相互獨(dú)立，且尸（A）=可P（B）=彳則PQ48）=（）

二.多選題(共4小題)

(多選)6.(2024秋?淄博期末)已知隨機(jī)事件A,B,C,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若事件A與事件8相互獨(dú)立，則P(AB)=尸(A)P(B)

B.P(A)+P(B)=1是事件A與事件8互為對(duì)立事件的充要條件

C.若事件A與事件8互斥，P⑷=P(B)=最貝網(wǎng)4+8)=(

D.若事件A與事件8相互獨(dú)立，P(A)=P(B)=I，貝UP(a+B)=S

(多選)7.(2024秋?順德區(qū)期末)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A="第一次正面朝上”，事件

B="第二次反面朝上”，貝U()

A.A與B互斥B.A與8相互獨(dú)立

C.A與8相等D.P(A)=尸(B)

(多選)8.(2024秋?涪城區(qū)校級(jí)期末)下列說(shuō)法正確的是()

A.從容量為N的總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三

種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為pi，P2,P3則pi=p2=03

B.若PQ4B)=/,P(A)=(，P(B)=I，則事件A與事件2相互獨(dú)立

C.一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件

D.若尸(A)=0.3,P(B)=0.4,且事件A與事件B相互獨(dú)立，則尸(AUB)=0.58

(多選)9.(2024秋?昆明期末)昆明市盤龍區(qū)有眾多旅游資源，包括2個(gè)國(guó)家4A級(jí)旅游區(qū)(世博園、金

殿風(fēng)景名勝區(qū))，1個(gè)國(guó)家森林公園(金殿森林公園)，甲、乙兩人分別從世博園、金殿風(fēng)景名勝區(qū)、金

殿森林公園這3個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)去旅游，已知甲、乙兩人選擇景點(diǎn)相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法正

確的是()

A.甲去世博園的概率為：

1

B.甲、乙兩人都去世博園的概率為§

4

C.甲、乙兩人中恰有一人去世博園的概率為二

9

4

D.甲、乙兩人中至少有一人去世博園的概率為一

9

三.填空題(共3小題)

11

10.(2024秋?威海期末)已知甲、乙兩人投籃命中率分別為力并且他們投籃互不影響.現(xiàn)每人投籃2

32

次，則甲比乙進(jìn)球數(shù)多的概率為.

H.(2024秋?遼寧期末)已知P(B|A)=0.8,P(B)=0.6,則A與B.(填“獨(dú)立”或“不

獨(dú)立”)

12.(2024秋?杭州校級(jí)期末)甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，若甲、乙兩人射擊的命中率分別為

33

工和一，假設(shè)兩人射擊互不影響.則兩人各射擊一次，至少有一人命中目標(biāo)的概率

54

為.

四.解答題(共3小題)

11

13.(2024秋?漢中期末)甲乙兩人獨(dú)立地解決同一問題，甲解出此問題的概率是一，乙解出此問題的概率一，

34

記“甲能解出此問題”為事件4“乙能解出此問題”為事件2,“兩人都能解出此問題”為事件C,“兩

人都不能解出此問題”為事件D,“恰有一人能解出此問題”為事件E,“至多有一人能解出此問題”為

事件F,“至少有一人能解出此問題”為事件G.

(1)請(qǐng)用事件A,8表示事件C,D,E,F,G并填在下表中；

CDEFG

(2)分別求出事件E,F,G的概率；

(3)俗語(yǔ)“兄弟同心，其利斷金”出自《周易》，常用來(lái)比喻只要兄弟一條心，就能發(fā)揮很大的力量,

泛指團(tuán)結(jié)合作.請(qǐng)你結(jié)合本題從概率的角度談?wù)剬?duì)這句話的認(rèn)識(shí).

14.(2024秋?遼寧期末)《中華人民共和國(guó)未成年人保護(hù)法》是為保護(hù)未成年人身心健康，保障未成年人

合法權(quán)益.根據(jù)憲法制定的法律，某中學(xué)為宣傳未成年人保護(hù)法，特舉行了一次未成年人保護(hù)法知識(shí)競(jìng)

賽.競(jìng)規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別選答兩題，兩人答題互不影響.若答對(duì)題數(shù)

合計(jì)不小于3,則稱這個(gè)小組為“優(yōu)秀小組”.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲、乙答對(duì)每道題的

概率均分別為Pi,P2.

(1)若BP2=1,求在第一輪競(jìng)賽中，該組成為“優(yōu)秀小組”的概率；

(2)若B+P2求該組在每輪競(jìng)賽中成為“優(yōu)秀小組”的概率的最值.

15.(2024秋?信宜市期末)在一次猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12

個(gè)，乙同學(xué)猜對(duì)了8個(gè)，假設(shè)猜對(duì)每道燈謎都是等可能的，試求：

(1)任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；

(2)任選一道燈謎，甲、乙至少有一人猜對(duì)的概率.

期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)事件的相互獨(dú)立性

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?遼寧期末）太空站內(nèi)有甲，乙，丙三名航天員依次出艙進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)，每次只派一人，每人

最多出艙一次，若前一實(shí)驗(yàn)不成功，則返艙后派下一人重復(fù)進(jìn)行該實(shí)驗(yàn)；若實(shí)驗(yàn)成功，則終止實(shí)驗(yàn).已

732

知甲，乙，丙各自出艙實(shí)驗(yàn)成功的概率分別為一、-、一，每人出艙實(shí)驗(yàn)?zāi)芊癯晒ο嗷オ?dú)立，若按照甲、

1043

乙、丙的順序依次出艙，則該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)最終成功的概率為（）

773739

A.—B.—C.—D.—

20104040

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

732

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)榧?、乙、丙各自出艙?shí)驗(yàn)成功的概率分別為一、-、

1043

并且每人出艙實(shí)驗(yàn)?zāi)芊癯晒ο嗷オ?dú)立，

若按照甲、乙、丙的順序依次出艙，則該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)成功，即三人至少有一人出艙實(shí)驗(yàn)成功，

其概率P=1-（1■（1-1）-（1-|）=

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024秋?洛陽(yáng)期末）甲、乙兩名同學(xué)參加了班級(jí)組織的數(shù)學(xué)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)，二人從各自的10道題

中（這20道題均不相同）各自獨(dú)立地隨機(jī)抽取2道題現(xiàn)場(chǎng)回答，已知在每人的10道題中，均有5道是

代數(shù)題，5道是幾何題，則甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為（）

251113

A.—B.-C.—D.一

812274

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】分類討論；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維.

【答案】c

【分析】本題結(jié)合古典概型的概率計(jì)算以及相互獨(dú)立事件概率乘法公式可求解.

【解答】解：甲乙兩人各從10道題中獨(dú)立隨機(jī)抽取2道題，不同抽法有端%=45X45種，

有且僅有2道代數(shù)題的抽法有廢嗎?廢己+2CICI=25X33種，

所以甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為小=-.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算以及相互獨(dú)立事件概率乘法公式.

3.(2025?武漢模擬)中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖(1),某公園的六角亭是中國(guó)常見的一種供

休閑的古建筑，六角亭屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖(2)所示的六棱錐P-ABCDEF.該公園

管理處準(zhǔn)備用風(fēng)鈴裝飾六角亭屋頂P-ABCDEP的六個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,現(xiàn)有四種不同形狀的

風(fēng)鈴可供選用，則在相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴的條件下，頂點(diǎn)A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴

的概率為()

912217

—B.—C.—D.

61616112

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】分類討論；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】記事件相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，事件N：A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴.分三

類討論求出事件M的掛法總數(shù)，分兩類討論求出對(duì)于事件N的掛法總數(shù)，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式計(jì)

算即可求解.

【解答】解：記事件相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，事件MA與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴.

當(dāng)頂點(diǎn)A與C掛同一種形狀的風(fēng)鈴，且相鄰兩頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴時(shí)，分以下兩類：

(1)A,C,E掛同一種形狀的風(fēng)鈴，由前面解析可知，此時(shí)不同的掛法有108種；

(2)當(dāng)A,C掛同一種形狀的風(fēng)鈴，E掛其他形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有題種掛法，

此時(shí)8,D,P有3X2X2種掛法，故不同的掛法共有掰X3x2x2=144種.

綜上，總計(jì)有108+144=252種掛法，即〃QMN)=252,

對(duì)于事件包含的情況可分以下三類：

(1)當(dāng)A,C,E掛同一種形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有4種掛法，

此時(shí)8,D,尸各有3種掛法，故不同的掛法共有4X3X3X3=108種；

(2)當(dāng)A,C,E掛兩種不同形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有戲掰種掛法，

此時(shí)8,D,尸有3X2X2種掛法，故不同的掛法共有用幽x3x2x2=432種;

（3）當(dāng)A,C,E掛三種不同形狀的風(fēng)鈴時(shí)，有題種掛法，

此時(shí)8,D,尸各有2種掛法，故不同的掛法共有用x2x2x2=192種.

綜上，總計(jì)有108+432+192=732種掛法，即"（M）=732.

故P（W“）一五百一建—布?

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型以及分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題.

4.（2024秋?自貢校級(jí)期末）某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參

3

加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)

4

秀的概率為|，則該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

7151

A.—B.-C.——D.一

122123

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】c

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.

12315

【解答】解：根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：-x-+-x-=—.

434312

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式，是基礎(chǔ)題.

17—

5.（2024秋?日照期末）已知事件A,3相互獨(dú)立，且尸（A）=可P（B）=可則PQ48）=（）

1212

A.—B.-C.一D.

3399

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】c

【分析】根據(jù)已知事件A,8相互獨(dú)立，可得事件A,耳也相互獨(dú)立，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法

公式可解.

【解答】解：已知事件A,8相互獨(dú)立，則事件A,否也相互獨(dú)立，

17-7

又尸(A)=2，P(B)=2，則P(B)=1—9=

__111

則P(AB)=P(A)P(B)=[XH=和

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

二.多選題(共4小題)

(多選)6.(2024秋?淄博期末)已知隨機(jī)事件A,B,C,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若事件A與事件8相互獨(dú)立，則P(AB)=尸(A)P(B)

B.P(A)+P(B)=1是事件A與事件2互為對(duì)立事件的充要條件

C.若事件A與事件8互斥，P(4)=P(B)J貝網(wǎng)4+瓦)烏

1C

D.若事件A與事件8相互獨(dú)立，PQ4)=P(B)=泰貝網(wǎng)4+8)=冒

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷A,舉反例判斷8,根據(jù)互斥事件的定義可得41瓦再由對(duì)立

事件的概率公式判斷C,根據(jù)和事件的概率公式判斷D

【解答】解：對(duì)于A：若事件A與事件8相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B),故A正確；

對(duì)于8：由尸(A)+P(B)=1推不出事件A與事件B互為對(duì)立事件，則充分性不成立；

如拋擲一枚骰子，記4={1,2,3},3={3,4,5},則。(4)=P(B)=主

所以P(A)+P(8)=1,顯然事件A與事件8不對(duì)立，

而事件A與事件8互為對(duì)立事件，則P(A)+P(8)=1,則必要性成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若事件A與事件8互斥，P⑷=P(B)=4，

—17—

則P(B)=1—P(8)=1—耳=可AQB,

所以PQ4+B)=P(8)=全故C正確；

對(duì)于￡＞：若事件A與事件B相互獨(dú)立，PQ4)=P(B)=/

則p(a+B)=p(a)+p⑻-P(AB)="尹方x9=云故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)立事件，互斥事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)7.(2024秋?順德區(qū)期末)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A=”第一次正面朝上”，事件

B="第二次反面朝上”，則()

A.A與B互斥B.A與B相互獨(dú)立

C.A與8相等D.P(A)=P(B)

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；事件的互斥(互不相容)及互斥事件.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式求出P(A)、P(B)和尸(A8),分析可得A與8相互獨(dú)立，分析

選項(xiàng)可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，則。=｛正正，正反，反正，反反｝,

A=｛正正，正反｝,2=｛正反，反反｝,A8=｛正反｝,

貝UP(A)=P(B)=1,P(AB)=1,

則有P(A)P(B)=P(AB),A與B相互獨(dú)立，

分析選項(xiàng)：2。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的判斷，涉及互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)8.(2024秋?涪城區(qū)校級(jí)期末)下列說(shuō)法正確的是()

A.從容量為N的總體中抽取一個(gè)容量為”的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三

種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為“，P2,P3則pi=p2=03

B.若PQ4B)=/,PQ4)=(,P⑻=弓,則事件A與事件8相互獨(dú)立

C.一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件

D.若尸(A)=0.3,P(.B)=0.4,且事件A與事件B相互獨(dú)立，則尸(AUB)=0.58

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件與對(duì)立事件.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)抽樣方法的相關(guān)概念、獨(dú)立事件的概率公式、事件之間的關(guān)系以及概率的乘法運(yùn)算，逐一

檢驗(yàn)，可得答案.

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的性質(zhì)，可知pi=p2=°3,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,P(A)P(B)=(1-P(4))P(B)=(l-j)x|=1=P(AB),

故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)事件A=｛兩次均為中｝=｛中槍次數(shù)為。｝、事件8=｛至多中一次｝=｛中槍的次數(shù)為0,

1｝，

由An8=A,則事件8包含事件A,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，由2UB=4B+4亙+ZB,貝I」P(4UB)=P(4B)+PG4豆)+P(ZB),

因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，

所以P(2U8)=P(2)P(B)+P(4)P(萬(wàn))+P(1)P(B)=0.3X0.4+0.3X(I-0.4)+(1-0.3)X0.4=0.58,

故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

(多選)9.(2024秋?昆明期末)昆明市盤龍區(qū)有眾多旅游資源，包括2個(gè)國(guó)家4A級(jí)旅游區(qū)(世博園、金

殿風(fēng)景名勝區(qū))，1個(gè)國(guó)家森林公園(金殿森林公園)，甲、乙兩人分別從世博園、金殿風(fēng)景名勝區(qū)、金

殿森林公園這3個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)去旅游，已知甲、乙兩人選擇景點(diǎn)相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法正

確的是()

A.甲去世博園的概率為：

1

B.甲、乙兩人都去世博園的概率為］

4

C.甲、乙兩人中恰有一人去世博園的概率為二

9

4

D.甲、乙兩人中至少有一人去世博園的概率為一

9

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解.

【解答】解：對(duì)于A,甲去世博園的概率為尸=全故A正確；

對(duì)于2,甲、乙兩人都去世博園的概率為2=梟?義，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,甲、乙兩人中恰有一人去世博園的概率為尸巖x|+|x?*故C正確；

對(duì)于。，甲、乙兩人中至少有一人去世博園的概率為尸=l-|x|=5,故。錯(cuò)誤.

J3V

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三.填空題(共3小題)

11

10.(2024秋?威海期末)已知甲、乙兩人投籃命中率分別為-，并且他們投籃互不影響.現(xiàn)每人投籃2

32

7

次，則甲比乙進(jìn)球數(shù)多的概率為—.

—36―

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

7

【答案】—?

36

【分析】甲比乙進(jìn)球數(shù)多包含以下三種情況：①甲進(jìn)1球，乙進(jìn)。球，②甲進(jìn)2球，乙進(jìn)1球，③甲進(jìn)

2球，乙進(jìn)0球，由此能求出甲比乙進(jìn)球數(shù)多的概率.

11

【解答】解：已知甲、乙兩人投籃命中率分別為；，一，并且他們投籃互不影響，

32

甲比乙進(jìn)球數(shù)多包含以下三種情況：

①甲進(jìn)1球，乙進(jìn)0球,概率為：pi=?x號(hào)xgx3=義，

②甲進(jìn)2球，乙進(jìn)1球，概率為：.4々X?蕓，

11111

③甲進(jìn)2球，乙進(jìn)0球，概率為：p3=1X|X|X1=jg,

1117

則甲比乙進(jìn)球數(shù)多的概率為-+—+—=一.

9183636

7

故答案為：—.

36

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2024秋?遼寧期末)已知P(B|A)=0.8,P(B)=0.6,則A與8不獨(dú)立.(填“獨(dú)立”或“不

獨(dú)立”)

【考點(diǎn)】由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】不獨(dú)立.

【分析】根據(jù)題意，用反證法分析，假設(shè)A與3獨(dú)立，分析可得尸(B|A)=P(B),結(jié)合題干數(shù)據(jù)可

得結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)A與2獨(dú)立，則有尸(AB)=尸(A)P(B),

則有P(BM)=2螺=萼愣=P⑻，

而尸(B|A)=0.8,P(B)=0.6,兩者不等,

故假設(shè)不成立，即事件A與8不獨(dú)立.

故答案為：不獨(dú)立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的判斷，涉及條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2024秋?杭州校級(jí)期末)甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，若甲、乙兩人射擊的命中率分別為

9

凱,假設(shè)兩人射擊互不影響.則兩人各射擊一次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

9

【答案】存.

10

【分析】先分別求出兩人射擊一次不能命中目標(biāo)的概率，可得各射擊一次兩人都沒有命中目標(biāo)的概率,

再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可.

33

【解答】解：因?yàn)榧?、乙兩人射擊的命中率分別為二和二，

所以兩人各射擊一次，都沒有命中目標(biāo)的概率(1-|)X(l—3=白，

所以兩人各射擊一次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為1-點(diǎn)=白.

,9

故答案為：—.

10

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共3小題)

11

13.(2024秋?漢中期末)甲乙兩人獨(dú)立地解決同一問題，甲解出此問題的概率是一，乙解出此問題的概率一，

34

記“甲能解出此問題”為事件4“乙能解出此問題”為事件2,“兩人都能解出此問題”為事件C,“兩

人都不能解出此問題”為事件。，“恰有一人能解出此問題”為事件E,“至多有一人能解出此問題”為

事件F,“至少有一人能解出此問題”為事件G.

(1)請(qǐng)用事件A,8表示事件C,D,E,F,G并填在下表中；

CDEFG

(2)分別求出事件E,F,G的概率；

(3)俗語(yǔ)“兄弟同心，其利斷金”出自《周易》，常用來(lái)比喻只要兄弟一條心，就能發(fā)揮很大的力量,

泛指團(tuán)結(jié)合作.請(qǐng)你結(jié)合本題從概率的角度談?wù)剬?duì)這句話的認(rèn)識(shí).

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】集合思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】(1)C=AC2,D=Ary~B,E=AB\JAB,F=ABL)AB{JAB,G=AB\JABvAB；

(2)P(E)=多S，P(F)=若11，P(G)=今1

(3)至少有一人能解出此問題的概率P(G)=1,大于甲解出此問題的概率點(diǎn)也大于乙解出此問題

的概率士所以“兄弟同心，其利斷金”.

4

【分析】根據(jù)和事件、積事件的定義進(jìn)行求解.

【解答】解：(1)C=AQBfD=AH~B,E=AB^AB,F=ABkJAB\JAB,G=AB\JABkJAB；

S111

(2)P(E)二迨，尸(F)=誦，尸(G)=2；

i1

(3)至少有一人能解出此問題的概率P(G)=4,大于甲解出此問題的概率是「也大于乙解出此問

23

1

題的概率:，所以“兄弟同心，其利斷金”.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查和事件、積事件的定義以及概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2024秋?遼寧期末)《中華人民共和國(guó)未成年人保護(hù)法》是為保護(hù)未成年人身心健康，保障未成年人

合法權(quán)益.根據(jù)憲法制定的法律，某中學(xué)為宣傳未成年人保護(hù)法，特舉行了一次未成年人保護(hù)法知識(shí)競(jìng)

賽.競(jìng)規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別選答兩題，兩人答題互不影響.若答對(duì)題數(shù)

合計(jì)不小于3,則稱這個(gè)小組為“優(yōu)秀小組”.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲、乙答對(duì)每道題的

概率均分別為Pi,P2.

⑴若BP2=l，求在第一輪競(jìng)賽中，該組成為“優(yōu)秀小組”的概率；

(2)若B+P2=[求該組在每輪競(jìng)賽中成為“優(yōu)秀小組”的概率的最值.

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

33

【答案】(1)—;

64

3189

(2)最大值為二，最小值為

4256

【分析】(1)根據(jù)題意，將獲“優(yōu)秀小組”的事件分拆成三個(gè)互斥事件的和，分別求出各個(gè)事件的概率

即可計(jì)算作答；

(2)將獲得“優(yōu)秀小組”的概率P表示為P1P2的函數(shù)，令土=Pl￡€[p9利用二次函數(shù)的基

本性質(zhì)可求出函數(shù)最大值、最小值.

【解答】解：(1)記事件4"在第一輪競(jìng)賽中，該組成為“優(yōu)秀小組””，

事件8：“甲答對(duì)兩題，乙答對(duì)一題”，事件C“甲答對(duì)一題，乙答對(duì)兩題”，

事件。：“甲、乙都答對(duì)兩題”，

因?yàn)槭录?、C、D彼此互斥，

所以P(B)=62X2x品(1一》=備,P(C)=2x*x(1-3x(32=參P(D)=(1)2X(1)2=.

又因?yàn)槭录?、C、D彼此互斥，

所以PQ4)=P(8UCUD)=P(B)+P(C)+P(D)=6Q+備2+高Q喑OQ

(2)由題知甲、乙小組在每輪競(jìng)賽中成為“優(yōu)秀小組”的概率為尸，

P=P/x2P2(1—P2