專題10勾股定理的綜合探究題型(解析版)

題型一探究直角三角形的邊和高之間的關(guān)系

典例1(湖州模擬)如圖，在R3A8C中，ZACB=90°,CO_LAB于。，設(shè)AC=6,BC=a,AB=c,CD=h,有下

111

列四種說(shuō)法：①a?b=c?h；②a+b<c+h；③以〃+/?、h、c+/z為邊的三角形，是直角三角形；④丁+77=R其

azbzhz

思路引領(lǐng)：①根據(jù)三角形面積公式即可求解；

②證明(Q+Z?)2<(c+h)2;

③直角三角形，證明(a+h)2+誄=(c+力)2；

11

④只需證明好(―+—)=1,從左邊推導(dǎo)到右邊.

a2b2

11

解：①???RtA48C的面積為：于?；?/p>

/.ab=ch,故①正確；

@Vc2<c2+/i2,a2+b2=c2,

tz2+&2<c2+/z2,

?ab~~ch,

c^+^+lab<c1+h1+2ch,

(〃+/?)2<(c+h)2,

/.a+b<c+h,故②正確；

@V(c+/z)2=C2+2C/Z+7Z2,

廬+(〃+。)2="2+〃2+2〃。+。2,

???〃2+廿=02,(勾股定理)

ab=ch(面積公式推導(dǎo))

c^+2c/z+/z^—7z2+〃2+2〃b+》2,

(c+/i)2=序+Q+b)2,

???根據(jù)勾股定理的逆定理知道

以Zz,c+k為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，③正確;

④;ab=ch,

Cab)2=(ch)2,即。2。2=02%2,

a2+b2=c1,

a2b2=（次+廬）02,

a2b2

;=層9,

a2+b2

.4+后_

,,a2b2h2,

a2b21

\--------i_--------———

*a2b2a2b2h2,

111

?'?-7+77=77，故④正確.

azbzhz

故選：D.

總結(jié)提升:此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握,此題有一定的拔高難度,屬于難題，

在證明過(guò)程中，注意面積關(guān)系式仍=M的應(yīng)用.

題型二“手拉手”全等或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手全等模型

典例2（2022?臥龍區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，ZBAC=ZDAF=90°,AB=AC,AD=AF,D,E為8C邊上的兩點(diǎn)，

且ND4E=45。，連接ERBF,下列結(jié)論：①AAED名△AEF；②BF=CD；③BE+DODE；@B￡2+￡）C2=DE2.其

中正確的有（）

思路引領(lǐng)：根據(jù)/D4尸=90。，ZDAE=45°,得出/剛E=45。，利用SAS證明AAED附△AEF,判定①正確；

可證之△AC。，于是BF=CD,判定②正確；

先由/B4C=/D4尸=90。，得出/CA￡）=NA4R再利用SAS證明AAC。絲△ABP,得出CD=BR又①知。E

=EF,那么在ABEF中根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得等量代換后判定③正確；

先由AACr）之得出NC=/AB尸=45。，進(jìn)而得出NEBP=90。，然后在RtABEF中，運(yùn)用勾股定理得出

BE2+BF2=EF2,等量代換后判定④正確.

解：①：/&4歹=90°,ZDA￡=45°,

.,.ZFAE^ZDAF-/ZME=45°.

在A4匹與垃4所中，

AD=AF

ADAE=AFAE=45°,

AE=AE

：.AAED^AAEF（SAS）,①正確；

②,:ZBAC=ZDAF=90°,

：.ZFAB=ZCAD,

在AABF與△ACZ)中，

AF=AD

/.FAB=/.CAD,

AB=AC

：.AABF^/\ACD(SAS),

：.BF=CD,②正確；

③；ZBAC^ZDAF^90°,

：.ABAC-ZBAD=NDAF-/BAD,即NCAO=/BAF.

在AAC￡）與尸中，

AC=AB

ACAD=ABAF,

.AD=AF

.?.△AOg△ABF（SAS）,

：.CD=BF,

由①知△AED0

：.DE=EF.

在△BEP中，'：BE+BF>EF,

：.BE+DODE,③正確；

由③知△ACO0A4BR

：.ZC=ZABF=45°,

'：ZABE=45°,

ZEBF=ZABE+ZABF=9Q°.

在RtABEF中，由勾股定理，得2爐+2尸=￡產(chǎn)，

,:BF=DC,EF=DE,

：.BE1+DC2=DE1,④正確.

所以正確的結(jié)論有①②③④.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，

相似三角形的判定，此題涉及的知識(shí)面比較廣，熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

典例3（2020旗州模擬）如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且B4=3,PB=4,PC=5,若將AAPB繞著點(diǎn)2

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到ACQB,則NAPB的度數(shù).

思路引領(lǐng)：首先證明ABP。為等邊三角形，得/8。尸=60。，由△ABPgCBQ可得。C=B4,在APOC中，已知三

邊，用勾股定理逆定理證出得出/PQC=90。，可求/8QC的度數(shù)，由此即可解決問(wèn)題.

解：連接P。，由題意可知及48尸0△CB。

則QB=PB=4,B4=QC=3,ZABP=ZCBQ,

\-AABC是等邊三角形，

ZABC=ZABP+ZPBC^6Q0,

：.ZPBQ=ZCBQ+ZPBC=60°,

:ABPQ為等邊三角形，

.?.尸。=尸2=2。=4,

又；PQ=4,PC=5,QC=3,

：.P(^+QC1=PC2,

：.ZPQC=9Q°,

,:叢BPQ為等邊三角形，

：.ZBQP=60°,

：.ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是勾股定理

逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型.

針對(duì)練習(xí)

1.(洪山區(qū)期中)如圖，/4。8=30。，尸點(diǎn)在/AO8內(nèi)部，/點(diǎn)在射線。4上，將線段繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

M點(diǎn)恰好落在02上的N點(diǎn)(OM>ON),若ON=8,則OM=—.

思路引領(lǐng)：連接MN,作M/_LOA于X,如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NMPN=90。，PN^PM=VlO,可判斷APMN

為等腰直角三角形，則MN=&PM=2代，在RtAOHN中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得NH=±ON

=4,0H=WNH=4同然后在RtAMN”中根據(jù)勾股定理計(jì)算出Affi=2,由此得到OM=O〃+HM=4g+2.

解：連接MN,作N”_LOA于H,如圖，

\?線段PM繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,M點(diǎn)恰好落在OB上的N點(diǎn)、,

：.ZMPN=90°,PN=PM=V10,

4PMN為等腰直角三角形，

：.MN=V2PM=2V5,

在RtAOHN中，VZNOH=30°,ON=8,

1

：.NH=為N=4,

OH=V3AW=4V3,

在RSWW中，"：NH=4,MN=2小,

：.MH=y/MN2-NH2=2,

，OM=OH+HM=4V3+2.

故答案為4W+2.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

2.(2020秋?永嘉縣校級(jí)期末)如圖，在AAOB與AC。。中，NAOB=/COD=90。，AO=BO,CO=DO,連接CA,

BD.

(1)求證：4AoemABOD；

(2)連接BC,若OC=1,AC=V7,BC=3

①判斷ACDB的形狀.

②求/ACO的度數(shù).

思路引領(lǐng)：(1)由題意可得NAOC=/B。。，且AO=8O,CO=DO,即可證

(2)①由全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可得NBDC=90。，即可得△CD3是直角三角形;

②由全等三角形的性質(zhì)可求NACO的度數(shù).

證明：(1)VZAOB=ZCOD^90°,

：.ZAOC=ZBOD,S.AO=BO,CO=DO,

二.△AOC/ABOD(SAS)

(2)①如圖，

AZACO^ZBDO,AC=BD=yJl

VCO=DO=1,ZCOD=90°

：.CD=7c()2+DO2=V2,ZODC=NOCD=45。

'：CDZ+BD2=9=BC2,

：.ZCDB=90°

...△2。是直角三角形

②ZBDO=ZODC+ZCDB

：.ZBDO=\35°

：.ZACO=ZBDO=135°

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟練運(yùn)用全等三

角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

題型三倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形

典例4(2022?蘇州模擬)如圖1,在AABC中，ZACB=90°,點(diǎn)D為A8中點(diǎn)，DE,。尸分別交AC于點(diǎn)E,交BC

于點(diǎn)RS.DE±DF.

(1)如果CA=C8,連接CD

①求證：DE=DF；

②求證：AE2+BF2^EF2；

(2)如圖2,如果C4VC8,探索AE,B尸和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

思路引領(lǐng)：(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知，NDCE=/DBF=45。,ZCDB^90°,CD=BD.由DEI.

DF,可證明即可利用“ASA”證明ADCE四△DBF,即得出②由全等三角形的性質(zhì)可

知BB=CE,結(jié)合題意可求出AE=CP.在RtAECF中，再由勾股定理，CF2+CE2^EF2,即得出A5+g尸2=

EF2-,

(2)延長(zhǎng)即至點(diǎn)使￡>M=Z)R連接AM,EM.易證AAOW0△3。尸(&4S),得出ZMA￡)=Z

B,從而判斷AM〃BC,即證明/K4E=NACB=90。.再根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)可知EE=EM.最后

在R3AEM中，由勾股定理，得4爐+加層=近02,即得出4￡2+8尸=972.

(1)①證明：'：CA=CB,ZACB=90°,

AABC是等腰直角三角形.

:點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

；.NDCE=NDBF=45。,ZCOB=90°,CD=BD.

5L'：DELDF,

NEDF=NCDB=96。,

ZCDE=ZEDF-/CDF,NBDF=NCDB-ACDF,

.\ZCDE=ZBDF.

在ADCE與ADBF中,

ZDCE=乙DBF

CD=BD,

/CDE=乙BDF

:.ADCE咨LDBF(ASA),

:.DE=DF；

②證明：由①可知AOCE絲/XOB凡

：.BF=CE,

：CA=CB,

CA-CE=CB-BF,即AE=CF.

在RSEC尸中，由勾股定理，CF2+CE2=￡F2,

:.AE2+BF2=EF2；

(2)解：結(jié)論：AE1+BF2^EF1.理由如下：

如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)使DM=QF,連接AM,EM.

:點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，

：.AD^BD,

；NADM=NBDF,DM=DF,

:AADM冬ABDF(SAS),

：.AM=BF,ZMAD=ZB,

J.AM//BC,

：.ZMAE=ZACB^90°.

XVDE1DF,DM=DF,

.?.DE是EM的垂直平分線，

：.EF=EM,

在RtAAEM中，由勾股定理，得人在+4/二石店,

.?.A￡2+BF2=EF2.

M

總結(jié)提升：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及

平行線的性質(zhì)等知識(shí).掌握三角形全等的判定條件和正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

題型四以兩個(gè)直角三角形的公共邊或等邊為橋梁運(yùn)用雙勾股

典例5［閱讀理解］

如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=1,過(guò)點(diǎn)A作直線8c的垂線，垂足為。，求線段AD的長(zhǎng).

解：設(shè)BD=x,則。=7-尤.

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°.

在中，AD2=AB2-BD2,

在RtAAC￡>中，AD1=AC1-CD2,

：.AB2-BD2=AC2-CD2.

又：AB=4,AC=6,

2

.\42-X2=62-(7-x).

解得尤=空，

14

???^=VAB2-BD2=^^-

［知識(shí)遷移］

(1)在AABC中，AB=13,AC=15,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D

i)如圖1,若8c=14,求線段AO的長(zhǎng)；

ii)若AO=12,求線段的長(zhǎng).

(2)如圖2,在AWC中，48=空、而，AC=—V29,過(guò)點(diǎn)A作直線8c的垂線，交線段8C于點(diǎn)。，將AAB。

42

沿直線A8翻折后得到對(duì)應(yīng)的△ABD,連接C。，若4。=空，求線段C。的長(zhǎng).

思路引領(lǐng)：(1)i)利用勾股定理得出4爐-8爐=472-CIA進(jìn)而建立方程求8。，即可得出結(jié)論；

為)先利用勾股定理求出BC=5,。=9,再分兩種情況.即可得出結(jié)論；

(2)先利用勾股定理求出BZ),CD,再利用面積求出OV,進(jìn)而求出。。，再用勾股定理得出。及2=。。2-

=D'B2-HB2,進(jìn)而建立方程求出HB,即可得出結(jié)論.

解：(1)z)BD=x,則C￡)=14-x,

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC^90°,

在RS4BD中，AD2=AB2-BD1,

2

在RSAC。中，A￡>2=AC2-CD,

/.AB2-BD2=AC2-CD2,

?：AB=13,AC=15,

.,.132-^=152-(14-x)2,

??x=5,

：.BD=5,

???AO=VAB2-BD2=V132-52=12；

iD在RsABO中，^=VAB2-AD2=V132-122=5,

2

在RSACD中，co=VAC-AD2=V152-122=%

當(dāng)/ABC為銳角時(shí)，如圖1-1,8。=2￡>+。￡)=5+9=14,

當(dāng)/ABC為鈍角時(shí)，如圖1-2,BC=BD-CD=9-5=4；

(2)如圖2,連接。。交AB于點(diǎn)N,則。U_LAB,

過(guò)點(diǎn)。作DHXBD于H,

在RtAABD中，BD=7AB2-AD2=J(^V^)2得)2=當(dāng)

在RSACO中，CD=7AC2-AD2=-J(fV29)2-(-y)2=5.

TAB垂直平分。

9R

：.D'B=DB=—,D'D=2DN,

4

S"BD=^AD'BD=?DN，

...生X&_=延依.￡W,

244

；.￡)%=豆區(qū)，

2

:.D'D=2DN=5疾,

設(shè)HB=m,則H￡)=/ffi+BD=M7+至，

4

"：D'H2=D'b1-HD1=D'B1-HB2,

：.(575)2-(5+至)2=(—)2-m1,

44

：.HB=^~,

4

：.HC^HB+BD+CD^^-+^-+4^15,。月=正B2右」號(hào))々*2=5,

?'?D'C=H2+HC2=VS2+152=5V15.

總結(jié)提升：此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，直角三角形的構(gòu)造，利用方程的思想解決問(wèn)題是解本題

的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,A。平分NCAB,交C2于點(diǎn)。.若AC=3,48=5,則CD的長(zhǎng)為（）

思路引領(lǐng)：如圖，作。H_LAB于首先證明AC=AH,DC=DH,AC=A8=3,設(shè)DC=DH=x,在RtABDH

中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

平分/CAB,DC1AC,DHLAB,

：.ZCAD^ZHAD,NC=NAHD=9。。,

'：AD=AD,

：.AADC^AADH(AA5),

：.AC=AH=3,CD=DH,設(shè)CD=DH=x,

；AB=5,

：.BH=AB=AH=5-3=2,

在RtAACB中,VZC=90°,AC=3,AB=5,

.,.BC=^52-32=4,

在RtAHBD中，則有（4-x）2=?+22,

?尤

??A=3--,

2

.?.CD=3,

2

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

2.如圖，在AABC中，AO_L8C于點(diǎn)。，8尸平分/A8C交于點(diǎn)￡,交AC于點(diǎn)RAC=17,AD=15,8C=28,

則AE的長(zhǎng)等于—.

思路引領(lǐng)：利用勾股定理可得DC和AB的長(zhǎng)，由角平分線定理可得EG=￡D,證明RtABDE0RsBGE（地）,

可得3G=B。，設(shè)AE=x,則匹=15-x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

解：'：ADLBC,

：.ZADC^ZADB^9Q0,

\'AD=15,AC=n,

)=22

AZCVAC-AD=7172-152=8'

VBC=28,

???8D=28-8=20,

由勾股定理得：AB=J2O2+152=251

過(guò)點(diǎn)E作EGLAB于G,

平分/ABC,ADLBC,

：.EG=ED,

在Rt^BDE和RtABGE中，

“EG=ED,

“BE=BE'

:.RtABDE咨RtABGE(HL),

:.BG=BD=20,

：.AG=25-20=5,

設(shè)AE=x,則_EZ)=15-x,

：.EG=15-xf

RtZkAGE中，/=52+(15-x)2

丫一25

3

：.AE=^-.

3

故答案為：25

3

總結(jié)提升：本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

題型五勾股定理解決折疊問(wèn)題

典例6(2022?東莞市校級(jí)二模)將正方形ABC。折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交于E,交BC

于F,邊A8折疊后與8C邊交于點(diǎn)G.若DC=5,CM=2,則EF=()

思路引領(lǐng)：作結(jié)合折疊性質(zhì)：EF1AM,^.ZPOF=ZAOH^ZAMD^ZFEH,再證

得E尸=4W,根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.

解：由折疊的性質(zhì)得斯，AM,

過(guò)點(diǎn)/作于X,交AM于。，

則ZADM^NFHE=90°,

：.ZHAO+ZAOH=90°.ZHAO+ZAMD=90°,

：.ZPOF=ZAOH=/AMD,

又：EELAM,

：.ZPOF+ZOFP=90\ZHFE+ZFEH=90°,

：.ZPOF=ZFEH,

：.ZFEH=ZAMD,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD=FH=5,

在△ADM和AfWE中，

V.ADM=Z.FHE

乙4MD=Z.FEH,

.AD=FH

:.△ADM"/\FHE(AAS),

：.EF^AM=y/AD2+DM2=V52+32=V34.

故選：D.

總結(jié)提升：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿著AE折疊后，點(diǎn)。恰好與8c邊上的點(diǎn)尸重合，已知AB=6cm,BC=10cm,求

EC的長(zhǎng)度.

解：由題意可知△AZJE之△ABE,

所以Ab=AO=10cm,EF=DE.

在RtAAFB中，根據(jù)勾股定理得BF=yjAF2~AB2=8(cm),

所以FC=BC-BF=2(cm).

EC=xcm,DE=DC—EC=(6—x)cm,即跖=(6—x)cm,

在RtAEFC中，根據(jù)勾股定理有EF2^FC2+EC2,

QQ

即(G—xpuZZ+x2,解得x=q,所以EC=Qcm.

題型六勾股定理在平面直角坐標(biāo)系背景下的應(yīng)用

典例7(2017春?武昌區(qū)校級(jí)月考)如圖，4(0,m),B(小0),滿足-5尸+武-10/25=0

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC_L射線8P,連接CO,試探究8C,AC,C。之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

(3)在(2)的條件下，ZPOC=ZAPC,B4=4V2,求尸8的長(zhǎng).

思路引領(lǐng)：(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得加、〃的值，易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)如圖1,作。OLOC交于。，證ACMC絲△02。(A5A)(提示A。，2C八字形)，得證等腰RtAOCD,

故BC-AC=CD=V2CO；

(3)作OM_L。尸交AC延長(zhǎng)線于作AALL。尸于N,連接易證AOPB名△OMA(ASA),故PB=MA,

且得證等腰R30PM,又NAPO=NAPC+NOPC=/POC+NOPC=/OCB=45°,所以

NAPM=450+45°=90°,易求出OP=PN+ON=4+3=7,(RtAANO,等腰RtAAPN),Rt^APM中，MA=

7Ap2+MP?=J(4V2)2+(7V2)2=V130.

解：(1)