拓展：通過(guò)求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

目錄

1、函數(shù)極值的第二判定定理：....................................................

類(lèi)型一：利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值.......................................1

類(lèi)型二：利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性...........................................3

類(lèi)型三：利用二階導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問(wèn)題.......................................6

類(lèi)型四：利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn).............................................9

1、函數(shù)極值的第二判定定理：

若"X)在x=%附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/"(X),且/'(%)=0,尸(Ko)。。

(1)若。(/)<。,則。?在點(diǎn)飛處取極大值;

(2)若尸'(%)〉0,則“X)在點(diǎn)七處取極小值

2、二次求導(dǎo)使用背景

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(X),無(wú)法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；

(2)對(duì)函數(shù)/(%)一次求導(dǎo)得到尸(x)之后，解不等式尸(x)>0和尸(x)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有e”或Inx

3、解題步驟：

設(shè)g(x)=f\x),再求g'(x),求出g\x)>0和g'(x)<0的解,即得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性，

得到函數(shù)g(x)的最值，即可得到了'(X)的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

類(lèi)型一：利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

典型例題

例題1.(2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)“力=6%足方-冰,丹|-1,1].當(dāng)0<(3<6時(shí),

證明：無(wú))有唯一極值點(diǎn).

例題2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)"x)=ln(l+x)+oreT.

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，討論函數(shù)/(%)在(0,+。)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，求“X)在(-1,0］內(nèi)的最大值；

精練高頻考點(diǎn)

1.(22-23高二下?福建福州?期中)已知函數(shù)"x)=x(l-a.cosx),(⑴為/(x)的導(dǎo)函數(shù)

且/'(0)=0.

⑴求實(shí)數(shù)a的值，并判斷x=0是否為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(2)確定函數(shù)f(x)在區(qū)間］言段內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

2.(2024?河南開(kāi)封?一模)已知函數(shù)/(x)=2sinx-or,a&R.

⑴若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，求g(x)=〃尤)-In尤在(。片上的最小值.

類(lèi)型二：利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/(尤)=：辦4+尤sinx+2cosx.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，3xe[0,n],f[x)=m,求5的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

例題2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)機(jī)>1,函數(shù)=e2u_（2x+?"（尤>-曰，討論/（x）

的單調(diào)性.

精練高頻考點(diǎn)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)"x）=（x+a）,+a+l

⑴若函數(shù)在點(diǎn)（ej（e））處的切線(xiàn)斜率為0,求。的值.

（2）當(dāng)a=l時(shí).設(shè)函數(shù)3（力=等?，求證：、=/（尤）與丁=6（*在［1同上均單調(diào)遞增

2.（23-24高三下?陜西渭南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=e'cosx-X.

（1）求曲線(xiàn)y=“X）在點(diǎn)（oJ⑼）處的切線(xiàn)方程；

（2）當(dāng)xe0號(hào)57r時(shí)，求函數(shù)””的單調(diào)性.

3.（23-24高三上?山西大同?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=e'-羨--尤-2（aeR）,

⑴求函數(shù)“X）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線(xiàn)方程；

（2）當(dāng)。=1時(shí)，證明“X）在R上單調(diào)遞增.

類(lèi)型三：利用二階導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問(wèn)題

典型例題

例題1.（23-24高二下?河北?期中）已知函數(shù)=-x,aeR.

⑴求曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（0,”0））處的切線(xiàn)方程；

（2）若不等式"x"1對(duì)任意xe[0,+8）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例題2.（23-24高三上?重慶?階段練習(xí)）已知函數(shù)“切滿(mǎn)足〃x）=e，-x2.

⑴討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>-ax+\,求a的取值范圍.

例題3.(24-25高三上?河北保定?期中)已知函數(shù)/(x)=e，+sinx-2x,g(x)=2-cosx.

⑴已知直線(xiàn)x-〉+a=。是曲線(xiàn)y=g(尤),xe［O,兀］的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)”的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求證：/(x)Ng(x)恒成立.

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高三上?河南周口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-辦，aeR.

⑴若?=1,求函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2)若/(x)NO在［。晟上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值.

2.(24-25高三上?四川雅安?階段練習(xí))已知awR,函數(shù)=ln(x+l)+-：+加.

⑴當(dāng)420時(shí)，求證：/(X)>1;

(2)若〃尤)+〃一力注2,求a的取值范圍.

3.(24-25高三上?遼寧?期中)已知函數(shù)f(x)=ln(x+l),函數(shù)g(x)的圖象與

/Z(X)=1X3-3X2+6X+2(X-2)COS(X-2)的圖象關(guān)于(1,2)中心對(duì)稱(chēng).

⑴求函數(shù)g(x)的解析式；

Y

(2)證明：--</(x)<x

X+1;

⑶若/(%)+g(x)4辦在xe[0,1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

類(lèi)型四：利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

典型例題

1y

例題1.(23-24高二下?山東淄博?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=依+二，g(x)=4.

ee

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若。=1,試判斷函數(shù)y=〃x)與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

例題2.(2025?安徽蚌埠?三模)已知函數(shù)/(x)=e'-a.

(1)若。=1,g(x)=/(%)?cos尤-sin尤，討論函數(shù)g(x)在(0,2兀)的單調(diào)性;

(2)若g)=/(x)-xcosx在［0,2兀］上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值.

精練高頻考點(diǎn)

IY

1.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=彳111「，g（x）=sin（口