第06講雙曲線及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.................................................2

題型二：雙曲線方程的充要條件...................................................3

題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題...............................4

題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題.............................................6

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題...........................................8

題型六：離心率的值及取值范圍..................................................11

題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題..............................................16

題型八：利用第一定義求解軌跡..................................................19

題型九：雙曲線的漸近線........................................................22

題型十：共焦點的橢圓與雙曲線..................................................25

題型十一：雙曲線的實際應(yīng)用....................................................28

02重難創(chuàng)新練.................................................................32

03過關(guān)測試...................................................................49

題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

22

1.已知點M為雙曲線C：『［=l的左支上一點，斗鳥分別為C的左,右焦點，則|4閨+山閭-版|=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

22

【解析】由于M為雙曲線C：土-匕=1的左支上一點，用，鳥分別為C的左，右焦點，

45

所以W碼-卜2〃，故W俱|+|耳閶-W/=2c-2a,

由于a=2,b=A/5,C=A/片+北=3，

所以|阿|+閨g|T曬|=20_2〃=6_4=2,

故選：A

2.（2024吉林.模擬預(yù)測）已知雙曲線C的對稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線的方程為y=；x,且點（2,道）在C

上，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】匕—土=1.

28

1f

【解析】由雙曲線的一條漸近線為y=：%,故設(shè)雙曲線方程為：y2=apwo），

又（2,若）在雙曲線上，貝|J4=1—3=—2,

222

故所求雙曲線方程為：—-/=-2,整理得：匕-工=1.

428

2爐

故答案為：匕v-土=1.

28

3.雙曲線的一個焦點坐標(biāo)是（-2,0）,且雙曲線經(jīng)過點倒,夜），則雙曲線的實軸長為,標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

r22

【答案】2拒—=1

22

【解析】因為雙曲線的一個焦點坐標(biāo)是（-2,0）,

22

所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=-3=1（。＞0/＞0）,

ab

又因為雙曲線經(jīng)過點僅詞，則有（一A1，又因為"+〃=4,

所以〃2=2或〃2=8，因為〃2+/=4，所以〃2=2,=2,

22

雙曲線方程為土-工=1,

22

22

所以雙曲線的實軸長為2a=2后；標(biāo)準(zhǔn)方程為3■-5=1，

22

故答案為：20;---—=1.

22

題型二：雙曲線方程的充要條件

4.“必＜0”是“方程/+勿2=。表示雙曲線，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】若乃＜0,但是取C=0,則62+力2=。不是雙曲線，故不是充分條件,

若=＜?（?,"℃7?）為雙曲線，

則a,b必須異號，所以/＜0,故是必要條件，

2

所以“用＜0”是“方程加+by=c（a,b,ceR）表示雙曲線”的必要不充分條件.

故選:B.

22

5.若方程工+工=1表示雙曲線，則實數(shù)%的取值范圍是（）

k-1k-3

A.k＜lB.1＜A:＜3

C.k＞3D.左＜1或左＞3

【答案】B

22

【解析】若方程工+上~=1表示雙曲線，

k-1k—3

貝ij（左一1）（左一3）＜。，得1＜左＜3.

故選：B

22

6.“方程」-----匚=1表示雙曲線”是的（）

m—10m—8

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

22

【解析】因為方程------J=1表示雙曲線，

m-10m-8

所以,解得m<8或m>10.

所以“機<8或機>10”是“%>10”的必要不充分條件.

22

所以“方程—.....J=1表示雙曲線”是“m>10”的必要不充分條件.

m—10m—8

故選：B.

題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題

7.（2。24.黑龍江二模）已知雙曲線八。）的離心率為用其左、右焦點分別為皿,

3

過F2作c的一條漸近線的垂線并交C于M,N兩點，若="則△腦\明的周長為.

27

【答案】y

【解析】由e=￡=叵,/+〃=，，得〃=3"。=皿，

a3

22

則雙曲線=

不妨設(shè)直線跖V：y=-3（尤-皿卜M（xx,y^,N（x1,y2）,

消去y得80尤2-!62V10fex+81瀝2=0,

81Mb81%2

貝必=（而）

162'62-320x819/=360/>0,項+工2=---------,x,x=-------

4012980

可得河=7177,，^^]-4x^^=-ZJ=-,解得b=l,可得a=3,

11虱40J8044

由雙曲線的定義可得|岫|-|班1=6，|明|-|意1=6，

則（|町|+村居|）一（|崢|+|N閭）=（|町|+|州|）一|加|=12,

5197

可得附團+W周=1，所以△MA*的周長阿團+|N團+|MV|=y.

^27

故答案為：—

22

8.（2024.高三.江蘇南京?開學(xué)考試）設(shè)雙曲線C:，-1=l（a>0,b>0）的左右焦點分別為斗且，離心率

ab

為2,P為C上一點，且二月尸8=120。，若的面積為4石，則。=.

【答案】2

【解析】不妨取P點在第一象限，如下圖所示：

根據(jù)雙曲線定義可得|尸耳|-戶局=2。，且忸閭=2。；

由離心率為2可得?=2,可得c=2“，即怩閶=4a；

設(shè)歸閶=機>0,則歸耳|=2°+機；

由海24的面積為4有可得3尸4||尸號sin/6Pg=g租（2a+m）xg=4后，

解得加（2々+加）=16；

利用余弦定理可得cosN￡尸工」，周用=_'

2\PF{\PF2\2

即（2"+"）+”__,4a）__j_,整理可得24+4即_]2/=-m（2a+m）,

2m（2a+m^2

即12/=3機（2〃+機），所以12a2=48,解得。=2.

故答案為：2

22

9.（2024.河南焦作.模擬預(yù)測）己知雙曲線C:與=1（°>0）的左焦點為憶。為坐標(biāo)原點，D（a,

a3a'

2

線段OD的垂直平分線與C交于A,B兩點，且與C的一條漸近線交于第二象限的點￡,若|DE|=§,貝h

的周長為.

【答案】出+1/1+后

【解析】記C的右焦點為F2,

由題意可知：雙曲線C的一條漸近線為y=可知點。在C的漸近線上，

且c=5/7^7=2%即|0。|=|0叫，

G

且tanZDOF2=^3,ZDOF2(0,7T),則N￡)O鳥=y,

可知A。。%和ADOE均為等邊三角形，

21

貝U|Z)E|=|OD|=2a=—,即。=—,

33

所以雙曲線C的方程為9爐_3y2=1.

不妨設(shè)A在3上方，

則AAB耳的周長為|筋|+|即=2a+忸閭+2a+|AB|=2|M|,

[T2

又因為AB的直線方程為x=+與雙曲線方程聯(lián)立得'=—"J+3,

3(9^2-3/=1

整理得8y2-4百y+l=0,解得以

且448片=弓，可知1A閶=2%=與h所以AM耳的周長為出+1.

故答案為：A/3+I.

題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題

2b2}

10.定長為〃力m>fJ的線段AB的端點在雙曲線-a2y2=/〃的右支上運動，則AB中點Af的橫坐標(biāo)

的最小值為.

am+2。2

【答案】

2doi+/

【解析】設(shè)方是右焦點，點A（%pyj，

由離心率為e=￡,右準(zhǔn)線為工=式,

ac

AF\\BF\

則

再

則m<|AF|+|BF|=—a)+(ex2-a),

zc、1

\m+2Q)?一<玉+%?

m+2aa("z+2a)am+2tz2

???與之

2e2c2y]a2+b2'

am+2a°

故答案為:

2doi$

22\PM2

11.已知點M（-5,0）,點尸在曲線］一器=l（x>0）上運動，點。在曲線（x-5y+y2=l上運動，則的

~\PQ

最小值是一

【答案】20

圓（％-5）2+/=1的圓心為（?（5,0）,半徑長為r=1,

22

所以，雙曲線土-匕=1的左、右焦點分別為M、C,

916

由雙曲線的定義可得|「網(wǎng)=|尸。+2"=|PC|+6,|PQ閆尸。+1,

所以，0中］)+2：+*2l(|PC|+l)-^^+10=20,

|PQ|\PC\+1V1'|PC|+1N"1'|PC|+1

當(dāng)且僅當(dāng)。為射線尸C與圓C的交點，且|PC|=4時，等號成立，

故黑T的最小值是28

故答案為：20.

12.已知定點A8,且|AB|=8,動點尸滿足|上4H尸目=4,則1PAi的最小值是.

【答案】6

【解析】因為動點尸滿足4Hp@=4<|AB|=8,

所以點P的軌跡是以42為焦點的雙曲線的一支，

則2。=4,2。=8,即Q=2,c=4,Z?2=12,

22

不妨設(shè)焦點在x軸上，則雙曲線方程為二一±=1(x22),

左焦點為A(-4,0),右焦點為3(4,0),

22

設(shè)尸仁,%),522),則工一二=1,

412

所以歸=J(x°+4)2+城=,4(%+廳=2(%+1)26,

所以1PAi的最小值是6,

故答案為：6

13.(2024.湖北.一模)平面內(nèi)，線段A3的長度為10,動點「滿足|抬=6+|即，則|印的最小值為

【答案】2

【解析】因為|尸4|=6+|網(wǎng)|,所以|申|-|尸8|=6<|AB|,

因此動點P在以A,8為焦點的雙曲線的靠近B點的一支上，且a=3,c=5,

從而1尸團的最小值為。-。=2.

故答案為：2.

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題

22

14.設(shè)點P是曲線?一方=1右支上一動點，尸為左焦點，點。是圓/+(y-4)2=1上一動點，則歸產(chǎn)|+|PQ|

的最小值是.

【答案】8

22

【解析】由雙曲線的方程亍一q=i可得。=2,b=后,則C=J777="7?=3,

設(shè)雙曲線的右焦點/，貝廳'（3,0）,

圓/+（y-4>=1的圓心C（0,4）,半徑r=l,

由題意可得|尸尸|+|尸a=24+|尸￥[+|尸〈歸4+但'1-1=4+4]不一1=8,

當(dāng)且僅當(dāng)C,P,尸三點共線，且尸在C,9之間時取等號，

即|「尸|+|PQ|的最小值為8.

故答案為：8.

2

15.已知A（T4）,尸是雙曲線/一（_=1的左焦點，p是雙曲線右支上的動點，則戶尸|+戶4|的最小值

為_______

【答案】7

設(shè)E（2,0）為雙曲線右焦點，線段AE與雙曲線右支交于點。,

所以歸刊+|到=|尸目+|到+2.必|+2=屈正+2=7,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)P,Q重合，

所以歸川+|用的最小值為7.

故答案為：7.

22

16.已知點尸是雙曲線亍-%=1的左焦點，點尸是該雙曲線右支上的任一點，4（3,3）,則上刊-|可|的最

大值為?

【答案】4+V10/VW+4

【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為月（4,。），由題知.=2*=2&c=4,

因為歸同一|尸閶=2〃=4,所以|正典=4+|尸閭,

因為A（3,3）,|P閭_|24同4閶=加，當(dāng)且僅當(dāng)P,4巴三點共線時等號成立，

所以，|尸石-|抬=4+|尸閭-|冏44+恒村=4+麗，當(dāng)且僅當(dāng)尸,4工三點共線時等號成立.

所以，|「尸|-|總的最大值為4+癡

故答案為：4+V10

FO\\Fx

/|\2

22

17.（2024.河北邯鄲.一模）已知點P在雙曲線?-3=1的右支上，4（0,2）,動點8滿足|AB|=2,F是雙

曲線的右焦點，則|尸產(chǎn)|-盧回的最大值為.

【答案】s/13-2/-2+y/13

【解析】動點B滿足|A5|=2,則點8的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，

設(shè)雙曲線的左焦點為丁,由題知|正圖一|尸盟=4,|用=|「耳卜4

貝I]|尸典一|24|=|尸凰一|上4|—4V|世|—4=而一4,

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,耳三點共線時，等號成立，

所以歸尸尸目的最大值為厄-2,

故答案為：V13-2

題型六：離心率的值及取值范圍

22

18.已知。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為雙曲線C：《-齊=10>0）的左焦點，直線>=履與C交于A,8兩點（點

A在第一象限）,若|。4|=|。耳，且|A斗怛同=2,則C的離心率為.

【答案】空

3

【解析】設(shè)雙曲線右焦點為外（c,0）,連接A6

由對稱性可知，\AF2\^\BF\,\OF2\^\OF\,\O^=\OB\,

因為|Q4|=|OF|,所以閶=|QF|=|Q4|=|QB],故四邊形APB"為矩形，AF2LAF,

因為|”卜怛同=2,所以鉆|=2,

由雙曲線定義可得|AF|—|A閭=2a=26,

由勾股定理得|4刊2+H用2=閨閭2=（2.「=12+4凡

由題意得(|AF|-|A旦|)2+44斗|A閭=|AF『+|AK「,

即12+4=12+4〃,解得。=1,

故02=3+A?=4,解得c=2,

19.已知雙曲線C：（-2

多=1（。>0*>0）的左、右焦點分別為尸I、工點A在c上,點B在y軸上，相，離,

ab

—.4__?

AB=-BF2,則C的禺心率為

【答案】網(wǎng)

22

【解析】如圖:

設(shè)4(比1，月)，因為月(c,0),由==>0-X]=g(c-0)=>占=-個.

因為|OA|=C,所以聞=不；

又A在曲線c上，所以：才=片[￥-1]=”《4-1].

)(25〃)

由g]=Z?2[iF7-1]n**=16丘2—25<22"=>9a2c2=i^c2-a2)c2-25a2(c2-a2)=>

16c4-50“2/+25a4=0=16e"-50e2+25=0=(8e2-5)(2e?-5)=0,

由因為e>l,所以/=gne=巫.

22

故答案為：叵.

2

22

20.已知雙曲線C:5-2=l(a>0力>0)的左焦點為尸，直線/過點尸，在第四象限與雙曲線C的漸近線

ab

交于點M,且直線/與圓切于點N,若|MF|=5|NF|,則雙曲線C的離心率是.

【答案】—/1Vio

【解析】如圖，因為直線/與圓f+y2="切于點N,所以O(shè)N_LM「.

因為|0N|=a,\OF\=c,所以|M|=b.因為|皿尸|=51NP|,

所以Mi,則tan/。硒二品暇fN二版=1

因為ZMOx=ZOFN+ZOMN,所以tanZMOx=tan(NO尸N+ZOMN),

所以。4b=2,即2從=3/,所以?=3,則雙曲線C的離心率6=

aaaa22

b4b

故答案為：叵

2

22

21.某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線C:*-當(dāng)=1(〃>0,6>0)的兩漸近線所成的角可求離心率e的大小,

k5

聯(lián)想到反比例函數(shù)y=￡(%*。)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進一步推斷雙曲線y=3的離心率0=.

尤X

【答案】6

【解析】由題意，雙曲線=l的漸近線為y=±/x,

若兩漸近線垂直，則2x［-2］=一1,解得。=6,即雙曲線為等軸雙曲線，

雙曲線y=*的兩漸近線為X軸和，軸，互相垂直，則雙曲線y=*為等軸雙曲線，

XX

所以離心率為e=&.

故答案為：72.

22

22.已知圓C:x2+y2-4x+3=0與雙曲線D:與-Al(a>0力>0)的漸近線有公共點，則雙曲線。的離心

率的取值范圍為.

【答案】［2,+勸

22

【解析】圓C:(x-2)2+y2=i,雙曲線/J：］一1r=1(°>0,6>0)的漸近線為依土力=0,

,??圓與雙曲線的漸近線有公共點，

3a2Xb2,c2=?2+Z>2>4a2?即鼻24,

故答案為：［2,.).

X22

23.已知。為坐標(biāo)原點，若雙曲線C:'--%=1（。>0/>0）的右支上存在兩點八，B,使得NAOB=60。，

a

則C的離心率的取值范圍是__________.

【答案】］￥，+"

h

【解析】設(shè)漸近線>='》的傾斜角為6,則26?>60。,即。>30°,

a

所以tanO=2>S^,離心率e=2石

a3Vcr

故答案為：］―?

24.（2024?山東淄博?二模）若雙曲線W-1=1（?>0,6>0）的一條漸近線方程為y=g無，則離心率e

a-b2

為（）

A.立B.好

C.V3D.75

22

【答案】B

22r

【解析】當(dāng)（。，。）漸近線方程為尸，nlb1

5-=146>±'x則一=7.

abaa2

離心率八十腎=匕=廳=3+（夕=/+（夕二莒

一2

故選：B.

22

25.（2024?廣東東莞.模擬預(yù)測）若雙曲線C：=一匕=1（°>0）的右支上存在5a2，%）（玉力工2）

到點P（5a,0）的距離相等，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.（1，石）B.（底+8）

C.（1，⑹D.（6+8）

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的對稱性可知，

存在以點尸（5。,0）為圓心的圓與雙曲線的右支有四個交點，

所以當(dāng)雙曲線上的點。到點尸的距離最小時,點。不可為雙曲線的右頂點,

設(shè)點。（如%）,則IPQ『=（%-5a）2+y：,

22（2、

又因為由反-兒=1,可得獷=4年-1,

a4）

所以陽2。-5心標(biāo)［力卜-叱+25〃一4（…）,

10。

-7------------->a

要使1尸。1最小，毛工。，則2（3+1］，解得。2>1，

所以e=￡=Jl+g<Jl+4=^/5,

又因為雙曲線中e〉l,所以e?l,有）.

22

26.（2024?高三?湖北武漢?開學(xué)考試）已知雙曲線C:=1（。>0力>0）的左右焦點分別為可，凡，過F,

ab

的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點，若AA8々的周長為IO。，則雙曲線離心率的取值范圍為（）

【答案】D

根據(jù)雙曲線定義知：“月8的周長為4a+2|AB|,而恒同、］-,

4序

所以4a+21ABi24。+一,而AA月8的周長為10a,

所以4a+它W10a,即2〃W3/,所以2卜?-/）<3",解得羋,

雙曲線離心率的取值范圍是

故選：D

22

27.已知尸是雙曲線E:=-3=l（a>0,b>0）的右焦點，。是坐標(biāo)原點，尸是OP的中點，雙曲線E

ab

上有且僅有一個動點與點P之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（）

A.B.[2,+oo）C.（1,2]D.[3,+co）

【答案】B

?2、,22,2?2

【解析】由題知，P（2c,0）,設(shè)/小,%）是雙曲線E上的一個動點，,年-4=1,即￥=牛一心

aba

222222

：.\MP^=（X0-2C）+=（X0-2C）+^Y~~b=-^-Xg-4cx0+4c-b=+3b.

adaIcj

易知|MP|最小時，M為石的右頂點，貝

.42a2

??zh—>Q時，『在/=早處取得最小值,不符合題意,

故手4〃，此時|M7f在%=。處取得最小值，符合題意,

ike=->2.

a

故選：B.

題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題

28.（多選題）（2024.全國.模擬預(yù)測）若尸是雙曲線Cd-/=2上一點，耳工分別為c的左、右焦點,

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.雙曲線C的虛軸長為/B.若貝心2耳工的面積為2

C.|房|的最小值是2-aD.雙曲線C的焦點到其漸近線的距離是2

【答案】BC

22

【解析】由雙曲線C:Y-y2=2,得雙曲線c：上一上=1,

22

設(shè)雙曲線C的實半軸長為。，虛半軸長為6,半焦距為c.

選項A：得6=夜，故雙曲線C的虛軸長為2行，故A錯誤.

|P^|2+|Pf；|2=16....

選項B：得0=應(yīng),c=2,則用用=4,,11,L，得P8=4,

尸耳一尸瑪=2艱

故△尸/例的面積為川尸閭=2,故B正確.

選項C：易知|尸耳1mhi=c-a=2-四，故C正確.

選項D：易得雙曲線C的焦點坐標(biāo)為（±2,0）,漸近線方程為天士y=。,

2

所以雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為=屈,故D錯誤.

故選：BC.

29.（多選題）已知雙曲線8r/-/>2=8（發(fā)片0）,則不因人的變化而變化的是（）

A.頂點坐標(biāo)B.漸近線方程C.焦距D.離心率

【答案】BD

,2

_2L_i小，虛半軸長匕=述

【解析】雙曲線頭2/嚴(yán)了2=8（左片0）化為:18-I實半軸長。=

I左I|左|

雙曲線的頂點（±5,0）隨人的變化而變化，焦距2與隨人的變化而變化，AC不是;

而2=2加,漸近線方程y=±20x不因左的變化而變化，離心率e（+匕=3為常數(shù)，BD是.

aa

故選：BD

22

30.（多選題）（2024.全國.模擬預(yù)測）已知雙曲線3-匕=1的左焦點且與拋物線丫2=_4缶的焦點重合,

a3

尸2是雙曲線的右焦點，則下列說法中正確的是（）

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?

B.雙曲線的實軸長為4

C.雙曲線的一條漸近線方程為2x-/y=0

Q17

D.P為雙曲線上一點，若歸周=5,則歸引=萬

【答案】ABD

【解析】y=-4缶的準(zhǔn)線方程為x=占，A正確；

由c=V7,得"=4,不妨設(shè)a>0,則a=2,故雙曲線的實軸長為4,B正確;

令!-1=0,知雙曲線的一條漸近線方程為2=0,C錯誤；

9171

由雙曲線的定義，知P居一不=4,可得|「引=萬（|Pf；|=-<c-a,舍），D正確.

故選：ABD

2

31.（多選題）（2024.湖南株洲.一模）已知雙曲線C:/-二=1,則下列說法中正確的是（）

2

A.雙曲線C的實軸長為2B.雙曲線C的焦點坐標(biāo)為（。,士括）

C.雙曲線C的漸近線方程為'=±5工D.雙曲線C的離心率為6

【答案】AD

2

【解析】因為雙曲線方程/一千=1,所以a=l,b=6,c=da2+b2=6,

對于A：實軸長為2a=2,故A正確；

對于B：因為c=6,所以焦點坐標(biāo)卜占，0），故B錯誤；

對于C：因為a=l,b=夜，所以漸近線方程y=±0x,故C錯誤；

對于D：因為。=l,c=的，所以離心率0=￡=后，故D正確；

a

故選：AD.

22

32.（多選題）（2024?江蘇南通二模）已知雙曲線C:土-4=1仍＞0）的右焦點為尸，直線/：x+勿=0是

4b

C的一條漸近線，P是/上一點，則（）

A.C的虛軸長為2應(yīng)B.C的離心率為后

C.盧尸|的最小值為2D.直線相的斜率不等于-變

2

【答案】AD

f21h

【解析】雙曲線C:土-斗v=1的漸近線方程為法±2y=o,依題意，=-2,解得6=0,

4bb2

對于A,。的虛軸長2。=2后，A正確；

C的離心率6==逅,B錯誤;

對于B,

a2

對于C,點F（瓜0）到直線/:x+應(yīng)丫=0的距離,F立）2=應(yīng)，則尸耳的最小值為夜，C錯誤；

直線/:x+0y=O的斜率為-正，而點尸不在/上，點P在/上，則直線P尸的斜率不等于一也,

對于D,

22

D正確.

故選：AD

22

33.（多選題）（2024.湖南長沙.一模）已知雙曲線的方程為乙-土=1,則（）

6416

A.漸近線方程為y=±gxB.焦距為8石

C.離心率為g

D.焦點到漸近線的距離為8

【答案】BC

【解析】因為雙曲線方程為反-工=1,即/=64/2=16,

6416

則a=8,b=4,c=+尸=心后，且雙曲線焦點在丁軸上,

所以漸近線方程為：y=±fx=±2x,A選項錯誤;

焦距=2c=8&\B選項正確;

離心率e=￡=生6=好，C選項正確;

a82

,則焦點到漸近線的距離為S返=4,D選項錯誤.

A/4+I

故選：BC.

22

34.（多選題）（2024?海南.模擬預(yù)測）已知雙曲線C:匕-工=-1的焦點分別為用心，則下列結(jié)論正確的

169

A.漸近線方程為3尤±4y=0

22

B.雙曲線C與橢圓L+匕=1的離心率互為倒數(shù)

259

C.若雙曲線C上一點P滿足|尸￡|=2歸身，則△刊第的周長為28

D.若從雙曲線C的左、右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6

【答案】CD

【解析】由題意可得C:反-亡=1,故漸近線為3y=±4x,故A錯誤；

916

易知雙曲線和橢圓的離心率分別為q=J萼=g，4=FH=[,

顯然它們不互為倒數(shù)，故B錯誤；

由雙曲線的定義可知||尸胤-|尸引|=2x3=6,

若|「耳|=2|正詞,則忸胤T尸剛=|尸局=6,|尸胤=12,

又寓閭=2xJ16+9=10,故APK耳的周長為|尸耳|+忸國+國用=6+12+10=28,故C正確;

由雙曲線的圖象可知左右兩支上距離最近的兩點為左右頂點，即最短距離為6,故D正確.

故選：CD

題型八：利用第一定義求解軌跡

35.M是一個動點，與直線V=x垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線Y=-x垂直，垂足B位于第

四象限，若四邊形。4MB（。為原點）的面積為4,則動點M的軌跡方程是（）

A.y2-x2=8B.x2-y2=16C.x2-y2=8(x>0)D.x2-/=16(x>0)

【答案】C

【解析】設(shè)”（蒼y）,根據(jù)題意可知點加在丫=%和丫=-相交的右側(cè)區(qū)域,

%,至U直線的星巨離&二嶗土x+y

所以點M到宜線y=%的距離4=

2_2

SFMMB=44=丁-=4,即x-y=8(x>0).

所以動點M的軌跡方程：%2-/=8（x>0）.

故選：C.

36.已知圓G：/+y2+6x+8=。與圓C”尤一6尤-16=。，動圓M同時與圓及Q相外切，則動圓圓

心M的軌跡為（）

A.橢圓B.橢圓和一條直線

C.雙曲線和一條射線D.雙曲線的一支

【答案】D

【解析】圓G：x~+y?+6x+8=0,Cj:（x+3）2+y2=1,圓心C"—3,0）,a=1，

圓G：x?+y~—6x—16=0,￡:(尤—3)~+=25,圓心G(3,0),r2=5,

設(shè)M(x,y),因為圓/同時與圓G及G相外切，

所以2HM。=4<|6。2|，

即M的軌跡是以C”g為焦點，2a=4的雙曲線的左支.

故選：D

37.已知點￡（一3,0）,3（3,0）,若動點滿足左岬?/瑪=4,則動點M的軌跡方程為.

22

【答案】工-匕

936

yy

【解析】設(shè)/（％,V）,由題意可知xw±3,kMFi-kMF2==4,

x+3x—3%2—9

22

整理可得動點M的軌跡方程為-=1（XN±3）.

22

故答案為：———=1(x5^±3).

936I1

38.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，動點P關(guān)于x軸對稱的點為。，且加?回=2,則點P的軌跡方程為.

【答案】x2-r=2

【解析】設(shè)尸(x,y),則Q(x,-y),

又因為歷?回=2,可得(x,y)-(x,-y)=x2-y2=2.

貝U點尸的軌跡方程為Y-y?=2.

故答案為：x2-y2=2.

39.已知P為圓C：(x-5?+y2=36上任意一點，A(-5,0).若線段上4的垂直平分線交直線尸C于點°,

則點。的軌跡方程為.

f2

【答案】--^v=1

916

【解析】由點。是線段AP垂直平分線上的點，

■■\AQ\=[PQ\,

又?<QA\-\QC||=|PC|=6<|AC|=10,

滿足雙曲線定義且。=3,c=5,

:.b=4,

22

???軌跡方程：土-匕=1.

916

22

故答案為：土-二=1.

916

40.在平面直角坐標(biāo)系中，動點尸與兩個定點耳(-2,0)和6(2,0)的連線的斜率之積等于1,則點P的軌跡

方程為.

【答案】!一丁=1(**±2)

【解析】設(shè)點尸(尤,”尤片士2,

由已知得yy整理得上-y2=],

x+2x—244

所以點尸的軌跡方程為左-V=Jw±2).

故答案為：--y2=l(%w±2).

4a

41.動點/(羽y)與定點尸(0,3)的距離和它到直線/:y=：的距離的比是常數(shù)；，則動點M