第02講探索三角形全等的條件

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

i.理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“乩”定理.

2.能把證明一對(duì)角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.全等三角形的判定

（1）判定定理I：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（3）判定定理3：AS4--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

二.直角三角形全等的判定

1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“乩”）.

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作為“乩”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，

使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件.

三.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)

鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

四.全等三角形的應(yīng)用

（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目

的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基

本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三

角形來證明.

（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為

三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

【考點(diǎn)剖析】

一.全等三角形的判定（共5小題）

1.（2021秋?無錫期末）如圖，點(diǎn)8,F,C,E在一條直線上，AB//ED,AC//FD,那么添加條件后,

可以判定AABC絲ADEF.

2.（2021秋?宜興市期末）如圖，AC^AD,ZDAC^ZEAB,要使△ABC之應(yīng)添加的條件

是.（只需寫出一個(gè)條件即可）

3.（2022?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知：點(diǎn)8、E、C、尸在一條直線上，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求證：AABC

沿4DEF.

4.（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形ABC。中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AD//BC,ZADC=ZACD,

ZCED+ZB=180°.求證：△ADE2CAB.

5.（2021秋?連云港期末）如圖，已知Nl=/2,N3=N4,要證BC=a）,證明中判定兩個(gè)三角形全等

的依據(jù)是（）

A.角角角B.角邊角C.邊角邊D.角角邊

二.直角三角形全等的判定（共4小題）

6.（2021春?姑蘇區(qū)期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行；

②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

③（a-3b）2=a2-9b2；

④（x-2）°=1：

⑤有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

⑥經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

7.（2020秋?鄲都區(qū)期末）如圖，AB1BD,CDLBD,AD=BC,則能直接判斷RtaABO之RtZ\C￡>B的理

C.SASD.SSS

8.（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在RtzXABC和Rt△。所中，ZC=ZF=90°,AC^DF,只需補(bǔ)充條

件,就可以根據(jù)“HL”得至(JRtZ\A8C0RtZ\Z)ER

AD

CBFE

9.（2020?黑龍江）如圖，Rt^ABC和Rt^ED尸中，BC//DF,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加

一個(gè)條件,使RtAABC和RtA￡DF全等.

三.全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）

10.（2021秋?蘇州期末）如圖，已知NC=/E,/CDE=55°,則NABE的度數(shù)為（）

A.155°B.125°C.135°D.145°

11.（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點(diǎn)、D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，連接。E并延長(zhǎng)至R使

EF=DE,連接PC.FC//AB,AB=5,C尸=3,則BD的長(zhǎng)等于（）

A.1B.2C.3D.5

12.（2021秋?桐柏縣期末）如圖，已知A3_LCD,AB=CD,E、P是上的兩個(gè)點(diǎn)，CE_LA。，BF±AD,

若AZ)=a,BF=b,CE=c,則Ef的長(zhǎng)為()

c

A.a+b-cB.b+c-aC.a+c-bD.a-b

13.（2021秋?阜寧縣期末）在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=4cm,CDLAB,在AC上取一點(diǎn)E,使

EC=4cm,過點(diǎn)E作￡F_LAC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若AE=lcm,貝（JEF=cm.

AN

14.（2021秋?濱?？h期末）如圖，一個(gè)正方形擺放在桌面上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

1：/

15.（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD±BD,AE1EC,垂足分別為。，E,BD,CE相

交于點(diǎn)。，且/BAE=/CAD

（1）求證：△48。絲△ACE；

（2）若/8OC=140°,求/08C的度數(shù).

16.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，已知AB=CB,AD=CD.求證：ZA=ZC.

A

17.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.

求證：ZABD=ZACE.

四.全等三角形的應(yīng)用（共4小題）

18.（2021秋?武城縣期末）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店

去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去.

D.①和②

19.（2021秋?沛縣期末）如圖，小明用"X"型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗測(cè)量圓柱形小口容器壁的厚度.已知OA=OD,OB

=OC,AB6cm,EF=8cm,則該容器壁的厚度為cm.

自

20.（2019秋?邛江區(qū)校級(jí)月考）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸BM上截取BC=

CD,作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)垂足為點(diǎn)。.（DE乎CD）

（1）線段的長(zhǎng)度就是A、8兩點(diǎn)間的距離

（2）請(qǐng)說明（1）成立的理由.

21.（2021春?陳倉區(qū)期末）為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，

設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥?2的距離無法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測(cè)量48的距離.甲、

乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：

甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A,8的點(diǎn)。，連接A。并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,連接80并延長(zhǎng)

乙：如圖②，先確定直線A8,過點(diǎn)8作直線BE,在直線3E上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)連接ZM,

作。C=D4,交直線48于點(diǎn)C,最后測(cè)量的長(zhǎng)即可.

（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？

（2）請(qǐng)說明方案可行的理由.

【過關(guān)檢測(cè)】

、單選題

1.（2021?江蘇無錫?八年級(jí)期末）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.有兩條邊分別相等B.有一個(gè)銳角和一條邊相等

C.有一條斜邊相等D.有一直角邊和斜邊上的高分別相等

2.（2021?江蘇南京?八年級(jí)期末）在△欣中，N/=60°,Z5=50°,AB=8,下列條件能得到△/回

絲△龍尸的是（）

A.ZD=6Q°,/￡=50°,DF=8B.ZD=60°,/6=50°,DE=3

C./￡=50°,N尸=70°,DE=3D./小60°,N6=70°,EF=3

3.（2020?江蘇八年級(jí)月考）如圖，AC^DF,Z1=Z2,如果根據(jù)“S4S”判定△MC2ADEF,那么

A.ZA=ZDB.AB=DEC.ZB=ZED.BF=CE

4.（2020?江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，OC平分/AOB,D、E、6分別是。C、OA,如上的點(diǎn),

則添加下列哪個(gè)條件不能使△行與△眥全等（）

GFB

A.DE=DFB.0±OFC.NOD//ODFD.ZAED=ZBFD

5.(2021?江蘇八年級(jí)期末)如圖，已知AC=BD,添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定叵△胡〃的是

()

CD

AB

A.AABC=ZBADB./C=/D=90°C.ACAB=ADBAD.CB=DA

6.（2020?南京市深水區(qū)和鳳初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出

NAOB=NA0E的依據(jù)是（）

P'

A.SASC.ASAD.AAS

二、填空題

7.（2021?江蘇八年級(jí)月考）如圖，在中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)8的

坐標(biāo)為（1,5）,則/點(diǎn)的坐標(biāo)是.

8.（2021?江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABSADEF,龍=5,BF=3貝U*=

BF

9.（2021?江蘇南京?八年級(jí)期末）如圖，△/切是等邊三角形，若AB=DE,BC=AE,/￡=115°,則/

BAE=0.

10.（2021?江蘇）如圖，AABC四△D￡F，點(diǎn)B、八C、E在同一條直線上，AC、D歹交于點(diǎn)M,ZACB=30°,

則NAMF的度數(shù)是°.

D

11.（2019?常熟市第一中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知%ABC=24m2,平分的C,且于點(diǎn)〃

貝UKA"C

12.（2019?江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，也是劭的中點(diǎn)，那么26與3的關(guān)系是

13.（2019?江蘇八年級(jí)月考）在△/8C和△史E給出下列四組條件：

①AFDE,BOEF,AC=DF-,②AFDE,NB=NE,BOEF；③/廬BC=EF,/O/F；@AB=DE,AC=DF,

/斤/￡.其中，能使△加隹△龍戶的條件共有組

14.（2019?江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，皿是△/回中6c邊上的中線，若力廬2,A（=6,則皿的取值范

圍是__________

三、解答題

15.（2020喧興市樹人中學(xué)八年級(jí)月考）已知AABN和9。/位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,Z1=Z2.

B

（1）試說明：BD=CE；

（2）試說明：ZM=ZN.

16.（2021?江蘇八年級(jí)期中）如圖，已知四〃繆，AB=CD,/A=/D.求證：AF=DE.

17.（2020?蘇州市吳江區(qū)青云實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖①，4）平分/BAC,/B+NC=180o,/B=90。,

可得D3=OC.

（1）如圖②，4）平分/BAC,/ABD+NAC￡>=18（F,/ABD<90。，參照?qǐng)D①，過點(diǎn)D作至于點(diǎn)

尸，AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證：DB=DC；

（2）如圖③，在四邊形"DC中，ZB=45°,ZC=135°,=OC,過點(diǎn)D作DELM,垂足為點(diǎn)E,若=a,

則AC的值是多少？（用含a的代數(shù)式表示）

18.（2019?江蘇八年級(jí)月考）如圖（1）在△/比1中，ZACB=90°,AOBC,直線g經(jīng)過點(diǎn)C,且4上L就

于點(diǎn)〃施工腑于點(diǎn)反

E

圖1圖2

（1）求證：①△血修△吸；②D4AD^BE.

（2）當(dāng)直線的V繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，DE、AD、龐又怎樣的關(guān)系？并加以證明.

19.（2021?江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ZCAB+ZABD=120°,AD,3C分別平分NC4B、ZABD,AD

與BC交于點(diǎn)0.

（1）求ZAO3的度數(shù)；

（2）說明AB=AC+9的理由.

20.（2019?江蘇八年級(jí)月考）在AABC中，=AC,點(diǎn)2是直線6,上一點(diǎn)（不與dC重合），以4?

為一邊在皿的布刎作△/"￡,^AD=AE,ZDAE=ABAC,連接第

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上，如果/54C=90。，則NBCE=度；

(2)設(shè)NB4C=tz,ZBCE=p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在線段8C上移動(dòng)，則a,夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)O在直線BC上移動(dòng)，則a，〃之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

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第02講探索三角形全等的條件

旨【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“乩”定理.

2.能把證明一對(duì)角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.全等三角形的判定

(1)判定定理I：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(4)判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

直角三角形全等的判定

1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“乩”).

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作為“乩”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，

使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件.

三.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)

鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

四.全等三角形的應(yīng)用

(1)全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目

的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

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（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基

本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三

角形來證明.

（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為

三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

【考點(diǎn)剖析】

全等三角形的判定（共5小題）

1.（2021秋?無錫期末）如圖，點(diǎn)3,F,C,E在一條直線上，AB//ED,AC//FD,那么添加條件BC

=E=或或或AC=￡>=后，可以判定△ABCgADEF.

D

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZACB=ZDFE,然后根據(jù)全等三角形的判定方法添加條

件.

【解答】-JAB//ED,

'：AC//FD,

：./ACB=Z.DFE,

當(dāng)添力口BCnET7（,或BF=EC）時(shí)，根據(jù)"ASA”可判定△ABCg/XOEF；

當(dāng)添加（或AC=DF）時(shí)，根據(jù)“A4S”可判定△ABC注△DEP；

綜上所述，當(dāng)添加條件BC=EF或BF=EC或或AC=DE后，可以判定△ABC四△OEF.

故答案為：BC=E/或BP=EC或或AC=DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵.選用

哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件.

2.（2021秋?宜興市期末）如圖，AC=AD,ZDAC=ZEAB,要使△ABC04AEQ,應(yīng)添加的條件是48

=AE（或或NC=/￡>）.（只需寫出一個(gè)條件即可）

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A

E

B,----xq—c

D

【分析】先證明/8AC=NE4。，由于AC=A。，則根據(jù)全等三角形的判定方法可添加條件.

【解答】解：

ZDAC+BAD=ZEAB+ZBAD,

即

VAC=AD,

，當(dāng)添加A3=A￡1時(shí)，根據(jù)“SAS”可判斷△ABCg/\A￡D；

當(dāng)添加NB=NE時(shí)，根據(jù)“A4S”可判斷△ABC絲△AED；

當(dāng)添加NC=N￡＞時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷

要使△ABC咨△AEZ）,應(yīng)添加的條件是AB=AE（或NB=N￡1或/C=ND）.

故答案為：AB^AE（或NB=/E或/C=ND）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵.選用

哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件.

3.（2022?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知：點(diǎn)8、E、C、/在一條直線上，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求證：△ABC

%LDEF.

BECF

【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到乙8=/。所，ZACB=ZF,再證明然后根據(jù)“ASA”可判

斷△ABC絲

【解答】證明：'JAB//DE,

：.ZB=ZDEF,

'：AC//DF,

：.ZACB=ZF,

'：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△ABC和中,

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^DEF

\BC=EF，

VZLACB=Z.F

：.AABC^^XDEF（ASA）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵.選用

哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件.

4.（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形A3C。中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AD//BC,ZADC=ZACD,

NCED+NB=180°.求證：△A0E之△CAB.

CK___________B

DA

【分析】由等角對(duì)等邊可得AC=AO,再由平行線的性質(zhì)可得ND4E=NAC3,由NCE0+NB=18O°,

ZCED+ZAED=180°,得NAEO=N3,從而利用A4S可判定△?!￡>￡；絲△CAB.

【解答】證明：???NAOC=NACD,

：.AD=AC,

U：AD//BC,

：.ZDAE=ZACB,

???NCEO+N3=18（r,ZCE￡）+ZAE￡>=180°,

J/AED=/B,

在△ADE與△CAB中，

（ZDAE^ZACE

\z.AED=z.B'

UD=AC

：.AADE^/\CAB（AAS）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關(guān)鍵是由已知條件得出相應(yīng)的角或邊的關(guān)系.

5.（2021秋?連云港期末）如圖，已知N1=N2,Z3=Z4,要證8C=CD,證明中判定兩個(gè)三角形全等

的依據(jù)是（）

19/49

A.角角角B.角邊角C.邊角邊D.角角邊

【分析】已知兩角對(duì)應(yīng)相等，且有一公共邊，利用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理即可.

【解答】解：在△ABC與△ADC中，

=Z2

\AC=AC'

U3=z4

貝（J/vWCdADC（ASA）.

：.BC=CD.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS.注

意：A4A、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)

應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

二.直角三角形全等的判定（共4小題）

6.（2021春?姑蘇區(qū)期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行；

②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

③（a-3b）2=a2-9房；

④（尤-2）°=1；

⑤有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

⑥經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】（1）根據(jù)平行線的定義解答；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；

（3）根據(jù)完全平方公式解答；

（4）根據(jù)零次幕的意義解答；

（5）根據(jù)全等三角形的判定解答；

（6）根據(jù)垂線公理解答.

【解答】解：根據(jù)平行線的定義①正確；

②錯(cuò)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

③錯(cuò)，（a-3b）2=/-6?！?9b2；

④錯(cuò)，當(dāng)x-2W0時(shí)，（x-2）°=1；

⑤正確，有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

⑥正確，根經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直.

故選：D.

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【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)概念判斷題，根據(jù)概念定義可以判斷.

7.（2020秋?鄲都區(qū)期末）如圖，AB±BD,CDLBD,AD=BC,則能直接判斷的理

C.SASD.SSS

【分析】由“HL”可證RtZXAB。和RtZkCOB.

【解答】解：'：ABLBD,CDLBD,

：.ZABD=ZCDB=90°,

在RtAABD和RtACDB中,

(AD=BC

[BD=DB

：.RtAABD^RtACDB（HL）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在RtZsABC和Rt/XOEF中，ZC=ZF=90°,AC=DF,只需補(bǔ)充條件

AB=DE,就可以根據(jù)"HL”得至URt^ABC絲RtZXDEF.

【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法解決此題.

【解答】解：補(bǔ)充條件：AB=DE.

在RtAABC和RtADEF中，

(AB=DE

14c=DF'

/.RtAABC^RtADEF（HL）.

故答案為：AB=DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2020?黑龍江）如圖，Rt^ABC和/中，BC//DF,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加

一個(gè)條件AB=ED（答案不唯一），使RtAABC和RtAEDF全等.

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【分析】根據(jù)全等三角形的判定解答即可.

【解答】解：?.?RtAABC和RtAEDF中，

：.ZBAC=ZDEF=90°,

,:BC〃DF,

：.NDFE=NBCA,

???添加AB=ED,

在RtA4^C和RtAEOF中

ZDFE=ZBCA

'（DEF=Z.BAC'

,AB=ED

ARtAABC^RtAEDF（A4S）,

故答案為：AB=ED（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答.

三.全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）

10.（2021秋?蘇州期末）如圖，已知NC=NE,ZCDE=55°,則NA5E的度數(shù)為（）

A.155°B.125°C.135°D.145°

【分析】利用A4s證明△ACZ^ZXA班即可得出答案.

【解答】解：在△AC。和AAEB中，

4=4

AD=AB

：.AACD^AAEB(A4S),

ZABE=ZADC,

?：NCDE=55°,

/.ZA￡>C=180°-NCDE=180°-55°=125°,

AZABE=ZADC=125°,

故選：B,

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【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。，E分別為△ABC的邊A8,AC上的點(diǎn)，連接。E并延長(zhǎng)至R使

EF=DE,連接FC.FC//AB,AB=5,CF=3,則8。的長(zhǎng)等于（）

【分析】由FC〃AB得，ZDAE=ZFCE,再利用A4S證明△D4E會(huì)/XPCE,得AQ=CE從而解決問

題.

【解答】解：'：FC//AB,

：.ZDAE=ZFCE,

在△DAE'與中，

NDAE=NFCE

,Z,AED="EF'

、DE=EF

:.ADAE<AFCE（A4S）,

：.AD^CF,

'：CF=3,

：.AD=CF=3,

又?.?AB=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明△ZME絲△尸CE是解題

的關(guān)鍵.

12.（2021秋?桐柏縣期末）如圖，已知AB_LCD,AB=CD,E、尸是上的兩個(gè)點(diǎn)，CE±AD,BF1AD,

若4￡>=a,BF=b,CE=c,則EF的長(zhǎng)為（）

C.a+c-bD.a-b

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【分析】由題意可證△AB廠也△COE(A4S),可得BF=DE=b,CE=AF=c,可求EF的長(zhǎng).

【解答】解：-ABLCD,CELAD,

：.ZC+ZD=90°,ZA+ZD=90°,

AZA=ZCf且AB=CD,/AFB=/CED,

：.AABF^/XCDE(A4S),

：.BF=DE=b,CE=AF=c,

'：AE=AD-DE=a-b,

.\EF=AF-AE=c-Qa-b)=c-a+b,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

13.(2021秋?阜寧縣期末)在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4cm,CD±ABf在AC上取一點(diǎn)瓦使

EC=4cm,過點(diǎn)E作跖_(tái)LAC交CQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?若AE=lc相，則EF=5cm.

【分析】由CD±AB,EFLAC就可以得出N在C=乙4。。=90°,就有NA=NR就可以得出△ABC

絲△尸CE,就有EF=AC而求出結(jié)論.

【解答】解：-：CDLAB,EFLAC,

：.ZFEC=ZADC=ZACB=90°,

ZACD+ZA=ZACD-^ZF=90°,

???ZA=ZF,

■;BC=EC=4cm,

在△ABC和△尸CE1中，

ZACB=NFEC

〃=ZF，

、BC=EC

:?△ABC名AFCE(AAS),

：.AC=FE,

\9AC=AE+EC,

：?FE=AE+EC,

VEC=4cm,AE=lcm,

*.FE=^+\=5cm.

故答案為：5.

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,

解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

14.（2021秋?濱海縣期末）如圖，一個(gè)正方形擺放在桌面上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為—巡

【分析】標(biāo)注字母，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ZBAD=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出/1=

N3,然后利用“角角邊”字母△A5E和△D4F全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得再利用

勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，由正方形性質(zhì)可得，AB=AD,NBAD=90°,

.,.Zl+Z2=180°-90°=90°,

■：BE±AE,DF±AF,

：.ZAEB=90°,ZDFA=90°,

.\Z2+Z3=180°-90°=90°,

：.Z1=Z3,

在△ABE和△IMP中，

ZEB=ZDFA=90"

z3=zl'

/B=AD

:.AABE咨ADAF(AAS),

：.AE=DF=1,

在RtAABE中，AB=\/BE2+AE2=\J22+I2=展,

即正方形的邊長(zhǎng)為M，

故答案為：的.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用三角形全等，把

長(zhǎng)度為1、2的邊轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形的兩直角邊是解題的關(guān)鍵.

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15.(2022?南通模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,AD±BD,AE±EC,垂足分別為。，E,BD,CE相

交于點(diǎn)。，且

(1)求證：AABD咨AACE；

(2)若/8OC=140°,求/OBC的度數(shù).

【分析】(1)由“AAS”可證△ABOg/vlCE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/ACE,由等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=NACB,即可求解.

【解答】(1)證明：??,/BAE=NCA。，

：.ZBAD=ZCAE,

\'AD±BD,AE±EC,

：.ZADB=ZAEC=9O°,

在△4BD和△&(7￡1中，

(^BAD=^CAE

)Z.ADB=Z.AEC'

=AC

：.AABD^AACE(AAS)；

(2)解：,/AABD^AACE,

：.ZABD=ZACE,

"：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZOBC=ZOCB,

VZBOC=140°,

：.ZOBC=ZOBC^2Q°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?淮安區(qū)期末)如圖，已知AB=C8,AD=CD.求證：NA=NC.

【分析】連接3。，利用邊邊邊證明由全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】證明：連接8。，

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DB

在AABD與ACBD中,

AD=CD

AB=CB，

DB=DB

:?△ABDmACBD(SSS),

ZA=ZC.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，此題主要利用邊邊邊判定三角形全等.

17.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△A3C和△A。石中，AB=AC,AD=AEfZBAD=ZCAE.

求證：ZABD=ZACE.

【解答】證明：在和△AC8中,

AB=AC

z.BAD=z.CAE^

AD=4E

AAABD^AACE(SAS)，

：.ZABD=ZACE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

四.全等三角形的應(yīng)用（共4小題）

18.（2021秋?武城縣期末）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店

去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去.

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【分析】此題可以采用排除法進(jìn)行分析從而確定最后的答案.

【解答】解：第一塊，僅保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法；

第二塊，僅保留了原三角形的一部分邊，所以該塊不行；

第三塊，不但保留了原三角形的兩個(gè)角還保留了其中一個(gè)邊，所以符合ASA判定，所以應(yīng)該拿這塊去.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握.

19.（2021秋?沛縣期末）如圖，小明用“X”型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗測(cè)量圓柱形小口容器壁的厚度.已知OA=。。，OB

=OC,AB=6cm,EF=8cm,則該容器壁的厚度為1cm.

【分析】只要證明△AOBg/YDOC,可得即可解決問題.

【解答】解：在△AOB和△DOC中，

0A=0D

/.AOB=/DOC，

BO=OC

:.△AOBQbDOC（SAS）,

AB=CD—6cm,

EF=Scm,

1

圓柱形容器的壁厚是一X（8-6）=1（cm）,

2

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

20.（2019秋葉R江區(qū)校級(jí)月考）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸上截取BC=

CD,作即，瓦）交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)D（DE中CD）

（1）線段DE的長(zhǎng)度就是A、8兩點(diǎn)間的距離

（2）請(qǐng)說明（1）成立的理由.

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【分析】(1)根據(jù)題意確定

(2)根據(jù)已知條件得到兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論即可.

【解答】解：(1)線段的長(zhǎng)度就是A、2兩點(diǎn)間的距離；

故答案為：DE；

(2)'JABLBC,DELBD

：.ZABC=ZEDC=90°

又?：NACB=/DCE,BC=CD

：.AABC^ACDE(ASA)

：.AB=DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟練掌握全等三角形的判定方法并確定出全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

21.(2021春?陳倉區(qū)期末)為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，

設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃,8的距離無法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測(cè)量A,8的距離.甲、

乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：

甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A,8的點(diǎn)O,連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,連接80并延長(zhǎng)

到點(diǎn)。，使CO=A。，DO=BO,連接。C,測(cè)出。C的長(zhǎng)即可.

乙：如圖②，先確定直線過點(diǎn)8作直線8E,在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)。，連接D4,

作。C=ZM,交直線AB于點(diǎn)C,最后測(cè)量2C的長(zhǎng)即可.

(1)甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？

(2)請(qǐng)說明方案可行的理由.

【分析】(1)甲同學(xué)作出的是全等三角形，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等測(cè)量的，所以是可行的；

(2)甲同學(xué)利用的是“邊角邊”，乙同學(xué)的方案只能知道兩三角形的兩邊相等，不能判定△A8D與4

全等，故方案不可行.

29/49

【解答】解：（1）甲同學(xué)的方案可行；

（2）甲同學(xué)方案：

在△ABO和△CDO中，

AO=CO

乙40B="0。

BO=DO

：.AABO^ACDO（SAS）,

：.AB=CD；

乙同學(xué)方案：

在和△CB。中，

只能知道DC=D4,DB=DB,不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形判定的“&4S”定理是解決問題的關(guān)

鍵.

.【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2021?江蘇無錫?八年級(jí)期末）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.有兩條邊分別相等B.有一個(gè)銳角和一條邊相等

C.有一條斜邊相等D.有一直角邊和斜邊上的高分別相等

【答案】D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對(duì)4個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分

析，然后即可得出答案.

【詳解】A,兩邊分別相等，但是不一定是對(duì)應(yīng)邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

一條邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

C,有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

A有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

2.（2021?江蘇南京?八年級(jí)期末）在△/6C中，NZ=60°,/B=5Q°,初=8,下列條件能得到△/回

烏△龍F(tuán)的是（）

A./片60°,N^=50°,DF=3B.N，=60°,/尸=50°,龐=8

C.Z￡=50°,/b=70°,龐=8D.ZD=60°,ZF=70°,EF=8

【答案】C

【分析】顯然題中使用ASA證明三角形全等，AABC'DEF,需要保證/A=/DZB=ZE,AB=DE,可

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以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定NF.

【詳解】解：成必△加尸，

:./B=/E=50°,N/=N〃=60°,AB=DE=3,

.,.ZF=180°-ZE-4D=10°,

故選C.

【點(diǎn)睛】這道題考查的是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角分別相等.清楚三角形全等判定的含義是解題的關(guān)

鍵.

3.（2020?江蘇八年級(jí)月考）如圖，AC=DF,Z1=Z2,如果根據(jù)“SAS”判定八45。絲,那么

A.ZA=ZDB.AB=DEC.ZB=NED.BF=CE

【答案】D

【分析】利用全等三角形的判定方法，“弘S”即邊角邊對(duì)應(yīng)相等，只需找出一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等即可，進(jìn)而得

出答案.

【詳解】解：需要補(bǔ)充的條件是於第

：.BFvF（=CE+CF,HPBC=EF,

在和△㈤;1中，

AC=DF

<Zl=Z2,

BC=EF

.'.^ABC^ADEF（SAS'）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA,AAS,HL.添

加時(shí)注意：AAA.SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確

解答本題的關(guān)健.

4.（2020?江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，OC平分4AOB,D、E、戶分別是利、04、神上的點(diǎn)，

則添加下列哪個(gè)條件不能使△眥與△眥全等（）

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A.DE=DFB.OE^OFC.AOD^AODFD.AAED=ZBFD

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】解：；?是//出的平分線，

/.AAOP=ABOP,而華是公共邊，

A：添加法所符合''邊邊角"，不能判定△勿出眥；

B：添加龐、二陽可以利用“外S”判定△如出眥；

C：添加/切方NW,可以利用“力弘”判定△頌必眥；

D：NAED=/BFD,司知/OED=/OFD,可以利用“A4S”判定金眥；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?江蘇八年級(jí)期末）如圖，已知劭，添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定4/6電△的，的是

A.AABC=ZBADB./C=/D=90°C.ZCAB=ZDBAD.CB=DA

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可一一判斷；

【詳解】在△46C與△胡。中，AC=BD,AB=BA,

4S必?zé)o法判斷三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；

氏根據(jù)俄即可判斷三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；

G根據(jù)SIS即可判斷三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；

久根據(jù)SSS即可判斷三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，關(guān)鍵在于熟練靈活的使用各個(gè)判定方法；

6.（2020?南京市漂水區(qū)和鳳初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出

ZAOBuZA'O'b'的依據(jù)是（）

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【答案】B

【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)

用SSS,答案可